Ueber den Begriff der Geschwindigkeit in der physikalischen Chemie und der chemischen Technologie. Von Hans Schwerdtfeger. SCHWERDTFEGER, Ueber den Begriff der Geschwindigkeit. In einigen früheren AbhandlungenBauart J. M. Walter, D. R. P. 446164 und Zusatzpatente, D. R. P. angemeldet. des Verf. wurde häufig mit einem Begriff gearbeitet, den man schlechthin als eine „Geschwindigkeit“ bezeichnet, ohne daß man sich vielfach darüber klar ist, wie dieser Begriff mit dem zusammenhängt, den man sonst im allgemeinen als „Geschwindigkeit“ bezeichnet, der natürlicherweise mechanischen Ursprungs ist. So spricht man von Reaktionsgeschwindigkeit bei chemischen Reaktionen; ist insbesondere der chemische Vorgang die Korrosion des Eisens, so spricht man von RostgeschwindigkeitVerlag Julius Springer Berlin.; ferner nennen wir noch Lösungsgeschwindigkeit und Kristallisationsgeschwindigkeit, deren formale Erklärung man z.B. in den soeben erwähnten Aufsätzen findet. In mancherlei Hinsicht erweist es sich nun als wichtig und vorteilhaft, die Begriffsbildung der Geschwindigkeit in diesem Zusammenhang recht genau zu untersuchen, und zwar nicht nur mit Rücksicht auf die numerische Bestimmung der Maßgrößen der Geschwindigkeiten, obwohl für diese natürlich auch die Kenntnis der Begriffe eine wesentliche Voraussetzung ist, sondern vielmehr besonders, weil die genaue Kenntnis der Begriffe, wie ich im Falle der Kristallisationsgeschwindigkeit in der Abhandlung III gezeigt zu haben glaube, für die Erforschung des betr. Vorganges und für seine Erfassung in der Theorie von Bedeutung sein kann. Zusammenfassend wiederholen wir, daß es sich auf diesem Wege als unmöglich herausstellte, bei einem Kristallisationsvorgang, wie er in praxi verläuft, von einer Kristallisationsgeschwindigkeit zu sprechen, daß vielmehr erst eine ziemlich starke Idealisierung einsetzen muß, ehe eine exakte Definition des Begriffes möglich wird. Zu ähnlichen Ergebnissen von einem weit allgemeineren Standpunkt aus, nämlich alle die verschiedenen chemischen Geschwindigkeitsbegriffe umfassend, sollen die folgenden Ausführungen hinleiten. § 1. Mechanische Analogie. – Vor allem weiteren erweist es sich als zweckmäßig, an den elementaren Geschwindigkeitsbegriff und seine einfachsten Verallgemeinerungen, wie sie uns in der Mechanik entgegentreten, zu erinnern. Wir denken einen Massenpunkt, welcher sich längs einer geraden Bahn unter dem Einfluß irgendeiner Kraft bewegt. Zur Zeit t befinde er sich an der Stelle s der Bahn, gemessen von einem gewissen Anfangspunkt s0 an, in der er sich zur Zeit t = 0 befand. In einem noch etwas früheren Zeitpunkt t1 (t > t1) befinde sich der Punkt an der Stelle Si seiner Bahn. Es handelt sich darum, festzustellen, was man unter der Geschwindigkeit des Punktes an der Stelle Si versteht. Man versteht darunter die Zahl, die durch den folgenden Grenzwert, falls er existiert, dargestellt werden kann: (1,1) \lim_{s\to{s_1}}\ \frac{s_1-s}{t_1-t}=\left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)_{t_1}=s_1=v_1 Der Zusatz „falls er existiert“ ist sehr wesentlich, denn a priori braucht ein Grenzwert ja gar nicht zu existieren, wenn er in dieser allgemeinen Weise eingeführt wird. Aber wir wollen immer annehmen, daß die Funktion s = s(t) so beschaffen ist, daß der Limes für alle in Frage kommenden t-Werte existiert. Entsprechend soll auch für die ähnlichen gleich noch zu behandelnden Fälle gelten. Ist die Bewegung insbesondere gleichförmig, so ergibt sich s = const. für alle t. Die nächste Verallgemeinerung ist die, daß wir die Geradlinigkeit des Weges aufgeben; die Definition des Geschwindigkeitsbegriffes bleibt formal unverändert. Es sind dann nur gewisse Voraussetzungen über die Bahnkurve notwendig, damit die Festsetzung einen anschaulichen Sinn behält; auch diese sehen wir als erfüllt an. Wir verallgemeinern weiter; an die Stelle des sich bewegenden Punktes lassen wir irgendeine sich bewegende Kurve C treten. Bei der Bewegung überstreicht C einen gewissen Flächeninhalt F = F(t), der von einer gewissen Anfangszeit an gemessen – es sei etwa F(0) = 0 –, eine Funktion der Zeit t ist. Dies angenommen definieren wir die Flächengeschwindigkeit v durch (1.2)  v_1=\lim_{t\to{t_1}}\ \frac{F_1-F}{t_1-t}=\left(\frac{d\,F}{d\,t}\right)_{t=t_1}\,(F_1=F\,(t_1)) und zwar ist dies die Flächengeschwindigkeit zur Zeit t1. Es ist ohne weiteres möglich, die Voraussetzungen weitgehend zu komplizieren, also anzunehmen, daß die Kurve C sich während der Bewegung irgendwie deformiere. Ein Schritt weiter führt zur Körpergeschwindigkeit: An die Stelle der beweglichen Kurve C setzen wir eine bewegliche, auch wieder irgendwie deformierbare Raumfläche F., die bei der Bewegung einen Rauminhalt V = V(t) überstreicht. Als Körpergeschwindigkeit zur Zeit t1 erklären wir den Grenzwert (1,3) v_1=\left(\frac{d\,V}{d\,t}\right)_{t=t_1} Hier ist eine Verallgemeinerung auch wieder in der Weise möglich, daß man an Stelle der einen Fläche ein System von Flächen ins Auge faßt; insbesondere kann man dann auch noch annehmen, daß alle diese Flächen geschlossen sind, also ein Raumteil eingrenzen und daß ihre ganze Bewegung in Dehnung oder Zusammenziehung besteht. (Vgl. I und II.) Dies alles sind natürlich nur Andeutungen, die an bekannte Dinge erinnern sollen in einer Form, wie wir sie nachher gebrauchen. Man wird leicht zugeben, daß der Begriff der Körpergeschwindigkeit, zu dem wir durch ganz einfache Verallgemeinerungen nach und nach gekommen sind, sich noch durchaus mit dem deckt, was man „gefühlsmäßig“ als „Geschwindigkeit“ bezeichnet. Das spezielle mathematische Gesetz, nach dem die Ausdehnung oder Zusammenziehung vor sich geht, ist natürlich in diesem allgemeinen Rahmen, sowohl was seinen Aufbau, als auch was seine physikalische Bedeutung angeht, belanglos; wichtig ist nur, daß es durch eine differenzierbare Funktion der Zeit gekennzeichnet wird. Dies muß man trotz Unkenntnis der dadurch vorgenommenen Einschränkung der Allgemeinheit immer fordern. Aehnliches beobachtet man bei aller mathematischen Naturbeschreibung. §2. Der Begriff der Massengeschwindigkeit. – Auf Grund der vorstehenden allgemeinen Betrachtungen über den Geschwindigkeitsbegriff in seiner für die vorliegenden Zwecke geeigneten weitesten Fassung wird es möglich sein, Aussagen über die in Chemie und Technologie auftretenden Geschwindigkeiten zu machen, die wir im wesentlichen als Körpergeschwindigkeiten erkennen werden; wir wollen sie als Massengeschwindigkeiten zusammenfassend bezeichnen, da es sich bei den Vorgängen um Austausch oder Veränderungen von Massen handelt. Um sogleich in medias res zu gelangen, denken wir zwei in irgendeiner beliebigen Weise von einander getrennte Massen oder Massebehälter, zwischen denen ein vollständiger oder teilweiser Austausch irgendwie möglich ist. Wir nennen die beiden Massenbehälter und auch die in ihnen enthaltenen Massen \frakfamily{A} und \frakfamily{B}. An sich ist es gleichgültig, welche der beiden Massen die gewinnende und welche die verlierende ist und wir können annehmen, daß durch irgendeine Veränderung der äußeren Umstände eine Rollenvertauschung bewirkt werden kann. Um aber etwas Bestimmtes zu sehen, werde angenommen, daß in der in Frage kommenden Zeitspanne \frakfamily{A} der abgebende, \frakfamily{B} der zunehmende Teil ist. Den Vorgang des Massenüberganges von \frakfamily{A} nach \frakfamily{B} wollen wir kurz durch das Zeichen (\frakfamily{A} ➛ \frakfamily{B}) angeben. Ferner bedenken wir, daß man den Vorgang jeweils auf zweierlei Weise eindeutig kennzeichnen kann: Einmal durch die Größe der Masse in 51 zur Zeit t, die gegeben sein mag durch A = A(t), sodann aber auch durch die entsprechende auf \frakfamily{B} bezgl. Funktion B = B(t). Zwangsläufig muß für alle t zwischen diesen beiden Funktionen nämlich der folgende Zusammenhang bestehen: (2.1) A(t) + B(t) = c, wobei c eine Konstante ist, welche das Maß der Gesamtmasse darstellt. Diese Beziehung ist von fundamentaler Bedeutung. (Man nennt sie das Gesetz der Erhaltung der Masse.) Die beiden Funktionen A, B sollen wieder differenzierbar sein. Dann ist die Massengeschwindigkeit des Vorganges (\frakfamily{A}\,\rightarrow\,\frakfamily{B}) zur Zeit t definiert durch die Beziehung (2.2) v_1\,\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=\lim_{t\to{t_1}}\ \frac{B\,(t_1)-B\,(t)}{t_1-t}=\left(\frac{d\,B\,(t)}{d\,t}\right)_{t=t_1} Aus (2,1) folgt dann sofort: (2,3)     -\frac{d\,B\,(t)}{d\,t}=\frac{d\,A\,(t)}{d\,t} Für den speziellen Fall des gleichförmigen Verlaufs des Vorganges kann man die Massengeschwindigkeit auch erklären als das Maß der in der Zeiteinheit beförderten Masse. Gefühlsmäßig ist es zunächst nicht klar, inwiefern man die durch (2,2) erklärte Zahl als Geschwindigkeit bezeichnen kann; mit Rücksicht auf die Betrachtungen von § 1 kann man diese Frage aber ganz leicht klären. Setzen wir zunächst homogene Massenverteilung in \frakfamily{A} und \frakfamily{B} voraus; die Dichte sei α bzw. β, die Volumina VA bzw. VB, beides Funktionen von t Dann haben wir drei Fälle zu unterscheiden 1° Die (zunehmende) Masse \frakfamily{B} hat eine sie begrenzende Oberfläche F. 2° Die (abnehmende) Masse \frakfamily{A} hat eine sie begrenzende Oberfläche F. 3° Die genannte Eigenschaft kommt \frakfamily{A} und \frakfamily{B} zu. (Hier könnte man die Kontinuitätsgleichung formulieren; dieser Fall ist aber in diesem Zusammenhang uninteressant.) Sodann müssen wir jetzt eine bestimmte Voraussetzung über die Art machen, wie die Ausdehnung oder Zusammenziehung der begrenzenden Fläche vor sich geht, was in der allgemeinen Einleitung nicht möglich war: Wir nehmen an, daß die Veränderung der Oberfläche durch Hinzutreten oder Abgehen von Masse bewirkt wird. Und dann sehen wir, daß die Massengeschwindigkeit aus der Körpergeschwindigkeit durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor, der Dichte,Vergl. Obermoser, E.T.Z. (Springer-Verlag. Heft 15), 1925. Vergl. Obermoser, „Maschinenbau“ (V.D.J. -Verlag) Heft 16, 1925. Vergl. Foerster „Werkstattstechnik“ (Springer-Verlag) Heft 10, 1926. hervorgeht. Im Fall 1° kann man eine bestimmte Körpergeschwindigkeit vb der Ausdehnung von B angeben und hat dann die folgenden drei Beziehungen (2.4) v\,\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=\frac{d\,B}{d\,t}, v_s=\frac{d\,V_s}{d\,t}, \beta\ \frac{d\,V_s}{d\,t}=\frac{d\,B}{d\,t}. Entspreched gilt im Fall 2°: (2,5) v\,\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=-\frac{d\,A}{d\,t}, v_A=\frac{d\,V_A}{d\,t}, \alpha\ \frac{d\,V_A}{d\,t}=\frac{d\,A}{d\,t}, Im Falle 3° gilt dagegen: (2.6) αVA= – β VB. In den Beziehungen. (2,4/5/6) ist alles wesentliche, was sich von so allgemeinem Standpunkt über die Massenänderungsvorgänge sagen läßt, enthalten. Alles weitere ergibt sich durch Einschränkung in den Voraussetzungen. Nicht in diesem Zusammenhang, aber wohl in anderem, ist besonders interessant Fall 3°. Man kann da etwa folgendermaßen einschränken: Die Beförderung der Massen von \frakfamily{A} nach \frakfamily{B} ist so vorzunehmen, daß die Kosten der Beförderung am kleinsten werden; die Lösung dieser Aufgabe, des „Probleme des désblais et des remblais,“ erwies sich als sehr schwierig und forderte eminente mathematische Hilfsmittel.August Rotth, Das Telephon und sein Werden. Berlin, Julius Springer, 1927. Setzen wir für das weitere ein für allemal voraus, daß die Massengeschwindigkeit eine stetige Funktion der Zeit ist. Ferner betrachten wir unseren Vorgang in einer solchen Zeitspanne, in der er eine Umkehrung erfährt, d.h. in der Zeitspanne to ≤ t ≤ t' gelte (\frakfamily{A} → \frakfamily{B}) und in der Zeitspanne t' ≤ t ≤ t1 gelte (\frakfamily{B} → \frakfamily{A}). Wenn dann v(t) die Massengeschwindigkeit in der Zeit to ≤ t ≤ t1 darstellt, so hat man v(t)=v\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}, wenn to ≤ t ≤ t' =v\{\frakfamily{B},\ \frakfamily{A}\}, wenn t' ≤ t ≤ t1 Da v\{\frakfamily{B},\ \frakfamily{A}\} und v\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\} verschiedene Vorzeichen haben müssen, so muß wegen der vorausgesetzten Stetigkeil v(t) an der Stelle t' verschwinden. Dies gilt für alle Umkehrstellen. Sodann eine grundsätzlich wichtige Bemerkung. Bisher war immer vorausgesetzt, daß es sich bei allen Aenderungen der Größen der Massen uni solche handelt, bei denen die einzige unabhängige Veränderliche die Zeit ist. Wir wollen zeigen: Nur unter dieser Voraussetzung kann man von einer Massengeschwindigkeit bei einem Vorgang (\frakfamily{A} → \frakfamily{B}) überhaupt sprechen. Falls außer der Zeit noch eine andere unabhängige Veränderliche auftritt, ist as nicht möglich, zu einem vernünftigen Geschwindigkeitsbegriff zu gelangen. Sind dagegen die übrigen auftretenden Veränderlichen selbst wieder Funktionen der Zeit, so ist die Begriffsbildung der Geschwindigkeit sehr wohl möglich. Beweisen wir zuerst die erste Behauptung. Wir hatten eine Geschwindigkeit als eine Ableitung einer gewissen Funktion nach der Zeit erkannt; die Festsetzung bezog sich aber nur auf solche Funktionen, deren einzige unabhängige Veränderliche die Zeit war. Ist dies nicht der Fall, so kann man nur eine partielle Ableitung nach t bilden, der man nicht die Bedeutung einer Geschwindigkeit zulegen kann, da diese doch grob gesprochen das Maß der Gesamtänderung darstellen soll. Betrachten wir beispielsweise einen Vorgang (\frakfamily{A} → \frakfamily{B}), bei dem A = A(t, T, p), B = B(t, T, p) gilt, wo T die absolute Temperatur und p einen Druck darstellen möge. Das Maß der Gesamtänderung gibt dann die Größe (2,6) d\,B=\frac{\delta\,B}{\delta\,t}\,d\,t+\frac{\delta\,B}{\delta\,T}\,d\,T+\frac{\delta\,B}{\delta\,p}\,d\,p=-d\,A Anders dagegen, wenn T und p selbst wieder Funktionen der Zeit sind, also eine Darstellung in der Form T = T(t), p = p(t) zulassen. Dann gilt, wenn der Punkt * die Ableitung nach t bedeutet: (2,7) v\ \{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=\frac{d\,B}{d\,t}=\frac{\delta\,B}{\delta\,t}+\frac{\delta\,B}{\delta\,T}\,\dot{T}+\frac{\delta\,B}{\delta\,p}\,\dot{p}=-\frac{d\,A}{d\,t} und durch diesen Ausdruck wird im gewöhnlichen Sinne eine Geschwindigkeit dargestellt. (Vgl. III.) Der Sonderfall, daß weder \frakfamily{A} noch \frakfamily{B} eine wohl bestimmte Oberfläche besitzen, ist absichtlich vorläufig beiseite gelassen, da er eine vollkommene Abstraktion von den anfänglich gegebenen mechanischen Vorstellungen verlangt. Wir wollen jetzt nachträglich übereinkommen, auch für diesen Fall die getroffenen Festsetzungen zu übertragen, obwohl die gegebene anschauliche Begründung dann nicht mehr stichhaltig ist. Eine logische Schwierigkeit besteht da nicht, da man die Definition der Massengeschwindigkeit ja auch unabhängig von der Körpergeschwindigkeit fassen kann. § 3. Die vektorielle Massengeschwindigkeit. – Für das folgende ist es durchaus notwendig, sich auf die drei vorangestellten Fälle zu beschränken und den soeben noch nachgetragenen Sonderfall außer acht zu lassen; um nämlich überhaupt die Möglichkeit zu bekommen, die vektorielle Massengeschwindigkeit einzuführen, braucht man ein festes System von Richtungen, auf die man diese selbst mit „Richtung behaftete Größe“ beziehen kann. Ein solches System von Richtungen wird uns allerdings durch die nach irgendeinem wohl bestimmten Gesetz gebaute Oberfläche der Masse \frakfamily{A} oder \frakfamily{B} geliefert. Die über die Oberflächen zu treffenden Einschränkungen sind so beschaffen, daß sie sich praktisch immer werden erfüllen lassen. Denn einmal kann es sich um Lösungs- und Kristallisationsvorgänge handeln; dann ist die Art der begrenzenden Oberflächen von Natur bestimmt. Zweitens kann es sich um technisch wichtige chemische Reaktionen handeln, bei denen man weitgehendst imstande ist, die begrenzenden Oberflächen zu beeinflussen. Demgemäß wollen wir folgendes annehmen: Die Oberfläche soll so beschaffen sein, daß es immer möglich ist, sie durch eine endliche Anzahl voneinander unabhängiger, bei dem zu betrachtenden Vorgang durch stetig differenzierbare Funktionen der Zeit eindeutig bestimmte Größen in ihrer räumlichen Ausdehnung festzulegen. Diese Größen bezeichnen wir durch x1, x2, ..., xm bzw. yl,  y2, ..., yn, je nachdem sie die Bestimmungsstücke von \frakfamily{A} oder von \frakfamily{B} sind. In der allgemeinen Behandlung kann man sich natürlich auf den Fall m = n = 3 beschränken, welcher zudem noch den Vorzug der Anschaulichkeit hat. Durch Beispiele kann man leicht die Bedeutung der x erläutern. Ist A etwa kugelförmig, so kommt man mit einer Größe x1 aus, etwa dem Radius; im Falle des Ellipsoids braucht man drei, etwa die Halbachsen x1, x2, x3. Die verschiedenen Kristallformen kann man immer durch eine endliche Anzahl von Größen xy charakterisieren. Unsere Voraussetzungen treffen also gerade die praktisch vorliegenden Verhältnisse, um deren Beschreibung es sich handelt. Dies angenommen betrachten wir einen Vorgang (\frakfamily{A} → \frakfamily{B}) mit den Voraussetzungen von Fall 1°. Dann gibt es für \frakfamily{B} eine bestimmte Oberfläche, die von den drei Veränderlichen y1 = y1(t) y2 = y2(t) y3 = y3(t) abhängt. Das von der Oberfläche umschlossene Volumen, das wie diese eine Funktion der Zeit ist, sei gegeben durch VB(t) = F(y1, y2, y3). Ist die Funktion F dann auch nach den drei Veränderlichen partiell differenzierbar, so kann man die Körpergeschwindigkeit berechnen: (3,1) \frac{d\,V_s}{d\,t}=\frac{\delta\,F}{\delta\,y_1}\,\dot{y_1}+\frac{\delta\,F}{\delta\,y_2}\,\dot{y_2}+\frac{\delta\,F}{\delta\,y_3}\,\dot{y_3}=\sum_{v=1}^3\,\frac{\delta\,F}{\delta\,y_v}\,\dot{y_v}. und daraus durch Multiplikation mit der nicht notwendig konstant gewählten Dichtet sofort die Massengeschwindigkeit; mit \beta\,.\,F=\overline{F} kommt (3,2) v\,\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=\frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_1}\,\dot{y_1}+\frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_2}\,\dot{y_2}+\frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_3}\,\dot{y_3}=\sum\,\frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_v}\,\dot{y_v} Entsprechend haben wir in Fall 2°: Wenn VA(t) = G(x1? x2, x3) (3,3) -v\,\{\frakfamily{A}, \frakfamily{B}\}=\sum_v\,\frac{\delta\,G}{\delta\,x_v}\,\dot{x_v} Als die vektorielle Massen-Geschwindigkeit wird dann definiert der Vektor mit den drei Komponenten (xl, x2, x3) und diesen Vektor bezeichnen wir kurz durch \frakfamily{x}. Entsprechendes gilt für den Vektor mit den Komponenten (y1, y2, y3), den wir symbolisch durch \frakfamily{y} angeben. Ferner betrachten wir die beiden Vektoren mit den Komponenten \frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_1},\ \frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_2},\ \frac{\delta\,\overline{F}}{\delta\,y_3}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ {\delta\,\overline{G}}{\delta\,\dot{x_1}},\ \frac{\delta\,\overline{G}}{\delta\,\dot{x_2}},\ \frac{\delta\,\overline{G}}{\delta\,\dot{x_3}}, die man bekanntlich als die Gradienten der beiden Funktionen \overline{\mbox{F, G}}, bezeichnet und durch \frakfamily{grad}\ \overline{F} und \frakfamily{grad}\\overline{G} abgekürzt andeutet. Aus (3,2) und (3,3) sieht man dann sofort, daß (3,4) v\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\}=(\frakfamily{y}\,.\,\frakfamily{grad}\,F)=–(\frakfamily{x}\,.\,\frakfamily{grad}\,g) sein muß, wenn die Klammern (...) hier das skalare Produkt der beiden Vektoren bedeuten. Durch diese Formeln wird in sehr übersichtlicher Weise der Zusammenhang zwischen der skalaren und der vektoriellen Massengeschwindigkeit dargestellt. Ferner ergibt sich aus (3,4) ohne umständliche Rechnung sofort eine weitere Bemerkung. Es geht daraus nämlich hervor, daß die skalare Massengeschwindigkeit v\{\frakfamily{A},\ \frakfamily{B}\} auch dann gleich 0 sein kann, wenn dies für die vektorielle Massengeschwindigkeit nicht zutrifft. Erstere verschwindet nämlich auch dann, wenn die vektorielle Massengeschwindigkeit auf dem Gradientvektor senkrecht steht, auf Grund einer elementaren Eigenschaft des skalaren Produktes. Diese letztere Feststellung erscheint besonders interessant mit Rücksicht auf die Kristallisations-vorgänge, die in unserer hier durchgeführten Fallunterscheidung unter 1° enthalten sind; es geht daraus hervor, daß das Verschwinden der skalaren Massengeschwindigkeit nicht etwa ein Kriterium dafür ist, daß die Massen in dem Kristall selbst sich gewissermaßen in Ruhe befinden. Ein Kriterium dafür liefert erst das Verschwinden der vektoriellen Massengeschwindigkeit. Wenn man dies auch aus anschaulichen Gründen von vornherein gewiß erwartet hat, so hat man doch nicht ohne weiteres sagen können, in welcher Weise diese Verhältnisse mit der Gestaltung der Oberfläche des kristallisierenden Stoffes zusammenhängen. In der Tat ist der Zusammenhang mit dem Gradienten der Darstellungsfunktion als ein besonders einfacher und immerhin merkwürdiger zu bezeichnen. An einzelnen Beispielen kann man sich leicht noch die Bedeutung der Ergebnisse klar machen; wegen Raummangels müssen wir auf die ausführliche Darstellung derselben verzichten.O. v. Sichere r. „Hygiene des Auges,“ 2. Aufl. 1913. Fritz Foerster. „Elektrolicht“ (Verlag Kesselringsche Hofbuchhandlung Frankfurt a. M. 1918). Es möge aber vorbehalten bleiben, bei anderer Gelegenheit weitere Folgerungen aus dem zuletzt herausgestellten Ergebnis auszugestalten. Endlich sei noch bemerkt, daß man die ganzen Betrachtungen auch auf den Fall von mehr als zwei, etwa n veränderlichen Massen \frakfamily{A}, \frakfamily{B}, \frakfamily{C}, ... \frakfamily{N} ausdehnen kann. Jedoch ergibt sich dabei nichts wesentlich Neues.