LXXVIII. Untersuchungen uͤber die Theorie der Hydro-Dynamik. Von Thom. Tredgold, Esqu. Aus dem Philosophical Magazine. N. 340. S. 112. (Mit Figur auf Taf. II. N. 20. d. polytechn. Journales. Bd. XXII.) Tredgold's, Untersuchungen uͤber die Theorie der Hydro-Dynamik. Zweite Mittheilung. 1) Saz. Der Widerstand gegen die Bewegung eines Koͤrpers in einer Fluͤßigkeit ist gleich des Quantitaͤt der Bewegung, welche er der Fluͤßigkeit mittheilt. Denn, wenn die Quantitaͤt der Bewegung groͤßer, als der Widerstand waͤre, so waͤre die Wirkung groͤßer, als die Ursache, die sie erzeugt; und wenn die Quantitaͤt der Bewegung kleiner waͤre, so waͤre der Widerstand groͤßer, als die Kraft, die ihn leistet. 2) Saz. Die Quantitaͤt der Bewegung, welche einer Fluͤßigkeit durch einen in derselben sich bewegenden Koͤrper mitgetheilt wird, muß allzeit nach einer auf die Flaͤche, gegen welche der Widerstand geleistet wird, senkrechten Richtung berechnet werden, die Richtung der Bewegung des Koͤrpers selbst mag wohin immer laufen. Der Widerstand gegen eine Flaͤche besteht aus der Kraft, welche die Fluͤßigkeit in der Richtung ihrer Bewegung bewegt, und aus dem Widerstaͤnde des Zuruͤkprallens: die aus diesen Kraͤften hervorgehende Resultante ist senkrecht auf die Flaͤche; da nun die ganze Kraft zur Verdraͤngung einer Fluͤßigkeit durch die Resultante gemessen wird, so muß die Geschwindigkeit der Verdraͤngung in derselben Richtung genommen werden; folglich ist die Quantitaͤt der Bewegung, da sie sich in der Richtung der Resultante befindet, senkrecht auf die Flaͤche. 3) Saz. Die unmittelbare Geschwindigkeit eines Koͤrpers verhaͤlt sich zur Geschwindigkeit irgend eines Theiles dieses Koͤrpers in senkrechter Richtung auf dessen Oberflaͤche, wie der Halbmesser zum Sinus des Neigungs-Winkels der Flaͤche gegen die Richtung ihrer Bewegung. Es sey, Ab (polyt. Journ. Bd. XXII. Tab. II. Fig. 20.) die Richtung und die Geschwindigkeit der Flaͤche, und man ziehe, Ae, senkrecht auf dieselbe, und, be, parallel mit derselben; so wird, Ae, die Geschwindigkeit in einer auf die Flaͤche senkrechten Richtung. – Ab verhaͤlt sich aber zu Ae, wie der Halbmesser zu dem Sinus BAC. 4) Saz. Wenn eine flache Flaͤche sich mit gleichfoͤrmiger Geschwindigkeit in einer Fluͤßigkeit bewegt, so ist die Hoͤhe einer Saͤule dieser Fluͤßigkeit, die die Geschwindigkeit der Flaͤche erzeugen wuͤrde, in senkrechter Richtung auf ihre Oberflaͤche die halbe Hoͤhe einer Saͤule, die dem Druke auf diese Flaͤche gleich ist. Denn, da die Geschwindigkeiten der Kraͤfte des. Einfalles und Zuruͤkprallens ungeaͤndert bleiben, so muß der Druk in der Richtung der Resultante doppelt seyn, um dieselbe Quantitaͤt der Bewegung zu erzeugen. 5) Saz. Die Hoͤhe einer Saͤule einer Fluͤßigkeit, die dem unmittelbaren Widerstande einer flachen Flaͤche, die sich in derselben bewegt, aͤquivalent ist, wechselt im geraden Verhaͤltnisse, wie das Quadrat der Geschwindigkeit und der Kubus des Sinus der Neigung der Flaͤche gegen die Richtung der Bewegung; oder wie (v²Sin.³a)/32r³ Es sey, v, die Geschwindigkeit der Flaͤche, a der Winkel, den sie mit der Richtung der Bewegung bildet, und h, die Hoͤhe der Saͤule, welche dem senkrechten Druke auf die Flaͤche aͤquivalent ist. So wird, aus Saz 3, r : Sin.a : : v : (v Sin.a)/r = der Geschwindigkeit in senkrechter Richtung auf die Oberflaͤche; und da, nach Saz 4, (v Sin.a)/r = √(64h/a); so wird (v² Sin.²a)/32r² = h. Nun ist aber der Widerstand in senkrechter Richtung auf die Oberflaͤche zu dem Widerstaͤnde in der Richtung der Bewegung, wie der Halbmesser zu Sinus a. (Polytechn. Journal Bd. XXII. S. 2.) Folglich r : Sin.a : : (v² Sin.²a)/32r² : (v² Sin.³ a)/32r² = der Hoͤhe einer Saͤule der Fluͤßigkeit, die dem Widerstande aͤquivalent ist. Corollar. Das Gewicht dieser Saͤule wird (cwv² Sin.³ a)/32r³, wenn c, die Flaͤche der Basis, und, w, das Gewicht eines Kubikfußes dieser Fluͤßigkeit ist. 6) Saz. Der unmittelbare Widerstand eines festen Koͤrpers mit kreisfoͤrmiger Basis ist Textabbildung Bd. 22, S. 371 Es sey p = 3,1416, und y der wandelbare Halbmesser der Basis; so ist c = 2 pyy; folglich Textabbildung Bd. 22, S. 371 dem Integral des Widerstandes. 1. Wenn der feste Koͤrper ein Cylinder ist, und die flache Flaͤche des Endes desselben senkrecht auf die Richtung der Bewegung ist, so ist der Widerstand = pwv²r²/32. 2. Wenn der feste Koͤrper sich in einen Kegel endet, dessen schiefe Seite r ist, und wenn Sin.a = y, so wird (pwv² y⁵) /32r² = dem Widerstande. Wenn r² = 2y²; so wird (pwv²y²)/(1.68 × 32) dem Widerstande; daher ist der unmittelbare Widerstand eines Cylinders zu einem solchen Kegel, wie 168 : 100. 3. Wenn der feste Koͤrper sich in eine Halbkugel endet, so ist Textabbildung Bd. 22, S. 371 und Textabbildung Bd. 22, S. 371 folglich Textabbildung Bd. 22, S. 371 dem Widerstande. Folglich ist der Widerstand einer Halbkugel zu jenem eines Cylinders, wie 2 : 5, oder wie 10 : 25. Wir wollen nun zu der Wirkung des Schließens der Fluͤßigkeit hinter dem Koͤrper zuruͤk. Die Geschwindigkeit, mit welcher die Fluͤßigkeit an den Koͤrper schließt, muß offenbar nach einer senkrechten Richtung auf die Flaͤchen desselben bemessen werden, und, wenn man derselben Schluß-Folge, wie oben sich bedient, wird man keine Schwierigkeit in Bestimmung derselben finden. 7) Saz. Der Druk einer Fluͤßigkeit in senkrechter Richtung auf die Flaͤche, welcher sie folgt, verhaͤlt sich, wie die Differenz zwischen der Hoͤhe einer Saͤule, die dem Druke der Fluͤßigkeit gleich ist, und der Hoͤhe einer Saͤule der Fluͤßigkeit, welche die Geschwindigkeit der Flaͤche zu erzeugen im Stande ist. Es sey m die Hoͤhe einer Saͤule, die dem Druke der Fluͤssigkeit auf eine ruhende Oberflaͤche gleich ist, und h die Hoͤhe der Saͤule, die im Stande ist, die Geschwindigkeit zu erzeugen, so ist m – h = der Hoͤhe der Saͤule, die die wirkliche Bewegung erzeugt: denn aller Druk, der durch die Bewegung der Oberflaͤche verloren geht, muß abgezogen werden. 8) Saz. Die vorwaͤrts treibende Kraft der Fluͤßigkeit, welche einem in Bewegung befindlichen Koͤrper folgt, ist gleich einer Wassersaͤule, deren Hoͤhe (64mr² Sin.a – v² Sin.³ a)/64r³ ist. Es sey v die Geschwindigkeit des Koͤrpers; so ist die Geschwindigkeit, mit welcher die Fluͤßigkeit in einer senkrechten Richtung auf die Oberflaͤche fließt, (v Sin.a)/r, nach Saz 3., und die dieser Geschwindigkeit aͤquivalente Hoͤhe, h, ist (v² Sin.²a)/64r²; folglich, nach Saz 7, m – h = m – (v² Sin.²a)/64r² = (64mr²– v² Sin.²a)/64r²; und, dieser Druk, reducirt auf die Richtung der Bewegung, ist (64mr² Sin.a – v² Sin.³a)/64r³ = der Wirkung der Fluͤßigkeit, welche dem Koͤrper folgt. Coroll. Die vordere und Hintere Form des Koͤrpers darf daher nicht von gleicher Figur seyn, wenn derselbe sich mit dem mindesten Widerstande bewegen soll. 9) Saz. Der ganze Widerstand einer Fluͤßigkeit gegen einen in derselben sich bewegenden Koͤrper ist gleich dem Druke einer Saͤule der Fluͤßigkeit, deren Hoͤhe (3v² Sin.³a – 64mr² Sin.a)/64r³, ist, wenn die Enden dieselbe Figur haben. Man hat als unmittelbaren Widerstand (v² Sin.³a)/32r³ = (2 v² Sin.³a)/64r³ gefunden. Wenn man davon die Wirkung der Fluͤßigkeit, welche dem Koͤrper folgt, abzieht, so erhaͤlt man (2 v² Sin.³a – 64mr² Sin.a + v² Sin.³a)/64r³. Da nun Sin.a in beiden Gliedern, wegen der Gleichheit der Figur der Formen der Ende gleich ist, so wird (3 v² Sin.³a – 64mr²Sin.a)/64r², herauskommen, als Werth der fuͤr die ganze Wirkung aͤquivalenten Saͤule. Hieraus ersieht man, daß der Widerstand sich nicht wie das Quadrat der Geschwindigkeit verhaͤlt. Ueberdieß zeigt diese Gleichung den wichtigen Umstand, daß, wenn die Geschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit uͤbersteigt, welche das Mittel fortzupflanzen im Stande ist, die Fluͤßigkeit sich vor dem Koͤrper anhaͤufen muß, bis die Dichtigkeit, oder der Modulus der Elasticitaͤt derselben hinreichend stark wird, um Bewegung den entfernteren Theilen der Fluͤßigkeit in der Richtung der Bewegung des Koͤrpers mitzutheilen. Daß eine solche Zunahme des Widerstandes, wie diese Formel sie anzeigt, bei großen Geschwindigkeiten wirklich Statt hat, wurde durch Versuche uͤber die Bewegung der Kanonen-Kugeln erwiesen. Ich hoffe, daß dieser Aufsaz fuͤr diejenigen, die mit diesem Gegenstande sowohl theoretisch als praktisch vertraut sind, die Richtigkeit meiner Ansichten hinlaͤnglich erweisen wird. Wenn ich irgendwo in die Fußstapfen anderer getreten bin, so geschah es nicht wissentlich, und es ist hoͤchst wahrscheinlich, daß ich dieses nicht gethan habe, indem ich mich nicht im Mindesten erinnere, daß irgend eine Theorie auf diese Grundsaͤze gebaut wurde.