XXIII. Verzeichnung parabolischer Lehrboͤgen, von Prof. Gerling in Marburg. Mit Abbildungen auf Tab. II. Gerling, Verzeichnung parabolischer Lehrboͤgen. Die Parabel als eine der einfachsten krummen Linien scheint nicht nur in mehreren Faͤllen als Gewoͤlblinie wesentliche Dienste leisten zu koͤnnen (siehe z.B. Eytelwein Statik §. 390.), sondern ist auch fuͤr manche andere technische Constructionen, z.B. bei Lampenspiegeln (siehe Abendroth Ritzebuͤttel und das Seebad zu Cuxhaven S. 101 folgend) Reverberiroͤfen, Schelldekeln u.s.w. so nuͤzlich, daß natuͤrlich die Frage entsteht: Woher es wohl komme, daß sie verhaͤltnißmaͤßig so selten angewendet wird? – Die Antwort auf diese Frage scheint mir darin zu liegen, daß leichte und bequeme Methoden die Lehrboͤgen fuͤr dieselbe zu zeichnen nicht allgemein bekannt sind, und habe ich wirklich bis jezt vergeblich nach solchen Anweisungen gesucht. – Demnach glaube ich also etwas Nuͤzliches zu thun, wenn ich Vorschlage dazu mittheile, welche (auf richtigen mathematischen Grundsaͤzen, deren Auseinandersezung nicht weiter, hierher gehoͤrt, beruhend) als Anleitung fuͤr die Arbeiter selbst dienen koͤnnen. ––––––––– Aus diesem rein praktischen Gesichtspunkt theile ich alle Parabeln in drei Classen. 1) Parabeln von solcher Groͤße, daß sich die Lehrboͤgen nur auf dem Zimmerplaz machen lassen; z.B. fuͤr Bruͤkenboͤgen u. dergl. 2) Parabeln von mittlerer Groͤße, deren Lehrboͤgen sich auf dem Fußboden einer Werkstatt beschreiben lassen; z.B. fuͤr Oefen u. dergl. 3) Kleine Parabeln, die man auf dem Reißbrett verzeichnen oder doch auf dem Tisch ausarbeiten kann; z.B. fuͤr Lampen u. dergl. Erste Classe. Hier braucht nur die untere Weite und die Hoͤhe des Gewoͤlbes gegeben zu seyn. Die Weite sey (Fig. 1.) als Grundlinie mit AB bezeichnet und in A und B z.B. Pfloͤke in den Boden getrieben und Loͤcher eingebohrt. Auf der Mitte von AB in D errichte man das Perpendikel DE (die Richtung der Axe) doppelt so lang als die Hoͤhe (bis zum Scheitel S) vorgeschrieben ist, nach E und bezeichne E (welches man dadurch erst pruͤft, daß man AE und EB nachmißt, welche gleich lang seyn muͤssen). Nun theile man durch fortgeseztes Halbiren, z.B. mit der Schnur, die Linien AE und BE in 8, 16, 32 u.s.w. gleiche Theile (in der Figur sind deren beispielsweise 16 gemacht), wobei man wieder, um genau zu verfahren, Pfloͤke eintreiben und Loͤcher einbohren kann, und bezeichne die Theilpunkte mit Nummern dergestalt, daß man ein Mal von oben nach unten und das andere Mal von unten nach oben zaͤhlt; dann schlage man zwischen den Punkten, welche gleiche Nummern haben, die Schnur; so wird dieselbe auf dem untergelegten Holz anzeichnen wo man absaͤgen muß. – Dabei sieht man denn, ob der Linien genug vorhanden sind, oder ob hin und wieder noch welche zwischenzulegen sind, was leicht in der Witte vorkommen kann. In dem lezten Fall, wie hier z.B. (Fig. 1.) zwischen 7 und 8 und zwischen 8 und 9, macht man Zwischenpunkte in die Witte, bei 7 1/2 und 8 1/2 und verfaͤhrt damit wie vorher, bis sich zeigt, daß man mit der Schnur nicht so genau mehr zwischenschlagen kann, als die Saͤge hernach ausarbeiten kann. Die kleinen Unebenheiten werden nach dem Absaͤgen beigerundet. Zweite Classe. Wenn hier Raum genug ist; so kann man wie bei der ersten Classe verfahren. Fehlt es aber an Plaz; so kann folgendes dienen. Man trage zuerst die Weite AB auf eine gerade Linie (Fig. 2.) und errichte in der Mitte von AB bei D die senkrechte DS, als Hoͤhe. Dann berechne man sich die Brennweite der Parabel, indem man die Weite AB mit sich selbst multiplicirt, und das Product mit der sechszehnfachen Hoͤhe dividirt. (Z.B. die Weite waͤre 10 Fuß und die Hoͤhe 4 Fuß; so waͤre die Brennweite 100/64, d.h. 1 9/16 Fuß, oder die Weite waͤre 10 Fuß und die Hoͤhe 2 Fuß; so waͤre die Brennweite 100/32, d.h. 3 1/8 Fuß u. s. w). Diese Brennweite trage man auf die Hoͤhe und ihre Verlaͤngerung auf beiden Seiten, von dem Scheitel S nach F und auch G (wodurch F der Brennpunkt wird). In G ziehe man sodann eine unbestimmt verlaͤngerte Linie HJ parallel zu AB (die Directrix). Sodann nehme man vier Leisten, die etwas laͤnger seyn muͤssen als von F bis A; lege sie auf einander (Fig. 3.) und bohre an den Enden zwei Nagelbohrer senkrecht durch; nehme sie sodann wieder aus einander und steke sie mit vier Bohrern oder angemessenen Naͤgeln (f, g, k, l,) zu einem in den Winkeln beweglichen Vierek (Fig. 4.) zusammen. Den einen Winkelpunkt f befestige man nun in dem Brennpunkt F, den gegenuͤber liegenden g aber befestige man nach und nach in verschiedenen Punkten der Directrix HJ, und ziehe dann jedes Mal zwischen k und l eine gerade Linie, bis man so viel Linien hat, daß man den Lehrbogen darnach ausschneiden kann. Sollte hierbei der Raum wieder nicht hinreichen; so kann man sich dadurch noch helfen, daß man die beiden Seiten gk und fk des Viereks noch etwas abkuͤrzt, so jedoch, daß sie einander gleich bleiben (Fig. 5.); dann muß man aber, wenn der parabolische Bogen auf einer Seite von GD (Fig. 2.) verzeichnet ist, das Vierek aus einander nehmen, um den Bogen auf der anderen Seite zu beschreiben, und mit einer kuͤrzeren Linie lk vorlieb nehmen. Zur Erlaͤuterung dieses Verfahrens dienen Fig. 6, 7 und 8., wo Parabeln von einerlei Weite und verschiedenen Hoͤhen beschrieben sind, und wo namentlich in Fig. 6. die Seiten gk und fk des Viereks abgekuͤrzt sind, dasselbe aber sodann hat umgestekt werden muͤssen. Dritte Classe. Kommt hier der Fall vor, daß eine und dieselbe Parabel mehrmals hinter einander zu verzeichnen ist; so finde ich es am bequemsten, die Construction wie bei der ersten Classe auf eine duͤnne und ebene Messingplatte zu machen, die Linien mit dem Grabstichel zu ziehen, dann mit Laubsaͤge und Feile auszuarbeiten, und nach dieser Lehre zu zeichnen. Sollen aber mehrere Parabeln, die unter sich verschieden sind, construirt werden; so kann man sich dazu eines eigenen Instrumentes bedienen (welches ich mir durch den hiesigen Universitaͤts-Mechanikus Schubart habe verfertigen lassen) und welches Fig. 9. abgebildet ist. – A ist ein Brett, welches mit zwei Schraubzwingen an dem Tisch oder dem Reißbrett befestigt wird. B ist eine darauf senkrecht befestigte Leiste, welche bis gegen die Enden hin einen parallelen Schliz hat (der in der Figur verdekt ist). C ist ein Arm, welcher vermittelst einer Schulter und eines durch den Schliz gestekten Fortsazes sich an B geradlinig hin und her bewegen laͤßt; selbst aber wieder einen Schliz hat, welcher senkrecht auf der Linie der Bewegung steht. DD sind zwei auf B festgeschraubte Stangen, welche da wo sie zusammenkommen, einen senkrecht abwaͤrts gehenden in der Axe durchbohrten Cylinder tragen, der uͤber den Brennpunkt zu stehen kommt. fkgl ist ein aus Messingschienen bestehendes, in den Winkeln verschiebbares Parallelogramm. k und l sind die Charniere, welche nicht nur die Schienen zusammenhalten, sondern auch das aufgeschlizte Lineal kl tragen, welches nahe doppelt so lang ist, als eine der Schienen des Parallelogramms. Das gleichfalls in der Axe durchbohrte Charnier g wird durch Schulter und Gegenschraube an einem beliebigen Punkt des Schlizes in C festgestellt, und beschreibt also, wenn C bewegt wird, die Directrix. m ist ein Rohr, welches sich sowohl in dem Schlize von C als auch in dem geschlizten Lineal kl verschieben laͤßt, und also die Parabel beschreibt. Um nun hiermit eine Parabel von bestimmter Brennweite zu zeichnen, stekt man durch die Loͤcher bei m, f und g drei Stahlstifte (welche sonst bei m', f' und g' ihren Plaz finden), verschiebt so lange bis m, f und g in eine gerade Linie kommen, welches man an den durchgestekten Stiften genau erkennen kann, loͤst dann die Gegenschraube bei g und schiebt g in dem Schliz von C so lange hin und her, bis m von g und f um die verlangte Brennweite absteht, (und also dem Scheitel entspricht). Dann stellt man g durch die Gegenschraube wieder fest, nimmt die Stifte weg, befestigt das Instrument mit den Schraubzwingen, so daß f uͤber dem Brennpunkt, und m uͤber dem Scheitel steht, faßt mit einer Hand den Arm C und mit der anderen den bei m durchgestekten Zeichenstift, und schiebt sowohl C an B, als auch m in C und kl leise fort, so muß der Zeichenstift die verlangte Parabel beschreiben. –––––––––––– Im Vorhergehenden ist absichtlich immer vorausgesezt, daß die Weite AB und die Hoͤhe DS vorgegeben sey, weil dieses der Fall ist, welcher dem praktischen Arbeiter wohl am oͤftersten vorkommt. Naͤchstdem wird wohl auch der Fall ziemlich haͤufig vorkommen, daß die Weite AB und der Brennpunkt F (Fig. 2.) vorgegeben ist; in diesem Fall braucht man nur zu wissen, daß F von A oder B immer eben so weit absteht als die Directrix HJ von der Grundlinie AB; man wird also in diesem Falle FA zu messen und DG = FA aufzutragen, sodann aber FG zu halbiren haben, um den Scheitel S zu bekommen, und nach dem Vorhergehenden den Lehrbogen zu zeichnen. Endlich kommt auch wohl der Fall vor, daß außer der Grundlinie AB noch die Brennweite FS gegeben ist, und man die Hoͤhe DS erst daraus zu finden hat. In diesem Falle berechnet man diese Hoͤhe, indem man die Weite mit sich selbst multiplicirt, und das Product mit der sechszehnfachen Brennweite dividirt (z.B. die Weite AB waͤre 12 Fuß, die Brennweite 1 1/2 Fuß; so haͤtte man die Hoͤhe 6 Fuß). ––––––––––––– Außer diesen einfachen Faͤllen, wobei immer die Weite oder Grundlinie AB als vorgegeben vorausgesezt wird, koͤnnen aber bei der Parabel noch mehrere Faͤlle vorkommen, wo die Weite nicht gegeben ist, sondern statt dessen bloß der Scheitel, die Richtung der Axe und ein Punkt; oder der Scheitel und zwei Punkte; oder die Brennweite und drei Punkte; oder vier einzelne Punkte und dergl. mehr. Unter diesen zusammengesezteren Aufgaben scheint nur einer fuͤr den praktischen Arbeiter, insbesondere den Bauhandwerker, vorzuͤglich wichtig zu seyn, welcher also hier noch abgehandelt werden soll. Wenn naͤmlich (Fig. 10.) eine horizontale Linie QK vorgegeben ist, in welche der Scheitel einer Parabel fallen soll, und man uͤberdieß nur weiß, daß die Parabel durch die Punkte A und C gehen soll, welche in verschiedenen Tiefen Aa und Cc unter der Horizontale liegen (wie z.B. wenn zwischen den Widerlagen A und C ein unsymmetrisches parabolisches Gewoͤlbe zu machen waͤre, das seinen Scheitel zwischen a und c irgendwo in QK haben sollte); so kommt die Axe außer der Mitte zu stehen, und man muß also die Punkte D und S auffinden, damit man AD gleich DB machen und aus A, S und B die Parabel nach dem obigen so verzeichnen koͤnne, daß sie auch durch C geht. – Hier muß man nun zuerst durch A eine Horizontale legen, bis sie bei a' in die Senkrechte durch C eintrifft, und dann Aa ' in D gehoͤrig eintheilen. – Dieses gehoͤrige Eintheilen geschieht durch Rechnung, wenn man Aa ' nach der Gesellschaftsrechnung so eintheilt, daß sich AD und Da ' zu einander verhalten wie die Quadratwurzeln aus den Tiefen Aa und Cc; oder durch Zeichnung, wenn man die Tiefe Cc in die Verlaͤngerung der Senkrechten Aa nach ac ' traͤgt; dann Ac ' in m halbirt, und mit mA oder mc ' den Halbkreis beschreibt, der die Horizontale des Scheitels in n schneidet. Traͤgt man sodann an in die andere Senkrechte nach a'n' unter die Horizontale durch A, und zieht an '; so bestimmt der Durchschnitt den Punkt D. Sobald D gefunden ist, kann man den Scheitel S entweder durch bloßes Abloͤthen uͤber D bestimmen, oder man kann auch (was in der Figur nicht gezeichnet ist) an noch ein Mal uͤber Cc in die Hoͤhe tragen, und nach A eine gerade Linie ziehen, die dann durch S gehen muß. Will man endlich, ehe man mit Beschreibung des Lehrbogens fortfahrt, sich noch versichern, daß man die Zeichnung fuͤr die Axe gewiß richtig gemacht hat; so braucht man nur an unter A nach Ao, und unter C nach Cn zu tragen, und die drei (in der Figur punktirten) Linien oc, an und AC zu ziehen; welche sich alle drei in einem Punkt der Are schneiden muͤssen. ––––––––––––– Von dem Arbeiter, der seine parabolischen Lehrboͤgen selbst vorzuzeichnen versteht, koͤnnte man endlich noch verlangen, daß er auch die auf die Parabel winkelrechten Linien (Normalen) selbst zeichne, in welchen z.B. die Lagerfugen eines parabolischen Gewoͤlbes zu liegen kommen, wenn naͤmlich solche, wie gemeiniglich der Fall seyn wird, winkelrecht auf den Bogen verlangt werden. (Wer zu besonderen Zweken anders gestellte Lagerfugen verlangt, muß sie selbst vorschreiben.) Dazu dient nun folgende Regel: Man berechne sich zuerst, wie oben gezeigt worden ist, die Brennweite FS der Parabel (Fig. 11.). Soll nun in C eine Normale gezogen werden, so messe man die Tiefe Cc unter der Horizontale des Scheitels, mache Sc ' gleich Cc und nehme c'n gleich der doppelten Brennweite; so ist nC die Richtung der winkelrechten Lagerfuge durch C.