Das Cosinus-Pendel in seiner Anwendung bei Regulatoren und Tachometern. Mit Abbildungen. Ueber die Anwendung des Cosinuspendels. 1) Das Pendel Der Cosinusregulator (*1877 224 19) wird bei der weiten Verbreitung, welche er in der kurzen Zeit seines Bestehens erfahren hat, und dem allgemeinen Interesse, das ihm von Seiten technischer Autoritäten entgegengebracht worden ist, in Bezug auf Anordnung und Construction wohl jedem Techniker bekannt sein. Ein wenig anders als mit der inneren Einrichtung dürfte es sich dagegen mit der Wirkungsweise und den besonderen Eigenschaften verhalten, welche diesen Regulator auszeichnen. Zwar haben fast alle und namentlich die bedeutenderen technischen Zeitschriften theoretische Erörterungen und Darlegungen der Gesetze des Cosinuspendels und Cosinusregulators gebracht; allein diese Abhandlungen bestanden stets in umfangreichen, mathematischen Ableitungen mit vielen und zum Theil ziemlich verwickelten Formeln, welche ein eingehendes und zeitraubendes Studium erforderten, zu welchem wohl nur wenige Ingenieure Zeit und Muſse gefunden haben dürften. Denjenigen Fachgenossen nun, denen daran liegt, bedeutendere Neuerungen im Maschinenbau kennen zu lernen, welche aber bei der Vielseitigkeit des Gebietes nicht jeder Erfindung ein eigentliches Studium widmen können, wird es gewiſs erwünscht sein, eine kurze, klare und dabei doch erschöpfende Erklärung des Cosinusregulators zu erhalten. Das Charakteristische dieses Apparates besteht hauptsächlich darin, daſs seine zwei Pendel wesentlich andere Eigenschaften besitzen, d.h. nach wesentlich anderen und zwar einfacheren Gesetzen wirken als alle übrigen Rotationspendel. Aus weiter unten anzuführenden Gründen ist jenen Pendeln der Name „Cosinuspendel“ beigelegt worden. Der Erfinder des CosinusregulatorsDer Erfinder des Cosinusregulators ist bekanntlich Hr. Eduard Buſs in Firma: Buſs, Sombart und Comp. in Magdeburg. Derselbe hatte vor etwa 8 Jahren auch den nach ihm benannten Buſs'schen Regulator (1871 202 481) als Erstlingswerk erfunden, welchem ebenfalls ein eigenthümliches, mit dem Cosinuspendel jedoch nicht verwandtes Pendel zu Grunde liegt und der sich bis zum Erscheinen des Cosinusregulators eine Reihe von Jahren als der vollkommenste Centrifugalregulator behauptet hat. hat nun in neuester Zeit unter Zugrundelegung der nämlichen Cosinuspendel zwei weitere Apparate construirt, die hier ebenfalls beschrieben werden sollen und welche wohl geeignet sein dürften, das gleiche Interesse von Seiten der Techniker auf sich zu lenken, wie der bereits bekannte Cosinusregulator. Bevor wir jedoch zur Beschreibung jener beiden Apparate übergehen, soll erst eine kurze und einfache Darlegung der in den Cosinuspendeln auftretenden Gesetze gegeben werden. Ist ein fester Körper von beliebiger Gestalt A (Fig. 1) um eine horizontale Achse c drehbar, ist letztere in einer unveränderlichen Entfernung r mit einer Verticalen y starr verbunden und rotirt die horizontale Achse c gemeinschaftlich mit dem Körper A um die Verticale y, so bildet der Körper A ein rotirendes Pendel. Das in dem Watt'schen Regulator angewendete sogen, conische Pendel, welches aus einer Kugel und einer geraden Stange besteht, das in irgend einer Entfernung von der rotirenden Welle aufgehängt ist, wirkt, wenn das Gewicht der Stange unberücksichtigt bleibt, derart, als wäre das ganze Gewicht der Kugel im Mittelpunkt derselben concentrirt. Die an dem Pendel wirkende Centrifugalkraft ist dabei dem Kugelgewicht, dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit und dem Abstand des Kugelcentrums von der Rotationsachse proportional. Anders verhält es sich jedoch, wenn die Gestalt des Gewichtes wesentlich von der Kugel abweicht, oder wenn mehrere Gewichte durch entsprechende Arme mit einander verbunden sind und zusammen ein einziges rotirendes Pendel bilden. Ein solches Pendel zeigt im Allgemeinen ein anderes Verhalten und läſst sich nicht mehr durch ein einfaches conisches Pendel ersetzen. Es würde aber viel zu weit führen, wollten wir hier die Wirkungsweise aller möglichen zusammengesetzten Rotationspendel untersuchen. Wir müssen uns vielmehr darauf beschränken, dasjenige Pendel oder, besser gesagt, diejenige Klasse von Pendeln herauszugreifen, welche den hier zu behandelnden Apparaten zu Grunde gelegt sind. Fig. 1., Bd. 230, S. 459 Unter dem groſsen Vorrath von möglichen und denkbaren zusammengesetzten Rotationspendeln befindet sich nämlich eine Klasse, die der Cosinuspendel, welche in Betreff ihrer Wirkungsweise noch weit einfacher sind als das schlichte conische Pendel. Während bei letzterem, wie bereits erwähnt, die im Schwerpunkt angreifende Centrifugalkraft mit dem Abstand dieses Punktes von der Rotationsachse wächst, ist bei den in Rede stehenden Cosinuspendeln die ebenfalls im Schwerpunkt gemessene resultirende Centrifugalkraft von der Lage des Pendels vollständig unabhängig und für alle Pendellagen völlig gleich. Denkt man sich ein rotirendes Pendel, welches, wie in Fig. 2 angedeutet, aus einem homogenen Cylinder besteht, dessen geometrische Achse die Pendelachse bildet, so entspricht jedem in der oberen Pendelhälfte gelegenen Massentheilchen a1, a2, a3... ein analoges, der unteren Pendelhälfte angehöriges Massentheilchen b1, b2, b3..., dessen Centrifugalkraft derjenigen des ersten Theilchens a1, a2, a3... das Gleichgewicht hält, so daſs sich die Centrifugalkräfte aller Massentheilchen zu einer einzigen in der Achse c angreifenden Horizontalkraft P vereinigen lassen. Da überdies die Pendelachse durch den Schwerpunkt geht, so kann sich auch die Schwere des Pendels nur als verticaler Achsendruck äuſsern. Das ganze Pendel steht also in Bezug auf Drehung um die Achse c jederzeit im Gleichgewicht und zeigt, falls es allmälig um c gedreht wird, so daſs ein im Pendel liegender Radius ρ eine ganze Drehung um c vollzieht, nie das geringste Bestreben, diese Drehung zu unterstützen oder zu hindern, gleichviel welches auch die Geschwindigkeit sei, mit welcher das Pendel um die Verticale y rotirt. Daſselbe gilt auch dann noch, wenn der Cylinder A durch irgend einen homogenen Rotationskörper ersetzt und dessen geometrische Achse zur Pendelachse gemacht wird. In dem Gesagten liegt auch der Beweis dafür, daſs die Kugel des einfachen conischen Pendels sich so verhält, als wenn ihre ganze Masse im Mittelpunkt concentrirt wäre. Würde die Kugel nämlich noch um eine zweite durch den Kugelmittelpunkt gehende und zur Pendelachse parallele Achse drehbar sein, so hätte eine etwaige Drehung der homogenen Kugel um ihre Centralachse nicht den geringsten Einfluſs auf die an der Stange wirkenden Kräfte, und die Kugel würde auch keinerlei Bestreben zeigen, sich um diese Achse zu drehen; folglich wird auch nichts an den Kräften geändert, wenn die Kugel fest mit der Stange verbunden ist. Fig. 2., Bd. 230, S. 460 Wird nun mit dem cylindrischen Pendel A (Fig. 3) irgend ein Gewicht C fest verbunden, so wirkt das auf diese Weise entstandene Pendel genau so, als wäre der Cylinder A gar nicht vorhanden und als bestände das ganze Pendel nur aus dem Gewicht C. Ist das Gewicht C überdies von solcher Gestalt gewählt, daſs seine ganze Masse als im Schwerpunkte concentrirt betrachtet werden kann, dann wirkt das aus dem Cylinder A und dem Gewicht C zusammengesetzte Pendel genau wie ein einfaches conisches Pendel von dem Gewicht C und der Pendellänge l. Besteht aber die Umwandlung des Cylinders A darin, daſs man, anstatt einen Körper C hinzuzufügen, einen mit diesem identischen Körper C1 (Fig. 3) aus dem Cylinder herausschneidet, so entsteht ein Pendel, das sich genau gleich verhält wie ein conisches Pendel von dem Gewichte C und der Länge l, mit dem Unterschiede jedoch, daſs die in s1 angreifende Kraft nun in umgekehrtem Sinne wirkt, also nach innen gerichtet ist. Werden endlich mit dem cylindrischen Pendel A gleichzeitig beide vorhin angedeuteten Umwandlungen, das Hinzufügen eines Körpers C und das Herausschneiden eines identischen Körpers C1, vorgenommen und diese Operationen in solcher Weise ausgeführt, daſs die beiden Punkte s und s1 einander genau gegenüber liegen und gleiche Radien haben, so entsteht ein neues Pendel, dessen Wirkungsweise leicht zu verstehen ist. Fig. 3., Bd. 230, S. 461 Die von dem Körper C erzeugte, in s angreifende Centrifugalkraft ist, wenn das Pendel mit irgend einer bestimmten unveränderlichen Winkelgeschwindigkeit rotirt, dem Abstände p (des Punktes s von der Rotationsachse) proportional. Die von dem Fehlen des identischen Körpers C1 herrührende, in s1 angreifende Centripetalkraft dagegen ist für die nämliche unveränderliche Winkelgeschwindigkeit dem Abstande p1 proportional. Stellt daher p die in s wirkende Centrifugalkraft dar, so muſs p1 der in s1 angreifenden Centripetalkraft entsprechen. Nun wirken die Kräfte p und p1 an gleichen Hebelarmen k und k1 und sind beide bestrebt, das Pendel in gleichem Sinne zu drehen (in der Figur durch Pfeile angedeutet). Sie lassen sich daher durch eine einzige Kraft ersetzen, welche der Summe beider Kräfte p + p1 gleich ist und entweder im Punkte s nach auſsen oder im Punkte s1 nach innen wirkt. Nun ist die Linie p um das Stück e gröſser als der Aufhängeradius r, die Linie p1 dagegen um das gleiche Stück e1 kleiner als r, ihre Summe folglich 2r. Der Abstand r ist aber eine von dem Neigungs- oder Ausschlagwinkel φ des Pendels unabhängige unveränderliche Gröſse. Folglich muſs bei unveränderter Winkelgeschwindigkeit des Pendels auch die in dem Punkte s oder s1 gemessene resultirende Kraft unveränderlich und von dem Ausschlagwinkel φ unabhängig sein. Da der Schwerpunkt des ganzen Pendels in die gerade Verbindungslinie zwischen s und s1 fällt, so kann die in s oder s1 gemessene Resultirende auch durch eine im Schwerpunkts wirkende Horizontalkraft P ersetzt werden, welche sich zu p + p1 verhält wie Linie sc zur Linie zc und die folglich ebenfalls von der Pendellage unabhängig ist. Das Pendel gehört also in die bereits früher erwähnte Kategorie der Cosinuspendel. Da die Resultirende P eine für alle Pendellagen gleichbleibende Kraft ist, welche an dem Hebelarm h angreift, so ist der Werth Ph oder das Moment der Centrifugalkraft der Verticalen h und somit auch dem Cosinus des Ausschlagwinkels φ proportional. Diesem Umstände verdanken alle diejenigen Pendel, welche in ihrer Wirkungsweise mit dem vorliegenden übereinstimmen, den bereits erwähnten Namen „Cosinuspendel“. Werden gleichzeitig zwei cylindrische Körper C aus der einen Pendelhälfte A2 herausgenommen und mit der andern Pendelhälfte A1 an den gegenüber liegenden entsprechenden Stellen vereinigt, so entstehen zwei unveränderliche Resultirende, die sich zu einer einzigen ebenfalls unveränderlichen Horizontalkraft vereinigen lassen, welche im gemeinschaftlichen Schwerpunkt der beiden mit der Pendelhälfte A2 vereinigten Körper angreift. Ebenso gut lassen sich gleichzeitig drei, vier und mehr Cylinder und folglich auch Körper von beliebiger Gestalt von der einen Pendelhälfte A1 nach den gegenüber liegenden Stellen der andern Pendelhälfte A2 übertragen, und sie müssen stets wieder eine unveränderliche Resultirende erzeugen, die im gemeinschaftlichen Schwerpunkt der in A2 hinzugefügten Körper angreift und eine nach auſsen gerichtete Horizontalkraft ist. Wird auf diese Weise die ganze Pendelhälfte A1 entfernt und derart mit der andern Hälfte A2 verbunden, daſs ein Halbcylinder von doppelter Länge entsteht, so muſs die resultirende Centrifugalkraft, welche das Pendel um die Achse c zu drehen sucht, immer noch eine unveränderliche und im Schwerpunkt des ganzen Pendels angreifende Horizontalkraft sein. Besteht daher ein Rotationspendel aus einem homogenen halben Cylinder (wie A1 oder A2) und bildet die Cylinderachse auch die Aufhängeachse des Pendels, so ist der halbe Cylinder ein Cosinuspendel. Daſselbe gilt auch von der Hälfte irgend eines beliebigen homogenen Rotationskörpers, der von einer durch die Achse des Rotationskörpers gelegten Ebene in zwei Hälften getheilt wird. Pendel von dieser Form finden auch in den weiter unten beschriebenen Apparaten Anwendung. Die Rotationspendel des bekannten Cosinusregulators besitzen dagegen trotz ihrer übereinstimmenden Wirkungsweise eine wesentlich abweichende Gestalt und machen deshalb auch eine besondere Untersuchung erforderlich. In Fig. 4 seien df und eg zwei sich im Punkte c unter rechtem Winkel schneidende gerade Linien und die vier Abstände cd, ce, cf und cg gleich; ferner seien die Punkte d, e, f und g die Mittelpunkte von vier gleichen Kugeln 1 bis 4 und das ganze System bilde ein Rotationspendel, welches um die zu df und eg rechtwinklige Achse c drehbar ist und um die Verticale y rotirt. Werden nun die in den 4 Kugeln auftretenden Centrifugalkräfte durch ihre Abstände von der Rotationsachse y, d.h. durch die Linien p1 bis p4 dargestellt, während die Verticalen k1 bis k4 die zugehörigen Hebelarme sind, so ergeben sich folgende Beziehungen. Fig. 4., Bd. 230, S. 463 Die in den Gewichten 1 und 3 wirkenden Centrifugalkräfte suchen das Pendel in verschiedenem Sinne zu drehen und erzeugen daher in f eine Resultirende, welche der Differenz p3 – p1 oder der Linie 2 m gleich ist. Die von den Gewichten 2 und 4 erzeugte, in e gemessene Resultirende ist aus analogen Gründen gleich dem Unterschiede p2 – p4 oder gleich der Linie 2n. Das von den Gewichten 1 und 3 erzeugte Moment wird, da 2m die an dem Hebelarm k3 wirkende Kraft ist, von einem Rechteck dargestellt, das doppelt so groſs ist als mk3. Ebenso entspricht das Rechteck nk2 dem halben von den Kugeln 2 und 4 hervorgebrachten Moment. Die beiden Rechtecke mk3 und nk2 sind, wie aus der Figur leicht ersichtlich ist, identisch und stellen daher auch gleiche Momente dar, welche, weil in umgekehrtem Sinne wirkend, einander das Gleichgewicht halten. Das beschriebene Rotationspendel steht folglich ebenso gut wie das in Fig. 2 dargestellte cylindrische Pendel in jeder Lage und für jede Winkelgeschwindigkeit im Gleichgewicht. Wird nun die Kugel 1 entfernt und mit 3 vereinigt, so bildet das umgewandelte System wieder ein Pendel, das sich so verhält, als wäre in 3 eine Kugel mit nach auſsen gerichteter Kraft p1 und in 1 eine Kugel mit nach innen gerichteter Kraft p1 vorhanden. Das Pendel muſs daher ebenso gut wie das in Fig. 3 dargestellte ein Cosinuspendel sein. Verlegt man gleichzeitig die Kugeln 1 und 2 nach 3 und 4, so treten bei gleichbleibender Geschwindigkeit in f und g zwei gleiche und unveränderliche Kräfte p1 + p3 und p2 + p4 auf, welche durch eine einzige im Schwerpunkt angreifende constante Kraft ersetzt werden können. Auf diese Weise wird ein Cosinuspendel erzeugt, das aus zwei gleichen Gewichten besteht, welche an zwei gleichen, unter rechtem Winkel stehenden Armen befestigt sind. In dem Pendel Fig. 4 lassen sich aber ohne Aenderung des Gleichgewichtszustandes zwei gegenüberliegende Arme, z.B. die den Gewichten 1 und 3 angehörigen, gleichmäſsig verkürzen oder verlängern, insofern nur die zugehörigen Gewichte entsprechend vergröſsert oder verkleinert werden. Würden die Arme von 1 und 3 beispielsweise auf die Hälfte oder den dritten Theil ihrer ursprünglichen Länge reducirt, so müſste dementsprechend nicht allein die Kraft p3 – p1 sondern auch der Hebelarm k3 je zwei- oder dreimal kleiner ausfallen; das Moment würde folglich bei gleichbleibenden Gewichten auf den vierten oder neunten Theil herabgezogen. Um den Gleichgewichtszustand wieder herbeizuführen, ist folglich bei Verkürzung der Arme auf die Hälfte eine Vervierfachung, bei Verkürzung auf ein Drittel eine neunfache Vergröſserung der Gewichte erforderlich. Besitzen die an den veränderten Hebelarmen befestigten Gewichte aber gerade diejenige Gröſse, bei der für alle Pendellagen Gleichgewicht besteht, so kann das Pendel wieder in ein Cosinuspendel verwandelt werden und zwar dadurch, daſs man zwei benachbarte Gewichte, z.B. 1 und 2, entfernt und jedes derselben mit dem gegenüberliegenden Gewicht vereinigt, oder auch dadurch, daſs man zwei benachbarte Gewichte einfach gänzlich wegfallen läſst. Auf diese Weise gelangt man endlich zu demjenigen Pendel, welches im Cosinusregulator zur Anwendung kommt und das aus zwei einfachen Pendeln zusammengesetzt ist, welche mit einander einen rechten Winkel bilden und deren Gewichte sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate ihrer Pendelarme. Nach dem Gesagten ist die von den Centrifugalkräften der zwei Gewichte dieses Pendels erzeugte resultirende Horizontalkraft, welche im Schwerpunkt angreift und das Pendel um seine Aufhängeachse zu drehen sucht, nur von der Winkelgeschwindigkeit, nicht aber von der Lage des Pendels abhängig. Diese Kraft ist vielmehr für irgend eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit für alle nur denkbaren Pendellagen innerhalb einer ganzen Umdrehung völlig gleich. Dagegen steigt und sinkt sie mit der Winkelgeschwindigkeit und ist dem Quadrat derselben proportional. Es mag hier noch bemerkt werden, daſs die Centrifugalkraft der Gewichte auſser der im Schwerpunkt angreifenden, von der Pendellage unabhängigen Kraft noch einen horizontalen Achsendruck erzeugt, welcher von der Pendellage abhängt und der Entfernung des Schwerpunktes von der Rotationsachse proportional ist. Dieser Achsendruck hat aber nur Einfluſs auf die von dem Pendel erzeugte Reibung.