Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. Von Prof. W. J. Albitzky. (Fortsetzung der Abhandlung S. 178 d. Bd.) Mit Abbildungen. Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. II. Abschnitt: Verzahnung von Cycloidenrädern. 1) Fall der Aussenverzahnung von Cycloidenrädern. Es seien (Fig. 7) Kt und K_{1^t} die Theilkreise, Kk und K_{1^k} die Kopfkreise, welch letztere behufs Verallgemeinerung der Lösung in ungleichen Abständen x und x1 von den betreffenden Theilkreisen gezogen sind. Nimmt man die mit willkürlichen Halbmessern r und r1 gezogenen, sich im Berührungspunkte b der Theilkreise berührenden Kreise F und F1 als erzeugende Cycloidenkreise an, so wird die innerhalb der Theilkreise liegende Bogenstrecke abc dieser Kreise bekanntlich als Eingrifflinie der durch Cycloidencurven begrenzten Zähne dienen, vorausgesetzt, dass die ganze Zahnkopflänge in Verzahnung eingeht. Construiren wir nun zwei Zähnepaare, deren gegenseitige Berührung in den Endpunkten a und c der Eingrifflinie erfolgt. Das zwischen den Zähnen Z und Zn liegende Bogenstück AA1des Theilkreises wird alsdann als Eingriffbogen dienen. Durch Betrachtungen, wie wir solche im 1. Theil des I. Abschnittes angestellt, ist es nicht schwer, zum Schlusse zu gelangen, dass die Bedingung der Möglichkeit einer steten Verzahnung von n Zähnepaaren, ähnlich wie bei der Verzahnung von Evolventenrädern, durch die Gleichung ausgedrückt werden kann: ⌢ AA1 = np, welche wir, wie früher, als Bedingung der Gleichmässigkeit des Ganges der Räder bezeichnen werden. Textabbildung Bd. 288, S. 201 Fig. 7. Da nun der die Zähne begrenzende Bogen Aa einer Hypocycloide, erhalten durch gleitfreies Hinrollen des Kreises F1 auf der Innenseite des Kreises K_{1^t}, der Bogen A1c auf dem Zahn Zn einer Epicycloide, erhalten durch gleitfreies Hinrollen des Kreises F auf der Aussenseite des nämlichen Kreises, angehört, so ist offenbar: ⌢ ab = ⌢ Ab; ⌢ bc = ⌢ bA1 und daher auch: ⌢ abc = ⌢ AA1 . . . . . . . . . . 47) d.h. dass der Eingriffbogen der Eingrifflinie gleich ist. Wenn wir daher, wie früher, die Eingrifflinie mit σ bezeichnen, so kann die Gleichmässigkeitsbedingung in folgender Weise geschrieben werden: σ = np . . . . . . . . . . 48) Zur Ermittelung der Zähnezahl aus der Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung verbinden wir die Endpunkte a und c des Eingriffbogens mit den entsprechenden Mittelpunkten O' und O der erzeugenden Kreise; wir haben alsdann: ⌢ ab = r1ϕ1 und ⌢ bc = rϕ und daher: σ = rϕ + r1ϕ1 . . . . . . . . . . 49) Zur Bestimmung von ϕ und ϕ1 verbinden wir die Punkte a und c entsprechend mit den Mittelpunkten C und C1 der Theilkreise. Aus den Dreiecken ao1C und coC1 haben wir alsdann: (R + x)2 = (R + r1)2 + r12 – 2(R + r1) r1 cos ϕ1 (R1 + x1)2 = (R1 + r)2 + r2 – 2(R1 + r) r cos ϕ oder, nach Kürzung: x\,(2\,R+x)=2\,r_1\,(R+r_1)\,(1-cos\,\varphi_1)=4\,r_1\,(R+r_1)\,sin^2\,\frac{\varphi_1}{2} x_1\,(2\,R_1+x_1)=2\,r\,(R_1+r)\,(1-cos\,\varphi)=4\,r\,(R_1+r)\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} woraus: \left{{sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{x_1\,(2\,R_1+x_1)}{4\,r\,(R_1+r)}}}\atop{sin\,\frac{\varphi_1}{2}=\sqrt{\frac{x\,(2\,R+x)}{4\,r_1\,(R+r_1)}}}}\right\}.\ .\ .\ 50) Nach Ermittelung der Werthe von ϕ und ϕ1 aus diesen Gleichungen und deren Einführung in die Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung würden wir ganz genaue Gleichungen zur Bestimmung der Zähnezahlen bei Cycloidenrädern erhalten. Nun sind aber diese Gleichungen, als transcendente, mit den bekannten Mitteln nicht aufzulösen; wir wollen daher zur Aufstellung des algebraischen Ausdruckes für die Gleichmässigkeitsbedingung vorerst einige Annahmen machen. Aus der Differentialrechnung ist bekannt, dass man den Sinus eines beliebigen Winkels a durch folgende Reihe ausdrücken kann: sin\,\alpha=\alpha-\frac{1}{1\,.\,2\,.\,3}\,\alpha^3+\frac{1}{1\ .\ .\ .\ .\,5}\,\alpha^5-\frac{1}{1\ .\ .\ .\ .\,7}\,\alpha^7 . . . . . . . . . . 51) in welcher α den in Theilen des Halbmessers ausgedrückten Bogen bedeutet. Ist der Bogen α < 1 und also der ihm zugehörige Winkel kleiner als 57°, so wird unsere Reihe rasch convergiren und kann daher mit einer für praktische Zwecke hinreichenden Genauigkeit durch einige der ersten Glieder ersetzt werden. Zerlegen wir sin\,\frac{\varphi}{2} und sin\,\frac{\varphi_1}{2} nach 51) in Reihen und nehmen wir dabei an, dass sowohl \frac{\varphi}{2}, als auch \frac{\varphi_1}{2} kleiner als 57° sind; dann kann, wenn wir uns bei der Rechnung mit den ersten zwei Potenzen der Bogen beschränken, angenommen werden: sin\,\frac{\varphi}{2}=\frac{\varphi}{2} und sin\,\frac{\varphi_1}{2}=\frac{\varphi_1}{2} Unter Zugrundelegung dieser Annahme kann die Gleichmässigkeitsbedingung 48) in folgender Weise geschrieben werden: n\,p=\sqrt{\frac{x_1\,r\,(2\,R_1+x_1)}{(R_1+r)}}+\sqrt{\frac{x\,r_1\,(2\,R+x)}{(R+r_1)}} . . . . . . . . . . 52) Der erste Wurzelwerth ergibt die Grösse des innerhalb des kleineren Rades gelegenen Theiles des Eingriffbogens, der zweite die des innerhalb des grösseren Rades gelegenen Theiles dieses Bogens. Von den beiden Winkeln ϕ und ϕ1 besitzt der Winkel ϕ im kleineren Rade stets einen grösseren Werth, wobei der maximale Werth bei k = ∞ und dem Gleichmässigkeitsgrade n = 1 erreicht wird. Zur Benutzung der Gleichmässigkeitsbedingung 52) ist es erforderlich, dass selbst in diesem Falle der Winkel ϕ kleiner als 114° wäre, was eben dann erfüllt wird, wenn auf dem kleineren Rade nicht weniger als vier Zähne vorhanden sind. Es ist in der That nicht schwer, sich rechnerisch davon zu überzeugen, dass bei Cycloidenrädern der innerhalb des grösseren Rades liegende Theil ab des Eingriffbogens stets grösser ist als der innerhalb des kleineren Rades liegende Theil bc dieses Bogens. Nun ist aber bei n = 1: ⌢ AA1 = p woraus folgt, dass: \frown\,b\,c=\frown\,A_1\,b\,<\,\frac{p}{2} Um die Zahnfüsse nicht zu schwach ausfallen zu lassen, nimmt man gewöhnlich die erzeugenden Cycloidenkreise nicht grösser als die Hälfte der betreffenden Theilkreise; es ist daher: ∢ b\,C\,c\,\leq\,\frac{\varphi}{2} Aus diesem Grunde ist die Möglichkeit der obigen Annahme an die Bedingung gebunden, dass: ∢ bCc < 57° und ⌢ A0b (in Theilen des Halbmessers ausgedrückt) < 1 Wenn wir die Zähnezahl des kleineren Rades durch m bezeichnen, so kann auf Grund dieser Ungleichheiten geschrieben werden: \frac{m\,p}{\frown\,A_0\,b}\,>\,\frac{2\,\pi}{1} oder m\,>\,2\,\pi\,.\,\frac{\frown\,A_0\,b}{p} Da nun: \frown\,A_0\,b\,<\,\frac{p}{2} so ist offenbar: m ≧ 4 die Bedingung dafür, dass man den Sinus der Winkel ϕ und ϕ1 durch den Bogen dieser letzteren ersetzen und daher die Gleichmässigkeitsbedingung 52) benutzen kann. Dieser Ausdruck kann nach Einführung des Uebersetzungsverhältnisses k, bei x = εp, x1 = εp1, unter Benutzung der Identitätsgleichungen: mp = 2πR kmp = 2πR1 zur Gestalt gebracht werden: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{k\,m+\pi\,\varepsilon_1}{\frac{R_1}{r}+1}}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,\frac{m+\pi\,\varepsilon}{\frac{R}{r_1}+1}} . . . . . . . . . . 53) Neben dem Zeichen der Gleichheit findet sich hier auch das Zeichen der Ungleichheit aus den nämlichen Gründen wie bei den Evolventenrädern angeführt. Sind die erzeugenden Kreise halb so gross wie die betreffenden Theilkreise – ein Fall, den man in den meisten Ausführungen von Cycloidenrädern antrifft –, so nimmt die Gleichmässigkeitsbedingung die Gestalt an: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{k\,m+\pi\,\varepsilon_1}{2\,k+1}}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,\frac{(m+\pi\,\varepsilon)\,k}{k+2}} . . . . . . . . . . 54) Es ist leicht nachzuweisen, dass im vorliegenden Fall der Ersatz der Sinus durch deren Bögen einem Ersatz der Bögen ab und bc durch deren Sehnen gleich kommt. Wenn wir daher die Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung 48) durch die Bedingungsgleichung 52) ersetzen, so wird der rechtsstehende Theil kleiner als der linksstehende; daraus folgt nun, dass die aus den Bedingungen 53) und 54) bestimmten Werthe für die Zähnezahlen grösser sind als die wahren, wodurch jedoch nur eine Vergrösserung der Gleichmässigkeit des Ganges bedingt wird. Aus der Gleichung 53) ist zu ersehen, dass je grösser die Halbmesser der erzeugenden Kreise angenommen werden, desto kleiner die Zähnezahl wird, welche dem erforderlichen Gleichmässigkeitsgrad entspricht. Nun werden aber, wie bereits erwähnt, die genannten Kreise behufs Vermeidung einer Schwächung der Zahnfüsse nie grösser als die Hälfte der entsprechenden Theilkreise gemacht. Die minimale Zähnezahl wird daher denjenigen Rädern zukommen, bei welchen die erzeugenden Kreise der Cycloiden halb so gross sind als die entsprechenden Theilkreise, d.h. die aus der Gleichung 54) zu bestimmende Zähnezahl. Abgesehen von der Leichtigkeit der Zeichnung und der fabrikmässigen Anfertigung von solchen Rädern, dient die eben gegebene Ableitung als neuer und trefflicher Beweis zu Gunsten der in der Praxis üblichen Gepflogenheit, die erzeugenden Kreise halb so gross als die entsprechenden Theilkreise anzunehmen. Von einer derartigen Dimensionirung der erzengenden Kreise muss nur in solchen Fällen abgesehen werden, wenn mit einem und demselben Rade mehrere andere in Verzahnung zu bringen sind, wie das z.B. bei Anfertigung von Rädersätzen der Fall ist. Hier müssen sämmtliche erzeugende Kreise unter sich und ausserdem der Hälfte des kleinsten der Theilkreise gleich sein, d.h.: r_1=r=\frac{R}{2} Wenn diese Bedingung in die Gleichmässigkeitsgleichung 53) eingeführt wird, so gelangt diese zur Gestalt: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\left(\frac{k\,m+\pi\,\varepsilon_1}{2\,k+1}\right)}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,\left(\frac{m+\pi\,\varepsilon}{3}\right)} . . . . . . . . . . 55) Unter Zugrundelegung der Gleichungen 53) bis 55) kann bei gegebenen Grössen von z, z1 und n für jedes Uebersetzungsverhältniss k die entsprechende Zähnezahl m gefunden werden. Bei k = ∞ geben die Wurzeln Unbestimmtheiten von der Gestalt \frac{\infty}{\infty}, welche entweder unter Benutzung der Regeln der Differentialrechnung oder durch Division im Zähler und Nenner der unter Wurzelzeichen stehenden Brüche durch k und nachträgliches Einsetzen von k = ∞ mit Leichtigkeit erschlossen werden können. Die Gleichungen 52) bis 55) wurden unter der Voraussetzung abgeleitet, dass die ganze Zahnkopflänge in beiden Rädern unbedingt in Verzahnung eingeht. Aus der Art der Erzeugung der zu betrachtenden Zahnprofile ist es nun nicht schwer einzusehen, dass diese Voraussetzung immer Platz finden wird; daraus folgt, dass man die genannten Gleichungen ohne weiteres in allen Fällen benutzen kann. Aus diesen Gleichungen wurden die Zahlen der Tabelle III berechnet, welche am Schluss dieses Abschnittes angeführt ist, und zwar: Columnen 2, 6 und 10 aus Gleichung 54). Columnen 3, 7 und 11 aus Gleichung 55). 2) Fall der Innenverzahnung von Cycloidenrädern. Bei der Aufstellung der Gleichmässigkeitsbedingung für den Fall der Innenverzahnung von Cycloidenrädern müssen vor allem folgende Umstände in Betracht gezogen werden. Da der kleinere Theilkreis innerhalb des grösseren zu liegen kommt, so werden die Zahnköpfe des grösseren Rades innerhalb, die Zahnlücken dagegen ausserhalb des Theilkreises liegen. Da ferner sowohl die Zahnköpfe des einen, als auch die Zahnfüsse des anderen Rades durch Cycloiden begrenzt sein müssen, welche durch einen und denselben Kreis erzeugt sind, so müssen offenbar die erzeugenden Kreise liegen: der eine innerhalb, der andere ausserhalb der Theilkreise. Der erste erzeugende Kreis muss hierbei offenbar kleiner sein als der kleinere Theilkreis, da er solche Curven zu erzeugen hat, welche, bei Abwälzung der beiden Grundkreise auf einander, sich gegenseitig berühren können. Im anderen Falle würde der genannte Kreis erzeugen: beim Abrollen auf demgrösseren Theilkreise eine Hypocycloide, beim Abrollen auf dem kleineren Theilkreise eine Pericycloide. Von diesen wird die erste innerhalb des grösseren Theilkreises, die zweite ausserhalb dieses Kreises liegen; es werden daher diese Curven einander nicht berühren können. Um den Zahnfuss des kleineren Rades nicht zu schwach ausfallen zu lassen, muss der Durchmesser des inneren erzeugenden Kreises nicht grösser als der Halbmesser des kleineren Rades sein; dagegen kann der Durchmesser des äusseren erzeugenden Kreises beliebig gross genommen werden. Des öfteren wird dieser Durchmesser gleich dem Halbmesser des grösseren Rades angenommen. Nach diesen einleitenden Bemerkungen können wir nun zur Aufstellung der Gleichmässigkeitsbedingung schreiten. Textabbildung Bd. 288, S. 202 Fig. 8. Es seien (Fig. 8) Kt und K_{1^t} die Theilkreise, Kk und K_{1^k} die Kopfkreise, F und F1 die erzeugenden Kreise, welche mit den Halbmessern r und r1 in der soeben erörterten Weise construirt sind. Wenn der ganze Zahnkopf befähigt ist, in Verzahnung einzugehen, so wird als Eingrifflinie der innerhalb der Kopf kreise eingeschlossene Theil abc der erzeugenden Kreise und als Eingriff bogen der Bogen AA1 des Theilkreises Kt, welcher zwischen den durch die Endpunkte a und c der Eingrifflinie gelegten Zähnen Z und Zn eingeschlossen ist, dienen. Sollen n Zähnepaare in stete Verzahnung eingehen, so muss offenbar der Bedingung entsprochen werden: ⌢ AA1 = np welche wir daher als Gleichmässigkeitsbedingung bezeichnen werden. Aus der Constructionsweise der Zahnprofile ist leicht zu ersehen, dass: ⌢ AA1 = ⌢ abc = rϕ + r1ϕ1 Zur Bestimmung der Winkel ϕ und ϕ1 verbinden wir die Punkte a und c entsprechend mit den Mittelpunkten C1 und C; aus den hierbei erhaltenen Dreiecken aoC1 und co1C haben wir: (R1 – x1)2 = (R1 – r)2 + r2 + 2r (R1 – r) cos ϕ (R + x)2 = (R + r1)2 + r12 – 2r1 (R + r1) cos ϕ1 oder: x_1\,(x_1-2\,R_1)=2\,r\,(r-R_1)\,(1-cos\,\varphi)=4\,r\,(r-R_1)\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} x\,(x+2\,R)=2\,r_1\,(r_1+R)\,(1-cos\,\varphi_1)=4\,r_1\,(r_1+R)\,sin^2\,\frac{\varphi_1}{2} woraus: sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{x_1\,(x_1-2\,R_1)}{4\,r\,(r-R_1)}} sin\,\frac{\varphi_1}{2}=\sqrt{\frac{x\,(x+2\,R)}{4\,r_1\,(r_1+R)}} Wenn wir dahin übereinkommen, die Zähnezahl des kleineren Rades nicht kleiner als 4 zu machen, so wird, wie im ersten Theil dieses Abschnittes gezeigt wurde, der Winkel ϕ 114° nicht erreichen können; es können daher in diesem Falle an Stelle der Sinus die entsprechenden Bögen der Winkel genommen werden, d.h.: \varphi=\sqrt{\frac{x_1\,(x_1-2\,R_1)}{r\,(r-R_1)}} und \varphi_1=\sqrt{\frac{x\,(x+2\,R)}{r_1\,(r_1+R)}} Tabelle III der minimalen Zähnezahlen für den Fall der Aussenverzahnung von Cycloidenrädern. Textabbildung Bd. 288, S. 203 Uebersetzungsverhältniss k; Zähnezahl (m) des kleineren Rades unter der Bedingung, dass in steter Verzahnung sich befinden; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaare; Drei Zähnepaare Unter dieser Annahme und nach Einführung der Werthe von x = εp und x1 = ε1p, des Uebersetzungsverhältnisses k=\frac{R_1}{R} und der Zähnezahl m des kleineren Rades wird die oben gefundene Gleichmässigkeitsbedingung die Gestalt erhalten: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\left(\frac{k\,m-\pi\,\varepsilon_1}{\frac{R_1}{r}-1}\right)}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,\left(\frac{m+\pi\,\varepsilon}{\frac{R}{r_1}+1}\right)} . . . . . . . . . . 56) Das Zeichen der Ungleichheit ist hier aus den nämlichen Gründen eingeführt, wie bei dem Falle der Aussenverzahnung. Wie bei dem Falle der Aussenverzahnung, so auch hier ergibt der zur Aufstellung der Gleichung 56) führende Ersatz von sin\,\frac{\varphi}{2} und sin\,\frac{\varphi_1}{2} durch deren entsprechende Bögen für die Zähnezahlen Werthe, welche etwas grösser sind als die wahren, wodurch die Gleichmässigkeit des Räderganges nur noch grösser ausfällt. Aus der Gleichung 56) ist zu ersehen, dass je grösser die Halbmesser der erzeugenden Kreise werden, desto kleiner die Zahl der Zähne, welche zur Erreichung eines vorgeschriebenen Gleichmässigkeitsgrades erforderlich ist. Nun kann man aber diese Kreise nicht grösser als die Hälfte der Grundkreise machen, da sonst die Zahnfüsse des kleineren Rades zu schwach ausfallen würden. Die minimalen Zähnezahlen werden daher bei solchen Bädern zu erhalten sein, bei welchen die erzeugenden Kreise halb so gross sind als die entsprechenden Theilkreise. Wenn man annimmt, dass: r=\frac{R}{2} und r_1=\frac{R_1}{2} so nimmt die Gleichmässigkeitsbedingung 56) die Gestalt an: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{k\,m-\pi\,\varepsilon_1}{2\,k-1}}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,\frac{(m+\pi\,\varepsilon)\,k}{k+2}} . . . . . . . . . . 57) Sollen mit einem und demselben Rade mehrere andere verzahnt werden, so müssen in diesem Falle die erzeugenden Kreise bei allen Rädern unter sich gleich und halb so gross sein als der Theilkreis des betreffenden Rades. Wenn wir annehmen, dass: r=r_1=\frac{R}{2} so nimmt die Gleichmässigkeitsbedingung 55) die Gestalt an: n\,\leq\,\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{k\,m-\pi\,\varepsilon_1}{2\,k-1}}+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi}\,.\,\frac{m+\pi\,\varepsilon}{3}} . . . . . . . . . . 58) Aus der Erzeugungsart der Zahnprofile ist es ohne weiteres klar, dass die ganze Zahnkopflänge in beiden Rädern in Verzahnung eingehen wird; es können daher die Gleichungen 56) und 58) in allen Fällen, ohne Ausnahme, benutzt werden. Unter Zugrundelegung von bestimmten Werthen für ε und ε1 und den Gleichmässigkeitsgrad n kann aus diesen Gleichungen für jede Grösse von k die entsprechende Zähnezahl m ermittelt werden. So wurden auch die Zahlen der obenstehenden Tabelle III berechnet, und zwar: Columnen 4, 8 und 12 aus Gleichung 57), Columnen 5, 9 und 13 aus Gleichung 58). Diese Tabelle zeigt, dass die in der Praxis angenommene Grösse der Zahnkopflänge: x = 0,3p vollkommen berechtigt erscheint. In solchen Fällen, wo mit einem gusseisernen Rade ein hölzernes zu verzahnen ist, werden die Zahnkopflängen verschieden gemacht; es werden nämlich die hölzernen Zähne mit kleineren Köpfen als die gusseisernen ausgestattet. (Schluss folgt.)