Ueber die Grundlagen der mechanischen Wärmetheorie. Von Rudolf Mewes. Ueber die Grundlagen der mechanischen Wärmetheorie. Die Grundlage der mechanischen Wärmetheorie bilden ausser dem ersten Hauptsatz dQ = cvdT + Apdv = cpd T      1) worin Q die zugeführte Wärmemenge, T die Temperatur, p die Spannung in Atmosphären, v das spezifische Volumen, A=\frac{1}{424} das kalorische Aequivalent der Arbeitseinheit, cp die spezifische Wärme bei konstantem Druck und c0 die spezifische Wärme bei konstantem Volumen ist, das Wärmespannungsgesetz, d.h. das vereinigte Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz oder die Clapeyron'sche Zustandsgleichung, ferner die Poisson'sche Formel und das von Mallard und Lechatelier aufgestellte Gesetz über die Veränderung der spezifischen Wärme mit steigender Temperatur. Die Formeln, durch welche diese Gesetze wiedergegeben werden, lauten in der herkömmlichen Fassung pv = R T (Clapeyron'sche Formel)     2) p vk = p0 v0k (Poisson'sche Formel)    3) und cp= ap + b T, cv = av + b T               4) (Formel von Mallard und Lechatelier). Der erste Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie ist durch die experimentelle Forschung als richtig und unantastbar nachgewiesen worden, während für die drei letztgenannten Formeln dies nicht der Fall ist. Im Gegenteil ist gerade an der Clapeyron'schen Zustandsgleichung von so bedeutenden Kennern der mechanischen Wärmetheorie wie Clausius, van der Waals und Dühring, und zwar nicht mit Unrecht gerüttelt, und damit zugleich auch die Gültigkeit der Poisson'schen Gleichung in Frage gestellt worden. Da die jüngsten Thermodynamiker, wie Prof. Schöttler, Stodola u.a., in ihren Werken bei der Entwickelung der thermodynamischen Formeln im Gegensatz zu den früheren Maschineningenieuren die genaueren Formeln, beispielsweise für die spezifische Wärme, zu berücksichtigen angefangen haben, so dürfte es zeitgemäss sein, die oben angeführten Grundformeln pv = RT                                            2) pvk= p0v0k                                       3) cp = ap + b T, cv = av + b T              4) auf ihre Richtigkeit hin zu prüfen und, soweit sie sich als nicht stichhaltig erweisen, über Bord zu werfen und, wenn möglich, durch besser gesicherte Formeln zu ersetzen. Erst dann, wenn die Grundlagen sicher gelegt sind, lassen sich aus dem ersten Hauptsatz die für die theoretische Maschinenlehre so überaus wichtigen thermodynamischen Arbeitsgleichungen mit genügender Strenge ableiten und mit den Thatsachen übereinstimmende Zahlenwerte für den Wirkungsgrad bei verschiedenem Arbeitsverfahren ermitteln. Die Clapeyron'sche Form der Zustandsgleichung der Gase wurde unabhängig von van der Waals und Dühring abgeändert und mit den Beobachtungen in Einklang zu bringen versucht. Der letztere beabsichtigte, durch seine Untersuchungen in der zweiten Folge der „Neuen Grundgesetze zur rationellen Physik und Chemie“ eine allgemeine, für den festen, flüssigen und gasförmigen Aggregatzustand gültige Zustandsgleichung abzuleiten, und ging mit Recht von dem Spannungsgesetze der Gase aus, da ja das Verhalten der Gase gegen Druck- und Temperaturänderungen sowohl in der Physik und Chemie, wie auch in der Maschinentechnik eine grundlegende Bedeutung besitzt. Nach ihm ist die Temperatur als Spannungsfaktor in technischem Sinne und demnach die Spannung als eine Grösse anzusehen, die man als durch Multiplikation einer Konstanten mit der Temperatur entstanden denken kann. Da die Ausführungen Dühring's ausserordentlich kurz und klar sind und darauf weiter gefusst werden soll, so lasse ich den Kern seines Gedankenganges nachstehend folgen: „Setzt man, um vorläufig die Formeln noch nicht in unserem neuen Sinne abzuändern, p v1 = R T, also den gewöhnlichen Ausdruck des Druck- und Ausdehnungsgesetzes, so entspricht dem sachlichen, von uns ins Auge gefassten Begriff p=\frac{R}{v_1}\,.\,T als signifikante Gestalt der Gleichung. Hierbei ist v1 ein bestimmtes und konstant bleibendes Volumen und daher \frac{R}{v_1} jene Konstante, zu der die Temperatur als Faktor hinzutritt. Die Konstante R ist p1v1, wenn man mit p1 die Spannung bei 1° absoluter Temperatur bezeichnet, und hiernach bleibt p = p1 T als reduzierteste Gestalt und als einfachster analytischer Ausdruck für unsere sachliche Vorstellungsart übrig. Die Erklärung der Temperatur für einen statischen Kraftfaktor ist mithin nur die Heraushebung dessen, was sachlich und begrifflich entscheidet, aus dem experimentellen Zusammenhang und aus den analytischen Verbindungen. Es sei hierzu noch bemerkt, wie wir den Satz vom Zwischenvolumen im Hinblick auf die Proportionalität von p und T nicht anzuwenden nötig hatten, weil, wenn das Molekülvolumen x konstant bleibt, auch das Zwischenvolumen u, da es gleich v – x ist, v aber ebenfalls als konstant vorausgesetzt wird, selber konstant bleiben muss, und daher Folgerungen aus einer Veränderung nicht in Frage kommen. Anders hätte es sich verhalten, wenn wir für das Bereich der Grenzzustände den Satz v = v1 T abgeleitet hätten. Dieser ist auch dort nur eine Annäherungsgleichung, die durch die exakte Gleichung des Zwischenvolumens v – x = (v1 – x) T oder kürzer u = u1T ersetzt werden muss. Soll das Zwischenvolumen, d.h. das Volumen nach Abzug des von den Molekülen eingenommenen Volumens, als v – x oder kürzer u, auch für Flüssigkeiten und feste Körper als Spielraum der statischen Wärmekraft massgebend sein, so muss man sich eine bestimmte Vorstellung davon machen, was hier der Wärmespannung entgegengesetzt sei. Bei den Gasen im Grenzzustande ist es fast nur äusserer Druck; bei Flüssigkeiten und festen Körpern hat aber die Wärmespannung in ihrem Ausdehnungsbestreben ein Zusammenhalten der Moleküle mit sich selbst aufzuwiegen. . . . Das statische Verhältnis haben wir uns nun ähnlich wie bei den Gasen zu denken, nur dass wir den Zug oder, wenn man will, den inneren Druck π an Stelle des äusseren Druckes p massgebend machen. Statt des Produkts p (v – x) oder p u erhalten wir daher für Flüssigkeiten und feste Körper π u oder, wenn wir den inneren Zug z noch von dem äusseren Druck p unterscheiden wollen und demgemäss in ti noch die kleine Grösse p mit enthalten sein lassen, (p + z) u als dasjenige Produkt, welches dem ursprünglichen pv des Mariotte'schen Gesetzes bei Gasen analog ist. Wollten wir nun aber diesem Produkt die herkömmliche, dem Gay-Lussac'schen Gesetze entsprechende Temperaturfunktion RT gleichsetzen, wie man es bisher in allen Zustandsgleichungen der Gase und der Grenzübergänge zur Flüssigkeit gethan hat, so würden wir nichts ausrichten. Es ist nämlich R in den fraglichen Gleichungen als Konstante eingeführt, während es in Wahrheit keine sein darf. Nach den bisherigen unrichtigen Voraussetzungen musste R nicht nur gleich π1u1, d.h. gleich dem Werte von πu für 1° absoluter Temperatur, sondern dieser Wert auch eine konstante Grösse sein. Nun ist aber nicht bloss, wie man weiss, R von einem Stoff zum andern keine Konstante, sondern auch, wie die Physiker bisher nicht berücksichtigt haben, innerhalb der Zustände desselben Körpers keine solche. Wir führen daher an Stelle der angeblichen Konstanten R das Produkt einer Konstanten b mit der veränderlichen Molekülzahl n als Faktor von T ein. Alsdann lautet die statische Fundamentalgleichung (p+z)\,(v-x)=b\,n\,.\,T=b\,n\,.\,(273+t)=\frac{b\,n}{273}\,\left(1+\frac{1}{273}\,.\,t\right) . . . . . 5) Aus der statischen Grundgleichung mit der Molekülzahl lässt sich eine sehr einfach gestaltete für das einzelne Molekül ableiten, in welcher natürlich die Molekülzahl als solche verschwindet. Bezeichnet man nämlich mit y das zu einem einzelnen Molekül zugehörige Zwischenvolumen, so wird das ganze Zwischenvolumen durch ny ausgedrückt und man hat nach der Grundgleichung \pi\,.\,n\,y=b\,n\,T=\frac{b\,n}{273}\,(1+\alpha\,t)=b_1\,n\,(1+\alpha\,t) also nach der Division mit n πy = bT = b1 (1 + αt) . . . . 6) In Worte gefasst, ergibt diese einfache Gleichung das Gesetz: Der Wärmedruck ist bei jedwedem Stoff dem zumeinzelnen Molekül gehörigen Zwischenvolumen umgekehrt und der absoluten Temperatur direkt proportional.“ Die Richtigkeit des von Dühring aufgestellten Spannungsgesetzes der Gase, p (v – x) = p1 (v1 – x) oder pn =p1n1, auf welchen die weiteren Schlussfolgerungen beruhen, ergibt sich aus den Versuchen von Natterer über die Kompression der Gase. Die Versuche von Natterer sind meines Wissens nur in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie und in Poggendorff's Annalen, nicht aber in technischen Journalen veröffentlicht worden, obwohl dieselben, wie aus der vorliegenden Arbeit deutlich hervorgeht, für die mechanische Wärmetheorie und damit auch für den Maschineningenieur von Bedeutung sind. Aus diesem Grunde lasse ich die Natterer'schen Beobachtungen für Wasserstoff hier folgen und füge die aus diesen berechneten Molekülvolumina x=\frac{1}{v}-\frac{1}{p} bei. In der nachfolgenden Tabelle gibt die erste Reihe die im Kompressionsbehälter enthaltene Gewichtsmenge des Gases in Gramm an, die zweite Reihe die Anzahl der komprimierten Volumina v oder die Spannungen nach dem Mariotte'schen Gesetze, die dritte Reihe die beobachteten Spannungen p, die vierte Reihe die Differenzen der aufeinander folgenden Spannungen, die fünfte Reihe die aus den reciproken Werten von v und p berechneten Molekülvolumina x. Wasserstoffgas. Gewichtin g Volumina v Atmo-sphären pbeobachtet Differenz c=\frac{1}{v}-\frac{1}{p}Molekül-volumen Gewichtin g Volumina v Atmo-sphären pbeobachtet Differenz v=\frac{1}{v}-\frac{1}{p}Molekül-volumen 1290 1008 2790 – 0,000642 525 668 1134 30 0,000615 1244   998 2689 101 0,000628 512 658 1104 30 0,000611 1200   988 2594   95 0,000624 498 648 1074 30 0,000605 1158   978 2505   89 0,000620 484 638 1044 30 0,000613 1120   968 2423   82 0,000617 470 628 1015 29 0,000605 1085   958 2347   76 0,000614 456 618   986 29 0,00061 1053   948 2277   70 0,000602 443 608   958 28 0,00060 1024   938 2213   64 0,000618 430 598   930 28 0,00059   996   928 2154   59 0,000615 417 588   903 27 0,00059   970   918 2098   56 0,000614 392 568   850 26 0,00058   945   908 2044   54 0,000610 368 548   799 25 0,00057   922   898 1995   49 0,000610 357 538   775 24 0,00057   900   888 1948   47 0,000617 346 528   751 24 0,00056   880   878 1904   44 0,000614 336 518   728 23 0,00056   861   858 1821   41 0,000621 326 508   706 22 0,00055   824   848 1781   40 0,000618 316 498   685 21 0,00055   805   838 1741   40 0,000615 307 488   665 20 0,00055   786   828 1701   40 0,000622 298 478   646 19 0,00054   768   818 1662   39 0,000618 290 468   627 19 0,00055   750   808 1623   39 0,000623 282 458   608 19 0,00054   732   798 1584   39 0,000617 274 448   590 18 0,00054   715   788 1546   38 0,000625 266 438   573 17 0,00053   697   778 1508   38 0,000628 258 428   556 17 0,00054   679   768 1471   37 0,000615 250 418   539 17 0,00053   663   758 1434   37 0,000621 242 408   522 17 0,00053   646   748 1398   36 0,000626 234 398   505 17 0,00053   630   738 1362   36 0,000625 226 388   488 17 0,00053   613   728 1326   36 0,000618 218 378   471 17 0,00053   597   718 1292   34 0,000615 210 368   454 17 0,00052   582   708 1259   33 0,000616 203 358   438 16 0,00051   567   698 1226   33 0,000617 196 348   423 15 0,00051   552   688 1194   32 0,000610 189 338   408 15 0,00051   538   678 1164   30 0,000615 Da Natterer bei seinen Versuchen auf sehr grosse Genauigkeit keinen Anspruch erhebt, so ist der Wert von x, der zwischen den Grenzen 0,000642 und 0,000510 schwankt, innerhalb der Grenze der Beobachtungsfehler als eine Konstante anzusehen. Für geringere Spannungen sind zur Prüfung des Zwischenvolumengesetzes die genaueren Versuche von Regnault und Amagat zu benutzen, da die Natterer'schen Messvorrichtungen nicht für diesen Zweck genau genug anzeigten. Aus den Beobachtungen Regnault's folgt für Spannungen, welche wenig unter und über eine Atmosphäre betragen, für x der Zahlenwert 0,0005, der mit dem Natterer'schen Versuchsergebnis sehr gut übereinstimmt. Die Dühring'schen Darlegungen sind demnach bis auf die von Gay-Lussac ohne Kritik übernommene Annahme, dass die Volumzunahme bei steigender Temperatur der Temperatur proportional sei, vollkommen richtig und sachlich zutreffend. Gay-Lussac hat diesen Satz aus Versuchen abgeleitet und gefunden, dass die Volumzunahme für alle Gase identisch sei. Demgemäss soll nach ihm die Gleichung v = v0+ voαt = v0 (1 + αt) oder nach Dühring die Gleichung (v – X) = (v0 – x) (1 + αt), welche für Gase wegen der Kleinheit des Molekülvolumens mit der Gay-Lussac'schen Formel ziemlich zusammenfällt, ganz allgemeine Geltung haben. Dies ist aber bei den Gasen thatsächlich nicht der Fall, wie genaue Versuche von Regnault, Magnus und Jolly beweisen. Diese Physiker fanden, dass das Gay-Lussac'sche Gesetz nur annähernd richtig ist, in Wahrheit aber Spannungs- und Ausdehnungskoeffizient verschieden, für verschiedene Gase nicht identisch sind und dass jeder Koeffizient nicht ganz konstant, sondern von der Dichte des Gases und der Temperatur abhängig ist. Ebenso trifft auch die Annahme, dass die Volumzunahme bei steigender Temperatur einfach der Temperaturzunahme proportional sei, weder für die Gay-Lussac'sche noch auch für die Dühring'sche Formel in Wirklichkeit zu. Recht augenfällig ergibt sich dies aus den Versuchen über die Ausdehnungskoeffizienten der Flüssigkeiten und festen Stoffe; denn dieselben lassen sich, wenn sie nicht auf das Zwischenvolumen, sondern auf das Gesamtvolumen bezogen werden, nicht einfach der Temperatur proportional setzen, sondern sich nur durch Formeln, welche auch höhere Potenzen der Temperatur berücksichtigen, nämlich durch die Formeln vt = v0 (1 + at + bt2 + ct3) oder vt= vv (1 + a (t – r) + b ( – r)2 + c (t – r)3), bezüglich bei höherem Druck nach Hirn vt = v0 (1 + at + bt2 + ct3 + dt4) darstellen. Dagegen versuchte Boscha, wohl einer Anregung Dalton's folgend, die Ausdehnung des Quecksilbers durch die Exponentialformel vt = v0e + at darzustellen. Obwohl der eingeschlagene Weg vollständig richtig war, so konnte er, wie aus den nachfolgenden Auseinandersetzungen sich ohne weiteres ergibt, darum nicht zum gewünschten Ziel gelangen, weil er sein Gesetz auf das Gesamtvolumen bezog. Eine theoretische Begründung oder eine einfache Erklärung dieser durch die Beobachtungen nachgewiesenen Abweichungen habe ich bis jetzt in keinem physikalischen Lehr- und Handbuche gefunden, obgleich dieselbe sich ohne weiteres aus einer strengen und folgerichtigen Auslegung der Annahme ergibt, dass der Ausdehnungskoeffizient, d.h. die Volumvergrösserung des Zwischenvolumens für 1° Temperaturerhöhung, unveränderlich ist, gleichgültig, ob man die Temperaturerhöhung von 0° an um 1° oder von einer beliebigen anderen Temperatur (etwa 100°) an um 1° rechnet. Stellt man sich unter dieser Annahme den Vorgang der Volumzunahme so vor, wie derselbe demgemäss sachlich vor sich geht, so wird das Zwischenvolumen v0 – x = u0 nach Erhöhung um 1° C., wenn α der Ausdehnungskoeffizient ist, u1 = u0 + u0α = u0 (1 + α); erhöht man das letztere weiter um 1° C., so wird das Zwischenvolumen nach Erhöhung der Temperatur um 2°: u2 = u0 (1 + α) + u0 (1 + α) α = u0 (1 + α)2, nach 3°: u3 =u0 (l + α)3, nach Erhöhung um t° C. also: ut =u0 (1 + α)t . . . . . 7) Mit Rücksicht auf Formel 7) lautet die auf das Zwischenvolumen bezogene Zustandsgleichung der Stoffe p (v – x) = p0 (vo – x) (1 +α)T . . . 8) worin v0– x das Zwischenvolumen beim absoluten Nullpunkte unter dem Drucke p0, v – x das Zwischenvolumen bei der absoluten Temperatur T unter dem inneren und äusseren Druck p und α der auf das Zwischenvolumen bezogene konstante Ausdehnungskoeffizient ist. Nimmt man an, dass p konstant sein soll, so wird das Ausdehnungsgesetz die Form annehmen v – x= (v0 – x) (1 + α)T . . . . 9) Führt man in die Formal 8) noch die Molekülzahl ein, so erhält man ganz ähnlich wie bei Dühring (p + z) (v – x) = bn (1 + α)T, πn . y = bn (1 + α)T oder πy = b (1 + α)T . . . . . 10) Aus Gleichung 9) erhält man als Grenzwert für v0 – x, wenn man Unterkühlung annimmt, so dass eine Verflüssigung des Gases bei Abkühlung bis unter den Siedepunkt nicht eintritt, beim absolutenalsoluten Nullpunkt v_0-x=\frac{v-x}{(1+\alpha)^T} . . . . . . 11) Die Formel für die Abkühlung kann man auch in der Weise ableiten, dass man von dem bei 0° gegebenen Zwischenvolumen (v – x) ausgeht und die Volumverkleinerung wie oben die Volumvergrösserung ermittelt. In diesem Falle wird das Zwischenvolumen nach der Temperaturabnahme um 1° gleich (v – x) – (v – x) α= (v – x) (1 – α), nach 2° Temperaturerniedrigung gleich (v – x) (1 – α)2, nach T° gleich vo– x = (v – x) (1 – α)T . . . . 12) Setzt man v – x = 1, so wird vo– x = (1 –α)T Durch Gleichsetzen der Formeln 11) und 12) erhält man (1-\alpha)^T=\frac{1}{(1+\alpha)^T} oder (1– α2)T= 1; dieselbe trifft mit sehr grosser Annäherung zu, da \frac{1}{1+\alpha}=1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3+\alpha^4-+\,... ist, und die höheren Potenzen von α gegen α vernachlässigt werden können. Die von mir abgeleitete Definitionsgleichung v – x = (v0 – x) (1 + α)T oder ut = u0 (1 + α)T oder, wenn man 1 + α = b setzt, ut = u0bT führt jedoch, wie dies ja nicht anders zu erwarten ist, zu Widersprüchen, wenn man α nicht entsprechend der neuen Bedingungsgleichung aus den Beobachtungsthatsachen ableitet. Aus den Versuchen über die Ausdehnung der Luft und der Gase folgt, dass das Volumen bei einer Temperatursteigerung von 273° C. sich verdoppelt. Nehmen wir an, dass innerhalb dieser Temperaturgrenze die Volumzunahme der Luft noch genau gemessen ist, so erhält man für den neuen Ausdehnungskoeffizienten α aus der Bedingungsgleichung (1 + α)273 = 2 den Wert α = 0,00256. Zur Prüfung der neuen Zustandsgleichung p (vt – x) =p0 (v0 – x) (l + α)Tt – T0 . . 13) kann man aus dem Anfangszwischenvolumen v0 – x, dem Anfangsdruck p0, dem Ausdehnungskoeffizienten α und dem Enddruck p und der Temperatur Tt – T0 das Volumen v_0-x=p_0\,\frac{(v_0-x)\,(1+\alpha)\,T_t-T_0}{p} und daraus dann vt berechnen und die gefundenen Zahlenwerte mit dem durch Beobachtungen gefundenen Volumen vergleichen. In der nachstehenden Tabelle ist dies für Wasserdampf geschehen; die ersten vier Reihen sind aus Rietschel's Leitfaden für Heizungs- und Lüftungsanlagen (Teil II) entnommen. Es ist gesetzt p0 = 0,02, v0 – x = 67,114, t0= 17,83° C., α = 0,00256, log (1 + α) = 0,00111. Mit Hilfe dieser Zahlen ist die fünfte Zahlenreihe von mir berechnet worden; die sechste Reihe enthält die Unterschiede zwischen den beobachteten und berechneten Werten. Tabelle für Wasserdampf. Dampfspannung Temperatur Volumen1 kg in cbmbeobachtet Volumen1 kg in cbmberechnet Differenz in At-mosph. In kg proqm   0,02       206,7   17,83 67,115 67,115   0,0000   0,04       413,3   29,35 34,722 34,561   0,1610   0,06       620,0   36,56 23,641 23,467 0,174   0,08       826,6   41,92 17,985 17,845 0,140   0,10     1033,3   46,21 14,556 14,434 0,122   0,20     2066,6   60,45   7,541   7,485 0,056   0,30     3099,9   69,49   5,141   5,106 0,035   0,40     4133,2   76,25   3,917   3,897 0,020   0,50     5166,5   81,71   3,172   3,162 0,010   0,60     6199,8   86,32   2,672   2,666 0,006   0,70     7233,1   90,32   2,310   2,309 0,001   0,80     8266,4   93,88   2,037   2,039 0,002   0,90     9299,7   97,08   1,823   1,827 0,004   1,00   10334,0 100,00   1,654   1,657 0,003   1,50   15501,0 111,74   1,127   1,136 0,009   2,00   20668,0 120,60     0,8598     0,8737   0,0139   2,50   25835,0 127,80     0,6971     0,7123   0,0152   3,00   31002,0 133,91     0,5874     0,6014   0,0140   4,00   41336,0 144,00     0,4484     0,4629   0,0145   5,00   51670,0 152,22     0,3636     0,3783   0,0147   6,00   62004,0 159,22     0,3065     0,3211   0,0146   7,00   72338,0 165,34     0,2652     0,2796   0,0144   8,00   82672,0 170,81     0,2339     0,2482   0,0143   9,00   93006,0 175,77     0,2095     0,2235   0,0140 10,00 103340,0 180,31     0,1897     0,2036   0,0139 Tabelle für Quecksilber. Spannungmm Temperatur0o C. Volumen1 g Queck-silber in ccmbeobachtet Volumen1 g Queck-silber in ccmberechnet Ausdehnungs-koeffizient Differenz   0,0200     0 0,0735532 0,0735532 0,00018179    0,0000000   0,0268   10 0,0736869 0,0736723 0,00018180 – 0,0000146   0,0372   20 0,0738207 0,0737944 0,00018181 – 0,0000263   0,0530   30 0,0739544 0,0739198 0,00018183 – 0,0000346   0,0767   40 0,0740882 0,0740484 0,00018186 – 0,0000419   0,1120   50 0,0742221 0,0741802 0,00018189 – 0,0000407   0,1643   60 0,0743561 0,0743154 0,00018193 – 0,0000357   0,2410   70 0,0744901 0,0744544 0,00018198 – 0,0000275   0,3528   80 0,0746243 0,0745968 0,00018203 – 0,0000057   0,5142   90 0,0747586 0,0747429 0,00018209 – 0,0000004   0,7455 100 0,0748931 0,0748927 0,00018216 + 0,0000188   1,0734 110 0,0750276 0,0750464 0,00018224 + 0,0000419   1,5341 120 0,0751624 0,0752043 0,00013232 + 0,0000687   2,1752 130 0,0752974 0,0753661 0,00018241 + 0,0000996   3,0592 140 0,0754325 0,0755321 0,00018250 + 0,00001346   4,2664 150 0,0755679 0,0757025 0,00018261 + 0,00001737   5,9002 160 0,0757035 0,0758772 0,00018272 + 0,00002170   8,0912 170 0,0758394 0,0760564 0,00018284 + 0,00002648 11,0000 180 0,0759755 0,0762403 0,00018296 + 0,00003170 14,8400 190 0,0761120 0,0764290 0,00018309 + 0,00003739 19,9000 200 0,0762486 0,0766225 0,00018310 + 0,00003739 Die grösste Abweichung zwischen den berechneten und den beobachteten Werten beträgt für Wasserdampf 7 %, während der mittlere Fehler etwa nur 1 % ausmacht, also innerhalb der Beobachtungsfehler liegt. Die Tabelle für Quecksilber beweist, dass die von mir abgeleitete Zustandsgleichung auch für Flüssigkeiten von den niedrigsten bis zu den höchsten Temperaturen Gültigkeit besitzt. Der grösste Unterschied zwischen dem berechneten und dem beobachteten Werte beträgt in diesem Falle noch nicht 0,5 %, während der mittlere Fehler noch wesentlich kleiner ist. Die Beobachtungsdaten sind aus dem bekannten Tabellenwerk von Landolt und Börnstein entnommen. Die vorstehenden Ausführungen besitzen, um diesen Punkt noch kurz zu berühren, für die Grundlegung der Thermometrie eine nicht zu unterschätzende Bedeutung. Als Normalthermometer dient das Luft- bezw. das Wasserstoffthermometer, d.h. im letzten Grunde das Gay-Lussac'sche Gesetz der Ausdehnung oder Zusammenziehung der Gase durch Temperaturerhöhung oder durch Abkühlung. Gerade für den Fall der gesteigerten Abkühlung führt die Gay-Lussac'sche Formel für das Volumen bezw. das spezifische Gewicht der Gase bei ihren Siedepunkten zu Zahlen, welche durch die Beobachtung nicht bestätigt werden. Nimmt man den Siedepunkt des Wasserstoffes bei einer Atmosphäre gleich – 235° C. an, so müsste nach dem alten Gesetze Gay-Lussac's die Dichtigkeit des Wasserstoffdampfes etwa 10mal so gross als bei 0° sein, während nach dem oben aufgestellten Ausdehnungsgesetz (vt – x) = (v0 – x) (1 + α)T–T0 = (v0 – x) . l,00256T–T0 folgt, dass dieselbe nur 1,84mal so gross ist. Luft würde beim Siedepunkt nach dem alten Gesetze die dreifache Dichtigkeit wie bei gewöhnlicher Temperatur besitzen müssen, während die thatsächliche Dichtigkeit entsprechend dem neuen Gesetze nur etwa das 1,7 bis 1,8fache ist, wie die von Dr. Behn in Wiedemann's Annalen kürzlich veröffentlichten Beobachtungen beweisen. Die Aenderung der Clapeyron'schen Formel zieht natürlich die Verbesserung der Poisson'schen Formel ohne weiteres nach sich; auch hier muss die Spannung, statt auf das Gesamtvolumen, auf das Zwischenvolumen bezogen, also die Formel geschrieben werden p (v – x)k = p0 (v0 – x)k . . . . 14) Führt man die Formel 14) und die Formel p (v – x) =p0 (v0 – x) (1 + α)T oder p (v – x) = RbT in den ersten Hauptsatz d Q = c v dT + Apdv = c p dT ein und berücksichtigt zugleich, dass nach Mallard und Lechatelier cp= ap + b1T, cv = av + b1T ist, so ergeben sich für die wichtigsten Arbeitsprozesse verhältnismässig einfache Endformeln, welche in einer besonderen Arbeit eingehender behandelt werden sollen.