Die verschiedenen Kühlverfahren mittels der Kaltluftmaschine. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Patentanwalt, Berlin. Die verschiedenen Kühlverfahren mittels der Kaltluftmaschine. Das Linde'sche Kühlverfahren, durch das die Verflüssigung der permanenten Gase, wie Stickstoff, Sauerstoff und selbst Wasserstoff, ermöglicht worden ist, hat vielfach theoretische Arbeiten über die verschiedenen Kühlverfahren mittels der Kaltluftmaschine und über die Ausführbarkeit dieser Verfahrungsarten veranlasst. In solchen Arbeiten sind jedoch nicht selten Aussprüche enthalten, welche, soweit sie sich nicht auf das Linde'sche, sondern auf das ältere Siemens'sche und das aus demselben abgeleitete, den Expansionscylinderfortlassende Verfahren von Mix beziehen, unhaltbar sind bezw. irrige Vorstellungen über deren Durchführbarkeit erwecken. Da die Prüfung und Bewertung dieser drei wichtigsten Kühl verfahren mittels der Kaltluftmaschine auch über das Wesen des Linde'schen Verfahrens neues und klares Licht ausstrahlen dürfte, so soll dieser Gegenstand hier eingehend besprochen werden. Den Standpunkt der Theoretiker und Praktiker kennzeichnet Herr Prof. M. Schröter in dem Vortrage, welchen er über „Linde's Verfahren der Sauerstoffgewinnung mittels verflüssigter Luft“ in der 36. Hauptversammlung des Vereines deutscher Ingenieure am 19. August 1895 zu Aachen gehalten und in der Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure Bd. 39 H. 39 veröffentlicht hat, auch heute noch für weite Fachkreise als richtig geltend dahin, dass im Gegensatz zu den Kaltdampfmaschinen die Kaltluftmaschine ausschliesslich auf der durch äussere Arbeit zu erzielenden Abkühlung der Luft beruhe, welche zuvor in einem Kompressionscylinder auf den gewünschten Druck (6 bis 8 at) gebracht und durch Kühlwasser auf ihre anfängliche Temperatur abgekühlt wurde. Auf ein solches Kühlverfahren, und zwar unter Anwendung des Gegenstromprinzips, hat William Siemens im Jahre 1857 ein englisches Patent, Nr. 2064, genommen. Die Ausführung dieses theoretisch günstigsten Verfahren scheiterte damals an praktischen Schwierigkeiten. Ferner bemerkt Schröter a. a. O., dass man in allen technischen Lehrbüchern den Satz findet, dass eine Kaltluftmaschine vollkommen unwirksam werden müsste, wenn man nach dem Beispiel der Kaltdampfmaschine den Expansionscylinder weglassen und die Luft einfach durch ein Drosselventil ausströmen lassen wollte; diese Anschauung gründe sich darauf, dass man mit einer für technische Zwecke genügenden Genauigkeit die Luft als ein vollkommenes Gas betrachtet, bei welchem zwischen den einzelnen Molekülen gar keine Kräfte wirken, und dass daher die gesamte innere Arbeit durch die zur Veränderung der Temperatur erforderliche Wärme geleistet wird. Die hier von Schröter ohne Kritik und Prüfung einfach übernommene Anschauung älterer Kühlmaschineningenieure ist durchaus falsch, wie nicht nur theoretisch, sondern auch längst experimentell durch die Versuche von de Saint-Venant und Wantzel (Mémoire et expériences sur l'écoulement de l'air, déterminé par des differences de pressions considérables; par Barré de Saint-Venant et Laurent Wantzel. – Journal de l'École polytechnique Bd. 16, 1839) und von Weisbach (Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik, 3. Aufl., 1855, Bd. 1, S. 820) nachgewiesen ist. Das Verdienst, erkannt zu haben, dass sich hierauf ein wirklich leistungsfähiges Kühlverfahren gründen lasse, und ein solches Kühlverfahren in technisch leicht durchführbarer Weise zuerst erfunden bezw. ersonnen zu haben, dies Verdienst gebührt einem Laien, der sich durch Selbststudium ein nicht zu unterschätzendes, vor allen Dingen jedoch technisch klares physikalisches Wissen angeeignet hat. Es ist dies der Naturwissenschaftler Konrad Mix, der ein derartiges Kühlverfahren in Deutschland zum Patent angemeldet hat. Beim Uebergang zur Erklärung des Linde'schen Kühlverfahrens weist Schröter darauf hin, dass die Physik ein vollkommenes Gas nicht kennt, sondern bei allen Gasen Abweichungen vorkommen, welche darauf deuten, dass die inneren Kräfte nicht gleich Null sind; dass jedoch diese Abweichungen sehr gering und um so unbedeutender sind, je permanenter im übrigen das Gas ist. Die Versuche von Joule und W. Thomson, welche schon in der Mitte der 50er Jahre und später angestellt sind, hätten den experimentellen Nachweis erbracht, dass atmosphärische Luft, wenn sie aus einem Raum mit höherem Druck durch ein Ventil einfach ausströmt, sich nach Erreichung des Beharrungszustandes dauernd abkühlt, so dass doch ein gewisser Betrag von Wärme zur Ueberwindung innerer Kraft aufzuwenden sei. Aus den Versuchen wurde gefolgert, dass die durch Ueberwindung der inneren Kräfte bedingte Abkühlung oder Temperaturerniedrigung dem Druckunterschied proportional ist und bei 16° C. Anfangstemperatur pro 1 at Druckabfall ¼° C. beträgt und bei sinkender Temperatur im Verhältnis der Quadrate der absoluten Temperaturen zunimmt. Bezeichnet man mit p2 den Höchstdruck, mit p1 den Enddruck und mit T die absolute Anfangstemperatur der Pressluft, während 289 die absolute Temperatur der Atmosphäre ist, so muss demnach der Temperaturabfall \delta_0=\frac{p_2-p_1}{4}\,.\,\left(\frac{289}{T_1}\right)^2 sein. Aus der vorstehenden Joule-Thomson'schen Formel zieht Schröter ohne weiteres den Schluss, dass angesichts einer so geringfügigen Abkühlung offenbar der oben erwähnte Ausspruch ganz zutreffend ist, dass nämlich eine Kaltluftmaschineohne Expansionscylinder technisch vollkommen wertlos wäre. Das von Schröter hier eingefügte abschwächende Wort „offenbar“ scheint mir anzudeuten, dass Schröter die Richtigkeit dieses Satzes weder theoretisch noch sachlich geprüft hat, denn sonst würde er offenbar seine Behauptung nicht haben aufrecht erhalten können. Zur Prüfung des vorliegenden Gegenstandes müssen in erster Linie die Fragen entschieden werden, ob die Formel und die Versuche von Joule und Thomson unanfechtbar sind, ob nicht beim Fortfall des Expansionscylinders doch noch äussere Arbeit geleistet wird, daher die Joule-Thomson'sche Formel hier gar nicht in Betracht kommt und ob ferner, wenn gleichwohl noch äussere Arbeit geleistet (wohlverstanden nicht nutzbar gemacht) wird, diese Arbeit eine genügende Abkühlung bewirken kann und nach welchem Gesetze dies geschieht. Von alledem findet sich in der ganzen Litteratur über Kühlverfahren und Kälteindustrie meines Wissens bis auf die oben erwähnte Patentanmeldung von Herrn Konrad Mix in Berlin nichts. Im Gegenteil hat sogar H. v. Heimholte, dem das Mix'sche Kühlverfahren zur Begutachtung vorgelegen hat, am 24. Juli 1893 in einem Briefe ein dahingehendes Gutachten abgegeben, dass er das Verfahren zur gewerbsmässigen Herstellung fester Luft für vollkommen aussichtslos halte – und fast alle Fachphysiker haben dies Urteil nachgebetet. Ich sehe vorläufig davon ab, dass die Joule-Thomson'schen Versuche und die aufgestellte Formel, da sie sich mit dem vorliegenden Verfahren sachlich nicht decken, hier überhaupt nicht anwendbar sind, und beschränke mich daher auf den Nachweis, dass eine – Kaltluftmaschine, wenn man nach dem Beispiel der Kaltdampfmaschine den Expansionscylinder weglässt, lediglich infolge der durch Fortschieben der Atmosphäre geleisteten, allerdings verloren gehenden oder nicht mechanisch nutzbar zu machenden äusseren Arbeit ohne bezw. auch zusammen mit der nicht zu vermeidenden inneren Arbeit eine bedeutende Kühlwirkung nach dem Mix'schen Verfahren hervorbringen kann. Um die theoretischen Formeln nicht zu verwickelt zu gestalten, lasse ich die Abkühlung durch innere Molekulararbeit unberücksichtigt, da diese Abkühlung, wie sich zeigen wird, nur einen geringen Bruchteil der durch die verlorengehende gegen die Atmosphäre geleistete äussere Arbeit bewirkten Abkühlung darstellt. Ich lege hier die Entwickelungen von Zeuner in Technische Thermodynamik Bd. 1, S. 40 bis 44 u. ff. zu Grunde, da mir erstlich die erwähnten Originalarbeiten von de Saint-Venant und Wantzel, sowie von Weisbach nicht zur Verfügung stehen, zweitens aber die Zeuner'sche Darstellung ausserordentlich einfach und klar ist. Es handelt sich in vorliegendem Falle um die Ausströmungsgesetze der atmosphärischen Luft unter Druck. Die Grundformeln für die strömende Bewegung und für den Ausfluss der Gase ergeben sich aus den allgemeinen Strömungsformeln für eine Flüssigkeit. Nehmen wir an, dass irgend eine Flüssigkeit ohne Einwirkung äusserer Kräfte im Beharrungszustande durch ein Rohr mit horizontaler Achse, aber veränderlichem Querschnitt hindurchströmt, so dass in der Zeiteinheit durch jeden Querschnitt die gleiche Gewichtsmenge G hindurchfliesst. Geht nun durch den vorderen Querschnitt die Flüssigkeit mit überall gleicher Geschwindigkeit w parallel hindurch, so ist das in der Zeiteinheit durchgeströmte Flüssigkeitsvolumen gleich Fw und entsprechend das durch den hinteren Querschnitt F1w1. Ist v das spezifische Volumen und p der Druck im vorderen Querschnitt und entsprechend v1 und p1 die Werte für Querschnitt F1, so ist im Beharrungszustande Gv1= F1w und Gv = Fw . . . . 1) Bezeichnet man mit U den ganzen Betrag der inneren Arbeit und mit H denjenigen Teil der Gesamtenergie der Flüssigkeit, welcher der offenen fortschreitenden, mit der Geschwindigkeit W erfolgenden Bewegung entspricht, so ist die in der Gewichtseinheit enthaltene Arbeit gleich U + H, worin die Arbeit der fortschreitenden Bewegung H gleich deren lebendiger Kraft, also H=\frac{W^2}{2\,g} . . . . . . 2) ist. Beim Uebergang vom Querschnitt F1 zum Querschnitt F wird bei entsprechender Bezeichnung eine Arbeit = (U + H) – (U1 + H1) aufgewandt oder verbraucht. Die Differenz H – H1 bezeichnet man als die Zunahme der Strömungsenergie. Ist nun die Summe der Widerstände, welche die Flüssigkeit auf dem Wege F1 nach F zu überwinden hat, gleich W, so wird die ganze auf diesem Wege verbrauchte Arbeit L = (U + H) – (U1 + H1) + W . . . 3) Während des Strömens der Flüssigkeit legt die Hinterfläche F1 in dem Zeitelement dt den Weg w1dt und die Vorderfläche den Weg wdt zurück. Es ist F1p1 der hinter dem Querschnitt F1 auf den Flüssigkeitskörper ausgeübte Druck, so dass auf die Flüssigkeit die Arbeit F1w1p1dt übertragen wird, während die Vorderfläche F ganz entsprechend die Arbeit Fwpdt nach vorwärts in Richtung der Strömung abgibt. Die vom Flüssigkeitskörper in der Zeit dt aufgenommene Arbeit ist somit mit Rücksicht auf Gleichung 1) F1w1p1dt – Fwpdt = (p1v1 – pv) Gdt. Da wegen des Beharrungszustandes in der Zeit dt das Flüssigkeitsgewicht Gdt sowohl in den Raum F1F ein- als auch aus demselben durch die Fläche F ausgetreten ist und eine Aenderung des Bewegungszustandes nicht stattfindet, so stellt der vorstehende Ausdruck die Arbeit dar, welche das Flüssigkeitsgewicht Gdt während seiner Bewegung von F1 nach F aufgenommen hat. Für die endliche Zeit t ist diese Arbeit gleich (p1v1 – pv) Gt, für die Gewichtseinheit also, indem man Gt = 1 setzt, gleich p1v1 + pv. Wird der Gewichtseinheit Flüssigkeit während der Bewegung durch F1 und F von aussen her die Wärmemenge Q zugeführt, so ist, da die Widerstandsarbeit W in Wärmemass AW ist, die zugeführte Wärmemenge Q+A\,W\,\left(A=\frac{1}{425}\right), so dass die gesamte Arbeitsmenge in mechanischem Masse L=p_1\,v_1-p\,v+\frac{Q}{A}+W . . . . . . 4) wird. Durch Gleichsetzen mit der Gleichung 3) erhält man die Grundgleichung des vorliegenden Problems Q = A [pv – p1v1 + (U + H) – (U1 + H1)] . . . . . 5) oder, indem man zum Differential übergeht, dQ = A [d (pv) + dU + dH] . . . . . . 6) Liegt der Kanal nicht horizontal, sondern der Querschnitt F1 um h1 und der Querschnitt F um h unter der Horizontalebene, so wird infolge der Schwerkraftwirkung noch die Arbeit h – h1 aufgenommen, so dass die Gleichung 5) in Q = A [pv – p1v1 + (U + H) – (U1 + H1) – (h – h1)] . 7) und Gleichung 6) in dQ = A [d ( pv) + dU +dH – dh] . . 8) übergeht. Neben den hier abgeleiteten Gleichungen 7) und 8) hat aber noch die Grundgleichung der Thermodynamik dQ1= d (Q + AW) = dQ + AdW=A [dU + pdv] . 9) oder Q+A\,W=A\,(U-U_1)+A\,\int\limits_{v_1}^v\,p\,d\,v . . 10) Gültigkeit. Durch Geichsetzen mit Gleichung 8) bezw. 7) erhält man dH = dh – dW – vdp . . . . 11) oder H-H_1=h-h_1-W-\int\limits_{p_1}^p\,v\,d\,p . . . . 12) Bei den praktischen Anwendungen handelte es sich bisher fast ausschliesslich um die Ermittelung der Strömungsenergie H, woraus dann nach Gleichung 2) w=\sqrt{2\,g\,H}und das Gewicht G der sekundlich durchströmenden Flüssigkeit nach Gleichung 1) G=\frac{F\,w}{v} gefunden wird. Die hier abgeleiteten Formeln, welche für jede Flüssigkeit gelten, lassen sich ohne weiteres auf die strömende Bewegung der Gase anwenden. Es ist nur bei den Gasen die innere Arbeit d\,U=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+p\,d\,v) oder d\,U=\frac{d\,(p\,v)}{k-1} in die Gleichung 8) einzusetzen, so dass man \mbox{oder}\left{{d\,Q=A\,d\,(p\,v)+\frac{A\,d\,(p\,v)}{k-1}+A\,d\,H-A\,d\,h}\atop{A\,d\,h=d\,Q-\frac{A\,k}{k-1}\,d\,(p\,v)+A\,d\,H}}\right\}\ \ 13) und aus Gleichung 9) \mbox{oder}\left{{d\,Q+A\,d\,W=A\,\left[\frac{d\,(p\,v)}{k-1}+p\,d\,v\right]}\atop{d\,Q+A\,d\,W=\frac{A}{k-1}\,[v\,d\,p+k\,p\,d\,v]}}\right\}\ \ 14) erhält. Nun ist aber pv = RT (Clapeyron'sche Zustandsgleichung, worin R die Gaskonstante ist, und cp – cv = AR, so dass man \frac{A\,k}{k-1}\,d\,(p\,v)=c_p\,d\,T setzen kann und Gleichung 13) in AdH = dQ + Adh – cpdT . . . 15) übergeht. Aus Gleichung 15) kann man die Temperatur ausströmender Gase an der Mündungsstelle berechnen; eine Prüfung der so erhaltenen Werte ist nur auf indirektem, nicht aber unmittelbar mittels Thermometer möglich, weil Reibung und Stoss der Flüssigkeit den Stand des Thermometers beeinflussen. Nimmt man ein grosses Ausflussgefäss mit enger Ausströmungsöffnung, so kann man die Luft im Ausflussgefässe annähernd als in Ruhe befindlich ansehen und daher ohne merklichen Fehler w1 = 0 und somit auch H1 = 0 setzen. Soll ferner Wärme weder zu- noch abgeführt werden, so wird auch dQ = 0; folglich erhält man aus Gleichung 13) für die Strömungsenergie bei horizontalem Ausflussrohr, für das dh = 0 zu setzen ist, die Gleichung d\,H=-\frac{k}{k-1}\,.\,d\,(p\,v), . . . 16) während aus Gleichung 14) d\,W=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+k\,p\,d\,v) . . . . 17) und durch Addition von 16) und 17) dH + dW= – vdp . . . . 18) folgt. Aus Gleichung 16) folgt H=\frac{k}{k-1}\,(p_1\,v_1-p\,v), . . . . 19) so dass nach Gleichung 2) die Ausflussgeschwindigkeit w=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,(p_1\,v_1-p\,v)}. . . 20) und die Luftmenge G=F\,\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,.\,\frac{p_1\,v_1-p\,v}{v^2}} . . . . . 21) wird. Setzt man nun voraus, dass die Widerstände, welche die ausströmende Luft in der Mündung zu überwinden hat, verschwindend klein sind, also dW = 0 ist, so folgt aus Gleichung 17) vdp + kpdv = 0, so dass durch Integration die polytropische Expansionskurve pvk = p1v1k . . . . . . 22) sich ergibt. Mit Rücksicht hierauf erhält man aus den Gleichungen 20) und 21) w=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,.\,p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}\right]} . 23) und G=F\,\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,.\,\frac{p_1}{v_1}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{k}}-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{k+1}{k}}\right]} . 24) In diesen Formeln sind jedoch die Widerstände, welche die strömende Luft zu überwinden hat, nicht berücksichtigt worden. Weisbach, der die ersten vollkommenen Versuche über Luftausfluss angestellt hat, bezeichnete w und G als „theoretische Werte“. Die wirkliche oder effektive Ausflussgeschwindigkeit, die kleiner als w ist, setzte er we = φw, worin φ der Geschwindigkeitskoeffizient heisst. Die effektive Strömungsenergie wird entsprechend gesetzt He = φ2H, so dass die Widerstandsarbeit W=H-H_e=(1-\varphi)^2\,H=\left(\frac{1}{\varphi^2}-1\right)\,H_e=\zeta\,H_e . . . . . 25) wird, worin \zeta=\frac{1}{\varphi^2}-1 . . . . . 26) gesetzt ist und der „Widerstandskoeffizient“ heisst. Aus Gleichung 25) folgt durch Differentiation und nach Gleichung 16) d\,W=-\frac{k\,\zeta}{k-1}\,.\,d\,(p\,v), . . . . . 27) so dass man, da nach Gleichung 17) d\,W=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+k\,p\,d\,v) ist, durch Gleichsetzung beider Formeln (1 + kζ) vdp + k (1 + ζ) pdv =0 oder v\,d\,p+\frac{k\,(1+\zeta)}{(1+k\,\zeta)}\,p\,d\,v=0 oder, indem man u=\frac{k\,(1+\zeta)}{1+k\,\zeta} . . . . 28) einführt, vdp + updv = 0 und durch Integration, wenn ζ und damit auch u konstant ist, die polytropische Druckkurve pvu= p1v1u . . . . . . 29) erhält. Hieraus folgt mit Hilfe der Clapeyron'schen Zustandsgleichung \frac{T}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v}\right)^{u-1}=\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}} . . . . 30) Aus Gleichung 30) kann man das Volumen v und die Temperatur T durch den Druck p in der Mündung ihrer wirklichen Grösse nach berechnen. Zeuner nennt die Grösse u den „Ausflussexponenten“. Ist u gegeben, so erhält man aus 28) \zeta=\frac{k-u}{k\,(u-1)}, . . . . . 31) wonach u stets kleiner als k ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen 29) und 21) erhält man w=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}\right]}, . . . . . 32) G=F\,\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,.\,\frac{p_1}{v_1}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{u}}-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u+1}{u}}\right]} . . . . . 33) und aus den Gleichungen 27) und 31) die Widerstandsarbeit W=\frac{k-u}{(u-1)\,(k-1)}\,.\,p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}\right] . . . . . 34) Es ist nach Gleichung 2) und 32) H=\frac{w^2}{2\,g}=\frac{2\,g\,k}{(k-1)\,2\,g}\,.\,p_1\,v_1\,\left[1-\frac{T}{T_1}\right],, worin nach Gleichung 30) \left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}=\frac{T}{T_1} gesetzt ist; folglich erhält man, da nach der Clapeyron'schen Zustandsgleichung \frac{p_1\,v_1\,k}{T_1\,(k-1)}=\frac{c_p}{A} ist, H=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) oder AH = cp (T1 – T) . . . . . 35) und die Widerstandsarbeit ebenfalls in Wärmemass A\,W=A\,\zeta\,H=\frac{k-u}{k\,(u-1)}\,.\,c_p\,(T_1-T) . . . . . . 36) und durch Addition der Gleichungen 35) und 36) A\,(H+W)=\frac{u\,(k-1)}{k\,(u-1)}\,.\,c_p\,(T_1-T) . . . . . . 37) Bei der Umrechnung der Luftmenge in Raumeinheiten (Kubikmeter) muss man angeben, an welcher Stelle gemessen werden soll. Im Innern des Gefässes ist das Volumen Gv1, in der Mündungsebene Gv und ausserhalb der Mündung nach der Ausbreitung Gv2. Im vorliegenden Falle kommt es lediglich auf die Bestimmung der Werte T, p und v in der Mündungsebene an. Man erhält für das Gefässinnere gemessen G\,v_1=\alpha\,F\,\sqrt{2\,g\,\frac{c_p\,T_1}{A}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{u}}-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u+1}{u}}\right]}, 38) worin α der „Kontraktionskoeffizient“ ist. Die Richtigkeit der hier abgeleiteten Formeln ist von Weisbach durch Messen der Ausflussgeschwindigkeiten (Ausflussmengen) geprüft worden. Einige Beispiele dürften den Einfluss der Widerstandsarbeit auf die Werte von T erkennen lassen und zeigen, dass sich nach dem Mix'schen Verfahren eine Verflüssigung der Gase um so mehr erreichen lässt, als zu der vorliegenden Kühlwirkung die auf der inneren Molekulararbeit beruhende Kühlwirkung, wenn eine solche überhaupt vorhanden ist, noch verstärkend hinzukommt. Aufgabe: Durch eine Mündung, deren Ausflussexponent u = 1,250, deren Widerstandskoeffizient somit nach Gleichung 31) ζ = 0,454 ist, ströme die Luft unter dem konstanten Druck von 1,5 at aus einem sehr weiten Gefässe direkt in die freie Atmosphäre, so dass in der Mündungsebene der Atmosphärendruck p herrscht, das Druckverhältnis also \frac{p}{p_1}=\frac{2}{3} ist. Ist die absolute Temperatur innen und aussen T1=288°, so folgt aus der Zustandsgleichung p1v1 = 29,269 . 288 das spezifische Volumen der Luft im Gefässe v1 = 0,5438. Wenn auch die Rechnungsergebnisse für den Fall, dass keine Widerstände vorliegen, praktisch keinen Wert besitzen, so soll doch hier, um den Einfluss der Widerstände erkennen zu lassen, auch dieser Fall mit berechnet werden. Man findet für u = k = 1,410 und u = 1,250 das spezifische Volumen in der Mündung nach Gleichung 29) v = 0,7251 bezw. v = 0,7523, die absolute Temperatur in der Mündung T = 256,0 bezw. T = 265,6 oder nach Celsius = – 17° bezw. = – 7,4°. Die Widerstände erhöhen daher die Temperatur in der Mündung, so dass zur Erklärung der Joule-Thomson'schen Versuche der erhöhte Widerstand der benutzten Diaphragmen vollkommen genügt und die an den Haaren herbeigezogene Molekulararbeit – wie mir scheint, lediglich um Robert Mayer einen Hieb zu versetzen – überflüssig ist. Die übrigen Grössen werden H = 3222,4 bezw. H = 2255,6 kgm W = 0 „ W = 1025,1 „ w = 251,4 „ w = 210,4 m. Nimmt man dagegen an, dass p1 = 4 at und u = 1,380 ist, so erhält man v1 =0,2039 und für den Fall, dass G ein Maximum werden soll, für den Druck in der Mündungsebene p = 0,5317 . p1 = 2,1267 at nach der einfach abzuleitenden Beziehung \frac{p}{p_1}=\left(\frac{2}{u+1}\right)^{\frac{u}{u-1}} . . . . . 39) Es wird \frac{v}{v_1}=1,5805,\ \frac{T}{T_1}=0,8403,\ T=242^{\circ} oder = – 31°C., w = 313m. Das vorliegende Problem kann man auf folgende Weise einfacher und bequemer lösen. Beim Ausströmen ohne Reibungswiderstand ist nur die dem Fortschieben der Atmosphäre entsprechende Arbeit zu leisten. Nehmen wir an, dass die Expansion zunächst isothermisch erfolgt, so verhält sich v : v1 = p1 : p, so dass, da in diesem Falle v = 0,815, p1 = 1,5 und p = 1 ist, v_1=\frac{0,815}{1,5}, also v-v_1=\frac{v}{3}\,.\,0,815=0,2717 cbm wird. Die geleistete äussere Arbeit wird dann 10000\,\frac{v}{3} kgm; dieselbe ist jedoch zu gross, da durch die Arbeitsleistung die Temperatur erniedrigt und somit v kleiner wird. Sei die wirkliche Endtemperatur T, so ist, da T1 bekannt ist, die Volumenverminderung v\,\alpha\,(T_1-T)=\frac{v\,(T_1-T)}{273}, die Arbeitsverminderung demnach vα (T1 – T) . 10000 kgm. Die wirklich geleistete äussere Arbeit, also auch abzüglich der Reibungsarbeit, muss aber nach dem Mayer'schen Aequivalentgesetze gleich dem mechanischen Wert der entzogenen Wärmemenge, also gleich \frac{c_p}{A}\,(T_1-T)\mbox{ kgm} sein. Man erhält somit die Gleichung oder 10000\,(v-v_1)-v\,\alpha\,(T_1-T)\,.\,10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) 10000\,v\,\left(1-\frac{v_1}{v}\right)-v\,\alpha\,(T_1-T)\,.\,10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) 10000\,v\,\left(1-\frac{p}{p_1}\right)-v\,\alpha\,(T_1-T)\,.\,10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) T=T_1-\frac{1-\frac{p}{p_1}}{(c_p/10000\,A\,v)+\alpha} 40) und durch Einsetzen der gegebenen Werte T = 288 – 20 = 268° oder = – 5° C. Nach der Weisbach'schen Formel folgt, wie oben berechnet ist, der Wert T= 265,6° oder – 7,4° C., so dass die Uebereinstimmung völlig ausreichend ist. Für das zweite Beispiel, in welchem p1 = 4 at ist, erhält man nach der angegebenen Methode T=T_1-\frac{3/4}{(c_p/10000\,A\,v)+\alpha}=288-43,5=244,5^{\circ} oder = – 28,8° C., während nach der Formel von Weisbach T= 242° oder = – 31° C. gefunden wurde. Im ersten Beispiel ist die lediglich zum Verdrängen der atmosphärischen Luft erforderliche Arbeit gleich 2717 kgm, im zweiten dagegen gleich 6113 kgm, während die nutzbare Arbeit infolge der Expansion im Arbeitscylinder im ersten Falle L = cv (T1 – T) / A = 2292 kgm, im zweiten Falle dagegen, da T=T_1\,\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}} ist, L = cv (T1 – T) / A = 6588 kgm ist. Die zum Ueberwinden des Atmosphärendruckes erforderliche Arbeit ist also in beiden Fällen nahezu gleich der durch die Expansion im Arbeitscylinder im günstigsten Falle nutzbar zu machenden Arbeit, im ersten Falle sogar grösser. Es ist dies übrigens eine in der Dampfmaschinenlehre allgemein bekannte Thatsache, auf welcher ja der grosse Vorteil der Kondensationsmaschinen mit weitgehender Expansion beruht, so dass ein Uebersehen dieses Umstandes bei den Kaltluftmaschinen bezw. bei dem darauf sich gründenden Kühlverfahren gerechte Verwunderung erregen muss. Hätte Herr Professor Schröter die Arbeit, welche die aus engen Oeffnungen unter konstantem Druck ausströmende Luft gegen die Atmosphäre leistet, wirklich ausgerechnet bezw. die den vorliegenden Gegenstand behandelnden §§ 40 bis 45, Bd. 1 der Technischen Thermodynamik von Zeuner zu Rate gezogen, so hätte er die im Anschluss an die Joule-Thomson'sche Formel aufgestellte Behauptung': „Angesichts einer so geringfügigen Abkühlung ist offenbar der oben erwähnte Ausspruch ganz zutreffend, dass nämlich eine Kaltluftmaschine ohne Expansionscylinder technisch vollkommen wertlos wäre“, sicherlich nicht ausgesprochen; denn diese Behauptung ist, wie die nach den experimentell geprüften Weisbach'schen Formeln berechneten Zahlenbeispiele beweisen, nicht zutreffend. Bei dem Siemens'schen Kühlverfahren wird die nutzbare äussere Arbeit der Luft im Expansionscylinder und die den Atmosphärendruck überwindende, verloren gehende äussere Arbeit, an die Siemens allerdings gar nicht gedacht hat, bei Mix nur die letztere, welche der ersteren etwa gleich ist und 50 % der gesamten verfügbaren äusseren Arbeit beträgt, bei Linde dagegen nur die innere Arbeit, welche ihrerseits nur ein geringer Bruchteil jeder der beiden äusseren Arbeiten ist, unter Zuhilfenahme des längst bekannten Gegenstromprinzips zur Verflüssigung der Luft oder der permanenten Gase bezw. zu ihrer Trennung benutzt. Das Mix'sche Kühlverfahren vermeidet die Nachteile des Siemens'schen Verfahrens, welche die Anwendung eines Arbeitscylinders bei sehr niedrigen Temperaturen mit sich bringt und ist, was Einfachheit der Apparatkonstruktion anlangt, dem Linde'schen Verfahren vollkommen ebenbürtig, aber bedeutend leistungsfähiger als dieses, wie ein Vergleich der Grundformeln und der mit Hilfe derselben für gleichen Druckabfall berechneten Temperaturerniedrigungen beweist.