Der gespannte Hohlcylinder. Von Professor Pregél, Chemnitz. (Fortsetzung von S. 453 d. Bd.) Der gespannte Hohlcylinder. Die Maximalspannung im Hohlcylinder. Sind R äusserer und r innerer Halbmesser eines Hohlcylinders, p die Flüssigkeitsspannung und g die Materialanstrengung in r, sowie (p : σ) das gegenseitige Verhältnis, so folgt nach Grashof, Festigkeit, Gl. 542 S. 312 \left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{m\,\sigma+(m-1)\,p}{m\,\sigma-(m+1)\,p} und hierin für die Verhältniszahl den Wert m=\frac{10}{3} eingesetzt, folgt \mbox{bezw.}\left{{\left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{\sigma+0,7\,p}{\sigma-1,3\,p}}\atop{\left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{1+0,7\,\frac{p}{\sigma}}{1-1,3\,\frac{p}{\sigma}}}}\right\}\ .\ .\ .\ 1) Für σ = 1,3 p, also \frac{\sigma}{p}=1,3 bezw. \frac{p}{\sigma}=0,77 wird \frac{R}{r}=\infty. Es ist ferner πr2 . p = P Bodendruck. Hiernach r^2=\frac{P}{\pi\,.\,p'} daher R^2=r^2\,\frac{1+0,7\,\frac{p}{\sigma}}{1-1,3\,\frac{p}{\sigma}} bezw. R^2=\frac{P}{\pi\,p}\,.\,\frac{1+0,7\,\frac{p}{\sigma}}{1-1,3\,\frac{p}{\sigma}} und für \frac{p}{\sigma}=i, also für p = i . σ gesetzt, folgt R^2=\frac{P}{\pi\,\sigma}\,.\,\frac{1+0,7\,i}{(1-1,3\,i)\,.\,i} und da \frac{P}{\pi\,\sigma}=const ist, so wird aus d\,.\,\frac{(1+0,7\,i)}{(i-1,3\,i^2)=0} i2 + 5,86 i = 1,1 Werte für R : r. Textabbildung Bd. 315, S. 477 Allgemein, Grashof, Bach, Lamé, Reuleaux, Barlow, Petterson, Flüssigkeitsspannung, Materialspannung bezw. i=-1,43\,\pm\,\sqrt{3,14} und i = 0,34 folgen, d.h. für i=\frac{p}{\sigma}=0,34 wird R einen Kleinstwert erhalten. Nach v. Bach, Festigkeit, Gleichung 244, S. 368, ist \left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{\sigma+\left(1-\frac{2}{m}\right)\,p}{\sigma-\left(1+\frac{1}{m}\right)\,p} und für m=\frac{10}{3} bezw. \left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{1+0,4\,\frac{p}{\sigma}}{1-1,3\,\frac{p}{\sigma}}, wobei R für \frac{p}{\sigma}=0,36 den Kleinstwert erlangt. Nach der Gleichung von Brix \frac{\delta}{r}+1=e^{\frac{p}{\sigma}) entsteht \frac{\delta}{r}=e^{\frac{p}{\sigma}}-1, \frac{R-r}{r}=e^{\frac{p}{\sigma}}-1, \frac{R}{r}-1=e^{\frac{p}{\sigma}}-1, bezw. \frac{R}{r}=e^{\frac{p}{\sigma}}; daraus log\ nat\,\frac{R}{r}=\frac{p}{\sigma} (Formel von Clark). Wird die Gleichung von Brix entwickelt \left(\frac{\delta}{r}+1\right)=e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\,.\,2}+\frac{x^3}{1\,.\,2\,.\,3}+... also \frac{\delta}{r}=x+\frac{x^2}{1\,.\,2}+\frac{x^3}{1\,.\,2\,.\,3}+... gesetzt, bezw. \frac{R-r}{r}=\frac{R}{r}-1=\frac{p}{\sigma}+\frac{1}{2}\,\left(\frac{p}{\sigma}\right)^2 gemacht, so folgt daraus \frac{R}{r}=1+\frac{p}{\sigma}+\frac{1}{2}\,\left(\frac{p}{\sigma}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)=\left[1+\frac{p}{\sigma}\,\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{p}{\sigma}\right)\right] (Formel von Beuleaux bezw. Trautwein). Wird in dieser Gleichung das dritte Glied \frac{1}{2}\,\left(\frac{p}{\sigma}\right)^2 vernachlässigt, so folgt die bereits früher erwähnte allgemeine Gleichung \left(\frac{R}{r}\right)=1+\frac{p}{\sigma}, welche für Verhältnisse \frac{p}{\sigma}\,<\,0,2 entsprechende Werte von \frac{R}{r} gibt. In dieser Gleichung ist aber σ nicht Maximalspannung im Abstande r, sondern mittlere, auf den Ringquerschnitt (R – r) h gleichmässig verteilte Tangentialspannung. Wird die Reihe 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\,.\,2}+\frac{x^3}{1\,.\,2\,.\,3}+...=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}} näherungsweise geschrieben, welche für den Grenzwert von x x=\frac{1}{3} identisch wird, so folgt nach dem Vorhergehenden \left(\frac{\delta}{r}+1\right)=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}, \frac{\delta}{r}=\left(\frac{1+\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{p}{\sigma}}\right)^{\frac{1}{2}}-1, \frac{R-r}{r}=\frac{R}{r}-1=\left(\frac{\sigma+p}{\sigma-r}^{\frac{1}{2}}\right)-1, \left(\frac{R}{r}\right)^2=\left(\frac{\sigma+p}{\sigma-p}\right) bezw. \left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{1+\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{p}{\sigma}} (Formel von Lamé). Wird jedoch die Reihe x+x^2+x^3+x^4+...=\frac{x}{1-x} der Rechnung zu Grunde gelegt, welche für x=\frac{1}{3} identisch wird, wird also \frac{\delta}{r}=\frac{x}{1-x} gesetzt, so folgt für \frac{R-r}{r}=\frac{R}{r}-1=\frac{x}{1-x} und \frac{R}{r}=1+\frac{x}{1-x} \frac{R}{r}=1+\frac{\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{p}{\sigma}}, bezw. \frac{R}{r}=1+\frac{p}{\sigma-p}, \left(\frac{R}{r}\right)=\frac{\sigma-p+p}{\sigma-p}=\frac{\sigma}{\sigma-p}=\frac{1}{1-\frac{p}{\sigma}} (Formel von Barlow, Kent und Unwin). Endlich gibt Petterson im American Machinist, 1900 Bd. 23, Nr. 7, S. 159–163, die Beziehung \frac{\delta}{r}=\frac{p}{\sigma-\frac{2}{3}\,p} an, welche abgeändert \left(\frac{R}{r}-1\right)=\frac{\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{2}{3}\,\frac{p}{\sigma}}, bezw. \frac{R}{r}=1+\frac{\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{2}{3}\,\frac{p}{\sigma}}=\frac{1+\frac{1}{3}\,\frac{p}{\sigma}}{1-\frac{2}{3}\,\frac{p}{\sigma}}, auch die Form \left(\frac{R}{r}\right)=\frac{3+\frac{p}{\sigma}}{3-2\,\frac{p}{\sigma}} erhält. Diese Beziehungen für \left(\frac{R}{r}\right) von Grashof, v. Bach, Lamé, Brix, Reuleaux, Barlow und Petterson sind für angenommene Werte von \frac{p}{\sigma} berechnet und in der Tabelle 1zusammengestellt. Hieraus ersieht man, dass für den oberen Grenzwerth \frac{p}{\sigma}=\frac{2}{3} die Werte für \frac{R}{r} zwischen 3,24 und 1,88 schwanken, während für den unteren Grenzwert \frac{p}{\sigma}=0,05 mit geringem Unterschiede sämtliche Beziehungen gleichwertig sind. Für \frac{p}{\sigma}=0,02 sind sämtliche Werte \frac{R}{r}=1,02 gleich gross. Für einen homogenen Hohlcylinder von \frac{R}{r}-\frac{115}{100}=1,15 Verhältnis würde nach der Tabelle \frac{p}{\sigma}=0,15 zu nehmen, also p = 0,15 . σ zu setzen sein. Für σ = 100 kg/qcm Maximalzugspannung dürfte p = 0,15 . 100 =3= 15 at nicht überschreiten. Sofern aber p = 50 at ist, so wird \frac{p}{0,15}=\sigma=\frac{50}{0,15}, σ = 333 kg/qcm grösste Materialanstrengung auf Zug an der inneren Hohlcylinderwand sein. Wird die Gleichung von Grashof hervorgehoben, so folgt \frac{1+0,7\,\frac{p}{\sigma}}{1-1,3\,\frac{p}{\sigma}}=\left(\frac{R}{r}\right)^2, bezw. \frac{p}{\sigma}=\frac{\left(\frac{R}{r}\right)^2-1}{0,7+1,3\,\left(\frac{R}{r}\right)^2}, woraus \sigma=\frac{1}{\left(\frac{R}{r}\right)^2-1}\,\left[0,7+1,3\,\left(\frac{R}{r}\right)^2\right]\,.\,p folgt. Für \frac{R}{r}=1,15 bezw. \left(\frac{R}{r}\right)^2=1,32 entsteht \sigma=\frac{1}{0,32}\,[0,7+1,3\,.\,1,32]\,p=7,55\,.\,p, für p = 50 at folgt σ = 387,5 kg/qcm Maximalzugspannung an der inneren Hohlcylinderwand. Hohlcylinder und Schrumpfring. Die allgemeinen Beziehungen für die Materialspannungen in tangentialer und radialer Richtung sind nach Grashof, Festigkeit, S. 311, Gleichung 538, \sigma=\frac{m-1}{m}\,A\,\pm\,\frac{m+1}{m}\,\frac{1}{z^2}\,.\,B. Wird nur die Materialspannung in tangentialer Richtung (+) als die grössere berücksichtigt und für m=\frac{10}{3}; \frac{m-1}{m}=0,7 und \frac{m+1}{m}=1,3 der Wert eingeführt, so folgt \sigma=0,7\,A+1,3\,.\,\frac{1}{z^2}\,.\,B . . . 1) als Spannung der Cylinderwandschicht im radialen Abstande z. Sind ferner R und r, äusserer und innerer Halbmesser des an den beiden Enden freien Hohlcylinders, sowie pa und pi die äusseren und inneren Radialkräfte (Molekular- bezw. Flüssigkeitsspannungen), so sind \left{{A=\frac{r^2\,.\,p_i-R^2\,.\,p_a}{R^2-r^2}}\atop{B=(p_i-p_a)\,\frac{R^2\,.\,r^2}{R^2-r^2}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 2) die in Gleichung 1) einzusetzenden Wertausdrücke. Wird in diese Ausdrücke einmal pa = 0, das andere Mal pi = 0 gesetzt, so folgen gesonderte Beziehungen für inneren und äusseren Ueberdruck. Wird ferner dieser ursprünglich homogen gedachte Hohlcylinder (R, r) aus einem Hohlcylinder I (ρ, r) und einem darauf warm aufgezogenen Ring II (R, ρ) zusammengesetzt, so dass die vorherige Wandstärke (R – r) = (R – ρ) + (ρ – r) beibehalten wird, so kann diese Rohrverbindung nicht nur in ihren einzelnen Bestandteilen, sondern auch in der Zusammensetzung (I, II) = III für den Betriebszustand rechnerisch untersucht werden. Zu diesem Zweck wird zur Vereinfachung die innere Flüssigkeitsspannung pi = p und die durch den Schrumpfring II auf den Hohlcylinder I ausgeübte äussere Radialpressung pa = ps gesetzt. Demgemäss werden die allgemeinen Wertausdrücke für A und B aus Gleichung 2) zu Sonderwerten für die einzelnen Fälle. Für p = 0 wird der Hohlcylinder I (ρ, r) durch den Schrumpfring II (R, ρ) und vermöge der äusseren Radialpressung ps druckgespannt. Es werden hiernach \left{{I\,A_a=-\frac{\rho^2}{\rho^2-r^2}\,.\,p_s}\atop{I\,B_a=-\frac{\rho^2\,r^2}{\rho^2-r^2}\,.\,p_s}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 3a) die zugehörigen Sonderwerte sein. Dem Gleichgewichtsgesetze für Wirkung und Gegenwirkung entsprechend, ist der Schrumpfring II (R, ρ) durch die innere Radialpressung ps zuggespannt. Dementsprechend sind die Sonderwerte \mbox{bezw.}\left{{II\,A_i=\frac{\rho^2}{R^2-\rho^2}\,.\,p_s}\atop{II\,B_i=\frac{R^2\,\rho^2}{R^2-\rho^2}\,.\,p_s}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 3b) Für die Ringverbindung (II, I) = III (R, r) gilt, weil pa = 0 und pi = p die innere Flüssigkeitspressung ist, \mbox{und}\left{{III\,A_i=\frac{r^2}{R^2-r^2}\,.\,p}\atop{III\,B_i=\frac{R^2\,r^2}{R^2-r^2}\,.\,p}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 3c) Werden diese Sonderwerte Gleichung 3) in Gleichung 1) eingeführt, so folgen die Materialspannungen: I. Cylinderring, isoliert: \sigma=-\frac{\rho^2}{\rho^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{r^2}{z^2}\right]\,p_s . . . . 4a) II. Schrumpfring, isoliert: \sigma=\frac{\rho^2}{R^2-\rho^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{R^2}{z^2}\right]\,p_s . . . . 4b) III. Ringverbindung: \sigma=\frac{r^2}{R^2-r^2},\left[0,7+1,3\,\frac{R^2}{z^2}\right]\,p . . . . 4c) IV. Innerer Hohlcylinder, für sich allein unter innerer Pressung p stehend: \sigma=\frac{r^2}{\rho^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{\rho^2}{z^2}\right] . . . . 4d) Wenn nun in diese Gleichung 4) die Grenzwerte für den Radialabstand z, also z = (r, ρ, R) eingeführt und die tangentialen Hauptspannungen in den Ringflächen berechnet werden, so ergibt die Summation der Einzelspannungen resultierende Anstrengungen. Z.B. (I_{\sigma_i}+III_{\sigma_i})=\sigma_i (II_{\sigma_i}+III_{\sigma_\rho})=\sigma_i (II_{\sigma_a}+III_{\sigma_a})=\sigma_a im„„ Abstande„„ z = rz = ρz = R 5) worin σi und σa Spannung an der inneren bezw. äusseren und σg Spannung an der mittleren Berührungsfläche bedeutet. Sind dagegen bei gegebener Pressflüssigkeit p die Materialanstrengungen σ vorgeschrieben, so kann bei Benutzung der Gleichungen 5) und 4) die radiale Pressung ps bezw. das Schrumpfmass ermittelt werden. Besteht der innere Hohlcylinder aus Gusseisen oder Stahlguss, der Schrumpfring aber aus Schmiedeeisen oder Stahl, so muss in die Beziehungen für die spezifischen Dehnungen auch der entsprechende Dehnungskoeffizient α1 oder α eingesetzt werden. \mbox{Allgemein:}\left\{{{\mbox{Spannung}\ \ .\ .\ .\ .\ \rho=\frac{\epsilon}{\alpha},}\atop{\mbox{Spez. Dehnung}\ \rho\,\alpha=\epsilon.}}\right Die Schrumpfringcylinder des Schiffshebewerkes von La Louvière in Belgien. Jeder der beiden für einen Kolbenhub von 15 m bemessenen Presscylinder (vgl. D. p. J. 1890 277 * 551) besteht aus neun Stück 2 m hohen Gussröhren von 204 cm innerem Durchmesser und 10 cm Wandstärke, welche ihrer ganzen Länge nach mit 5 cm starken und 15,2 cm hohen, warm aufgezogenen Stahlringen verstärkt sind. Behufs Verschraubung der Rohrteile sind die Endringe jedes Teiles als Winkelstahle ausgebildet, welche, um ein Abstreifen zu verhindern, an einem 3 mm vorspringenden Rand des Cylinderstückes sich stützen. Es müssen daher sämtliche Stahlringe, abgesehen vom Schrumpfmass, vor dem Aufziehen so weit erwärmt werden, dass sie diesen 3 mm vorstehenden Rand bequem übergreifen können. Um die Rechnung zu vereinfachen, sind im Beispiel die Halbmesser abgerundet. r = 100 cm innerer Cylinderhalbmesser, ρ = 110  „   äuβerer                 „ R = 115  „      „      Halbmesser des Schrumpfrings. Alsdann sind die Rechenwerte: ρ2 =1,21 r2, R2= 1,32 r2, \frac{r^2}{\rho^2}=0,826, \frac{R^2}{\rho^2}=1,09, \frac{\rho^2}{\rho^2-r^2}=5,76, \frac{r^2}{R^2-r^2}=3,125, \frac{\rho^2}{R^2-\rho^2}=11,0, \frac{r^2}{\rho^2-r^2}=4,76. Im isolierten Cylinder ist für z = r die durch den Schrumpfring veranlagte Materialdruckspannung an der inneren Hohlwand nach Gleichung 4 a): I\,\sigma_i=-\frac{\rho^2}{\rho^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\right]\,.\,p_s, I σi= – 11,52 · ps; dagegen die durch das Presswasser bedingte Zugspannung nach Gleichung 4 c) für z = r: III\,\sigma_i=\frac{r^2}{R^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{R^2}{r^2}\right]\,.\,p, III σi= 7,55 · p. Die resultierende Materialspannung an der inneren Hohlcylinderwand ist daher σ = 7,55 p – 11,52 ps. Ist nun für eine Flüssigkeitspressung von p = 40 at eine Materialdruckspannung von σ = 100 kg/qcm zugelassen, so folgt – 100 = 7,55 . 40 – 11,52 ps, 11,52 ps = 302,0 + 100 = 402, p_s=\frac{402}{11,52}=34,9\,\sim\,35\mbox{ at} als spezifische radiale Pressung des Schrumpfringes. Bei p = 0 wird der Stahlring nach dem warm Aufziehen mit ps = 35 kg/qcm radial gespannt sein; es wird daher an seinem inneren Umfange für z = ρ eine tangentiale Hauptspannung nach Gleichung 4b) auftreten: II\,\sigma_i=\frac{\rho^2}{R^2-\rho^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{R^2}{\rho^2}\right]\,p_s, II σi = 11 [0,7 + 1,3 · 1,09] 35, IIσi = 815 kg/qcm, Hierzu kommt die Hauptspannung der Ringverbindung für die Flüssigkeitspressung p = 40 at im Abstande z = ρ nach Gleichung 4 c): III\,\sigma_\rho=\frac{r^2}{R^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{R^2}{\rho^2}\right]\,.\,p, IIIσρ = 4,76 [0,7 + 1,3 . 1,09] . p, IIIσρ = 4,76 [2,117] . 40 = 403,0 kg/qcm. Die resultierende Zugspannung an der inneren Fläche des Schrumpfringes ist daher σ = IIσi + IIIσρ = 815 + 403 = 1218 kg/qcm. Ist dagegen die Bedingung gestellt, dass das Cylindermaterial mit σ = 100 kg zuggespannt werde, wodurch das Material der Schrumpfringe entsprechend entlastet wird, so folgt nach σ = 7,55 p – 11,52 ps, 100 = 7,55 . 40 – 11,52 ps, 11,52 ps = 302 – 100 = 202, p_s=\frac{202}{11,52}=17,53kg/qcm oder at radiale Pressung. Hiernach folgt IIσi= 11 [0,7 + 1,3 . 1,09] . 17,5, IIσi= 407,5 kg/qcm und daher σ = (IIσi + IIσg) = 407 + 403 = 810 kg/qcm als Maximalanstrengung der Stahlringe. Nun ist aber für eine Zuginanspruchnahme an der inneren Hohlcylinderwand von σ = 100 kg/qcm eine grösste Zuginanspruchnahme von σ = 750 kg an der Innenfläche der stählernen Schrumpfringe zugelassen, welche bei einer Wasserpressung von p = 36 at erreicht werden soll. Hiernach folgt die spezifische Kraftstärke ps für den Schrumpfring nach Gleichung 4 a) und 4 c) bezw. deren Verbindung σ = 7,55 p – 11,521 ps, 11,52 ps = 7,55 p – σ, 11,52 ps = 7,55 . 36 – 100, 11,52 ps = 272 – 100 = 172, p_s=\frac{172}{11,52}=14,93\,\sim\,15\mbox{ at.} Dementsprechend folgt nach Gleichung 4 b) IIσi = 11 [0,7 + 1,3 . 1,09] ps = IIσi = 11 [2,117] ps = 23,287 ps und nach Gleichung 4 c) für z = ρ IIσg = 4,76 [2,117] p = 10,08 . p. Die resultierende Spannung an der Schrumpfringbohrung ist daher σ = IIσi + IIσg, σ = 23,287 ps + 10,08 p; demgemäss 23,29 ps = σ – 10,08 . p, p_s=\frac{\sigma-10,08\,.\,p}{23,29} und für σ = 750 kg/qcm und p = 36 at eingesetzt, folgt p_s=\frac{750-363}{23,29}=16,6\mbox{ at.} Da aber ps in beiden Fällen unbedingt gleich sein muss, so wird nach der ersten Annahme für σ = 100 kg/qcm Zuginanspruchnahme für das Gusseisen an der Cylinderhohlwand ps = 15 at sein. Danach folgt für p = 36 at nach σ = 23,29 ps + 10,08 p, σ = 23,29 . 15 + 10,08 . 36, σ = 349 + 363, σ = 712kg/qcm Materialzugspannung an der inneren Schrumpfringfläche. Dieser Zugspannung entsprechend muss die Ausbohrung ρ0 des isolierten Schrumpfringes im kalten Zustande berechnet werden. Die unbereiften Cylinderteile wurden einzeln einer Druckprüfung mit p = 40 at Wasserpressung unterworfen. Dementsprechend wird das Material an der inneren Cylinderwand nach Gleichung 4 d) für z = r mit IV\,\sigma_i=\frac{r^2}{\rho^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{\rho^2}{r^2}\right]\,.\,p, IVσi = 4,76 [0,7 + 1,3 . 1,21] . p, IVσi = 4,76 [2,273] . p = 10,72 p, IVσi = 10,72 . 40 = 428,8 ∾ 429 kg/qcm Zugspannung beansprucht, d. i. 4mal stärker als im bereiften, mit Schrumpfringen verstärkten Zustande. Versuchsweise wurde ein solcher unbereifter Cylinderteil mit p = 80 at gepresst, so dass seine Zuginanspruchnahme auf σ = 2 . 429 = 858 kg/qcm gesteigert wurde. Bei einem bis zum Aeussersten getriebenen Press versuch wurde ein unbereifter Cylinderteil mit p = 146,5 at zersprengt, was einer Bruchspannung von σ = 10,72 . 146,5 = 1570 kg/qcm entsprechen würde. Zerreissversuche mit Probestäben ergaben eine mittlere Bruchfestigkeit auf Zag von kz = 1700 kg/qcm und eine Druckfestigkeit von kd = 7640 kg/qcm. Ein mit Schrumpf ringen verstärkter Cylinderteil wurde mit einer Wasserpressung von p = 265 at geprüft, wobei der gusseiserne Cylinder allein und ohne Knall zersprang, während die Stahlreifen unverletzt geblieben waren. Bei einer radialen Schrumpfringpressung von ps = 15 at würde dies nach Gleichung 4 a) und 4 c) bezw. deren Verbindung σ = 7,56 . p – 11,52 . ps, σ = 7,55 . 265 – 11,52 . 15, σ = 2000 – 173 = 1827 kg/qcm Bruchfestigkeit ergeben. Nach Zerreissversuchen hatte dieses Gusseisen kz = 1753 kg/qcm Zugfestigkeit und kb = 7349 kg/qcm Druckfestigkeit, während das Stahlmaterial der Schrumpfringe bei ε = 0,2527 spezifischer Dehnung eine Zugfestigkeit von kz = 4653 kg/qcm hatte. Bei diesem vorbeschriebenen Bruchversuch wurden die Stahlringe an der Innenfläche mit σ = 23,29 . ps + 10,08 . p, σ = 23,29 . 15 + 10,08 . 265, σ = 349 + 2671 = 3020 kg/qcm zuggespannt, also überangestrengt. Die spezifische Dehnung des Stahlringes war in diesem Versuchsfall: \epsilon=\alpha\,.\,\sigma=\frac{3000}{2000000}=\frac{1}{666}, und \lambda=\epsilon\,.\,\rho=\frac{3\,.\,1100}{2000}=\frac{3,3}{2}=1,65\mbox{ mm} die Erweiterung des Halbmessers. Für eine Radialpressung von ps = 15 at beträgt die Ringmaterialspannung IIσi = 23,29 . ps = 23,29 . 15, IIσi = 349 kg/qcm und σ = 350 kg/qcm, die spezifische Dehnung demnach \epsilon=\alpha\,.\,\sigma=\frac{350}{2000000}. Unter dieser Radialpressung ps = 15 at wird die äussere Wand des gusseisernen Cylinders nach Gleichung 4 a) druckgespannt, und zwar für z = ρ mit I\,\sigma_a=-\frac{\sigma^2}{\sigma^2-r^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{r^2}{\rho^2}\right]\,.\,p_s, Iσa = – 5,76 [0,7 + 1,3 . 0,826] . ps, Iσa = – 5,76 [0,7 + 1,074] . ps, Iσa = – 5,76 [1,774] . ps = – 10,22 . ps, für ps = 15 Iσa = –153,3 kg/qcm, rund σ1= – 150 kg/qcm. Die spezifische negative Dehnung (Verkürzung) des Cylinders ist daher \epsilon_1=-\frac{\sigma_1}{\alpha_1}=-\frac{150}{1000000}. Um den Betrag dieser spezifischen Verkürzung muss die Bohrung des Stahlreifens im kalten Zustande kleiner werden als bei starrem Cylindermaterial. Es ist daher die Ausbohrung des Stahlringes im kalten Zustande (bei t = 15° C.) ρ0= ρ (1 – ε1) . (1 – ε), also ρ0= ρ [1 –(ε + ε1)], sofern ε . ε1 vernachlässigt wird, \rho_0=\rho\,\left[1-\left(\frac{350+350}{2000000}\right)\right], ρ0 = 0,999675 . ρ und für ρ = 1100 mm ρ0  = 1099,64 mm ∾ 1099,5 mm. Soll dieser Stahlreifen mit der Ausbohrung ρ0 = 1099,5 mm über den 3 mm vorstehend angedrehten Cylinderrand bequem übergeschoben werden, so muss durch die Erwärmung eine Ringerweiterung um mindestens 3,5 mm, d. i. auf eine Weite ρ1 = ρ0 + 3 + 0,5 = 1103 mm herbeigeführt werden. Es war \frac{1+w\,.\,t_1}{1+w\,.\,t}=\frac{\rho_1}{\rho}, 1+w\,t_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}\,(1+w\,t), w\,t_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}\,(1+w\,t)-1, daher t_1=\frac{w}{1}\,.\,\left[\frac{\rho_1}{\rho_0}\,(1+w\,t)-1\right] die Erwärmungstemperatur. Da w=\frac{1}{93000} für je 1 ° C. der Ausdehnungskoeffizient für ungehärteten Stahl ist, so folgt für die Normaltemperatur (1+w\,t)=\left(1+\frac{15}{93000}\right), (1 + wt) = (1,00016), \frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{1103}{1100}\,\sim\,1,003, \frac{\rho_1}{\rho_0}\,.\,(1+w\,t)=1,003\,.\,1,00016=1,00316, t_1=\frac{1}{w}\,.\,[0,00316]=93000\,.\,0,00316,, t1 = 294 °C. Dieses vorstehenden Cylinderrandes wegen muss die Erwärmung der Stahlringe bis an die Grenze der Blaubrüchigkeit t = 300 ° C. erfolgen. Der Kolben zu diesem Hebewerk besteht aus einem halbkugelförmigen Bodenstück, aus einem Kopfstück mit quadratischer Abschlussplatte und acht cylindrischen Mittelstücken von 2130 mm Baulänge, 2000 mm äusserem Durchmesser und 75 mm Wandstärke. Die Inanspruchnahme dieses mit äusserem Flüssigkeitsdruck gespannten Kolbencylindermaterials ist, abgesehen von der Randverstärkung durch die inneren Verbindungsflanschen, nach Gleichung 4 a) abgeändert mit \sigma=-\frac{r^2}{r^2-{r_0}^2}\,\left[0,7+1,3\,\frac{{r_0}^2}{z^2}\right]\,.\,p zu berechnen, worin r0 = r – 7,5 = 100 – 7,5 = 92,5 cm der innere Halbmesser des hohlcylindrischen Kolbens ist. Für z = r folgt alsdann: \sigma_a=-\frac{1}{1-0,855}\,[0,7+1,3\,.\,0,855]\,.\,p, \sigma_0=-\frac{1}{0,145}\,[0,7+1,11]\,.\,p, σa = – 6,897 [1,81] . p = –  12,48 . p, für p = 36 folgt: σa = – 12,48 . 36 = – 449,3 kg/qcm Druckinanspruchnahme in der äusseren Kolbenfläche. Dagegen würde die Materialanstrengung an der inneren Hohlwand für z = r0 σi = – 6,897 [2] . p = – 13,794 . p, d. i. σi = – 496,6 kg/qcm betragen. Die mittlere Druckanstrengung stellte sich demnach auf \sigma=\frac{\sigma_0+\sigma_i}{2}\,.\,p=\frac{12,48+13,79}{2}\,.\,p=-\frac{26,27}{2}\,.\,p und nach der Näherungsrechnung f . σ = r . p \sigma=\frac{r}{7,5}\,.\,36=\frac{100}{7,5}\,.\,36, σ = 13,2 . 36 = 475 kg/qcm gleichmässige Druckanstrengung im normalen Wandquerschnitt f. (Schluss folgt.)