Beitrag zur Erklärung des G. S. Ohm'schen Gesetzes. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Patentanwalt. Beitrag zur Erklärung des Ohm'schen Gesetzes. I. Allgemeine Vorbemerkung. Das Ohm'sche Gesetz, das von G. S. Ohm 1826 aufgestellt worden ist und nach welchem die Stromintensität der Summe aller in einer galvanischen Kette wirksamen elektromotorischen Kräfte direkt, der Summe aller Leitungswiderstände aber umgekehrt proportional ist, wird, wenn man die Stromintensität mit J, die elektromotorische Kraft der Kette mit E, den Gesamtwiderstand mit W bezeichnet, durch die einfache und leicht verständliche Formel J=\frac{E}{W} oder E = W . J . . . . . . . 1) ausgedrückt; das Ohm'sche Gesetz gibt also die Beziehung an, welche nach den Erfahrungstatsachen zwischen den Grössen E, W und J besteht, ganz gleichgültig, auf welche Weise die elektromotorische Kraft erzeugt wird. So einleuchtend der Grundgedanke dieses Gesetzes bei oberflächlicher Betrachtung erscheint und so sicher die Gültigkeit desselben durch die Beobachtungen von Ohm selbst und später von Fechner, Kohlrausch und W. Weber nachgewiesen ist, ebenso grosse und bisher fast unüberwindbare Schwierigkeiten hat eine theoretische, einwandsfreie Begründung dieses neben dem Coulomb'schen und dem Weber'schen elektrodynamischen Grundgesetze wichtigsten Gesetzes der Elektrizitätslehre den Physikern bis auf den heutigen Tag bereitet. Die für den praktischen Elektrotechniker so klar und scharf bestimmten Begriffe „Stromstärke“ oder „Stromintensität“, „elektromotorische Kraft“ und „elektrischer Widerstand“, deren thatsächliche Beziehung zu einander durch das Ohm'sche Gesetz gekennzeichnet wird, haben weder vom Standpunkte der alten Muidaltheorie noch auch von demjenigen der durch die Hertz'schen Arbeiten sicher begründeten elektrischen Wellenlehre aus sich klar und deutlich erklären lassen und haben auch seit Einführung des absoluten Masssystems nicht an Klarheit gewonnen; es sind vielmehr gerade erst seit Einführung desselben die Widersprüche, welche in denselben enthalten sind, deutlicher bemerkt worden. In dieser Hinsicht bemerkt Th. Schwartze im „Grundgesetze der Molekularphysik“ (Leipzig, Verlagsbuchhandlung von J. J. Weber 1896) völlig zutreffend auf S. 161 folgendes: „Bekanntlich wird die Dimensionsformel des spezifischen Widerstandes hergeleitet aus den Beziehungen des sogen. Ohm'schen Widerstandes zur Länge l und dem Querschnitt q des Leiters. Bezeichnet man den spezifischen Widerstand mit ρ, so erhält man die Formel: R=\frac{l}{q}\,\rho=\frac{L}{L^2}\,.\,L^2\,T^{-1} . . . . 2) wobei man durch einen Zirkelschluss aus der Definition des Widerstandes R als einer Geschwindigkeit LT–1 den spezifischen Widerstand durch L2T–1 definiert, obschondieser sogen. spezifische Widerstand ebenso wenig wie die spezifische Wärme oder das spezifische Gewicht von der Zeit abhängig ist, sondern nur ein numerischer Vergleichswert sein kann, dem eine willkürlich eingeführte Einheit zu Grunde liegt. Unzweifelhaft ist der sogen. Ohm'sche Widerstand durch die Kapazität des Leitermaterials für Aufnahme der als Elektrizität bezeichneten Kraftäusserung bedingt; diese Kraftäusserung kann aber nur in einer besonderen Bewegungsform ihre Ursache haben, denn die Kraft beruht in Bewegung; Gewicht kann nur durch kinetischen Druck erzeugt werden, denn Druck ist Tendenz zur Geschwindigkeitsentwickelung; im scheinbaren Ruhezustande eines Körpers muss aber diese Geschwindigkeitsentwickelung im Unendlichkleinen, d.h. in der Verfolgung einer unmessbar kleinen Kraftstrecke ihre Grenze finden. Da nun aber mit Nullierung der Tendenz zur Geschwindigkeitsentwickelung auch der Druck nulliert werden würde, so folgt daraus, dass die Tendenz zur Geschwindigkeitsentwickelung eine pulsierende sein muss. Daher kann die Schwerkraft nur durch Schwingungen oder Wellenbewegung des Aethers, ähnlich wie das Licht, zur Entfaltung gelangen. Ebenso muss aber auch der sogen. Ohm'sche Widerstand, der ähnlich wie das Gewicht als Druck, nämlich als Gegendruck der Stromwirkung auftritt, in einer schwingenden Bewegung der beeinflussten Kraftpunkte der betreffenden Substanz, des Leitermaterials und des Aethers, seinen Grund haben. Hieraus folgt aber wiederum, mit Rücksicht auf das Prinzip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung, dass auch der sogen. elektrische Strom nur als kinetischer Druck zu betrachten ist und dass also Strom und Widerstand Grössen gleicher Ordnung sind, die sich im Maximum und Minimum ihrer schwingenden Bewegung miteinander ausgleichen.“ Die vorstehende Anschauung von Schwartze stimmt mit den von mir aus dem allgemeinen Wirkungsgesetze der Materie abgeleiteten Schlussfolgerungen (Zeitschr. d. deutsch. Ver. z. F. d. Luftschiffahrt, Jahrg. 1887 und Elementare Physik des Aethers, I. Tl. S. 1 bis 6) vollständig überein. In der That habe ich auf Grund der elektrischen Wellenlehre mit Hilfe der Sellmeier'schen Absorptionstheorie nachzuweisen vermocht, dass der elektrische Widerstand nichts anderes als eine lebendige Kraft bedeutet, welche der diesen Widerstand erzeugenden elektromotorischen Kraft gleich ist. Zu diesem Ergebnis bin ich, wie aus den betreffenden Abschnitten a. a. O. zu ersehen ist, in stufenmässigem Entwickelungsgang, ohne dass es von mir bewusst gesucht wurde, dadurch gelangt, dass ich zunächst mit Hilfe der Absorptionstheorie die Gesetze der Fortpflanzung der Aetherwellen durch Leitung auf die Strahlung und Absorption der elektrischen Schwingungen des Aethers von Körperschicht zu Körperschicht zurückführte und auf diese Weise die Beziehung des Leitungsvermögens bezw. des diesem reciproken elektrischen Widerstandes zur brechenden Kraft n2 – 1 des Leiters auffand. Da zur Zeit, als ich diese Entwickelungen zum erstenmal in der Zeitschrift des deutschen Vereins zur Förderung der Luftschiffahrt Ende der 80er Jahre veröffentlichte, die Brechungsexponenten der Metalle für die elektrischen Schwingungen noch nicht bekannt waren, so berechnete ich dieselben (ni, nr) mit Hilfe der aus der Huyghens'schen Wellentheorie sich ergebenden Gleichung \frac{c_i}{c_r}=\frac{n_r}{n_i} . . . . . 3) aus den beobachteten Fortpflanzungsgeschwindigkeiten (ci, cr) des elektrischen Stromes in Drähten, während in naturgemässem Anschluss daran das Snellius'sche Brechungsgesetz sin i = n sin r. . . . . . 4) über die vom Leiter ausgestrahlten Schwingungen, welche die Induktionserscheinungen bewirken, und über die den Leiter durcheilenden Schwingungen, welche die elektrolytischen Vorgänge bezw. die Wirkungen der elektromotorischen Kräfte bedingen, in ungezwungener Weise Aufschluss gab. Es zeigte sich dabei, dass wir beim Messen mittels der Tangentenbussole und ähnlicher Instrumente die durch Strahlung verloren gehende Menge der elektrischen Wellen bestimmen, dagegen mittels des Voltameters wirklich diejenige Elektrizitätsmenge messen, welche durch den Draht fortgeleitet wird. Bei der Untersuchung der Thermoelektrizität von diesem Standpunkte aus ergab sich das durch die Beobachtungen bestätigte Resultat, dass die Grösse der thermoelektromotorischen Kraft von dem Verhältnis der brechenden Kräfte der beiden die Thermokette bildenden Metalle abhängig ist. Eine einfache mathematische Entwickelung der so erhaltenen Resultate hat, wie ich in Licht-, Elektrizitäts- und X-Strahlen, S. 122 u. ff. gezeigt habe, ergeben, dass E=W\,.\,J=\frac{{c_r}^2}{2}\,.\,J . . . . 5) oder für die Stromstärke J = 1 E=W=\frac{{c_r}^2}{2}, d.h. der spezifische Widerstand nichts anderes als die lebendige Kraft der Stromstärke 1 und der diesen Widerstand erzeugenden elektromotorischen Kraft E gleich ist. Die auf diesem Wege gefundenen Beziehungen finden ihre Bestätigung durch die höchst interessante Arbeit von C. Liebenow „Ueber den elektrischen Widerstand der Metalle“ (Zeitschrift für Elektrochemie, 4. Jahrg. Nr. 8 und 9, 1897). Liebenow ist ebenso, wie dies in Elementare Physik des Aethers, 2. Tl. S. 3 u. ff. geschehen ist, von der Thermoelektrizität ausgegangen. Im Anschluss an die vorstehenden Bemerkungen, welche lediglich zur Aufklärung über das erstrebte Ziel und über die Tragweite des vorliegenden Problemes dienen sollen, gedenke ich an der Hand der angeführten Lösungsversuche das elektrische Leitungsvermögen bezw. den elektrischen Widerstand, die elektromotorische Kraft, die Induktion und zum Schluss das alle diese Vorgänge umfassende Ohm'sche Gesetz vom Standpunkte der Wellentheorie aus zu erläutern. II. Leitungswiderstand bezw. Vermögen nach Liebenow und Mewes. Beim Strömen der Elektrizität durch einen geschlossenen Leiter tritt infolge der bedeutenden Fortpflanzungsgeschwindigkeit des elektrischen Stromes, in Kupferdrähten immerhin noch 4000 bis 6000 km in der Sekunde, fast momentan ein stationärer Zustand ein, so dass in gleichen Zeiten durch jeden Querschnitt gleiche Elektrizitätsmengen hindurchfliessen. Die Menge der im Stromkreise fliessenden Elektrizität können wir, da wir ja nur Differenzzustände zu beobachten vermögen, nicht direkt messen. Wir müssen daher auf die Menge der fliessenden Elektrizität, die Stärke des galvanischen Stromes, genau in derselben Weise, wie dies bei der Wärme und beim Licht geschieht, aus den Wirkungen des Stromes schliessen; vorzüglich sind es zwei Wirkungen, welche man zur Messung derselben benutzt, nämlich die chemischen und magnetischen Vorgänge, welche einerseits bei der Elektrolyse oder der Zersetzung binärerchemischer Verbindungen in ihre Elemente bezw. Radikale durch den Strom stattfinden, andererseits bei der Induktion und dem Elektromagnetismus in der Tangentenbussole oder im Galvanometer durch mechanische Arbeitsleistungen ausserhalb des Stromkreises wirksam werden. Bei der ersten Art von Messapparaten, den Voltametern, erhält man, da die Wärmetönung der in Frage kommenden chemischen Verbindungs- und Scheidungsvorgänge, d.h. die ent- bezw. gebundenen Wärmemengen durch die zahlreichen Beobachtungen der Chemie, insbesondere der Thermochemie genau bekannt sind, den Bruchteil der elektromotorischen Kraft E, welcher in der Zeiteinheit wirklich durch den Stromkreis hindurchgegangen ist, direkt in Wärmemass. Bezeichnet man nun die elektromotorische Kraft des bei einem bestimmten Versuche gebrauchten galvanischen Stromes mit E, die Summe der Widerstände mit W, so erhält man für die Menge der in der Zeiteinheit durch jeden Querschnitt des Drahtes strömenden Elektrizität e=\frac{E}{W} . . . . 1) Befindet sich in dem Stromkreis eine Zersetzungszelle (Voltameter), so wird in derselben in der Zeiteinheit durch die strömende Elektrizität eine gewisse Quantität / Knallgas entwickelt; die Beobachtung ergibt weiter, dass die Menge des entwickelten Knallgases der Dauer des Stromdurchganges direkt proportional ist. Da bei konstantem Stromdurchgange in gleichen Zeiten die gleiche Elektrizitätsmenge den Stromkreis durchfliesst, so folgt aus dieser Beobachtung, dass die Menge des entwickelten Knallgases der Menge der strömenden Elektrizität proportional ist. Das Gleiche muss auch stattfinden, wenn in gleichen Zeiten verschiedene Elektrizitätsmengen den Stromkreis durchfliessen, oder es muss die in gleichen Zeiten den Stromkreis durchfliessende Elektrizitätsmenge der Menge des entwickelten Knallgases proportional sein. Ist J die in der Zeiteinheit entwickelte Knallgasmenge, a eine Konstante, so muss J=a\,e=\frac{a\,E}{W} . . . . . 2) sein. (Nebenbei sei hier bemerkt, dass die in physikalischen und elektrotechnischen Untersuchungen stets benutzte Einheit „das Ampère“ gleich zehn Weber'schen Einheiten – Einheit des absoluten elektromagnetischen Strommasses – ist und in einer Minute 10,434 ccm Knallgas von 0° und 760 mm Druck liefert.) Da J die durch den Stromkreis wirklich hindurchgegangene, E die erzeugte Elektrizitätsmenge ist, so muss die aus dem Stromkreis nach aussen ausgestrahlte bezw. in irgend einer Form nach aussen abgegebene Elektrizitätsmenge, wenn J und F in Wärmemass angegeben werden, für die Zeiteinheit gleich dem Unterschiede beider Grössen sein. Aus Gleichung 2) folgt \frac{E}{J}=\frac{E}{a} oder E – J : W – a = J : a, d.h. V=E-J=\frac{W-a}{a}\,.\,J . . . . 3) Die nach aussen abgegebene Elektrizitätsmenge V = E – J kann jedoch mit Hilfe der Tangentenbussole oder eines Galvanometers gemessen werden. Bezeichnet man die abstossende Kraft einer Tangentenbussole mit i, so muss, wenn diese abstossende Kraft der in der Zeiteinheit durch jeden Querschnitt des Drahtes strömenden Elektrizität e proportional ist, i=b\,.\,e=b\,\frac{E}{W} . . . . . . 4) sein, da eben die durch den Draht strömende Elektrizität es ist, welche die Ablenkung hervorruft. Streng genommen trifft diese allgemein in den physikalischen Lehr- und Handbüchern angeführte Begründung der Gleichung 4) nicht zu; denn in Wahrheit wird die Ablenkung der Magnetnadel in der Tangentenbussole durch die aus dem Stromkreis austretende Elektrizitätsmenge E – J bewirkt. Man muss daher richtiger setzen i=b\,\frac{E-J}{W}=\frac{b\,.\,V}{W} . . . . 5) Es scheint hier ein wichtiger Punkt vorzuliegen, der meines Wissens bei der Untersuchung des Ohm'schen Gesetzes noch nicht berücksichtigt worden ist. Aus Gleichung 4) folgt \frac{E}{i}=\frac{W}{b} oder E – i : W – b = i : b, d.h. die im Stromkreis gebliebene Elektrizitätsmenge J=E-i=\frac{W-b}{b}\,.\,i . . . . 6) Aus Gleichung 2) und 4) folgt \frac{i\,W}{b}=\frac{J\,W}{a} oder \frac{i}{J}=\frac{b}{a} . . . . . 7) Das Verhältnis der Konstanten b und a gibt somit das Verhältnis der ausgestrahlten zur fortgeleiteten Elektrizitätsmenge an. Aus Gleichung 3) und 5) folgt dagegen für dies Verhältnis \frac{i}{J}=\frac{W-a}{a}\,.\,\frac{b}{W}=\frac{b}{a}\,.\,\left(1-\frac{a}{W}\right) . . 8) Die Gleichungen 7) und 8) fallen, da a im Verhältnis zu W eine kleine Grösse ist, ziemlich zusammen. Aus den Gleichungen 2) und 4), welche bekanntlich zur Bestimmung der spezifischen Widerstände W und auch der elektromotorischen Kräfte E der galvanischen Säulen durch die Beobachtungswerte J und i dienen, geht hervor, dass die Begriffe W und E in engstem Zusammenhange miteinander stehen und einander gleichwertige Grössen darstellen. Bevor man über das Ohm'sche Gesetz urteilen kann, muss man daher eine klare theoretische Erklärung über Sinn und Bedeutung der Begriffe und Grössen „elektrischer Widerstand“ und „elektromotorische Kraft“ geben. C. Liebenow suchte diese Aufgabe in seiner schon oben erwähnten Arbeit „Ueber den elektrischen Widerstand der Metalle“ (Zeitschrift für Elektrochemie, Jahrg. 1897, Nr. 8 und 9) durch die Annahme zu lösen, dass die an festen Metallen stattfindenden Erscheinungen so vor sich gehen, als ob thermoelektromotorische Gegenkräfte die schnelle Verschiebung der Elektrizität in diesen Leitern verhindern, und geht bei seinen Entwickelungen von der alten Dalton'schen Atom- und Molekültheorie aus, nach welcher die kleinsten Teile eines festen Metalles selbständige Körperchen von sehr kleinen Dimensionen, nämlich Moleküle, sind und letztere selbst im allgemeinen aus noch kleineren, nicht weiter teilbaren Körperchen, den chemischen Atomen, bestehen. Aus dem Gemisch zweier Metalle, in welchem keinerlei Veränderung der Moleküle stattgefunden haben möge, denkt er sich einen unendlich dünnen Cylinder herausgeschnitten, dessen Radius gegenüber die Dimensionen eines Moleküls noch sehr gross erscheinen. Ein solcher Faden, der abwechselnd aus molekularen Teilen (Atomen) der beiden Metalle bestehen soll, gleicht somit einer Thermosäule, die aus zwei Metallen in wechselnder Reihenfolge aufgebaut ist. Lässt man durch einen solchen Metallfaden einen elektrischen Strom hindurchgehen, so muss an denjenigen Stellen, in denen sich die Teilchen der beiden Metalle berühren, die bekannte Peltier-Erscheinung auftreten, da kein Grund vorhanden ist, warum die bei grösseren Massen beobachteten Vorgänge nicht auch bei den Bestandteilen, den Molekülen, unter sonst gleichen Bedingungen eintreten sollen. Die Gesetze derartiger Thermosäulen entwickelt Liebenow a. a. O., sowohl für Elemente von gleicher als auchfür solche von ungleicher Länge. Da der letztere Fall nur eine mathematisch verwickeltere Behandlung erfordert, im übrigen aber zu demselben Ergebnis wie der einfachere Fall, in welchem die Elemente gleiche Länge besitzen, so sollen hier nur die diesbezüglichen Entwickelungen und zwar wörtlich wiedergegeben werden, da sich dieselben wegen ihrer Einfachheit kaum kürzer darstellen lassen. Der in Fig. 1 abgebildete Metallfaden besteht aus miteinander abwechselnden Elementarblättchen αβ, α1β1, α2β2 u.s.w. von der Dicke dla bezw. dlβ und dem Querschnitt q, während der ihn durchfliessende elektrische Strom die konstante Intensität i besitzt. „Ist die Länge der ganzen Säule gleich 1, so ist, wenn ∑dla = n . . . . 1') gesetzt wird, ∑d lβ = 1 – n . . . . 2') Textabbildung Bd. 315, S. 503 Fig. 1 Die Gesamtzahl aller Plattenpaare (Elemente) sei m; es ist also m eine sehr grosse Zahl. Der Strom i, welcher die Plättchen senkrecht zu ihren Berührungsflächen durchfliesst, möge die bekannte Peltier-Erscheinung in ihnen hervorrufen, d.h. er möge bewirken, dass etwa an allen ungeraden Berührungsflächen (Uebergang von α zu β) in der Zeiteinheit die Wärmemenge w1 entwickelt werde, während gleichzeitig an allen geraden Berührungsflächen (Uebergang von β zu α) die Wärmemenge w2 verschwinde. Von dieser Wärmemenge setze ich voraus, dass sie überall nur in einerlei Weise von der Temperatur abhänge, d.h. dass bei einer bestimmten Temperatur die bei gleicher Stromstärke je nach der Richtung des Stromes erzeugte oder absorbierte Wärmemenge stets dieselbe sei. Man kann dann setzen w = iρ (T) . . . . . . 3') Ich setze ferner voraus, dass die Funktion ρ (T) sich überall stetig mit der absoluten Temperatur T ändere, und dass die Temperaturdifferenz zwischen den Endflächen des einzelnen Plättchens stets nur sehr klein bleibe; dann ist auch ψ (T1) – ψ (T2) sehr klein und man kann zunächst ohne merklichen Fehler setzen w1 – w2 = 0. Ich betrachte nun ein einzelnes Plattenpaar (Element). In Fig. 1 stelle das Rechteck ACGE einen Längsschnitt desselben dar. BF ist die Projektion der Berührungsfläche des Plättchens α mit dem Plättchen β. In BF finde Wärmeentwickelung, in AE und CG Wärmeabsorption statt. Denkt man sich durch die Mitte der Plättchen parallel zu den Berührungsflächen Ebenen (b f, c g, d h) gelegt, so stellen dieselben Ebenen dar, in welchen sich die Temperatur nicht ändert, solange w1 = w2, d.h. solange die in den Berührungsflächen entwickelten Wärmemengen gleich den absorbierten sind. Ferner sind die Abschnitte abfe, bcgf und cdgh Abschnitte von gleicher Wärmekapazität. Ist k1 die spezifische Wärme des Metalles α und k2 diejenige des Metalles β, sind ferner s1 und s2 die spezifischen Gewichte dieser Metalle, so ist die Wärmemenge, welche nötig ist, die Temperatur des Plättchens α um 1° C. zu erhöhen, k1= s1k1qdla . . . . . . . 4') Ebenso ergibt sich für das Plättchen β k2= s2k2q d lβ . . . . . . 5') Um die Temperatur eines Plattenpaares um 1° C. zu erhöhen, bedarf es also einer Wärmemenge k = k1+ k2= q (s1 k1 d la + s2 k2 d lβ) . . 6') Wären daher die Ebenen bf und cg für die Wärme undurchlässig, so würde die in der kleinen Zeit dt in BF entwickelte Wärme dw hinreichen, um die Temperatur der beiden sich an die Fläche BF anschliessenden Halbplättchen bBfF und BcgF um zu erhöhen. Um den gleichen Betrag würde beim Stromdurchgang die Temperatur der von den Flächen ae und bf, sowie von cg und dh eingeschlossenen Abschnitte durch Wärmeabsorption in derselben Zeit dt sinken. Sind dagegen in bf und cg keine für Wärme undurchdringliche Scheidewände vorhanden, so bleibt hier die Temperatur konstant. Nimmt man nun an, die Temperaturverteilung in den Plättchen sei von Beginn des Stromes ab eine lineare Funktion von dla resp. dlβ, so würde die Hälfte der eben genannten Wärmemenge nötig sein, damit die Temperatur an der Berührungssteile BF um dT erhöht werde. Bezeichnet man endlich diejenige Wärmemenge, welche durch Wärmeleitung in der kleinen Zeit dt aus der sich erwärmenden Hälfte in die sich abkühlende übergeht, mit dw1, so ist die in der Zeit dt und BF durch den Strom bewirkte Vermehrung der Temperatur d\,T=\frac{8}{k}\,(d\,w-d\,w^1) . . . . 7') Um denselben Betrag sinkt die Temperatur in der gleichen Zeit dt in AE und CG. Ist endlich r die Temperaturdifferenz, welche zur Zeit t zwischen der warmen und kalten Berührungsfläche stattfindet, so ist, wenn dτ die Vermehrung dieser Differenz in der kleinen Zeit dt bezeichnet, dτ = 2dT . . . . . . 8') mithin nach Gleichung 7') d\,\tau=\frac{8}{k}\,(d\,w-d\,w^1) . . . . . 9') Nun ist aber dw = wdt . . . . . . . 10') d\,w^1=\tau\,\left(\frac{q}{d\,l_a}\,a+\frac{q}{d\,l_{\beta}}\,b\right)\,d\,t, . . . 11') wenn a und b die spezifischen Leitungsfähigkeiten der Metalle α und β für die Wärme (bezogen auf die Sekunde als Zeiteinheit) bedeuten, so dass man schreiben kann d\,\tau=\frac{8}{k}\,\left[w-\tau\,\left(\frac{a}{d\,l_a}+\frac{b}{d\,l_{\beta}}\right)\,q\right]\,d\,t . 12') Setzt man der Kürze halber \frac{8}{k}\,w=r . . . . . . 13') und \frac{q}{w}\,\left(\frac{a}{d\,l_a}+\frac{b}{d\,l_{\beta}}\right)=\mu . . . 14') so ist dτ = r (1 – μτ)dt . . . . . 15') Hieraus ergibt sich durch Integration unter Berücksichtigung, dass für t = 0 auch τ = 0 wird, \tau=\frac{1}{\mu}\,(1-e^{-\mu\,r\,t}) . . . . . 16') Da nun d\,l_a=\frac{n}{m} und d\,l_{\beta}=\frac{1-n}{m} ist, so erhält man, wenn man \frac{a\,(1-n)+b\,n}{n\,(1-n)}=\rho . . . . . 17') und \frac{8}{s^1\,k^1\,n+s^2\,k^2\,(1-n)}=\sigma . . . 18') setzt, \tau=\frac{w}{m\,\rho\,q}\,(1-e^{-\sigma\,\rho\,m^2\,t}) . . . . 19') Nun ist ferner erfahrungsmässig die elektromotorische Kraft π des einzelnen Thermoelements gleich der Temperaturdifferenz τ an den Endflächen multipliziert mit einem gewissen Faktor, welcher ausser von den gewählten Einheiten sowohl von der Natur der sich berührenden Metalle als auch von der mittleren Temperatur der beiden Lötstellen abhängt. Bezeichnen wir denselben mit φ (T), so ist π = φ (T) τ . . . . . . 20') \pi=\varphi\,(T)\,\frac{w}{m\,\rho\,q}\,(1-e^{-\sigma\,\rho\,m^2\,t}) . . . 21') Da in der ganzen Säule m Elemente hintereinander geschaltet sind, so hat man, um die durch Strom i in der ganzen Säule hervorgerufene Gegenkraft zu berechnen, den obigen Ausdruck mit m zu multiplizieren; also \Pi=m\,\pi\,\varphi\,(T)\,\frac{w}{\rho\,q}\,(1-e^{-\sigma\,\rho\,m^2\,t}) . . 22') Hierin ist m eine sehr grosse Zahl, während σ und ρ im allgemeinen von gewöhnlicher (endlicher) Grössenordnung sind. Mithin verschwindet das Glied e^{-\sigma\,\rho\,m^2\,t} bereits für sehr kleine Werte von t, und man erhält für endliche t: \Pi=\frac{w}{\rho\,q}\,\varphi\,(T) . . . . 23') Da ferner w = i ψ (T), siehe Gleichung 3'), so ist \Pi=\frac{i}{\rho\,q}\,\psi\,(T)\,\,\varphi\,(T) . . . . 24') oder wenn ψ (T) φ (T) = f (T), \Pi=\frac{i}{\rho\,q}\,f\,(T) . . . . . 25') Setzt man ferner \frac{f\,(T)}{\rho\,q}=r . . . . . . 26') so ist hiernach H = ri . . . . . . . 27') Nennt man r den „scheinbaren Widerstand“ der Säule, so erhält man für diesen Widerstand nach Einsetzung des Wertes von ρ nach Gleichung 17') r=\frac{n\,(1-n)}{a\,(1-n)+b\,n}\,.\,\frac{f\,(T)}{q} . . . 28') Ist endlich die Länge der Säule nicht, wie bisher angenommen, gleich 1, sondern gleich l, so sind in dem vorigen überall die Ausdrücke n und (1 – n) resp. m mit l zu multiplizieren, und man erhält statt der vorigen Gleichung r=\frac{n\,(1-n)}{a\,(1-n)+b\,n}\,.\,\frac{l}{q}\,f\,(T) . . . 29') Durch Einsetzen des Wertes aus Gleichung 29') in Gleichung 27') erhält man \Pi=\frac{n\,(1-n)}{a\,(1-n)+b\,n}\,.\,\frac{l}{q}\,i\,f\,(T) . . . 30') Diese Gleichung hat die Form des Ohm'schen Gesetzes und gilt, wie Liebenow a. a. O. nachgewiesen hat, auch für Elemente von ungleicher Länge. Nun ist aber w1 – w2 nicht genau gleich Null, sondern, wenn man w1 = w + d w1, w2 = w – d w setzt, w1 – w2= 2 d w, während man durch Differentiieren der Gleichung 3') dw = i ψ1 (T) dT und aus Gleichung 20') mit Rücksicht auf τ = 2 dT die Gleichung d\,T=\frac{\pi}{2\,\varphi\,(T)} erhält. Folglich wird 2\,d\,w=2\,i\,\psi^1\,(T)\,d\,T=\pi\,i\,\frac{\psi^1\,(T)}{\varphi\,(T)}=w_1-w_2. Multipliziert man die in einem Elemente freiwerdende Wärme w1 – w2 mit m, so erhält man die in der ganzen Säule in der Zeiteinheit freiwerdende Wärmemenge W=m\,\pi\,i\,\frac{\psi^1\,(T)}{\varphi\,(T)}=\Pi_i\,\frac{\psi^1\,(T)}{\varphi\,(T)} oder, wenn Wt die in der Zeit t freiwerdende Wärme bezeichnet W_t=\Pi\,i\,t\,\frac{\psi^1\,(T)}{\varphi\,(T)}. Da jedoch nach dem Joule'schen Gesetze die Wärmemenge, welche durch einen elektrischen Strom erzeugt wird, unabhängig von der Temperatur ist und allein von IIit abhängt, so ist \frac{\psi^1\,(T)}{\varphi\,(T)} eine Konstante. Liebenow hat die Richtigkeit der von ihm theoretisch abgeleiteten Gleichung 30') durch die zahlreichen Beobachtungen von Matthiessen über den Widerstand von Metalllegierungen bestätigt, wie die in den Diagrammen Fig. 2 und 3 durch die Kurven dargestellten theoretischen Werte und die durch * gekennzeichneten Beobachtungswerte erkennen lassen. Textabbildung Bd. 315, S. 505 Fig. 2.Gold-Kupferlegierung Proz. Gold. Widerstand in Ohm bei 0o C. Im Gegensatz zu Liebenow, der nach vorstehenden Ausführungen die Wärmeentwickelung im Stromkreise bezw. den Stromwiderstand als eine Wirkung von thermoelektro-motorischen Gegenkräften ansieht und darauf seine theoretischen Entwickelungen gründete, bin ich gerade umgekehrt von der Grundanschauung ausgegangen, dass die thermo-elektromotorische Kraft durch die Verschiedenheit der Wärmeabsorption bezw. Wärmeleitungsfähigkeit in den die Thermosäule bedingenden Metallen bedingt wird. Anlass zu dieser Auffassung hat die von mir angenommene Ueberzeugung gegeben, dass der elektrische Strom nichts anderes als ein Aufsaugen und Wiederausstrahlen der elektrischen Aetherschwingungen von Schicht zu Schicht der Leiter sei und demnach das Leitungsvermögen bezw. der Leitungswiderstand durch die Sellmeier'sche Absorptionstheorie sich gesetzmässig erklären lassen müsse. Bestärkt wurde ich in dieser Ansicht in hohem Masse dadurch, dass die Differentialgleichungen für das elektrische Leitungsvermögen mit denjenigen für die Wärmeleitung vollständig übereinstimmen und die spezifischen Werte des Leitungsvermögens für Wärme und Elektrizität nach den genauesten Beobachtungen völlig parallel laufen. Nach Wüllner Bd. 3, 5. Aufl., § 91 ist nämlich dieDifferentialgleichung für die durch lineare Leiter strömende Elektrizität i=-k\,q\,\frac{d\,V}{d\,x}. . . . . 9) worin k die Leitungsfähigkeit, d. h. den umgekehrten Wert des Leitungswiderstandes, q den Querschnitt des Leiters und V den Wert der Potentialfunktion an der im Abstande x von irgend einem Anfangspunkte gelegenen Stelle des Leiters bedeutet. Die Uebereinstimmung zwischen Elektrizitäts- und Wärmeleitung wird noch besonders durch folgende Ausführungen in Wüllner a. a. O. auf S. 599 und 600 nachgewiesen: „Denken wir uns nämlich einen hinreichend langen Draht mit dem Pole einer Batterie verbunden, deren anderer Pol zur Erde abgeleitet ist, so muss auch in diesem Drahte ein konstanter, aber in verschiedenen Abständen von dem Pole der Batterie verschieden starker Strom vorhanden sein. Durch die Verbindung mit dem Pole der Batterie fliesst Elektrizität auf den Draht, und wenn von dem Drahte gar kein Verlust von Elektrizität stattfände, so würde die Potentialfunktion überall bald denselben Wert erhalten wie an dem Pole; nun findet aber an allen Stellen von der Oberfläche des Drahtes ein Verlust der Elektrizität nach aussen statt, deshalb kann die Potentialfunktion nicht überall denselben Wert annehmen, sondern es tritt ein stationärer Zustand ein, der dann erreicht ist, wenn in gleichen Zeiten an irgend ein Flächen-Stück des Drahtes von der Batterie her ebensoviel Elektrizität hinströmt, als nach aussen durch Zerstreuung und Ableitung verloren geht. Das Verhalten eines solchen Drahtes gegen die Elektrizität ist ganz dasselbe wie das eines in freier Luft erwärmten Stabes gegen die Wärme; gerade wie bei letzterem ein stationärer Temperaturzustand eintritt, wenn jede Stelle des Stabes so viel Wärme empfängt, als sie abgibt, so tritt hier ein stationärer Potentialzustand auf, wenn jede Stelle des Drahtes in gleichen Zeiten ebensoviel Elektrizität erhält, wie sie abgibt. Ja wir können, um die Ströme an den verschiedenen Stellen des Drahtes zu erhalten, einfach die Gleichung der Wärmeleitung in einem Stabe anwenden, indem wir für die in letztere eingehende Temperatur einfach die elektrische Potentialfunktion einsetzen. Denn ebenso wie der Wärmestrom der Temperaturdifferenz der benachbarten Schichten, ist der elektrische Strom der Potentialdifferenz proportional, und ebenso wie die Wärmeabgabe nach aussen der Temperatur des Stabes an der betrachteten Stelle, vorausgesetzt, dass die Temperatur der Umgebung gleich Null ist, so ist der Elektrizitätsverlust an einer Stelle des Drahtes dem dort vorhandenen Werte der elektrischen Potentialfunktion proportional.“ Textabbildung Bd. 315, S. 505 Fig. 3.Gold-Silberlegierung Proz. Gold. Widerstand in Ohm bei 0o C. Aus Gleichung 9) folgt i=-k\,q\,\frac{d\,V}{d\,x}, i_1=-k\,q\,\frac{d\,V^1}{d\,x} . . . . . . 10) folglich i-i_1=-k\,q\,\left(\frac{d\,V}{d\,x}-\frac{d\,V^1}{d\,x}\right)=k\,q\,\frac{d^2\,V}{d\,x}, wenn wir d V1 = dV + d2V setzen. Nach Eintritt des stationären Zustandes muss diese Elektrizitätsmenge nach aussen aus der Seitenfläche des Drahtes abfliessen. Ist h jene Elektrizitätsmenge, welche aus der Flächeneinheit der Oberfläche des Drahtes nach aussen abfliesst, wenn die Potentialfunktion dort den Wert 1 hat, so ist die auf der Länge dx, wo der Wert der Potentialfunktion V ist, nach aussen abfliessende Menge h\,p\,V\,d\,x=k\,q\,\frac{d^2\,V}{d\,x} oder \frac{d^2\,V}{d\,x^2}=\frac{h\,p}{k\,q}\,V . 11) worin p der Umfang des Drahtes ist. Durch Integration erhält man V=A\,.\,e^{\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,.\,x}+B\,.\,^{-\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,.\,x} . . 12) und sonach i=-k\,q\,\frac{d\,V}{d\,x}=-k\,q\,.\,\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,\left(A\,.\,e^{\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,.\,x}-B\,.\,e^{-\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,.\,x}\right) . 13) Hat der Draht eine solche Länge, dass an seinem Ende die Potentialfunktion gleich Null wird, ohne dass der Draht abgeleitet ist, so wird A = 0, B = E, wenn E die elektromotorische Kraft für x = 0 ist, somit i=\sqrt{h\,p\,k\,q}\,.\,E\,.\,e^{-\sqrt{\frac{h\,p}{k\,q}}\,.\,x} . . . 14) Diese Gleichung stimmt der Form nach mit den Strahlungsformeln für Licht, Elektrizität und Wärme überein. Bei meinen Untersuchungen konnte es sich diesen bereits feststehenden Resultaten gegenüber nicht etwa um eine mathematische Theorie der Wärme- und Elektrizitätsleitung handeln, sondern nur um die Begründung der den vorhandenen Theorien zu Grunde liegenden Annahmen durch die Sellmeier'sche Absorptionstheorie, die in meinen vorhergehenden Arbeiten eingehend besprochen ist. Die Grundannahmen, welche zur Entwickelung einer mathematischen Theorie der Wärmebewegung in festen Körpern notwendig und ausreichend sind, sind die beiden folgenden Hypothesen: Erstens findet bei den festen Körpern eine unmittelbare Wirkung der Wärme nur in unbeschränkt kleiner Entfernung statt, sei es nun, dass sie für weitere Entfernungen wirklich aufhört oder nur wegen ihrer Kleinheit sich den Sinnen entzieht; zweitens ist die Wirkung zwischen zwei unbeschränkt nahen Teilen dem Unterschied der Wärmemenge oder Temperatur proportional, und zwar erfolgt dieselbe als eine ausgleichende so, dass der wärmere Teil an den weniger warmen etwas abgibt. Auf diese beiden Voraussetzungen kommt jede Lehre von der Wärmebewegung schliesslich zurück, mag man die Wärme als einen Stoff ansehen oder, wie die Analogie anderer physikalischer Erscheinungen fordert, als lebendige Kraft, hervorgebracht durch die wellenförmige Bewegung des Aethers. Diese Anschauung ist berechtigt, sobald sich nachweisen lässt, dass bei den festen Körpern die Absorption der Strahlen in der Weise erfolgt, dass dieselben bereits durch Schichten vollständig absorbiert werden, welche die Dicke der Atomschichten nicht zu weit übertreffen; denn dann wird das Quadrat der körperlichen Schichtdicke verschwindend klein werden und damit der Bedingung genügt, welche nach der Theorie die Dicke der Atomschichten bezw. das Bereich der unmittelbaren Wärmewirkung im Körper erfüllen muss. Diesen Nachweis habe ich im Jahre 1892 im I. Teil der Elementaren Physik des Aethers (Kraft und Masse) auf folgende ziemlich einfache Weise geführt. Nach der Sellmeier'schen Absorptionstheorie ist die Intensität der absorbierten Strahlen j=(n^2-1)\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m^1\,(a^1)^2 . . . 15) Ich bezeichne die Intensität der wirklich in die Schicht eingedrungenen Strahlen mit J0 und bewirke durch Verdichtungoder Verdünnung bezw. durch Volumvergrösserung oder -verkleinerung, dass J=0,9\,J_0=(n^2-1)\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m^1\,(a^1)^2 . . 16) wird. Die absorbierte Strahlenmenge kann man jedoch noch auf andere Weise erhalten, indem man den sogen. Schwächungskoeffizienten bestimmt, d.h. den Bruchteil der eingetretenen Strahlen, welcher in einer Schicht von der Dicke 1 zurückgehalten wird. Wenn der Schwächungskoeffizient a ist, so wird nach Kirchhoff's Anschauung über das Wesen der Absorption die Intensität J nach Durchstrahlung einer Schicht von h mm gleich J0ah sein. Nennt man nun die Dicke der Schicht, in welcher die Intensität der Strahlen auf 0,1 geschwächt wird, \frac{1}{\alpha}, so ist ferner 0,1\,J_0=J_0\,a^{\frac{1}{a}};\ 10^{-1}=a^{\frac{1}{a}};\ 10^{-a}=a oder J^1=J_0\,.\,10^{-a\,b}=J_0\,.\,c^{-m\,a\,h} . . . 17) wenn hierin e die Basis des natürlichen Logarithmensystems und m der natürliche Logarithmus von 10 ist. Da J1 die durchgelassene Strahlenmenge bedeutet, so erhält man die zurückgehaltene dadurch, dass man J1 von J0 subtrahiert. Demnach ist J=J_0-J_1=J_0-J_0\,e^{-m\,a\,h}=J_0\,(1-e^{-m\,a\,h}) . 18) Es ist aber bekanntlich e^{-m\,a\,h}=1-m\,\alpha\,h+\frac{m^2\,\alpha^2\,h}{1\,.\,2}-\frac{m^3\,\alpha^3\,h^3}{1\,.\,2\,.\,3}+-... Folglich ist J=J_0\,\left\{1-\left(1-m\,\alpha\,h+\frac{m^2\,\alpha^2\,h^2}{1\,.\,2}-\frac{m^3\,\alpha^3\,h^3}{1\,.\,2\,.\,3}+-...\right)\right\} . 19) oder J=J_0\,\left(m\,\alpha\,h-\frac{m^2\,\alpha^2\,h^2}{1\,.\,2}+\frac{m^3\,\alpha^3\,h^3}{1\,.\,2\,.\,3}-+...\right). Da man aber den Wert von h so klein wählen kann, wie man will, und α eine Konstante ist, so kann man setzen J = J0mαh . . . . . . 20) Die beiden für J ermittelten Werte sind also J=J_0\,m\,\alpha\,h=(n^2-1)\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m^1\,(a^1)^2 . 21) so dass \frac{n^2-1}{\alpha}=\frac{J_0\,.\,m\,h\,\tau^2}{2\,\pi^2\,.\,(a^1)^2\,.\,m^1} . . . . 22) und für einen anderen Stoff mit dem Brechungsexponenten n1 \frac{{n_1}^2-1}{\alpha_1}=\frac{J_0\,.\,m\,h\,\tau^2}{2\,\pi^2\,.\,(a^1)^2\,.\,m^1} . . . . 23) wird. Durch Gleichsetzen der Gleichungen 22) und 23) erhält man \frac{n^2-1}{\alpha}=\frac{{n_1}^2-1}{\alpha_1}=const . . . . 24) Es ist demnach n2 – 1 = C . α, d.h. die brehende Kraft eines Mittels ist der Grösse α, dem sogen. Exstinktionskoeffizienten direkt proportional. Dieser aus der Wellentheorie abgeleitete Satz gestattet gerade in den Fällen, in denen die Prismenmethode versagt, den Brechungsexponenten der festen Stoffe durch die Beobachtung der Exstinktionskoeffizienten zu bestimmen. Zur Prüfung der Richtigkeit des abgeleiteten Satzes habe ich zuerst die Beobachtungen von Roskoe und Bimsen, Quincke und Wien, sowie später auch diejenigen von Zoth benutzt. Nach den Beobachtungen von Roskoe und Bunsen ist α = 0,00577 für Lichtstrahlen und daher auch für Wärme- und Elektrizitätsstrahlen davon nicht sehr verschieden; nach Quincke ist für Silber n1 = 6,7 bezw. = 12,5 (Wüllner, Experimentalphysik, Bd. II, S. 486, 3. Aufl.), so dass man rund n12 – 1 = 150 setzen kann. Für Chlor ist nach Dulong n = 1,000772, also n2 – 1 = 0,001544. Demnach erhält man durch Einsetzen dieser Zahlenwerte in die Gleichung 24) für den Exstinktionskoeffizienten des Silbers \alpha_1=\frac{150\,.\,0,00577}{0,001544}=600 (abgerundet), also \frac{1}{\alpha_1}=\frac{1}{600}=16\,.\,10^{-4} mm, d.h. in einer Silberschicht von der Dicke 16 . 10–4 mm wird die Intensität der Strahlen auf ein Zehntel geschwächt. Dieses mittels der Sellmeier'schen Absorptionstheorie abgeleitete Resultat stimmt mit den von O. Wien angestellten Versuchen annähernd überein. Die diesbezüglichen Versuche sind in den Annalen der Physik und Chemie N. F. 35, 1888, S. 48, veröffentlicht. Die Beobachtungen Wien's beziehen sich sowohl auf die leuchtenden als auch auf die nicht leuchtenden Wärmestrahlen. Die Dicke der Metallschichten wurde nach den von Quincke angegebenen Methoden gemessen (Quincke, Pogg. Ann. 1866, 129, S. 178). Hiernach wurde Silber durch Auflegen von Jod in Jodsilber verwandelt und aus den entstehenden Farben dünner Blättchen auf die Dicke des Silbers geschlossen. Bei anderen Metallen entfernte Wien einen Teil der Schicht in der Weise, dass ein glatter Rand entstand; auf diesen wurde vermittelst Schrauben ein schwaches Konvexglas so gedrückt, dass Newton'sche Ringe entstanden. Die Farbe der an den Rand des Metalles anliegenden Luftschicht gab die Dicke der Schicht, wenn auch wegen der Dünne der Schichten nicht sehr genau. Berechnet man mittels der Formel J = J0 . 10–ah und der Beobachtungen von Wien den Wert α, so findet man für Silber als Grenzwert für \frac{1}{\alpha} rund 6 . 10–5 mm, während nach der Absorptionstheorie Sellmeier's nach den ziemlich unsicheren Beobachtungen von Quincke als ungefähre Grenze dafür 10–3 mm sich ergeben hat. Hätte man für den Brechungsexponenten n1 des Silbers die später von Kundt und Drude mittels der Prismenmethode ermittelten Werte, welche kleiner als 1 und rund gleich 0,25 sind, in die Formel für den Exstinktionskoeffizienten einführen wollen, so hätte sich für α1 ergeben \alpha_1=\frac{-0,94\,.\,0,00577}{0,001544}=-4 (abgerundet) oder \frac{1}{\alpha_1}=0,25\mbox{ mm}; ein negativer Exstinktionskoeffizient ist aber eine sachliche Unmöglichkeit, so dass eben die Beobachtungen von Kundt und Drude nicht richtig bezw. nicht richtig ausgelegt sind, wie ich bereits mehrfach erklärt und Professor Kundt vor Jahren direkt mitgeteilt habe. Dies ist auch neben anderen Gründen die Ursache dafür gewesen, dass ich die ersten Bestimmungen des Brechungsexponenten des Silbers durch Quincke für richtiger halte und hier benutzt habe. Die Beobachtungen Wien's haben mir recht gegeben. Die von Wien beobachtete Schichtdicke ist ungefähr 30mal so klein als die von mir theoretisch gefundene; die aus der elektromagnetischen Lichttheorie berechnete Schichtdicke würde dagegen den Wert 89,7 . 10–9, also rund 9 . 10–8 mm ergeben, dessen Grössenordnung von der beobachteten gänzlich verschieden ist. In der nachfolgenden Tabelle habe ich sämtliche mir bekannten Beobachtungen über die Exstinktionskoeffizienten der Aetherschwingungen des Lichtes, der Wärme und der X-Strahlen zusammengestellt. Um die Zoth'schen Beobachtungen mit den Wien'schen vergleichen zu können, habe ich die ersteren so umgerechnet, dass die Schwächung der Röntgenstrahlen auf Platin von derselben Schichtdicke wie dort, also von 27. 10 mm bezogen wird. Die vierte Zahlenreihe ist durch Multiplikation der fünften Reihe mit 1,08 . 10–5 erhalten und die fünfte Reihe enthält die von Zoth gefundenen Quotienten D=\frac{d}{d_1} (Wiedemann's Ann. N. F. 58, 1896, S. 344 bis 356). Fassen wir das Resultat der vorstehenden Auseinandersetzungen kurz zusammen, so ergibt sich, dass die Körperschichten, Stoffe \frac{1}{\alpha} ber.mm \frac{1}{\alpha} beob.Wienmm \frac{1}{\alpha} beob. Zoth=D . 108 . 10-5mm D=\frac{d}{d_1}beob. Zoth Ag   3 . 10–5   3 . 10–5 – – Cu   4 . 10–5 ? – – Au   5 . 10–5   5 . 10–5   30 . 10–5           0,28 Zn 11 . 10–5 ?   150 . 10-5 – Fe 20 . 10–5 36 . 10–5 ? – Pt 27 . 10–5 ?   27 . 10–5           0,25 Pb 37 . 10–5 ?   31 . 10–5           0,29 Cd – –   97 . 10–5         0,9 Sn – – 108 . 10–5         1,0 Doppelspat – –   14 . 10–4     13 Kupfersulfat – –   16 . 10–4     15 Glimmer (Kali-) – –   16 . 10–4     15 Steinsalz – –   26 . 10–4     24 Gips – –   28 . 10–4     26 Bergkrystall – –   36 . 10–4     33 Spiegelglas – –     3 . 10–3     29 Solinglas – –     4 . 10–3     37 Bein – –     5 . 10–3     50 Ebonit – –   16 . 10–3   150 Braunkohle – –   24 . 10–3   220 Wachs – –   72 . 10-3   670 Ahornholz – –   86 . 10–3   800 Korkholz – – 265 . 10–3 2450 Chlornatrium-  lösung (konz.) – –     1,6 . 10–2   150 Wasser (destill.) – –     3,2 . 10–2   300 Glycerin – –     3,2 . 10–2   300 Alkohol (Aethyl-,  95 %) – –     6,4 . 10–2   600 LuftO 3,7 . 10+2  4 . 10+2 kleiner als103 mm(n. Langley) –– –– H 7,8 . 10+2 – – – N 5,3 . 10+2 – – – Cl 1,4 . 10+2 1,67(Roskoe undBunsen) – – welche die eindringende Wärme fast vollständig absorbieren, ausserordentlich dünn sind und dass darum, da ja ihre Dicke bei den Leitern kaum 10–3 mm überschreitet, die höheren Potenzen dieser Dicke im Verhältnis zur einfachen Dicke verschwindend klein sind. Hieraus folgt, dass die unmittelbare Wirkung der Strahlen im festen Körper thatsächlich nur in sehr kleiner Entfernung stattfindet und die diesbezügliche Annahme der mathematischen Theorie vollkommen berechtigt ist. Die zweite Annahme der Theorie, dass diese Wirkung z.B. der Wärme von Schicht zu Schicht der Temperaturdifferenz direkt proportional ist, ist eine Folge der für alle Aetherschwingungen als gültig nachgewiesenen Emissions- oder Strahlungsgesetze (Elementare Physik des Aethers, I. Teil, S. 7 bis 9). Die Erklärung der Leitung durch Absorption und Emission von Schicht zu Schicht steht demnach mit dem wirklichen Sachverhalt in Uebereinstimmung. Danach muss sich die Wärme um so schneller fortpflanzen, je grösser der Exstinktionskoeffizient der leitenden Substanz ist, das Leitungsvermögen muss demselben also direkt proportional sein. Bezeichnet man nun das Leitungsvermögen mit L bezw. L1 und die entsprechenden Exstinktionskoeffizienten mit α und α1, so muss sich demnach verhalten L : L1 = α : α1 . . . . . . 25) es ist aber nach Gleichung 24) n2– 1 : n12 – 1 = α : α1; folglich ist L : L1= n2– 1 : n12 – 1 . . . . 26) d.h. das Leitungsvermögen ist der brechenden Kraft der Leiter direkt proportional. Nun verhält sich aber nach den Beobachtungen von v. Lang, welche in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind, mit grosser Annäherung {n_0}^2-1\,:\,{n_t}^2-1=\frac{1}{T_0}\,:\,\frac{1}{T_t} . . . 27) t n nt2 – 1 \frac{{n_0}^2-1}{{n_t}^2-1} \frac{T_t}{T_0}      0° 1,0002945 0,0005890 1,0 1,0   10 1,0002857 0,0005714     1,031     1,036   20 1,0002773 0,0005546     1,062     1,072   30 1,0002695 0,0005390     1,093     1,109   40 1,0002621 0,0005242     1,123     1,145   50 1,0002551 0,0005102     1,154     1,181   60 1,0002487 0,0004974     1,184   1,21   70 1,0002427 0,0004854     1,213     1,254   80 1,0002371 0,0004742     1,242   1,29   90 1,0002321 0,0004642     1,269     1,327 100 1,0002275 0,0004550     1,295       1,3636 Aus Gleichung 26) und 27) folgt L_0\,:\,L_t=\frac{1}{T_0}\,:\,\frac{1}{T_t} . . . . . 28) d.h. das Leitungsvermögen ist der absoluten Temperatur umgekehrt proportional. Nun ist aber der Leitungswiderstand dem Leitungsvermögen umgekehrt proportional; folglich verhält sich \frac{1}{W_0}\,:\,\frac{1}{W_t}=\frac{1}{T_0}\,:\,\frac{1}{T_t} oder W0: Wt= T0: Tt . . . . . 29) Der Leitungswiderstand ist somit der absoluten Temperatur direkt proportional; derselbe muss also bei den Siedepunkten der flüssigen Luft und des flüssigen Wasserstoffs sehr gering sein, wie durch Versuche bestätigt worden ist. Das genauere Gesetz ist entsprechend der Aenderung der brechenden Kraft mit sinkender Temperatur eine Exponentialformel, worauf hier jedoch nicht näher eingegangen werden soll. Das durch die Formel 29) dargestellte Gesetz ist schon von früheren Forschern auf experimentellem Wege gefunden worden; bereits Clausius hat auf Grund derUntersuchungen von Arendtsen über den galvanischen Leitungswiderstand der Metalle bei verschiedenen Temperaturen die Vermutung ausgesprochen, dass der Leitungswiderstand der einfachen Metalle im festen Zustande der absoluten Temperatur nahezu proportional sei, also für 1 ° C. im Mittel 1,0037 betrage (cf. Pogg. Ann. 1858, Bd. 104, S. 650). Die Berechtigung dieser Vermutung hat Werner v. Siemens in seiner im Jahre 1861 in Poggendorff's Annalen veröffentlichten Abhandlung über die Widerstandsmasse und die Abhängigkeit des Leitungswiderstandes der Metalle von der Temperatur nachgewiesen und die vorhandenen Abweichungen bei einzelnen festen Metallen als Folgen von Verunreinigungen erklärt. Die Ansicht desselben, dass auch das Quecksilber, welches im flüssigen Zustande eine entschiedene Ausnahme macht, im starren Zustande und in genügendem Abstande vom Schmelzpunkte sich in seinem Verhalten betreffs des Leitungswiderstandes den anderen Metallen anschliessen werde, ist durch die bekannten, nur wenig voneinander abweichenden Beobachtungen Dr. Grunmach's und Dr. Weber's über das Leitungsvermögen des festen Quecksilbers vollständig bestätigt worden. In der That ist entsprechend diesem von Clausius theoretisch begründeten Gesetze nicht nur nach den Beobachtungen von Arendtsen, sondern auch nach denjenigen von Siemens, Matthiesen, Bénoit und Lorentz die Abnahme der galvanischen Leitungsfähigkeit für 1 ° C. im Mittel 0,0037, ein Wert, der nahe mit dem Ausdehnungskoeffizienten der dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze folgenden Gase übereinstimmt. Die theoretische Erklärung und Begründung dieser Uebereinstimmung ist meines Wissens bisher noch nicht gegeben worden. Dieselbe ergibt sich, wie wir gesehen haben, ohne weiteres daraus, dass die Elektrizität ebenso wie die Wärme und das Licht eine Wellenbewegung des Aethers ist. Die Arbeit von Liebenow hat, wie wir oben gesehen haben, diese Anschauung vollauf bestätigt, so dass eine Erklärung des Ohm'schen Gesetzes von diesem Standpunkte aus im Anschluss an die gefundenen Ergebnisse nicht mehr schwer fallen dürfte. Die Lösung dieser Aufgabe soll im nächsten Abschnitt gegeben werden. (Schluss folgt.)