Festigkeit und Elastizität gewölbter Platten (Kesselböden). Von W. Schüle. Festigkeit und Elastizität gewölbter Platten (Kesselböden). Die beträchtlich grössere Festigkeit gewölbter, am Rand befestigter Platten gegenüber ebenen kreisrunden Platten von gleicher Stärke hat zu weitgehender Anwendung derselben als Gefässböden, besonders im Dampfkesselbau geführt. Eine Theorie gewölbter Platten ist jedoch in der Litteratur nicht zu finden und es fehlen daher die Grundlagen für eine rationelle Berechnung. Diese zu geben ist Zweck dieses Aufsatzes. Da umfangreiche Versuche von RachZeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1899 S. 1585 bis 1594 und S. 1613 bis 1625. über den Gegenstand vorliegen und noch weitere in Aussicht gestellt sind, so lassen sich die theoretischen Resultate prüfen, was bei dem Umfang, den die Theorie naturgemäss annimmt, und zur Bestätigung ihrer Grundlagen sehr erwünscht erscheint. Es sei eine durch gleichmässigen inneren (oder äusseren) Flüssigkeitsdruck p belastete Kugelschale gegeben; ihr mittlerer Kugelhalbmesser sei r, der grösste Parallelkreishalbmesser a und die Wanddicke s. Beziehungen zwischen Spannungen und Dehnungen. An beliebiger Stelle habe die Spannung in Richtung des Meridians bezw. des Parallelkreises den Wert σn bezw. σy. Die radial gerichtete Spannung ist bei nicht zu grosser Wandstärke so klein, dass sie nicht in Frage kommt, ebenso wenig wie bei der ebenen Platte die zur Oberfläche senkrechte Spannung. Sind dann εn und εy die entsprechenden Dehnungen, so besteht der allgemeine Zusammenhang: \frac{\epsilon_n}{\alpha}=\sigma_n-\frac{1}{m}\,\sigma_y . . . . . 1) \frac{\epsilon_y}{\alpha}=\sigma_y-\frac{1}{m}\,\sigma_n, . . . . . 2) worin α der Dehnungskoeffizient, m der Kontraktionskoeffizient des Plattenmaterials ist. Es muss nun über die Verteilung der Spannungen oder der Dehnungen längs eines Kugelradius irgend eine wahrscheinliche Voraussetzung gemacht werden. Wir nehmen, ähnlich wie bei der Theorie der ebenen Platte, an, dass Punkte, die vor der Formänderung auf einem Radius liegen, auch nach der Formänderung auf der Normale der elastischen Fläche liegen; oder, was dasselbe ist, wir setzen voraus, dass ein Konusmantel, dessen Spitze im Kugelmittelpunkt liegt und dessen Achse mit der Plattenachse zusammenfällt, auch nach der Formänderung einem Konus, allerdings mit anderer Spitze, angehöre. Bezeichnet dann εo die Meridiandehnung der Mittelfläche im beliebigen Punkt K derselben (Fig. 1), ferner ω die verhältnismässige Winkeländerung des durch K gezogenen Kugelradius OK, so bestimmt sich die Meridiandehnung eines im Abstand v von K auf dem Radius liegenden Punktes P zu: \mbox{oder}\left{{\epsilon_n=\epsilon_0+(\omega-\epsilon_0)\,\frac{v}{r+v}}\atop{\epsilon_n=\epsilon_0\,\frac{r}{r+v}+\omega\,.\,\frac{v}{r+v}}}\right\}\ .\ .\ .\ 3) Die Herleitung dieser rein geometrischen Beziehung wird bei der Theorie der gekrümmten Stäbe gegeben (vgl. z.B. Bach, Elastizität und Festigkeit, III. Aufl. S. 438, Gl. 1). Sei ferner ∆ φ die ganze Aenderung des halben Zentriwinkels DOK = φ, der zu der Sehne KD = x gehört, und ξ die Aenderung von x infolge der Formänderung des Meridians. Textabbildung Bd. 315, S. 661 Fig. 1 Der Parallel kreis durch P hat den Radius x + v. sin φ. Ist dann P' der Ort von P nach der Formänderung, so hat der Radius des Parallelkreises durch P' die Länge x + ξ + v . sin (φ + ∆ φ). Die Dehnung in diesem Parallelkreis ist also: \epsilon_y=\frac{2\,\pi\,.\,(x+\chi+v\,sin\,[\varphi+\Delta\,\varphi])-2\,\pi\,.\,(x+v\,.\,sin\,\varphi)}{2\,\pi\,.\,(x+v\,sin\,\varphi)} oder =\frac{\chi+v\,.\,(sin\,[\varphi+\Delta\,\varphi]-sin\,\varphi)}{x+v\,sin\,\varphi} Mit sin ∆ φ = ∆ φ cos\,\delta\,\varphi=1-\frac{1}{2}\,\Delta\,\varphi^2 wird sin\,(\varphi+\Delta\,\varphi)-sin\,\varphi=-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi\,.\,\Delta\,\varphi^2+\Delta\,\varphi\,.\,cos\,\varphi, daher: \epsilon_y=\frac{\xi+v\,.\,sin\,\varphi\,.\,\Delta\,\varphi\,\left(1\frac{1}{2}\,\Delta\,\varphi+cotg\,\varphi\right)}{x+v\,sin\,\varphi} Solange cotg φ noch beträchtlich grösser als \frac{1}{2}\,\Delta\,\varphi ist, was bei Zentriwinkeln von 0 bis 120° und eventuell noch darüber sicher der Fall ist, kann in der Klammer \frac{1}{2}\,\Delta\,\varphi ∆ φ weggelassen werden. Wir setzen daher: \epsilon_y=\frac{\xi+v\,\Delta\,\varphi\,cos\,\varphi}{x+v\,.\,sin\,\varphi}. Mit sin\,\varphi=\frac{x}{r} wird x+v\,sin\,\varphi=\frac{x}{r}\,.\,(r+v), daher: \mbox{oder}\left{{\epsilon_y=\frac{r}{x}\,.\,\frac{\xi+v\,\Delta\,\varphi\,cos\,\varphi}{r+v}}\atop{\epsilon_y=\frac{\xi}{x}\,.\,\frac{r}{r+v}+\Delta\,\varphi\,.\,cotg\,\varphi\,.\,\frac{v}{r+v}}}\right\}\ .\ 4) Wir schreiben nun in Rücksicht auf die später aufzustellenden Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte die Spannungen in Funktion der Dehnungen an. Aus 1) und 2) folgt: \sigma_n=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,(m\,\epsilon_n+\epsilon_y) \sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,.\,(m\,\epsilon_y+\epsilon_n) Mit den Werten in 3) und 4) wird hieraus: \sigma_n=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left\{r\,.\,\left(m\,\epsilon_0+\frac{\xi}{x}\right)+v\,.\,(m\,\omega+\Delta\,\varphi\,cotg\,\varphi)\right\} . . . 5) und ebenso: \sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,.\,\left\{r\,.\,\left(\epsilon_0+m\,.\,\frac{\xi}{x}\right)+v\,.\,(\omega+m\,\Delta\,\varphi\,.\,cotg\,\varphi)\right\} . . . 6) Gleichgewichtsbedingungen. Wir beschreiben zwei Kegelmäntel mit den halben Kegelwinkeln φ und φ + d φ und legen zwei Ebenen durch die Plattenachse, welche den Winkel d x einschliessen. Das Element (Fig. 2)Die Spannungsverteilung in Fig. 2 entspricht negativem ω und positivem ξ., dessen Gleichgewicht wir untersuchen, ist nun begrenzt: nach oben und unten von der Oberfläche der Schale, nach links und rechts von den Kegelmänteln, nach vorn und hinten von den Ebenen. Die Momentengleichung. Als Momentenachse wählen wir die Tangente an den auf der Mittelfläche gezogenen Parallelkreis, der das Element in der Mitte seiner Breite durchdringt. Wir stellen zunächst den Drehsinn der Momente fest. Bei positivem ω sind die Biegungsspannungen oberhalb der Drehachse positiv, unterhalb negativ. Die Drehrichtungim Uhrzeigersinn nehmen wir positiv, somit ist das Moment der σn positiv, das der \sigma_n+\frac{\delta\,\sigma_n}{\delta\,\varphi}\,d\,\varphi negativ. σy ist unter denselben Bedingungen ebenfalls oben positiv, unten negativ. Die radialen Komponenten, die das Moment liefern, drehen also sämtlich positiv. Das Moment der Schubkräfte muss so gerichtet sein, dass der Winkel an der Kante F (linke untere Kante des Elements) spitz wird, also wie in Fig. 2 angedeutet, negativ. Das Moment der Spannungen σn ist nun: M\,\sigma_n=+\int\limits_{-\frac{s}{2}}^{+\frac{s}{2}}\sigma_n\,.\,(x+v\,sin\,\varphi)\,d\,\alpha\,d\,v\,v-\int\limits_{-\frac{s}{2}}^{+\frac{s}{2}}\left(\sigma_n+\frac{\delta\,\sigma_n}{\delta\,\varphi}\,d\,\varphi\right) (x + dx + v sin [ϕ + dϕ]) dαdv · v und nach Ausrechnung der Integrale: M\,\sigma_n=-d\,\alpha\,.\,\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\ \frac{s^3}{12}\,d\,(A\,sin\,\varphi). Man erhält ferner: M\,\sigma_y=+d\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\,B\,\frac{s^3}{12}\,d\,\alpha, , worin A = m ω + ∆ φ cotg φ und B = ω + m ∆ φ cotg φ gesetzt ist. Zur Bestimmung von Mτ ist die vertikale Gleichgewichtsbedingung heranzuziehen. Ist Sn die ganze Normalkraft der Seitenringfläche (Fig. 2) und T die ganze Schubkraft, so ist: Sn . sin φ + T cos φ = π x2 p, daher T=\pi\,x^2\,p\,\frac{1}{cos\,\varphi}-S_n\,.\,tg\,\varphi . . . 7) Textabbildung Bd. 315, S. 662 Fig. 2 Hiermit lässt sich das Moment der Schubkräfte für das Element ausdrücken. M\,\tau=-T\,.\,\frac{d\,\alpha}{2\,\pi}\,r\,.\,d\,\varphi    =-\frac{d\,\alpha}{2\,\pi}\,r\,.\,d\,\varphi. \left\{\frac{\pi\,x^2\,p}{cos\,\varphi}-\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\,2\,\pi\,x\,s\,\left(m\,\epsilon_0+\frac{\xi}{x}\right)\,tg\,\varphi\right\}, nachdem man den Wert Sn durch Integration aus σn zu S_n=\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\,2\,\pi\,x\,s\,\left(m\,\epsilon_0+\frac{\xi}{x}\right) bestimmt hatte. Die Momentengleichung für das Element ist nun: -\frac{d\,(A\,sin\,\varphi)}{d\,\varphi}+B\,cos\,\varphi=\frac{T}{2\,\pi}\,r\,.\,\frac{m^2-1}{m}\ \frac{12}{s^3}. Setzt man hierin die Werte von A, B und T ein, drückt ω und seine Ableitung in Ableitungen von ∆ φ aus und ersetzt die Winkelfunktionen durch ihre bekannten Werte, so geht diese Gleichung schliesslich über in: x^2\,.\,\frac{d^2\,\Delta\,\varphi}{d\,x^2}+x\,.\,\left(1-\frac{x^2}{r^2-x^2}\right)\,\frac{d\,\Delta\,\varphi}{d\,x}-\Delta\,\varphi\,.\,\left(1+\frac{1}{m}\ \frac{x^2}{r^2-x^2}\right)=-\frac{T\,r^2}{\pi}\,M\,\frac{x}{r^2-x^2} 8) Aus 8) folgt mit r = ∞ unter Beachtung von 7) die Differentialgleichung der ebenen Platte:x^2\,.\,\frac{d^2\,\Delta\,\varphi}{d\,x^2}+x\,.\,\frac{d\,\Delta\,\varphi}{d\,x}-\Delta\,\varphi=-p\,M\,x^3;vgl. Bach, Elast und Fest., III. Aufl. S. 519, Gl. 6), wenn man dort \frac{d\,z}{d\,x}=-\Delta\,\varphi setzt; oder Föppl, Festigkeitslehre, I. Aufl. S, 262. worin M=\alpha\,.\,\frac{m^2-1}{m^2}\ \frac{6}{s^3} gesetzt ist. Der allgemeine geometrische Zusammenhang zwischen ε0, ξ und ∆ φ ist durch die Differentialgleichung \frac{d\,\xi}{d\,x}=\epsilon_0-\Delta\,\varphi\,.\,tg\,\varphi . . . . 9) gegeben. Die Entwickelung dieser Beziehung kann man in Bach, Elast, und Festigk., III. Aufl. S. 451 u. f. (geometrische Entwickelung) oder in. Müller-Breslau, Die neueren Methoden etc., S. 156 (analytische Entwickelung), finden. Allerdings sind die dort aufgestellten Ausdrücke von etwas verschiedener Form. Für die am Rand befestigte Platte genügt es, wenn man annimmt, dass die Kraft Sn eine konstante Meridianspannung σn0 hervorruftDurch Vergleich mit den ähnlich liegenden Verhältnissen beim steifen Bogen lässt sich dies leicht einsehen.. Aus Gl. 5) folgt dann mit v = 0 \sigma_n\,0=\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\,.\,\left(m\,\epsilon_0+\frac{\\xi}{x}\right), und dieser Wert wird konstant, wenn wir m\,\epsilon_0+\frac{\xi}{x}=Konst.=c . . . . 10) setzen. Hiermit ergibt Gl. 7): T=\frac{\pi\,x^2}{cos\,\varphi}\,.\,\left(p\,.\,-\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\ \frac{2\,s}{r}\,.\,c\right) . . . 11) Setzt man noch N=6\,\alpha\,\frac{m^2-1}{m}\ \left(\frac{r}{s}\right)^3\ \left(p-\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\ \frac{2\,s}{r}\,.\,c\right) . . . 12) so geht Gl. 8) schliesslich über in x^2\,.\,(r^2-x^2)\,\frac{d^2\,\Delta\,\varphi}{d\,x^2}+x\,.\,(r^2-2\,x^2)\,\frac{d\,\delta\,\varphi}{d\,x}-\Delta\,\varphi\,.\,(r^2-\mu\,x^2)+\frac{N\,x^3}{\sqrt{r^2-x^2}}=O . . . 13) wenn \mu=1-\frac{1}{m} gesetzt wird. Diese Gleichung ist zu integrieren. Es ergibt sich das partikuläre Integral: ∆ φ = A . x . H1 + Y . . . . . 14) worin H_1=1+\frac{x^2}{r^2}\ \frac{1-\frac{\mu}{2\,.\,1}}{2\,.\,2}+\frac{x^4}{r^4}\ \frac{x^4}{r^4}\ \frac{\left(1-\frac{\mu}{2\,.\,1}\right)\ \left(3-\frac{\mu}{2\,.\,2}\right)}{2\,.\,2\,.\,2\,.\,3}+.\ .\ . . . . und Y=-\frac{N\,x^3}{8\,r^3} \left(1+0,64\,\left[\frac{x}{r}\right]^2+0,45\,\left[\frac{x}{r}\right]^4+0,35\,\left[\frac{x}{r}\right]^6+.\ .\ .\right) wenn man m=\frac{10}{3} einführt. Wie sich durch weitergehende Untersuchungen beweisen lässt, genügt dieses Integral, obwohl es nur dieeinzige willkürliche Konstante A enthält, für den Fall der nicht durchbrochenen Platte. Die beiden Reihen konvergieren für alle Werte von \left(\frac{x}{r}\right)\,<\,1, also für alle Fälle. Mit dem Wert von Y ist also die Integralgleichung: \Delta\,\varphi=A\,.\,x\,.\,H_1-\frac{N\,x^3}{8\,r^3}\,H_2 . . . . 15) wenn man H2 für die in Y enthaltene Reihe setzt. In N ist aber noch die Konstante c enthalten, die ohne Kenntnis von ξ nicht bestimmt werden kann. Der Wert von ξ folgt mit \epsilon_0=\frac{c}{m}-\frac{\epsilon}{m\,.\,x} aus der Differentialgleichung \frac{d\,\xi}{d\,x}+\frac{\xi}{m\,x}-\frac{c}{m}+\Delta\,\varphi\,.\,tg\,\alpha=0. Durch Integration folgt schliesslich \xi=\frac{c}{m+1}\,x-\frac{A}{r}\,.\,\frac{m}{3\,m+1}\,x^3\,.\,Z_1+\frac{B}{r}\ \frac{m}{5\,m+1}\,x^5\,.\,Z_2 . . . . 16) worin schon die Grenzbedingung x = 0, ξ = 0 eingeführt ist. Z1 und Z2 sind konvergierende Reihen von der Form: Z_1=1+c_1\,\frac{3\,m+1}{6\,m+1}\ \frac{x}{r}+a_1\,.\,\frac{3\,m+1}{5\,m+1}\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+(c_2+a_1\,c_1)\,\frac{3\,m+1}{6\,m+1}\,\left(\frac{x}{r}\right)^3+.\ .\ . Z_2=1+c_1\,\frac{5\,m+1}{6\,m+1}\ \frac{x}{r}+b_1\,.\,\frac{5\,m+1}{7\,m+1}\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+(c_2+b_1\,c_1)\,\frac{5\,m+1}{8\,m+1}\,\left(\frac{x}{r}\right)^3+.\ .\ . Hierin sind a1, a2, a3 die Koeffizienten von H1, b1, b2, b3 „ „   „  H2, c1, c2, c3 „ „ der nach \frac{x}{r} entwickelten Reihe tg\,\varphi=\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{x}{r}+\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+\frac{1\,.\,3}{2^2\,.\,2}\,\left(\frac{x}{r}\right)^4+.\ .\ . Weiter folgt dann: \epsilon_0=\frac{c}{m+1}+\frac{A}{r}\,.\,\frac{1}{3\,m+1}\,x^2\,.\,Z_1-\frac{B}{r}\ \frac{1}{5\,m+1}\,x^4\,.\,Z_2. Da ferner: \omega=\frac{d\,\Delta\,\varphi}{d\,x}\,r\,.\,cos\,\varphi ist, so ergibt sich auch ω = (A H3 – 3 B x2 . H4) r . cos φ . . . 17) wenn man 1+3\,a_1\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+5\,a_2\,\left(\frac{x}{r}\right)^4+.\ .\ .=H_3 1+\frac{5}{3}\,b_1\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+\frac{7}{3}\,b_2\,\left(\frac{x}{r}\right)^4+.\ .\ .=H_4 setzt. Wir gehen jetzt zur Bestimmung der achsialen Durchbiegung ξ über. Als allgemeine Beziehung zwischen ε0, ξ und ∆ φ ergibt sich: \frac{d\,\zeta}{d\,z}=\epsilon_0+\Delta\,\varphi\,cotg\,\varphi . . . . 18) Daraus folgt durch einfache Integration: \zeta=\frac{r\,.\,c}{m+1}\,cos\,\varphi-\frac{1}{2}\,A\,x^2\,U_1+\frac{1}{4}\,B\,x^4\,U_2+C, worin U_1=1+\frac{1}{2}\,a_1\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+\frac{1}{3}\,a_2\,\left(\frac{x}{r}\right)^4+.\ .\ . . . . U_2=1+\frac{4}{6}\,b_1\,\left(\frac{x}{r}\right)^2+\frac{4}{8}\,b_2\,\left(\frac{x}{r}\right)^4+.\ .\ . . . . Für x = a muss ξ = 0 sein, woraus der Wert von C folgt. Die Durchbiegung der Plattenmitte wird dann schliesslich: \zeta_{max}=\frac{r\,c}{m+1}\,(1-cos\,\alpha)+\frac{1}{2}\,A\,a^2\,.\,U_{1^a}-\frac{1}{4}\,B\,a^4\,.\,U_{2^a} . . . 19) Nachdem alle Unbekannten bestimmt sind, gehen wir zur Ermittelung der Integrationskonstanten A und c für die am Rand unbeweglich festgehaltene Platte über (Fig. 3). Für x = a ist ξ = 0 und ∆ φ = 0. Daraus: A=B\,a^2\,.\,\frac{H_ {2^a}}{H_{1^a}} und mit dem Wert B=\frac{N}{8\,r^3} A=\frac{3}{4}\,\alpha\,\frac{m^2-1}{m^2}\ \frac{a^2}{s^2}\,\left(p-\frac{m}{m^2-1}\ \frac{1}{\alpha}\ \frac{2\,s}{r}\,.\,c\right). Aus der Gl. für ξ folgt: 0=\frac{c}{m+1}-\frac{\Lambda}{r}\ \frac{m}{3\,m+1}\,a^3\,.\,Z_{1^a}+\frac{B}{r}\ \frac{m}{5\,m+1}\,a^4\,.\,Z_{2^a} Textabbildung Bd. 315, S. 664 Fig. 3 Mit dem Wert von A ergibt sich schliesslich: c=\frac{\alpha\,p\,r}{2\,s}\ \frac{m^2-1}{m}\ \frac{1}{1+\frac{2\,m}{3\,(m+1)}\ \frac{r^2\,s^2}{a^4}\ \frac{1}{q}}, wenn man q=\frac{m}{3\,m+1}\ \frac{H_{2^a}}{H_{1^a}}\,.\,Z_{1^a}-\frac{m}{5\,m+1}\,Z_{2^a} . . . 20) setzt. Wir setzen noch: \lambda=\frac{1}{1+\frac{2\,m}{3\,.\,(m+1)}\ \frac{r^2\,s^2}{a^4}\ \frac{1}{q}} . . . 21) so wird c=\frac{\alpha\,p\,r}{2\,s}\ \frac{m^2-1}{m}\,.\,\lambda und A=\frac{3}{4}\,\alpha\,\frac{m^2-1}{m^2}\ \frac{a^2}{s^3}\,p\,(1-\lambda)\,\frac{H_{2^a}}{H_{1^a}}; ferner: \epsilon_{0^a}=\frac{\alpha\,p\,r}{2\,s}\ \frac{m^2-1}{m}\,\lambda. Ferner: \omega_0=\frac{3}{4}\,\alpha\,\frac{m^2-1}{m^2}\ \frac{r\,a^2}{s^3}\,p\,.\,(1-\lambda)\,\left(\frac{H_{2^a}}{H_{1^a}}\,H_{3^a}-3\,H_{4^a}\right)\,.\,cos\,\alpha. Wir setzen H=\frac{H_{2^a}}{H_{1^a}}\,H_{3^a}-3\,H_{4^a}, so wird \pm\,\omega_a\,.\,\frac{s}{2\,r}=\pm\,\frac{3}{8}\,\alpha\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\left(\frac{a}{s}\right)^2\,p\,.\,(1-\lambda)\,H\,.\,cos\,\alpha. Somit wird nun die Anstrengung des Materials am Plattenrad in Richtung des Meridians \frac{\epsilon_n}{\alpha}=p\,.\,\frac{m^2-1}{2\,m^2}\,\left\{\lambda\,.\,\frac{r}{s}\,\pm\,\frac{3}{4}\,\left(\frac{a}{s}\right)^2\,(1-\lambda)\,H\,.\,cos\,\alpha\right\} . . . 22) Bei innerem Druck kommt das negative Vorzeichen in Betracht, da H negativ ist. Die grösste Anstrengung tritt daher an der Innenseite des Plattenrandes in Richtung des Meridians auf. – In der Plattenmitte wird sowohl ε0 als ω kleiner als am Rand. Die Durchbiegung der Plattenmitte folgt ferner: \zeta_{max}=\frac{\alpha\,p\,r^2}{2\,s}\ \frac{m-1}{m} \left\{\lambda\,(1-cos\,\alpha)+\frac{3}{4}\ \frac{m+1}{m}\ \frac{a^4}{r^2\,s^2}\,(1-\lambda)\,U\right\} . . . 23) worin U=\frac{H_{2^a}}{H_{1^a}}\,U_{1^a}-\frac{1}{2}\,U_{2^a}. Da bei umgekrempten schmiedeeisernen Böden im allgemeinen, wie Versuche von Bach gezeigt haben, keine Einspannung im obigen Sinne stattfindet (ξ wird am Rand nicht Null, sondern negativ), so muss die obige Gleichung eine kleinere Durchbiegung ergeben als die Versuche sie zeigen. Um einen Vergleich mit den Versuchen zu ermöglichen, ist daher noch festzustellen, wie sich die Durchbiegung (und die Anstrengung) ändert, wenn eine Einziehung des Randes um ∆ φ stattfindet. Einfluss der Nachgiebigkeit in radialer Richtung. Die Grenzbedingung für ξ wird: -\Delta\,\xi=\frac{c}{m+1}\,a-\frac{A}{r}\,\frac{m}{3\,m+1}\,a^3\,.\,Z_{1^a}+\frac{B}{r}\ \frac{m}{5\,m+1}\,a^5\,.\,Z_{2^a}. Nach Ausrechnung ergeben sich dann die Werte: \epsilon_{0^{\Lambda\,a}}=\epsilon_{0^a}+\frac{\lambda}{a\,m}\,\Delta\,\xi\,\left(1-\frac{2\,m^2}{3\,(m+1)\ \frac{r^2\,s^2}{a^4}\ \frac{1}{q}}\right) und \omega_{\Delta\,a}=\omega_a+\frac{r^2}{a^3}\ \frac{\lambda}{q}\,H\,.\,cos\,\alpha\,.\,\Delta\,\xi und \left(\frac{\epsilon_n}{\alpha}_\Delta-\left(\frac{\epsilon_n}{\alpha}\right)_{max}\right)+\frac{\lambda}{\alpha\,a\,m} \left\{1-\frac{2\,m^2}{3\,(m+1)}\ \frac{r^2\,s^2}{a^4}\ \frac{1}{q}\,\pm\,\frac{m}{2}\ \frac{r\,s}{a^2}\ \frac{H\,cos\,\alpha}{q}\right\}\,\Delta\,\xi . . . 24) Die Anstrengung vergrössert sich daher infolge der radialen Einziehung. Durch Nachgiebigkeit der Einspannung (∆ φ nicht Null am Rand) vermindert sich dagegen die Anstrengung, wie sich leicht zeigen lässt. Die Zunahme der Durchbiegung ergibt sich schliesslich: \Delta\,\zeta_{max}=\frac{1}{2}\,\frac{r}{a}\,\frac{\lambda}{q}\,U\,\Delta\,\xi . . . . 25) Zur bequemen Benutzung der Formeln ist es nötig, die Werte von H cos α, q und U für eine Anzahl Fälle zur Verfügung zu haben, weil die Bestimmung dieser Grössen umständlich ist. Die Rechnungen gestalten sich alsdann trotz der Weitläufigkeit der Theorie so einfach wie viele andere Festigkeitsrechnungen. Die folgende Tabelle enthält die bez. Werte. \frac{a}{r}=sin\,\varphi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 – H cos α 2,026 2,047 2,111 2,214 2,388 2,616 q 0,118 0,128 0,134 0,145 0,166 0,179 U 0,503 0,517 0,533 0,561 0,607 0,653 Vergleich der Resultate mit den Versuchen von Bach. (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1899 Nr. 51 und 52.) 1. Gusseisenboden III. Wir betrachten zunächst den Boden in der Krempe als starr eingespannt. Mit r = 710 a=336-\frac{1}{3}\,.\,86=307\,\frac{a}{r}=0,432 s = 13,2 mm ist nach Tabelle q = 0,152 \lambda=\frac{1}{1,0334} und schliesslich nach Gl. 22: \left(\frac{\epsilon}{\alpha}\right)_{max}=\frac{m^2-1}{2\,m^2}\,p\,.\,(52+30) mit m=\frac{10}{3} \left(\frac{\epsilon}{\alpha}\right)_{max}=37,3\ p. Der Boden sprang bei 33,4 at. Die Bruchanstrengung wäre somit: \left(\frac{\epsilon}{\alpha}\right)_{max}=1245kg/qcm. Bei Annahme radialer Nachgiebigkeit, die hier übrigens nicht bedeutend sein kann, würde sich die Anstrengung noch etwas höher stellen. Gleichzeitig dürfte jedoch infolge des grossen Krempenhalbmessers die Einspannung weniger starr sein, als vorausgesetzt, wodurch sich die Anstrengung erniedrigt. Zu beachten ist auch, dass für Gusseisen m\,>\,\frac{10}{3} sein kann, was eine Erhöhung der Anstrengung zur Folge haben dürfte. Die Anwendung auf Gusseisen kann übrigens nur Mittelwerte ergeben. Die obigen Zahlen lehren, dass die Biegungsanstrengung rund \frac{3}{5} der Zugbeanspruchung beträgt. 2. Gusseisenboden IV. r = 1100 a = 335 – 25 = 31 mm s = 14,2 mm \frac{a}{r}=0,28. Es ergibt sich: \left(\frac{\epsilon}{\alpha}\right)_{max}=\frac{m^2-1}{2\,m^2}\,p\,.\,(71+64,8). Der Boden platzte bei 21,5 at. Hiermit ergibt sich: \left(\frac{\epsilon}{\alpha}\right)_{max}=\sim\,1330kg/qcm. Die Biegungsanstrengung ist bei diesem Boden, der viel weniger gewölbt ist, rund gleich der Zugbeanspruchung. Die Böden I und II ergeben Anstrengungen von 967 kg/qcm und 1049 kg/qcm. Auch diese Werte dürften sich infolge der Einziehung erhöhen. Im übrigen scheinen, nach dem Vergleich mit den beiden anderen Böden zu urteilen, die Gusspannungen eine Holle zu spielen. Die vorstehenden Ergebnisse dürften mit den Festigkeitseigenschaften des Gusseisens (1200 kg/qcm und darüber Zugfestigkeit) in befriedigender Uebereinstimmung stehen. Schmiedeeiserne Böden. Hier lassen sich die Formeln für die Durchbiegung prüfen. Wir betrachten die Böden zunächst als eingespannt und berechnen alsdann die zusätzliche Durchbiegung infolge der Einziehung. Boden A. r = 1300 a=339,5-\frac{1}{3}\,.\,35=328\mbox{ mm}\ \frac{a}{r}=0,318. Tabelle gibt: \lambda=\frac{1}{1,0339}q = 0,136 U =0,538. Schliesslich: \zeta_{max}=\frac{\alpha\,p\,r^2}{2\,s}\ \frac{m-1}{m}\,(0,352+1,914)=7378\,\alpha\,p\,(\mbox{cm}). Mit \alpha=\sim\,\frac{1}{2000000} wird: ξmax = 0,00369 p (cm). Bei 10 at gibt dies ξmax = 0,369 mm. Dies wäre die Durchbiegung bei vollkommen starrer Einspannung. Aus Gl. 25) folgt die Vergrösserung der Durchbiegung infolge der Einziehung zu 6,0 ∆ φ. Der Punkt 6 (vgl. die Versuche) in der Mitte der Krempe zeigt bei 10 at eine elastische Durchbiegung in der Richtung 45° zur Achse von 0,048 + 0,030 = 0,078, also in radialer Richtung, falls er sich annähernd in der Richtung von 45° bewegt, von \frac{0,078}{\sqrt{2}}=0,056\mbox{ mm}=\Delta\,\xiWürde man an Stelle des Punktes 6 den Punkt 49 wählen und 0,9 der dort gemessenen Einziehung in Rechnung stellen, so würde ∆ ξ = 0,052 anstatt 0,056.. Die Korrektur der Durchbiegung ist somit 6 ∆ ξ = 6 . 0,056 = 0,336 mm. Die Berechnung ergibt daher eine totale Durchbiegung der Mitte (gegen den Einspannpunkt in der Krempe) von 0,369 + 0,336 = 0,705 mm. Der Versuch zeigt in der Mitte eine elastische Durchbiegung 0,735 – 0,057 = 0,678 mm. Am Punkt 4 zeigt sich noch eine Erhebung von 0,096 – 0,034 = 0,062 mm, während im Punkt 6 die Senkung 0,056 beträgt. Da der angenommene Einspannpunkt sehr nahe bei Punkt 6 liegt, so nehmen wir schätzungsweise eine Senkung desselben von 0,030 an, so dass der Versuch eine Durchbiegung der Mitte gegen den Krempenpunkt von 0,678 + 0,030 = 0,708 mm zeigen würde. Die berechnete Durchbiegung stimmt fast genau mit diesem Wert. Man erkennt übrigens: Die Durchbiegung rührt zum weitaus grössten Teil von der Biegung, zum kleinsten Teil vom Zug her; ausserdem wird sie durch die Nachgiebigkeit in radialer Richtung fast um das Doppelte vergrössert. Boden D. r = 896 a=335,5-\frac{29}{2}=321\mbox{ mm}\ \frac{a}{r}=0,358. Es wird \lambda=\frac{1}{1,0795}q = 0,140 U = 0,550 \zeta_{max}=\frac{\alpha\,p\,r^2}{2\,s}\ \frac{m-1}{m}\,(0,05+1,82). Mit \alpha=\frac{1}{2000000} ξmax = 0,00185 p (cm). Für p = 10 at ξmax = 0,185 mm. Die Korrektur ergibt sich zu ∆ ξ = 5,1 ∆ ξ. Der Punkt 6 gibt eine elastische Einziehung von 0,005 + 0,028 = 0,033 mm, also in horizontaler Richtung die VerschiebungEntnähme man dem Punkt 49 die radiale Einziehung des Einspannpunktes mit schätzungsweise 70 % des bei 49 gemessenen Wertes, so wäre ∆ ξ = 0,7 . 0,034 = 0,024 anstatt 0,020. \frac{0,033}{\sqrt{2}}=0,023. Da der Einspannpunkt etwas weiter gegen die Plattenmitte liegt, so nehmen wir nur 0,020, daher ist: ∆ξ = 5,1 . 0,02 = 0,102 mm. Die Rechnung ergibt daher total 0,185 + 0,102 = 0,287 mm. Für den Einspannpunkt ergibt sich, unter Beachtung, dass Punkt 4 sich nach oben, Punkt 6 nach unten verschiebt, schätzungsweise die Durchbiegung 0. Der Versuch würde also in der Mitte eine elastische Ausbiegung von 0,330 – 0,045 = 0,285 mm zeigen. Dieser Wert stimmt fast genau mit dem berechneten. Anmerkung: Nach der üblichen Berechnungsweise, nur auf Zug, wird die Spannung nach allen Richtungen der Kugeloberfläche \sigma=\frac{p\,.\,r}{2\,s}, also die Anstrengung des Materials \frac{m-1}{m}\ \frac{p\,.\,r}{2\,s} Dies würde ergeben für Boden III 629 kg/qcm (gegen 1245 oben) „ „ IV 583 „ (   „     1330     „   ) „ „ I 482 „ (   „       967     „   ) „ „ II 497 „ (   „     1049     „   ). Die Uebereinstimmung der berechneten und gemessenen Durchbiegungen der Plattenmitte ist gut. Wir schliessen daher aus den angestellten Vergleichen, dass die Theorie und ihre Grundlagen für die am Rande festgehaltene Platte mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Die Anstrengung der Kesselböden dürfte hiernach an Hand der gegebenen Formeln unter Berücksichtigung der besonderen Verhältnisse mit Hilfe der Versuche von Bach in zutreffender Weise zu ermitteln sein.