Kinematische Untersuchung einer zwischen zwei miteinander gelenkartig befestigten Backen befindlichen dünnen Blattfeder. Von Prof. G. Ramisch, Breslau. [Kinematische Untersuchung einer zwischen zwei miteinander gelenkartig befestigten Backen befindlichen dünnen Blattfeder.] Die beiden Backen AB und AD in der Abbildung sollen bei A miteinander drehbar verbunden und in den Punkten B bezw. D mit einer dünnen Blattfeder gelenkartig befestigt sein. Die Backe AD soll festliegen und die Backe AB von einer Kraft P beansprucht werden. In A und D werden Auflagerdrücke entstehen. Um sie zu bestimmen, ziehe man DB bis zum Schnittpunkte K mit P und dann noch die Gerade KA. Zwischen KD und KA ziehe man weiter eine Parallele zu P, so dass die Strecke \overline{mn} darauf gleich P ist. Es sind dann mK und Kn der Grösse, Lage und Richtung nach die Auflagerdrücke in A bezw. D. Indem wir die Formänderung der Backen vernachlässigen, welche verglichen mit der der Feder sehr klein ist, stellen wir uns die Aufgabe, zunächst den Winkel zu ermitteln, um welchen sich die Backe AB dreht, wenn infolge von P die Feder ihre Form verändert. Textabbildung Bd. 316, S. 645 Die Feder sei nur in C elastisch, so dass die Federteile BC und CD als starr aufzufassen sind, so haben wir es mit einer zwangläufigen viergliederigen Cylinderkette zu thun, wobei AD das festliegende Glied ist, AB und DC sind die um A bezw. D drehbaren Glieder und das vierte Glied ist BC, welches, wenn auch nur augenblicklich, um den Schnittpunkt F von AB und der Geraden CD drehbar ist. Wir bezeichnen die gleichzeitig stattfindenden Drehungswinkel um A und D bezw. mit dα und dϑ und den unendlich kleinen, auch gleichzeitig stattfindenden Winkel, um welchen sich BC und CD gegenseitig drehen, mit dγ. Bildet man den Schnittpunkt H von AC und BD, so findet zwischen dα und dγ folgende Beziehung statt: AH . dα = HC . dγ . . . . . 1) Ferner sei die für die spätere Untersuchung nötige Beziehung zwischen dϑ und dγ hier gleich erwähnt. Sie lautet: FD . dϑ = CF . dγ . . . . . 2) Nennen wir M das Biegungsmoment im Punkte C, so kann man es, weil ja die Feder sehr dünn sein soll, gleich E\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s} setzen. Hierin bedeuten: E den Elastizitätsmodul der Feder, J das Trägheitsmoment des Querschnitts bei C in Bezug auf die Drehachse dieses Querschnitts und ds das Bogenelement der Feder. Hierdurch entsteht die Gleichung: E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s}=M . . . . . . . 3) Wir nennen p den Abstand des Punktes A von Pund es werden von P und M gleichzeitig die unendlich kleinen Arbeiten: Pp . dα und M . dγ geleistet. Es muss deswegen sein: Pp . dα = M . dγ. Mit Rücksicht auf die Gleichung 1 ergibt sich hieraus: \frac{P\,p}{A\,H}=\frac{M}{H\,C}. Zu dieser Gleichung gelangt man auch, wie folgt: Nennt man u den Abstand des Punktes A von BD und X die Seitenkraft von P, welche in BD wirkt, so ist P . p = X . u. Heisst v der Abstand des Punktes C von BD, so ist M = v . X, also entsteht M=\frac{v}{u}\,\cdot\,P\,p. Es ist aber \frac{v}{u}=\frac{C\,H}{A\,H}, so dass M=\frac{C\,H}{A\,H}\,\cdot\,P\,p ist. Hieraus entsteht die obige Gleichung. Es möge nun die Federkurve ein Viertelkreis mit A als Mittelpunkt vom Radius r sein. Nennen wir ϕ den Winkel CAD, so ist AH : AD = sin (ADH) : sin (ADH + ϕ), d.h. A\,H=r\,\cdot\,\frac{1}{sin\,\varphi\,ctg\,(A\,D\,H)+cos\,\varphi}. Da ADH = 45°, also ctg (ADH) = 1 ist, so erhält man: A\,H=\frac{r}{sin\,\varphi+cos\,\varphi}. Weiter ist C\,H=A\,C-A\,H=r-\frac{r}{sin\,\varphi+cos\,\varphi} oder auch C\,H=\frac{r\,(sin\,\varphi+cos\,\varphi-1)}{sin\,\varphi+cos\,\varphi}. Also ist \frac{H\,C}{A\,H}=(sin\,\varphi+cos\,\varphi-1) und M = Pp (sin ϕ + cos ϕ – 1) . . . . 4) Aus der Gleichung 3 erhält man jetzt: E . J .dγ = Pp (sin ϕ + cos ϕ – 1) ds. Nach der Gleichung 1 ist auch: \frac{d\,\alpha}{d\,\gamma}=sin\,\varphi+cos\,\varphi-1, so dass aus den beiden letzten Gleichungen sich ergibt, wenn man noch ds = r . dϕ setzt: E . J . dα = Ppr (sin ϕ + cos ϕ – 1)2 . dϕ. Eine solche Gleichung kann man für alle Punkte zwischen B und D bilden, indem man nach und nach nur das Federelement in dem betreffenden Punkte als elastisch nimmt. Nehmen wir den Elastizitätsmodul und das Trägheitsmoment für alle Punkte der Feder als konstant an, so kann man sämtliche sich daraus ergebenden dα addieren, und setzt man \int\limits_D^B\,d\,\alpha=\alpha, so erhält man: E\,\cdot\,J\,\cdot\,\alpha=2\,P\,p\,\cdot\,r\,\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\,(1+sin\,\varphi\,cos\,\varphi-sin\,\varphi-cos\,\varphi)\,d\,\varphi, woraus folgt: \alpha=\frac{\pi-3}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,P\,p\,\cdot\,r . . . . . 5) Hiermit ist der verlangte Winkel, um welchen sich die Backe AB dreht, berechnet. Das Maximalmoment Mmax findet an der Stelle statt, wo der Winkel ϕ = 45° beträgt. Es ist dafür sin\,\varphi=cos\,\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2} und deshalb entsteht aus der Gleichung 4: Mmax = Pp . (√2 – 1) . . . . . 6) Ist z.B. der Federquerschnitt ein Rechteck von der Höhe 2 h und ist ferner k die grösste zulässige Beanspruchung, so ist M_{max}=k\,\cdot\,\frac{J}{h} zu setzen, so dass k=\frac{P\,p\,\cdot\,r}{J}\,\cdot\,h\,(\sqrt{2}-1) entsteht. Nunmehr wollen wir noch den Winkel angeben, um welchen sich die Feder bei der Formänderung im Punkte D gedreht hat; hierbei vernachlässigen wir, wie bei der Bestimmung von α, die Formänderungsarbeit der Längskraft, weil sie von keinem wesentlichen Einflusse ist. Es ist CF : DF = cos ϕ, wie man sich leicht ableiten kann. Daher erhält man nach Gleichung 2: E . J . dϑ = Pp . (sin ϕ + cos ϕ – 1) r . dϕ . cos ϕ. Diese Gleichung bilden wir für alle Punkte zwischen B und D und addieren sämtliche dϑ. Setzen wir nun \int\limits_D^B\,d\,\vartheta=\vartheta, so erhält man: E\,\cdot\,J\,\cdot\,\vartheta=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\,P\,\cdot\,p\,\cdot\,r\,(sin\,\varphi\,cos\,\varphi+cos^2\,\varphi-cos\,\varphi)\,d\,\varphi, d.h. E\,J\,\cdot\,\vartheta=P\,p\,\cdot\,r\,\cdot\,\frac{\pi-2}{4} . . . . 7) Ebensogross ist der Winkel, um welchen sich die Feder bei B gegen die Backe AB dreht. Aus den Gleichungen 6 und 7 folgt: \frac{\vartheta}{\alpha}=\frac{\pi-2}{4\,(\pi-3)}, d.h. ϑ = 2,015 α. Selbstverständlich gilt diese Gleichung nur dann, wenn die Bewegung der Feder sehr klein ist. Auf ähnliche Weise lässt sich die Stelle ermitteln, wohin der beliebige Punkt C der Feder nach der Formänderung gelangt, also auch die Gestalt angeben, welche die Feder nach der Formänderung annimmt.