Ueber Aräometer mit willkürlicher Einteilung. Von Dr. Gustav Rauter. Ueber Aräometer mit willkürlicher Einteilung. Neben solchen Aräometern, die unmittelbar das spezifische Gewicht einer Flüssigkeit oder den Prozentgehalt einer gewissen Lösung angeben, werden noch die verschiedensten Aräometer mit willkürlicher Einteilung gebraucht, und zwar beruhen deren Angaben auf sehr mannigfaltigen Berechnungen, so dass oft ganz gleich benannte Aräometer doch je nach der Herkunft ziemlich weit voneinander verschiedene Angaben machen, ein Umstand, der insbesondere auch für die meist gebräuchliche Einteilung nach Graden Baumé zutrifft. Wir wollen zunächst einmal von den Instrumenten nach Fleischer und nach Twaddell absehen, auf die wir später zurückkommen werden. Dann können wir alle gebräuchlichen Aräometereinteilungen, die wir im Auge haben, nämlich (nach abnehmender Grösse der Grade geordnet) die nach Gay-Lussac, Cartier, Baumé, Stoppani, Beck, Balling und Brix auf eine gemeinschaftliche Grundlage zurückführen. Denken wir uns einen Körper AB (Fig. 1) in eine Flüssigkeit vom spezifischen Gewichte p eintauchen, in die er bis zum Punkte F einsinke. In eine andere, schwerere Flüssigkeit vom spezifischen Gewichte q tauche er bis E ein. Wir teilen nun den Körper in eine Anzahl gleich schwerer und demnach bei gleich grossem Querschnitt auch gleich langer Teile ein. Zwischen F und E seien c solcher Teile oder Grade, wobei wir F mit 0° und E mit c° bezeichnen. Diese Bezifferung können wir nun auch auf alle anderen Teilpunkte des Körpers AB ausdehnen; hierbei werden dann die über F hinausliegenden Teile negatives Vorzeichen erhalten. Textabbildung Bd. 316, S. 677 Fig. 1. Wie gross ist nun das spezifische Gewicht d einer Flüssigkeit, in die der Körper AB bis zum Punkte G bei n° eintaucht? Setzen wir FB = w, GB = x, FG = y, FE = z und EB = 1, so können wir dies letztere deswegen thun, weil das Gewicht des Aräometers an und für sich nicht in Betracht kommt, vielmehr nur das verhältnismässige Gewicht der einzelnen Teile untereinander in Rechnung zu ziehen ist. Es ergeben sich dann folgende Gleichungen: d : p = w : x d : q = 1 : x n : c = y : z w = z + 1 z = x + y – 1. Hieraus folgt, dass d=\frac{c\,p\,q}{c\,q-n\,(q-p)}, oder, um n ohne Faktor zu haben: d=\frac{\frac{c\,p\,q}{q-p}}{\frac{c\,q}{q-p}-n}. Setzen wir nun \frac{c\,p\,q}{q-p}=a und \frac{c\,q}{q-p}=b, so ist d=\frac{a}{b-n}=\frac{a}{a-(n+a-b)}, oder wenn wir a – b = c setzen: d=\frac{a}{(a-e)-n}=\frac{a}{a-(n+e)}. Es ist dann: e=a-b=\frac{c\,p\,q}{q-p}-\frac{c\,q}{q-p}=\frac{c\,q\,(p-1)}{q-p}. Regelmässig hat nun eine der beiden Flüssigkeiten, von denen ausgegangen wird, das spezifische Gewicht 1. Setzen wir p = 1, so ist cpq = cq, aber auch a = b, und d=\frac{a}{a-n} . . . . . . I) n=\frac{a\,(d-1)}{d} . . . . . . II) a=\frac{d\,n}{d-1} . . . . . . III) Auf diese drei Grundgleichungen lassen sich auch die Formeln zurückführen, bei denen p ≷ 1 und demnach d=\frac{a}{b-n}=\frac{a}{a-(n+e)}. Wir brauchen hier nur statt n den Ausdruck n + e einzusetzen. Wir wollen a die Grundzahl, e die Höhenzahl nennen, letzteres deshalb, weil durch die Grösse e nichts weiter ausgedrückt wird, als nur eine Höher- oder Tieferlegung des Nullpunktes an im übrigen unveränderter Skala. Ferner wollen wir alle Bezifferungen, die von leichteren zu schwereren Flüssigkeiten entsprechenden Gradzahlen fortschreiten, mit positiven, alle die aber, die umgekehrt von schwereren zu leichteren führen, mit negativem Vorzeichen versehen. Zu letzteren gehören insbesondere die Skalen der sogen. Aräometer für leichtere Flüssigkeiten. Durch das Festhalten des richtigen Vorzeichens wird erzielt, dass stets ausdrücklich zu ersehen ist, um was es sich handelt; z.B. entsprechen + 60° Baumé einem spezifischen Gewichte über 1, aber – 60° Baumé einem solchen unter 1. Auch ergibt sich daraus, dass zwischen Aräometern für schwerere und solchen für leichtere Flüssigkeiten theoretisch kein Unterschied besteht, und dass die in der Praxis zwischen beiden vielfach übliche scharfe Trennung nur unnötige Verwirrung schafft. Vor mehr als 30 Jahren hat Gerlach in D. p. J. 1865 176 444 bis 461, 1866 181 358 bis 362 und 1870 198 313 bis 320 ausführliche Untersuchungen über die Aräometer und ihre Beziehungen zum spezifischen Gewichte angestellt, hat dabei aber jedes Aräometer für sich betrachtet und nicht versucht, das Ganze in ein zusammenhängendes System zu bringen, wodurch die Sache sowohl theoretisch wie praktisch bedeutend vereinfacht worden wäre. Von bleibendem Werte sind insbesondere die von Gerlach ausgeführten spezifischen Gewichtsbestimmungen gewesen, namentlich betreffs der den Baumé'schen Aräometern zu Grunde liegenden Kochsalzlösungen. Beim Vergleiche der in folgendem berechneten Zahlen mit den seinen ist besonders zu beachten, dass Gerlach die Aräometer für schwerere und leichtere Flüssigkeiten stets getrennt berechnet hat, während hier beide unter gleiche Formeln gebracht sind. Das älteste Aräometer mit willkürlicher Einteilung scheint das von Baumé zu sein, von dem Berzelius in einem Lehrbuche der Chemie, übersetzt von Woehler 1831 4 811 bis 812 folgendes schreibt: „Baumé graduierte sein Aräometer für Salzlösungen auf folgende Art: Dasselbe wurde in Wasser von + 11° [Réaumur'sche Grade scheinen gemeint zu sein] eingesenkt, und dann so viel Quecksilber in die noch offene Röhre gebracht, bis das Instrument fast bis an das Ende einsank. Dieser Punkt wurde nun mit 0° bezeichnet. Darauf wurde diese Wage in eine Salzauflösung von 15 Teilen Kochsalz und 85 Teilen Wasser gebracht, und der Punkt, bis zu dem sie einsank, mit 15 bezeichnet. Der Abstand zwischen diesen Punkten wurde in 15 gleiche Teile, welche Grade ausmachten, eingeteilt, und darauf die Röhre auch auf der unteren Hälfte in 15 gleich grosse Grade eingeteilt; denn Baumé glaubte, dass die Zahl eines jeden Grades den prozentischen Gehalt von Salz in der Auflösung anzeige. Dies ist jedoch nicht richtig, teils weil die Röhre dieser Wage nie genau cylindrisch sein kann, und teils, weil das spezifische Gewicht nicht ganz in demselben Verhältnisse wie der Salzgehalt der Auflösung zunimmt.“ „Die Wage für spirituöse Flüssigkeiten ist ganz nach demselben Prinzip, d.h. nicht nach ungleichen Quantitäten von Alkohol, sondern in einer Salzauflösung graduiert. Der Nullpunkt befindet sich hier nicht an der Spitze, sondern gleich über der Kugel, und ist durch die Stelle bestimmt, bis zu der die Wage in einer Auflösung von 10 Teilen Salz in 90 Teilen Wasser sinkt. Sie wird hierauf in reines Wasser eingetaucht, und der Punkt, bis zu dem sie darin untersinkt, mit 10 bezeichnet. Dieser Abstand wird in 10 Grade geteilt, nach welchen nachher der übrige Teil der Röhre mit gleich grossen Graden graduiert wird.“ Man ersieht hieraus, dass Baumé bei der Erfindung seines Aräometers von falschen Voraussetzungen ausging, dass er ferner auch von vornherein den durch nichts gerechtfertigten Unterschied zwischen Aräometer für schwerere und für leichtere Flüssigkeiten machte, sowie dass endlich, nach der ziemlich umständlichen Schilderung bei Berzelius zu schliessen, derartige Aräometer damals noch etwas verhältnismässig Neues waren. Was zunächst nun die ursprüngliche Baumé-Skala für schwerere Flüssigkeiten anbetrifft (wir wollen die verschiedenen hier zu besprechenden Skalen mit laufenden Nummern, diese also mit 1 bezeichnen), so war hierin der Nullpunkt beim spezifischen Gewichte 1, der andere feste Punkt 15°, beim spezifischen Gewichte einer 15prozentigen Kochsalzlösung bei 11° R. = 13¾° C. Diese hat hierbei das spezifische Gewicht 1,11158, bezogen auf Wasser von gleicher Wärme. Es ist demnach a=\frac{d\,n}{d-1}=\frac{1,11158\,\cdot\,15}{0,11158}=149,43 . . 1) Gerlach berechnete die nämliche Skala unter Zugrundelegung des Gewichtes einer 15prozentigen Kochsalzlösung von 15° C., bezogen auf Wasser von 15° C., mit einem spezifischen Gewichte von 1,11146. Hierfür ist a=\frac{d\,n}{d-1}=\frac{1,11146\,\cdot\,15}{0,11146}=149,58 . . 2) Es gibt auch eine von Francoeur ebenfalls auf Grund des Gewichtes von 15prozentiger Kochsalzlösung berechnete Tabelle, bei der + 66° 1,7674 spezifischem Gewicht entspricht. Hieraus ergibt sich: a=\frac{d\,n}{d-1}=\frac{1,7674\,\cdot\,66}{0,7674}=152,00 . . 3) Eine noch höhere Zahl für a ergibt die Umrechnung einer von Gerlach mitgeteilten Tabelle nach Bohnenberger,die nur bis 40° geht, was gleich 1,347 spezifischem Gewicht gesetzt wird. Hiernach ist a=\frac{1,347\,\cdot\,40}{0,347}=155,27 . . . . 4) Bei Berzelius findet sich eine von Bingley berechnete Tabelle, die allerdings nur von 18 bis 45° geht. Letzterer Zahl wird der Wert 1,435 spezifisches Gewicht gleich gesetzt, so dass also a=\frac{1,435\,\cdot\,45}{0,435}=148,45 . . . . 5) Die 15prozentige Kochsalzlösung wurde nun aber bald zu Gunsten einer 10prozentigen verlassen, die man 10° entsprechen liess. Man nahm deren spezifisches Gewicht entweder bei 12½ oder bei 15 oder bei 17½° C. an und bezog es auf Wasser von jedesmal gleicher Temperatur. Hierfür sind die betreffenden Zahlen nach den Bestimmungen von Gerlach: bei 12½° C. 1,073596   „  15° C. 1,073350   „  17½° C. 1,073110 Es folgen daraus die Formeln: a=\frac{1,073596\,\cdot\,10}{0,073596}=145,88 . . . . 6) a=\frac{1,07335\,\cdot\,10}{0,07335}=146,33 . . . . 7) a=\frac{1,07311\,\cdot\,10}{0,07311}=146,78 . . . . 8) Letzterer Zahl gibt Gerlach den Vorzug, weil 17½° C. als Grundtemperatur am meisten in Gebrauch sei. Eine von Gerlach nach Delezennes mitgeteilte Tabelle enthält für 66° die spezifische Gewichtszahl 1,8922, woraus sich ergibt: a = 139,97 . . . . . . . 9) Eine andere dort Graham's Lehrbuch entnommene Tabelle hat 60° bei 1,815 spezifischem Gewicht. Sie sei von 10prozentiger Kochsalzlösung ausgehend berechnet, deren Gewicht man durch willkürliche Abkürzung der letzten Dezimalen zu 1,073 angenommen habe; diese Tabelle sei sehr verbreitet. Es ergibt sich aus diesen Angaben: a = 146,99 . . . . . . 10) Hiernach entspricht 66° 1,8149 spezifischem Gewicht oder rund 1,815. Nun liegt aber 66° Baumé ungefähr beim spezifischen Gewichte der konzentrierten Schwefelsäure, und da diese Säure ganz hauptsächlich nach Baumé-Graden gemessen wurde und noch wird, so ging man dazu über, konzentrierte Schwefelsäure gleich 66° als Ausgangspunkt der Berechnung zu nehmen. Da war nun wieder die Frage: was ist konzentrierte Schwefelsäure? Ist es sogen. gewöhnliche konzentrierte Schwefelsäure des Handels von etwa 92 %, oder chemisch reines Monohydrat (H2SO4), oder die Schwefelsäure im Zustande ihrer grössten Dichte bei 1,8415 spezifischem Gewichte und 97,70 % H2SO4? Dazu kam denn noch, dass es an genauen Bestimmungen über das spezifische Gewicht starker Schwefelsäure früher durchaus fehlte. Bei Berzelius finden wir, dass Guyton-Morveau und Nicholson bei der Berechnung der Baumé-Grade davon ausgegangen seien, dass 66° einem spezifischen Gewichte von 1,848 entsprechen. Hier lag also auch offenbar schon das Gewicht konzentrierter Schwefelsäure zu Grunde. Danach wäre a = 143,83 . . . . . . 11) Auch die von Gerlach nach Graham gegebenen Zahlen (vgl. Nr. 10) scheinen in Wirklichkeit nach Schwefelsäure und nicht nach Kochsalzlösung berechnet zu sein, da man nach Gerlach's Angaben den Grad 66 entsprechend 1,815 spezifischem Gewicht bei 17½° C. der Berechnung zu Grunde gelegt habe. Dann ist a = 146,98 . . . . . . 12) In Wirklichkeit wird man wohl in beiden Fällen auf 147 abgekürzt haben, da ja auch eine so geringe Aenderung in der zweiten Dezimale von a nur auf die vierte Dezimale von d Einfluss hat, und diese in der Praxis doch stets vernachlässigt wird. Gerlach führt ferner an, dass Schober und Pecher eine Formel berechnet haben, bei der 66° 1,834 spezifischem Gewicht entsprechen, eine Zahl, die man vielfach fälschlich für das spezifische Gewicht der konzentrierten Schwefelsäure halte. Danach wäre hier a = 145,14 . . . . . . 13) Lunge empfiehlt nun in seiner Sodaindustrie (1. Aufl. Bd. 1 S. 15) das sogen. rationelle Baumé-Aräometer, das sich auch seitdem vielfach Eingang verschafft hat, und das nach der Formel berechnet wird: d=\frac{144,3}{144,3-n}. Es ist also a = 144,3 . . . . . . 14) Hieraus folgt, dass für 66° d= 1,8429. Jedoch ist in den von Lunge mitgeteilten Tabellen für 66° d = 1,842 eingesetzt; auch ist angegeben, dass dies die Zahl sei, auf der sich die Berechnung aufbaue. Demnach wäre a = 144,38 . . . . . . 15) Nehmen wir dagegen die grösste Dichte der Schwefelsäure nach Lunge und Isler mit 1,8415 (Lunge's Sodaindustrie, 2. Aufl. Bd. 1 S. 111) als 66° entsprechend an, so haben wir a = 144,43 . . . . . . 16) In Amerika benutzt man nach Lunge (nach Chem. Trade Journ., Bd. 2 S. 183) neuerdings noch ein anderes auf Schwefelsäure gegründetes Aräometer, wobei a = 145 . . . . . . . 17) und d bei 66° gleich 1,8354. Gleichfalls zu den Baumé'schen Aräometern gehört das holländische Aräometer, obwohl es von manchen nicht dazu gezählt wird, und zwar deshalb nicht, weil bei ihm der Nullpunkt der Teilung für leichtere mit dem für schwerere Flüssigkeiten zusammenfällt, was bei den gewöhnlichen Baumé-Aräometern nicht der Fall ist. Bei seiner Berechnung ging man von 10prozentiger Kochsalzlösung aus, für die man das spezifische Gewicht 1,074626 annahm. Danach ist a = 144,00 . . . . . . 18) Jedenfalls hat diese holländische Teilung den Vorzug, dass man sich bei ihr später nicht mehr an neuere Bestimmungen des spezifischen Gewichtes der Kochsalzlösung hielt, sondern ein- für allemal bei der Formel d=\frac{144}{144-n} blieb. Es war also, ebenso wie das sogen. rationelle Aräometer, von seiner Unterlage unabhängig geworden. Wie gesagt, war bei den Aräometern nach Baumé für leichtere Flüssigkeiten meist eine verschiedene Lage des Nullpunktes üblich, als es bei den bisher besprochenen Aräometern der Fall war. Man legte ihn nämlich um 10° oberhalb (am Aräometer selbst also unterhalb) des Wasserpunktes, so dass das spezifische Gewicht reinen Wassers –10° entsprach. Baumé selbst hatte sogar auch verschiedene Salzlösungen als Grundlage beider Teilungen genommen. Sein Aräometer für leichtere Flüssigkeiten hatte also den Nullpunkt bei 10prozentiger Kochsalzlösung, den Punkt –10° bei reinem Wasser. Seine Formel ist demnach allgemein: d=\frac{a}{a-(n+10)}. Setzen wir hierin a nach den Gleichungen 6, 7 und 8 ein, so erhalten wir: d=\frac{145,88}{135,88-n} . . . . . 19) d=\frac{146,33}{136,33-n} . . . . . 20) d=\frac{146,78}{136,78-n} . . . . . 21) Für leichtere Flüssigkeiten, wo n negativen Wert hat, hat, wie nicht zu vergessen ist, –n also positiven Wert. Bei Berzelius findet sich eine Tabelle für dies Baumé'scheAräometer, die von Nicholson nach Baumé selbst berechnet sei, der angab, dass –37° 0,842 spezifischem Gewicht entsprächen. Danach ist: a=\frac{0,842\,(-37+10)}{0,842-1}=143,89 . . 22) demnach wäre d=\frac{143,89}{133,89-n}. Eine in Lunge's Industrie des Steinkohlenteers, 1888 3. Aufl. S. 648, befindliche Tabelle für leichtere Baumé-Grade nach Duflos gibt für –32° 0,864 spezifisches Gewicht. Hieraus berechnet sich: a=\frac{0,864\,\cdot\,22}{0,136}=139,71 . . . . 23) Eine von Francoeur berechnete und von Gerlach übernommene Tabelle für Flüssigkeiten leichter als Wasser gibt für –60° 0,7449 spezifisches Gewicht. Demnach ist a=\frac{0,7449\,\cdot\,50}{0,2551}=146,00 . . . . 24) Dieser Wert liegt zwischen den von Gerlach für 12½ und für 15° C. ermittelten Werten 145,88 und 146,33 und weicht von ersterem so wenig ab, dass Gerlach ihn ohne weiteres in seine Tabellen übernahm, und zwar unter Angabe einer Normaltemperatur von 12½° C., während er für schwerere Flüssigkeiten die von ihm selbst gefundene Zahl 146,78 bei 17½° C. als Ausgangspunkt der Teilung nahm. Gerlach's und seiner Nachfolger Tabellen haben also auch wieder, wie ursprünglich Baumé selbst, zwei verschiedene Grundzahlen für schwerere und leichtere Aräometer, nur nicht so sehr verschieden wie dieser, nämlich: für schwerere Flüssigkeiten 146,78 8) „ leichtere „ 146,00 24) Gleichfalls Werte nach Baumé hat Hassenfratz gegeben; sie finden sich bei Berzelius abgedruckt. Seine Tabelle ist für schwerere Flüssigkeiten so gefunden, dass er das spezifische Gewicht einer 1prozentigen Kochsalzlösung gleich 1°, das einer 2prozentigen gleich 2° setzte u.s.w., bis 30° entsprechend 30prozentiger Kochsalzlösung. Seine Zahlen stimmen aber weder mit denen irgend einer anderen Tabelle nach Baumé, noch mit den wirklichen spezifischen Gewichten von Kochsalzlösungen, wie schon daraus hervorgeht, dass er 30prozentige Lösung anführt, während in der That Kochsalz bei gewöhnlicher Temperatur nur 26,4prozentige Lösung gibt. Ebenso sind auch die Angaben von Hassenfratz für leichtere Flüssigkeiten auf keine rationelle Grundlage zu bringen. Er hat sie berechnet, indem er 15 Teile Spiritus von 40° mit einem Teil Wasser gemischt gleich 37°, 14 Teile Spiritus von 40° mit zwei Teilen Wasser gleich 34° u.s.w. setzte. Es müsste also der Punkt 40° dem spezifischen Gewichte reinen Alkohols entsprochen haben. Da bei ihm aber 40° gleich 0,8276 spezifischem Gewicht angegeben wird, so ist er offenbar schon von wässerigem Alkohol ausgegangen. Welche Vorsicht überhaupt beim Gebrauche der Baumé-Grade und der dazu gehörigen Formeln nötig ist, zeigt z.B. der Elektrochemiker-Kalender für 1901, Teil 2 S. 57 bis 59, wo als Formel für die Berechnung der Grade leichterer Flüssigkeiten eine solche mit a = 146,78 angegeben ist, während die danach folgende Tabelle mit a = 146 berechnet ist. Auch ist ebenda S. 58 die Baumé-Formel für schwerere Flüssigkeiten mit a = 146,7 bei 17½° C. angegeben, während sich S. 60 zwei Tabellen befinden, deren eine (einmal steht irrtümlich 17,5° R. statt 17,5° C.) dieser von Gerlach gegebenen Formel entspricht, während die andere mit der Ueberschrift: Baumé 10° R. = 12,5° C. nicht der für 12½° C. von Gerlach gegebenen Formel mit a = 145,88 entspricht, wonach 66° bei 1,8262 spezifischem Gewicht liegen, sondern von der sogen. rationellen Formel abgeleitet zu sein scheint. Jedoch sind die Zahlen in der vierten Dezimale ein wenig verschieden von den danach berechneten. 66° liegt z.B. bei 1,8428 spezifischem Gewicht, statt bei 1,8429; es ist demnach a = 144,31 . . . . . . 25) Tabellen nach dieser Formel finden sich auch sonst abgedruckt. Nicht genug mit all diesen Verschiedenheiten änderte Cartier, dem Baumé die Anfertigung seiner Aräometer übertragen hatte, deren Grundlage ganz willkürlich ab und schuf damit das Cartier'sche Aräometer. Hierbei machte er 15 seiner Grade so lang wie 16° Baumé, verlegte ferner auch noch den Baumé'schen. Nullpunkt. Um wie viel dieser zu verlegen war, darüber waren aber die Anschauungen verschieden, so dass die Verwirrung hier noch grösser war, als bei den eigentlichen Baumé-Spindeln. Bei der einen Einteilung findet sich der Punkt – 11° Cartier bei – 10° Baumé der Baumé'schen Spindel für leichtere Flüssigkeiten; im übrigen aber entsprechen 15° Cartier 16° Baumé. Es ist demnach: – 11° Cartier entspr. – 10° Baumé entspr. d = 1,0000 – 26° „ „ – 26° „ „ d = 0,9014 Die Zahl 0,9014 erhalten wir hier für – 26° Baumé, wenn wir nach Formel 7 a = 146,33 annehmen, und ferner e = 10 setzen, so dass also: \frac{146,33}{136,33+26}=0,9014. Es ergibt sich nun, dass demnach bei der betreffenden Cartier-Spindel: a=\frac{0,9014\,(-26+11)}{0,9014-1}=\frac{15\,\cdot\,0,9014}{0,0986}=137,13 und d=\frac{137,13}{126,13-n} . . . . . 26) Nach einer anderen Berechnungsweise fallen – 10° Cartier und – 10° Baumé beim spezifischen Gewichte 1 zusammen, während im übrigen wieder 15° Cartier = 16° Baumé. Es ist demnach: – 10° Cartier entspr. – 10° Baumé entspr. d = 1,0000 – 25° „ „ – 26° „ „ d = 0,9014 a=\frac{0,9014\,(-25+10)}{0,9014-1}=137,13 d=\frac{137,13}{127,13-n} . . . . . 27) Nach einer dritten Angabe wieder fallen – 22° Cartier und – 22° Baumé zusammen, und es sind im übrigen wieder 15° Cartier = 16° Baumé. Daraus folgt: – 10,75° Cartier entspr. – 10° Baumé entspr. d = 1,0000 – 25,75° „ „ – 26° „ „ d = 0,9014 a=\frac{0,9014\,(-25,75+10,75)}{0,9014-1}=137,13 d=\frac{137,13}{126,38-n} . . . . . 28) Diese drei verschiedenen Teilungen nach Cartier haben somit einerlei Grundzahl, aber verschiedene Höhenzahl. Von jeder Baumé-Teilung lassen sich aber nun auf diese Weise drei verschiedene Teilungen nach Cartier ableiten, wodurch die hier herrschende Verwirrung denn noch vielfach grösser ist als dort. Eine von Gerlach nach Francoeur wiedergegebene Tabelle nach Cartier, über deren Berechnungsweise er nichts mitteilt, erstreckt sich von – 14 bis – 39°, wofür die Werte 0,9764 und 0,8286 gegeben werden. Wenn wir hieraus die zu Grunde liegende Formel berechnen, so erhalten wir, indem wir in die Formel a=\frac{d\,(e+n)}{d-1} die entsprechenden Werte einsetzen: a=\frac{0,9764\,(e-14)}{0,9764-1} und a=\frac{0,8286\,(e-39)}{0,8286-1}, demnach: \frac{0,9764\,(14-e)}{0,0236}=\frac{0,8286\,(39-e)}{0,1714} und e = 10,69, folglich: a=\frac{0,8286\,(39-10,69)}{0,1714}=136,86 und d=\frac{136,86}{126,17-n} . . . . . 29) Graham-Otto (Einleitung 1878, S. 149 bis 153) gibt für Cartier-Grade folgende Formel: d=\frac{136,8}{126,1-n} . . . . . 30) also a = 136,8 und e = 10,7. Der Elektrochemiker-Kalender gibt diese Graham-Otto'sche Formel für schwerere Flüssigkeiten – während sonst immer die Cartier'schen Grade nur für leichtere Flüssigkeiten angegeben werden –, für letztere dagegen hat er eine andere Formel: d=\frac{137,61}{126,85-n} . . . . . 31) wobei also a = 137,61 und e = 10,76. Eine andere Gruppe von Aräometern rührt von Gay-Lussac her, nämlich das sogen. Volumeter und das sogen. hundertgradige Aräometer. Denken wir uns an der Aräometerskala einfach die reziproken Werte des spezifischen Gewichts als Grade aufgetragen, wobei wir, um die Zählungsrichtung zu bezeichnen, negatives Vorzeichen nehmen müssen, so erhalten wir eine Teilung nach der Formel n=-\frac{1}{d} oder d=\frac{1}{-n}, d.h. wir haben in der Formel d=\frac{a}{a-e-n} a = 1 und e = 1 . . . . . 32) Da hierbei alle Gradzahlen für spezifisches Gewicht über 1 auch ihrem absoluten Werte nach kleiner als 1 werden würden, so nahm Gay-Lussac 100 als Grundzahl wie als Höhenzahl an, wobei ebenfalls a und e voneinander abgezogen Null geben und erhielt d=\frac{100}{-n} mit a = 100 und e = 100 . . . . 33) Dies ist die seinem sogen. Volumeter zu Grunde liegende Berechnung, wobei ebenfalls nur negative Grade vorkommen. Um nun für Flüssigkeiten schwerer als Wasser positive Grade zu haben, machte er a = b, also e = 0 und erhielt so die Einteilung seines sogen. hundertgradigen Aräometers: d=\frac{100}{100-n} . . . . . . 34) Andere Aräometer sind noch die nach Stoppani, Beck, Balling und Brix, die alle beim spezifischen Gewichte 1 ihren Nullpunkt haben, und ohne Rücksicht auf etwa zu Grunde liegende Salzlösungen nach mathematischen Formeln definiert werden. Stoppani hat die Formel d=\frac{166}{166-n}, also a = 166 . . . . . . . 35) Beck (und Benteley) haben d=\frac{170}{170-n}, also a = 170 . . . . . . . 36) Balling hat d=\frac{200}{200-n}, also a = 200 . . . . . . . 37) Textabbildung Bd. 316, S. 681 Fig. 2. Brix hat d=\frac{400}{400-n}, also a = 400 . 38) Von diesen vier letztgenannten Aräometern hat insbesondere das von Brix für die Spiritusuntersuchung allgemeine Verbreitung erlangt; es wurde im Jahre 1866 durch preussischen Ministerialerlass eingeführt. Betrachten wir nun die all den besprochenen Aräometern zu Grunde liegende Formel d=\frac{a}{a-n} genauer, so sehen wir, dass sie die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel darstellt, deren Asymptoten in dem Punkte n = a (der x-Achse) und d = 0 (der y-Achse) sich rechtwinklig schneiden. Textabbildung Bd. 316, S. 681 Fig. 3. Die eine Asymptote ist dieLinie dieses Koordinatensystems, die d = 0 entspricht (also die x-Achse selber), die andere entspricht n = a, ist also der y-Achse im Abstande a parallel. In Fig. 2 ist diese Kurve für d=\frac{144,3}{144,3-n} aufgezeichnet. Man ersieht daraus, dass für das spezifische Gewicht 0 n = – ∞, dass n dann zunächst rasch zunimmt, beim spezifischen Gewichte 1 gleich 0 wird, dass es dann nur immer langsamer wächst, bis es bei + 144,3 einem d = ± ∞ entspricht. Höhere Gradzahlen als a haben keinen reellen Wert mehr, sondern entsprechen negativen spezifischen Gewichten. Es werden also bei jeder derartigen Einteilung die spezifischen Gewichte durch Gradbezeichnungen in der Weise wiedergegeben, dass die Grade von – ∞ bis 0 den spezifischen Gewichten unter 1, die von 0 bis a denen von 1 bis + ∞ entsprechen. Bei den Gleichungen nach der Formel d=\frac{a}{a-c-n} findet eine Verschiebung des Kurvenbildes um den Wert von – e parallel zur x-Achse statt. In Fig. 3 ist AB ein Stück der Kurve d=\frac{144,3}{144,3-n} zwischen –24 und + 12°; CD ist ein Stück der Kurve d=\frac{144,3}{134,3-n} zwischen denselben Graden. Man erkennt, dass die Kurve CD aus der Kurve AB dadurch entstanden ist, dass sich diese um 10° in negativer Richtung parallel der x-Achse bewegt hat. Textabbildung Bd. 316, S. 681 Fig. 4. Zugleich zeigt Fig. 3 noch die Kurve EF für d=-\frac{1}{n}, also für die reziproken spezifischen Gewichte; die x-Achse und die y-Achse selbst bilden hier die Asymptoten. In Fig. 4 sind die Kurven d=\frac{a}{a-n} für a = 100, a = 144,3 und a = 400 dargestellt. Diese Kurven schneiden sich im Punkte n = 0 und d = 1, so dass also oberhalb dieses Punktes gleiche Gradzahlen bei grösserem a einem kleineren spezifischen Gewichte entsprechen, während unterhalb gleiche Gradzahlen bei grösserem a einem grösseren spezifischen Gewichte entsprechen. Ferner zeigt Fig. 4 noch die Kurve für das Gay-Lussac'sche Volumeter, die sich als die um 100° nach links verschobene Kurve des hundertgradigen Aräometers darstellt. Textabbildung Bd. 316, S. 682 Fig. 5. Fig. 5 zeigt die Werte für +66° nach der Gleichung d=\frac{a}{a-66}. Auch diese Gleichung ist eine Hyperbel; ihre Werte sind Zusammenstellung. Textabbildung Bd. 316, S. 682 Reihe; Nr.; Namen; Reziprokes spez. Gew.; Volumeter (Gay-Lussac); 100gradiges Aräometer (Gay-Lussac); Cartier; Baumé; Holländisches Aräom.; sogen. rationelles Aräometer; Francoeur's Tabelle für leichtere Flüssigkeiten, von Gerlach übernomm.; Gerlach's Tabelle für schwerere Flüssigkeit.; Stoppani; Densimeter (Fleischer); Beck und Benteley; Balling; Hydrometer (Twaddell); Brix nur für a > 66 und für a < 0 reell; zwischen a = 0 und a = 66 würden sie negativen spezifischen Gewichten entsprechen. Bevor wir nun zu den Aräometern nach Fleischer und Twaddell übergehen, wollen wir noch einmal sämtliche besprochenen Werte tabellarisch zusammenstellen. Hierbei stehen unter der Bezeichnung Nr. die vorhin bei Entwickelung der einzelnen Formeln in Klammern beigesetzten Zahlen. Die Spalte a bringt die Grundzahl; unter e steht die Höhenzahl, die zugleich angibt, wie viel Grad des betreffenden Aräometers dem spezifischen Gewichte 1 entsprechen. Unter 0° findet sich das jedesmal diesem Grade entsprechende spezifische Gewicht. In der mit 66° überschriebenen Spalte findet sich das spezifische Gewicht, das + 66° des Aräometers bei e = 0 entspricht. Hier sind, um eine Vergleichbarkeit der einzelnen Gradgrössen zu ermöglichen, die Grade also alle gleichmässig vom spezifischen Gewicht 1 an und nicht von dem zufälligen Nullpunkte der Teilung an gezählt. Uebrigens sind, um eine spätere besondere Tabelle überflüssig zu machen, auch die Werte für 66° des Densimeters nach Fleischer und des Hydrometers nach Twaddell hier aufgeführt und der Grösse des spezifischen Gewichtes für 66° entsprechend eingeordnet. Man ersieht aus dieser Zusammenstellung deutlich, welch verschiedene spezifische Gewichte gleichen Gradzahlen sogar gleich benannter Aräometer entsprechen (vgl. auch Fig. 5). Wie viel die Werte für je einen Grad je nach seiner Entfernung vom Nullpunkte verschieden sind, das haben wir ja auch schon im allgemeinen gesehen, doch dürfte hierüber vielleicht auch noch eine kleine zahlenmässige Zusammenstellung am Platze sein. Wir wählen hierzu die Werte nach der sogen. rationellen Baumé-Spindel (vgl. auch Fig. 2) und erhalten: n d Unterschied auf 1°in 0,001 d – 60 0,706 4 – 59 0,710 – 40 0,783 4 – 39 0,787 – 20 0,878 6 – 19 0,884 ±  0 l,000 7 +  1 1,007   20 1,161 9   21 1,170   40 1,384 13   41 1,397   60 1,712 20   61 1,732   80 2,244 36   81 2,280 Die Grösse der einzelnen Grade, bezogen auf spezifisches Gewicht, also auf das, was sie messen sollen, hat sich demnach von –60° bis +80° von 0,004 auf 0,036 erhöht, also auf das Neunfache. Auch auf der kurzen Strecke von 50 bis 66°, wenn wir nur die für Schwefelsäure hauptsächlich in Betracht kommenden Grade berücksichtigen, hat sich die Grösse des einzelnen Grades schon fast auf das Anderthalbfache gesteigert, wie folgende Aufstellung ergibt, die ebenfalls mit a = 144,3 berechnet ist: n d Unterschied auf 1°in 0,001 50 l,530 17 51 1,547 65 l,820 23 66 1,843 Ausser diesen Aräometern mit gleich langen, aber ungleichwertigen Graden sind nun auch noch zwei Aräometer in Gebrauch mit gleichwertigen Graden, die aber ungleich lang sind, nämlich die beiden Spindeln nach Fleischer (Densimeter) und nach Twaddell (Hydrometer). Fleischer schlug sein Densimeter in D. p. J. 1876 222 159 bis 166 vor, und zwar wollte er es in der Weise einteilen, dass er bei den spezifischen Gewichtsangaben das Dezimalkomma um zwei Stellen nach rechts rückte und die Zahl vor dem ursprünglichen Komma wegliess. Also z.B.: 1,843 spez. Gew. entspr. 84,3° Fleischer 0,843 „ „ „ 84,3° „ Fleischer hatte also zwei verschiedene Skalen, eine für Flüssigkeiten über d = 1 nach der Gleichung: n = 100 (d – 1) und d=\frac{n+100}{100}, eine andere für Flüssigkeiten unter d = 1 nach der Formel: n = 100 d und d=\frac{n}{100}. Beidemal wird in positiver Richtung, d.h. mit der Bezifferung von schweren zu leichteren Flüssigkeiten aufsteigend gezählt. Wollte man Flüssigkeiten mit einem höheren spezifischen Gewichte als 2 messen, so würde man für jede Einheit des spezifischen Gewichts eine neue Formel aufstellen müssen. Allgemein kann man aber sagen, indem man die vor dem Dezimalkomma stehende spezifische Gewichtszahl gleich f setzt: n = 100 (d – f) d=\frac{n+100\,f}{100}. Es wiederholen sich aber nach dem ursprünglichen Fleischer'schen Gedanken immer nur die Grade von 0 bis 100, so dass jede durch ganze Zahlen ausdrückbare Angabe des spezifischen Gewichts für die eine Reihe 100, für die folgende 0° entspricht. Ob indessen in der Praxis Densimeter für andere Werte als solche zwischen den spezifischen Gewichten 1 und 2 irgendwo in Gebrauch sind, erscheint zweifelhaft; wenigstens sind dem Verfasser noch keine anderen als solche für diesen Abstand vorgekommen. Gewöhnlich wird aber die Formel für Aräometer nach Fleischer ganz allgemein angegeben: n = 100 (d – 1) d=\frac{n+100}{100} . . . . . 39) Danach würden hier die Grade für spezifische Gewichte unter 1 negativ werden, während z.B. dem spezifischen Gewichte 2,03 der Grad 103 entspräche u.s.w. Es wäre damit eine Einheitlichkeit in der Zählung mit den anderen Aräometern hergestellt und die Grad angaben würden eindeutige Zahlen. Es wäre dann z.B. +66° gleich 1,66 spezifischem Gewicht und nicht je nachdem 0,66, 1,66, 2,66 u.s.w. Vielmehr würden letzterer Zahlenreihe die Grade –34, +66, +166 u.s.w. entsprechen. Mit letzterer Art der Graduierung wäre die Spindel nach Fleischer erst zur allgemeinen Anwendung zu empfehlen, vorausgesetzt, dass überhaupt nach Graden eingeteilte Aräometer etwas unbedingt Erforderliches wären. Uebrigens sei bemerkt, dass die in dem erwähnten Aufsatze von Fleischer aufgestellten Sätze betreffend das Aräometer nach Baumé in ihren Zahlenangaben durchaus ungenau sind, und zwar aus dem Grunde, weil Fleischer das der Einteilung dieser Spindeln zu Grunde liegende mathematische Gesetz nicht erkannt hat. Aehnlich wie mit der Teilung nach Fleischer verhält es sich mit der des Hydrometers nach Twaddell, dessen Grade den halben Wert haben wie die des Densimeters: n = 200 (d – 1) d=\frac{n+200}{200} . . . . . . 40) Auch dies Instrument scheint nur für Werte zwischen d = 1 und d = 2 gebräuchlich zu sein; jedoch hindert nichts, auch hier die Teilung der Formel entsprechendnach oben und unten fortzusetzen. Das Twaddell'sche Aräometer ist in England sehr verbreitet, und namentlich Jurisch hat vorgeschlagen, es auch in Deutschland einzuführen; jedoch liegt wirklich keine Notwendigkeit vor, dies zu thun, so dass denn auch diesem Vorschlage nirgendwo Folge gegeben zu sein scheint. In Fig. 6 finden sich die Werte für die Grade nach Fleischer und nach Twaddell zugleich mit denen des sogen. rationellen und des Francoeur'schen Aräometers nach Baumé aufgezeichnet. Während die beiden letzteren Hyperbeln sind, sind die beiden ersteren gerade Linien. Auch die der ursprünglichen Einteilung der Densimeterspindeln entsprechende zwischen 0 und 100° sprunghaft verlaufende Linie ist angegeben. Die beiden verschiedenen Baumé-Kurven sind deshalb aufgezeichnet, weil in der That die Baumé-Aräometer für schwerere und für leichtere Flüssigkeiten nach verschiedenen Grundzahlen angefertigt zu werden pflegen. Der Kurventeil GI entspricht dann den thatsächlich für Flüssigkeiten leichter als Wasser benutzten Spindeln, der Kurventeil KB den für schwerere Flüssigkeiten meist üblichen Zahlenverhältnissen. Diese beiden Kurven haben, wie aus der Gleichung \frac{144,3}{144,3-n}=\frac{146}{136-n} hervorgeht, den Punkt n = + 848,8 gemeinsam, der aber keinem reellen Werte von d entspricht, sowie andererseits den Punkt n = – ∞, entsprechend d = 0. Textabbildung Bd. 316, S. 683 Fig. 6. Ferner schneiden sich die Linien für rationelle Baumé-Grade, für Grade nach Fleischer, sowie für solche nach Twaddell in dem Punkte 0° entsprechend d = 1. Auch haben noch die rationellen Baumé-Grade mit den Fleischerschen Graden den Punkt + 44,3° entsprechend d = 1,443 gemeinsam, was sich aus der Gleichung ergibt: \frac{144,3}{144,3-n}=\frac{n+100}{100}. Ebenso folgt aus \frac{144,3}{144,3-n}=\frac{n+200}{200}, dass der Punkt –55,7° der rationellen Baumé'schen und der Twaddell'schen Skala gemeinsam ist. Er entspricht einem spezifischen Gewichte 0,7215. Dagegen hat die Kurve nach Francoeur, \frac{146}{146-n}, weder mit der kontinuierlich verlaufenden Fleischer'schen, noch mit der Twaddell'schen Linie gemeinsame Punkte. Aus dem Vergleich dieser verschiedenen Zahlen und Diagramme geht deutlich hervor, dass die beiden Teilungen nach Fleischer und nach Twaddell, namentlich unter Berücksichtigung des vorhin Gesagten die erstere, ganz besonders einfache Beziehungen zum spezifischen Gewichte haben. Es ist sogar beim Densimeter eine Tabelle zur Umrechnung ganz entbehrlich. Aus diesem Grunde hat denn auch Lunge in der zweiten Auflage seiner Sodaindustrie, 1893 Bd. 1 S. 106, vorgeschlagen, zu dem Densimeter überzugehen. Uebrigens weichen auch die Baumé- und Densimetergrade zwischen 0 und 50° verhältnismässig nicht viel voneinander ab, während allerdings die Abweichungen bei den Graden über 50°, sowie bei denen unter 0° beträchtlicher sind. Namentlich ist diese Abweichung gross, wenn wir hier die gewöhnlich üblichen Fruncoeur'schen Zahlen zu Grunde legen. Dagegen weichen zwischen 0 und – 70° die rationelle Baumé-Kurve und die Linie der Twaddellschen Grade nicht zu sehr von einander ab. Doch schliesslich ist ja überhaupt eine besondere Gradskala gar nicht nötig; man kann für alle Fälle ruhig Aräometer nehmen, die unmittelbar nach spezifischem Gewicht eingeteilt sind. Es werden hier für gewöhnliche Zwecke solche Aräometer genügen, die nur eine Bezifferung bis zur zweiten Dezimale tragen, also nicht 0,8700 oder 1,3600, sondern 0,87 und 1,36. Wenn dann die Zahlen vor dem Dezimalkomma klein und die Zahlen dahinter fett geschrieben werden, wie 0,87 und 1,36, so erzielt man denselben Vorteil schneller Uebersichtlichkeit, den die Gradaräometer auch haben. Textabbildung Bd. 316, S. 684 Fig. 7. Im übrigen ist es auffallend, dass gerade aus den Kreisen der Schwefelsäureindustrie heraus die Beibehaltung und sogar die amtliche Aichung der Baumé-Spindeln so vielfach gefordert wird, während gerade diese Industrie in Wirklichkeit das wenigste Interesse daran haben dürfte. In Fig. 7 veranschaulicht eine Kurve den Gehalt von höchstkonzentrierter Schwefelsäure an H2SO4 zwischen 1,832 und 1,842 spezifischem Gewicht, das ist zwischen 65,53°und 65,96° der sogen. rationellen Baumé-Spindel. In diesen Raum von noch nicht ½° Baumé fallen die Prozentgehalte von 92½ bis 100 % H2SO4. Für die Praxis kommen hier zwar nur die Prozente zwischen 92½ und 97¾ in Betracht, über welchen Punkt hinaus sich die Schwefelsäure durch Eindampfen nicht mehr konzentrieren lässt, aber dieser Raum von 51/4 %, der durch Aenderungen im spezifischen Gewichte von im äussersten Falle noch nicht einem halben Grad Baumé kontrolliert werden soll, ist viel zu gross, um hier den Bestimmungen des spezifischen Gewichtes überhaupt einen Wert zukommen zu lassen, namentlich dann, wenn die Säure, um die es sich handelt, gar nicht einmal chemisch rein ist, sondern durch Verunreinigungen wechselnder Art und wechselnder Menge noch dazu in ihrem spezifischen Gewichte verhältnismässig stark beeinflusst wird. Hier kann überhaupt nur die wirkliche chemische Untersuchung der Säure über ihre thatsächliche Stärke entscheiden. Ziehen wir nun aus dem Gesagten unsere Folgerungen, so können wir behaupten: 1. Die Zahl der Aräometer mit willkürlicher Teilung ist so gross, namentlich auch die der gleich benannten, aber verschieden geteilten Aräometer, dass auf diesem Gebiete ein Zustand grosser Verwirrung herrscht. 2. Insbesondere sind die Aräometer nach Baumé nach so verschiedenen Gesichtspunkten konstruiert, dass kein Grund vorliegt, gerade die Baumé-Teilung durch Aichung von Baumé-Spindeln amtlich anzuerkennen. 3. Auch das sogen. rationelle Baumé-Aräometer hat keine besonderen Vorzüge, die diese Bezeichnung rechtfertigen. 4. Am ehesten würde sich noch das Aräometer nach Fleischer (Densimeter) zur allgemeinen Einführung eignen. 5. Jedoch auch hiervon kann man absehen, da eine Teilung nach dem spezifischen Gewichte, die nur Hundertstel anzeigt, ebenso übersichtlich ist. 6. Ueberhaupt hat eine besondere Aräometerteilung für die chemische Technik ebensowenig Berechtigung, wie sie ein besonderes Apotheker- oder Münzgewicht hatte, oder wie sie etwa der Gebrauch von englischen Pfunden oder Ellen für gewisse Industriezweige hat. Alle diese Sondermasse sind überflüssig und verwirrend. 7. Namentlich kann auch die Schwefelsäureindustrie kein besonderes Interesse an der Beibehaltung oder gar Aichung von Baumé-Spindeln haben, zumal in den hauptsächlich wichtigen Fällen der Gehaltsbestimmung, nämlich bei höchstkonzentrierter Säure, doch nur eine chemische Analyse über den wirklichen Gehalt der Säure Aufschluss geben kann.