Kinematische Untersuchung eines Bogenträgers mit zwei an den Kämpfern gelegenen Gelenken. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Kinematische Untersuchung eines Bogenträgers mit zwei an den Kämpfern gelegenen Gelenken. I. Der Bogenträger in Fig. 1 mit dem festen Auflager A und dem parallel zur Geraden \overline{m\,n} beweglichen Auflager B sei nur von der Einzellast P im Punkte D, normal zu \overline{m\,n} germchtet, beansprucht. Ausserdem wirkt im Punkte B parallel zu \overline{m\,n} die Last X. Unsere Aufgabe soll es sein, den Einfluss dieser beiden Kräfte auf den Bogenträger zu untersuchen. Zu dem Zwecke lege man durch A und B Parallele zu P und nenne den Abstand derselben voneinander l. C1 und C 2 sollen zwei beliebige Querschnittsschwerpunkte des Bogenträgers zu beiden Seiten von P sein und von den durch A und B gelegten Parallelen den Abstand x 1 bezw. x2 haben. Durch C1 und C2 lege man noch zwei Parallele zu P bis zu den Schnittpunkten mit der vorher zu ziehenden Geraden AB und nenne diese Strecke bezw. y1 und y2. Der Bogenträger sei allein in C1 elastisch. Er zerfällt dann in zwei starre Teile AC1 und BC1; ersterer ist um A drehbar, und letzterer um den Schnittpunkt B1 von AC1 mit dem Lote in B auf \overline{m\,n}. Wir nennen die unendlich kleinen Drehwinkel um A und B1 bezüglich dα und dβ1 und den gleichzeitig stattfindenden Winkel mit dem sich diese beiden Teile gegenseitig drehen dγ, so hat man folgende Beziehungen: B1 . C1 . dβ1 = C1 A . dα B 1 A . dβ 1 = C 1 A . dγ und B1A . dα = B1C1 . dγ oder auch: x1 . dβ1 = (l – x1) . dα . . . 1) l . dβ1 = (l – x1) . dγ. . . 2) und l . dα = x1 . dγ . . . . . 3) weil ja: B1C1 : B1 A : C1 A = x1 : l : (l – x1) ist. Textabbildung Bd. 317, S. 104 Fig. 1. Die Kraft P wirkt am Teile AC1 und leistet die momentane Arbeit P . b . d α, wobei b der Abstand der Kraft P von der durch A dazu gelegten Parallele ist. Die Kraft X wirkt am Teile BC1 und leistet die momentane Arbeit X\,\cdot\,\overline{B_1\,B}\,\cdot\,d\,\beta_1 gleichzeitig. Ist M das Biegungsmoment im Punkte C1, so wird davon die momentane Arbeit M . dγ gleichzeitig geleistet und es muss nun sein: P\,\cdot\,b\,\cdot\,d\,\alpha-X\,\cdot\,\overline{B_1\,B}\,\cdot\,d\,\beta_1=M\,\cdot\,d\,\gamma. Hierin ist: \overline{B_1\,B}\,:\,y_1=l\,:\,l-x_1, also \overline{B_1\,B}=\frac{y_1\,\cdot\,l}{l-x_1}. Mit Rücksicht auf die Gleichung 2) hat man auch: \overline{B_1\,B}\,\cdot\,d\,\beta_1=y_1\,\cdot\,d\,\gamma so dass entsteht: P . b . dα – X . y1 . dγ = M . dγ. Mittels der Gleichung 3) entsteht jetzt: P\,\cdot\,b\,\cdot\,\frac{x_1}{l}-X\,\cdot\,y_1=M . . . . 4) Wir setzen voraus, dass die Querschnitte des Bogenträgers im Verhältnis zu den übrigen Abmessungen sehr klein sind. Es ist dann erlaubt: M=E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s} . . . . 5) zu setzen, wenn E der Elastizitätsmodul des Träger Stoffes, J das Trägheitsmoment des betreffenden Querschnittes und ds das Bogenelement der Schwerpunktfaser bedeuten. Wir erhalten daher weiter: E\,\cdot\,J\,\cdot\,d\,\gamma=P\,\cdot\,\frac{b}{l}\,x_1\,\cdot\,d\,s-X\,\cdot\,y_1\,d\,s . . . . 6) Der vom Punkte B zurückgelegte Weg ist dabei: d\,\sigma_1=\overline{B_1\,B}\,\cdot\,d\,\beta_1 und da \overline{B_1\,B}\,\cdot\,d\,\beta_1=y_1\,\cdot\,d\,\gamma ist, so hat man auch: dσ1= y1 . dγ. Wir erhalten nunmehr: E\,\cdot\,J\,\cdot\,d\,\sigma_1=P\,\cdot\,\frac{b}{l}\,\cdot\,y_1\,x_1\,\cdot\,d\,s-X\,\cdot\,{y_1}^2\,d\,s. Diese Gleichung kann man für alle Bogenelemente zwischen A und D bilden. Setzen wir die Summe sämtlicher dσ1 gleich σ1, so hat man: \sigma_1=P\,\cdot\,\frac{b}{l}\,\int_A^D\,\frac{y_1\,\cdot\,x_1\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}-X\,\int_A^D\,\frac{{y_1}^2\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J} Genau eine solche Gleichung kann man für alle Bogenelemente zwischen B und D bilden. Nennen wir dann σ2 den vom Punkte B zurückgelegten Weg, so entsteht: \sigma_2=P\,\cdot\,\frac{a}{l}\,\int_B^D\,\frac{x_2\,\cdot\,y_2\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}-X\,\cdot\,\int_D^B\,\frac{y^2\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J} Hierbei ist a der Abstand der Kraft P von BB1. Man kann nun σ1 und σ2 addieren und nennen wir σ0 die Summe, so entsteht endlich: \left{{\sigma_0=P\,\cdot\,\left[\frac{b\,\cdot\,\int_A^D\,\frac{y_1\,\cdot\,x_1\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}+a\,\int_B^D\,\frac{x_2\,\cdot\,y_2\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}}{l}\right]-X}\atop{\int_B^A\,\frac{y^2\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}}}\right\}\ 7) Wir wollen voraussetzen, dass der Bogen sehr flach ist, dann ist es gestattet ds gleich dem Elemente dx der Strecke AB zu setzen, wobei AB noch parallel zu \overline{m\,n} liegen soll. Sind noch überall E und J konstant, so hat man: \left{{\sigma_0=\frac{1}{E\,\cdot\,J}}\atop{\cdot\,\left(\frac{P}{l}\,\cdot\,(b\,\int_A^D\,y_1\,x_1\,\cdot\,d\,x_1+a\,\int_B^D\,x_2\,y_2\,\cdot\,d\,x_2)\right)-X\,\cdot\,\int_B^A\,y^2\,\cdot\,d\,x}}\right\}\ 8) Man sehe die über \overline{B\,A} liegende Fläche des Bogenträgers als Belastung eines einfachen Balkens \overline{A\,B} an und konstruiert dazu mit einem beliebigen Polabstande H das Seilpolygon A0 D1 B0 über A0 B0 als Grundlinie und nenne die Schnittpunkte der Kraftlinie von P mit letzterer und mit dem Seilpolygon bezw. D0 und D1 und setze \overline{D_0\,D_1}=p so ist bekanntlich: \frac{1}{l}\,\cdot\,(b\,\int_A^D\,y_1\,\cdot\,x_1\,\cdot\,d\,x_1+a\,\int_B^D\,x_2\,\cdot\,y_2\,\cdot\,d\,x)=H\,\cdot\,p. Daher ist weiter: \sigma_0=\frac{1}{E\,\cdot\,J}\,(P\,\cdot\,H\,\cdot\,p-X\,\cdot\,\int_B^A\,y^2\,\cdot\,d\,x) . . . 9) Nunmehr müsste der Weg bestimmt werden, welchen B zurücklegt, indem die senkrecht zum Querschnitt stehende Seitenkraft von P eine Längenveränderung der Fasern hervorbringt. Jedoch ist derselbe so klein, dass er wohl vernachlässigt werden darf. Nicht vernachlässigbar ist aber der Weg, welcher, infolge der zum Querschnitt senkrecht stehenden Seitenkraft von X hervorgebrachten Längenveränderung der Fasern, von B zurückgelegt wird. Wir nennen dσ' das Element dieses Weges. Bildet die Tangente in C1 an die Bogenlinie mit AB den Winkel φ, so ist X . cos φ die Seitenkraft, welche im Elemente ds wirkt. Nach dem Hooke'schen Gesetze entsteht die Längenänderung \frac{X\,\cdot\,cos\,\varphi}{E\,\cdot\,F}\,\cdot\,d\,s, wenn F noch der Inhalt des betreffenden Querschnitts ist. Hierin kann ds . cos φ = dx gesetzt werden, so dass man auch X\,\cdot\,\frac{d\,x}{E\,\cdot\,F} dafür hat. Es muss nun sein: d\,\sigma'=\frac{X\,\cdot\,d\,x\,\cdot\,cos\,\varphi}{E\,\cdot\,F}. Hieraus entsteht: \sigma'=X\,\cdot\,\int_B^A\,\frac{d\,x\,\cdot\,cos\,\varphi}{E\,\cdot\,F} . . . . 10) Ist der Bogen sehr flach, so kann man cos φ = 1 setzen und erhält: \sigma'=\frac{X\,\cdot\,l}{E\,\cdot\,F} . . . 10a) Dieser Wert von σ' muss von σ0 abgezogen werden und man erhält weiter für den von B zurückgelegten Weg den Ausdruck: (\sigma)=\frac{1}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,(P\,\cdot\,H\,\cdot\,p-X\,\int_B^A\,y^2\,d\,x)-X\,\cdot\,\frac{l}{E\,\cdot\,F}. Infolge der Temperaturveränderung ändert sich zugleich \overline{A\,B} um: εt . l, wenn ε der Ausdehnungskoeffizient des Bogenträgerstoffes ist und t die Temperatur bedeutet; es ergibt sich nunmehr endlich für den von B zurückgelegten Weg: \frac{P\,\cdot\,H\,\cdot\,p}{E\,\cdot\,J}-X\,\left[\int_B^A\,\frac{y^2\,d\,x}{E\,\cdot\,J}+\frac{l}{F\,\cdot\,E}\right]+\varepsilon\,t\,\cdot\,l. Soll das Auflager B auch fest sein, so ist dieser Weg gleich Null zu setzen und man hat jetzt für X den Ausdruck: X=\frac{\frac{P\,\cdot\,H\,\cdot\,p}{E\,\cdot\,J}+\varepsilon\,\cdot\,l}{\int_B^A\,\frac{y^2\,\cdot\,d\,x}{E\,\cdot\,J}+\frac{l}{E\,\cdot\,F}} . . . 11) Es ist dies die Horizontalkraft eines Bogenträgers mit zwei festen Kämpfergelenken. II. Für einen Kreisbogen von der Spannweite l und der Pfeilhöhe f ist: \left(\frac{l}{2}-x_1\right)^2=(f+y_1)\,\cdot\,[2\,r-(f-y_1)], wobei r der Radius des Kreisbogens und gleich \frac{\left(\frac{l}{2}\right)^2+f^2}{2\,f} ist. Also entsteht: \left(\frac{l}{2}-x_1\right)^2=\left(\frac{f-y_1}{f}\right)\,\left(\frac{l^2}{4}+f\,y_1\right) aus diesen beiden Gleichungen. Hieraus folgt: \frac{l^2}{4}-l\,x_1+{x_1}^2=\frac{l^2}{4}-\frac{l^2\,y_1}{4\,f}+f\,y_1-{y_1}^2 oder auch: y_1\,\cdot\,\left(y_1-f+\frac{l^2}{4\,f}\right)=l\,x_1-{x_1}^2. Beim flachen Kreisbogen kann f – y1 vernachlässigt werden, also hat man: y_1=\frac{4\,f\,\cdot\,x_1\,\cdot\,(l-x_1)}{l_2} . . . . 12) daher kann derselbe Kreisbogen als ein Parabelbogen angesehen werden. Für einen gleichmässig belasteten geraden Balken \overline{A_0\,B_0} ist bekanntlich die Momentenkurve eine Parabel, nimmt man, was annähernd gestattet ist, dazu den Bogen ADB, so ist p nichts anderes als die Ordinate der Biegungslinie des Balkens. Es ist nun mit Rücksicht auf die Gleichung 12) \int_B^A\,y^2\,\cdot\,d\,x=2\,\int_0^{\frac{l}{2}}\,\frac{16\,f^2\,\cdot\,{x_1}^2}{l^4}\,(l-x_1)^2\,d\,x_1 =\frac{32\,f^2}{l^4}\,\int_0^{\frac{l}{2}}\,{x_1}^2\,(l-x_1)^2\,d\,x_1, d.h. \int_B^A\,y^2\,\cdot\,d\,x=\frac{8}{15}\,\cdot\,f^2\,\cdot\,l. Weiter ist: H\,\cdot\,p =\frac{1}{l}\,\left(b\,\cdot\,\int_A^D\,\frac{4\,f\,\cdot\,x^2\,\cdot\,(l-x)}{l^2}\,\cdot\,d\,x+a\,\int_B^D\,\frac{4\,f\,\cdot\,x^2\,\cdot\,(l-x)\,\cdot\,d\,x}{l^2}\right) =\frac{4\,f}{l^3}\,\cdot\,\left(b\,l\,\cdot\,\frac{a^3}{3}-b\,\cdot\,\frac{a^4}{4}+a\,b\,\cdot\,\frac{b^3}{3}-\frac{a\,b^4}{4}\right) =\frac{4\,f}{l^3}\,\cdot\,\left(\frac{a\,b\,l}{3}\,\cdot\,(a^2+b^2)-\frac{a\,b}{4}\,\cdot\,(a^3+b^3)\right) =\frac{4\,f\,\cdot\,a\,b}{l^3}\,\cdot\,\left(\frac{l}{3}\,(a^2+b^2)-\frac{a^3+b^3}{4}\right) =\frac{f\,\cdot\,a\,b}{3\,l^3}\,\cdot\,(4\,a^3+4\,a^2\,b+4\,a\,b^2+4\,b^3-3\,a^3-3\,b^3) =\frac{f\,\cdot\,a\,b}{3\,l^3}\,[a^3+b^3+4\,a\,b\,(a+b)]=\frac{f\,\cdot\,a\,b}{3\,l^3}\,(a^2+3\,a\,b+b^2). Also ist: X=\frac{\frac{P}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,\frac{f\,\cdot\,a\,b}{3\,l^2}\,(a^2+3\,a\,b+b^2)+\varepsilon\,\cdot\,l\,\cdot\,l}{\frac{8}{15}\,\frac{f^2\,\cdot\,l}{E\,\cdot\,J}+\frac{l}{E\,\cdot\,F}} Wir setzen: f_1=f\,\cdot\,\left(1+\frac{15}{8}\,\cdot\,\frac{J}{F\,\cdot\,f^2}\right) . . . 13) und erhalten jetzt: X=\frac{5}{8}\,\cdot\,P\,\cdot\,\frac{a\,b\,(a^2+3\,a\,b+b^2)}{f_1\,\cdot\,l^3}+\frac{15\,\cdot\,E\,\cdot\,J\,\cdot\,\varepsilon\,t}{8\,f\,\cdot\,f_1} . . . 14) Dieser Wert stimmt nach einer kleinen Umformung genau mit dem Prof. Müller-Breslau, S. 172 der neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen gefundenen überein. Es ist nämlich: ab (a2 + 3ab + b2) = al3 – 2la3 + a4. Ist der Bogenträger gleichmässig mit p für die Längeneinheit belastet, so ist für das Element da die Belastung da . p und für die Gesamtbelastung ergibt sich nach der Gleichung 14): X_p=\frac{5\,\cdot\,p}{4\,f_1\,\cdot\,l^3}\,\cdot\,\frac{l^5}{10}+\frac{15\,\cdot\,E\,\cdot\,J\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t}{8\,\cdot\,f\,\cdot\,f_1} also: X_p=\frac{5\,\cdot\,p}{4\,f_1\,\cdot\,l^3}\,\cdot\,\frac{l^5}{10}+\frac{15\,\cdot\,E\,\cdot\,J\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t}{8\,f\,\cdot\,f_1} und endlich: X_p=\frac{p\,\cdot\,l^2}{8\,\cdot\,f_1}+\frac{15\,\cdot\,E\,\cdot\,J\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t}{8\,f\,\cdot\,f_1} . . . 15) Für Einzellasten wird man sich zur Berechnung von X mit Rücksicht auf die Gleichung 11) der Linie B0 D1 A0 als Einflusslinie bedienen. Nach der Formel 4) ergibt sich für eine gleichmässige Belastung: \begin{array}{rcl}M &=&\frac{p\,\cdot\,l}{2}\,x_1-p\,x_1\,\cdot\,\frac{x_1}{2}-X\,p\,\cdot\,y_1 \\ &=& \frac{p\,x_1}{2}\,\cdot\,(l-x_1)-X_p\,\cdot\,y_1. \end{array} Setzt man hierin die Werte für XP und y1 aus den Gleichungen 12 und 15 ein und berücksichtigt nicht die Temperatur, so ist: M=\frac{p\,x_1}{2}\,(l-x_1)-\frac{p\,l^2}{8\,f_1}\,\cdot\,\frac{4\,f\,\cdot\,x_1\,(l-x_1)}{l^2} d.h. M=\frac{p\,x_1}{2}\,(l-x_1)\,\left(1-\frac{f}{f_1}\right) oder auch mittels Gleichung 13): M=\frac{p\,x_1\,(l-x_1)}{2}\,\cdot\,\frac{15}{8}\,\cdot\,\frac{J}{F\,\cdot\,f\,\cdot\,f_1}. Hierin ist \frac{15}{8}\,\cdot\,\frac{J}{F\,\cdot\,f\,\cdot\,f_1} ausserordentlich klein, so dass sich M = 0, wenn wir die Untersuchung ganz streng geführt hätten, ergeben würde. Es ist ja dies die Eigentümlichkeit parabolischer Träger, wenn sie gleichmässig belastet werden, dass die einzelnen Querschnitte nur auf Druck, also nicht auf Biegung beansprucht werden, und daher so ausserordentlich grosse Lasten aushalten können. Die Druckkraft in irgend einem Querschnitte ist bekanntlich \frac{X_p}{cos\,\varphi}, wobei cos\,\varphi=\frac{\frac{l^2}{4}-f^2}{\frac{l^2}{4}+f^2} der kleinste Wert ist. Wir haben also dafür: \frac{p\,l^2}{8\,f_1}\,\cdot\,\frac{\frac{l^2}{4}+f^2}{\frac{l^2}{4}-f^2}, welchen Wert man k . F setzen muss, um mittels der zulässigen Beanspruchung k für die Flächeneinheit den Querschnitt F zu bestimmen. Haben wir es mit der Einzellast zu thun, so ist zunächst nach der Formel 11): X=-\frac{P\,\cdot\,H\,\cdot\,p}{\frac{8}{15}\,f^2\,l+\frac{l\,\cdot\,E\,\cdot\,J}{E\,\cdot\,F}}=\frac{P\,\cdot\,H\,\cdot\,p}{\frac{8}{15}\,f^2\,l\,\cdot\,f_1} =\frac{15\,P\,\cdot\,H\,\cdot\,p}{8\,f\,\cdot\,f_1\,1}, wenn wir die Temperatur auch hier nicht berücksichtigen. Also ist nach Formel 4): M=P\,\cdot\,b\,\cdot\,\frac{x_1}{l}-\frac{15}{8}\,\cdot\,\frac{P\,\cdot\,H\,\cdot\,p\,\cdot\,y_1}{f\,\cdot\,f_1\,\cdot\,l} =\frac{P}{l}\,\cdot\,\left(b\,x_1-\frac{15}{8}\,H\,\cdot\,\frac{y_1}{f\,\cdot\,f_1}\,\cdot\,p\right). Man wähle hier: H=\frac{8}{15}\,\cdot\,f\,\cdot\,f_1 so entsteht: M=\frac{P}{l}\,\cdot\,(b\,\cdot\,x_1-p\,\cdot\,y_1) d.h. M=\frac{P\,\cdot\,y_1}{l}\,\left(\frac{x_1}{y_1}\,\cdot\,b-p\right). Auf Grund dieser Gleichung findet man, wie folgt, die Einflussfläche zur Ermittelung des Momentes M für den beliebigen Punkt C1 des Bogenträgers in Fig. 2. Man zeichne über der Nulllinie A0 B0 die schon vorher gefundene Einflusslinie zur Bestimmung von X. Dann ziehe man BC1 und AC1, fälle von A0 auf erstere und von B0 auf letztere ein Lot. Beide Lote treffen sich in K; dieselben nebst die Einflusslinie zur Bestimmung von X begrenzen die verlangte Einflussfläche zur Bestimmung des Momentes M für den Punkt C1. Als Probe kann dienen, dass die verlängerte Gerade y1 durch K hindurchgehen muss. In Fig. 2 ist die Einflusslinie zur Ermittelung des Momentes über A0 'B0' als Nulllinie besonders dargestellt. Obige Gleichung entspricht dem Teile von C1, bis A, während die Gleichung: M=P\,\cdot\,\frac{y_1}{l}\,\left(\frac{l-x_1}{y_1}\,\cdot\,a-p\right) dem Teile von C1 bis B entspricht. Textabbildung Bd. 317, S. 106 Fig. 2. Befinden sich also auf dem Bogenträger die Lasten Q1 Q2 Q3 ... und sind die entsprechenden Ordinaten derselben in der gefundenen Einflusslinie: q1 q2 q3 ..., so ist das davon herrührende Moment im Punkte C gleich: \frac{y_1}{l}\,\cdot\,(Q_1\,\cdot\,q_1+Q_2\,\cdot\,q_2+Q_3\,\cdot\,q_3+...) wobei die Ordinaten, wie wir aus der Figur erkennen, positiv, negativ oder Null sein können; letzteres ist der Fall, wenn die Lasten sich über U oder V befinden. Mögen über diesen Punkten die Lasten noch so gross sein, so werden sie in C1 keine Biegungsspannungen, sondern nur Druckspannungen erzeugen.