Kinematische Ermittelung der Einflussflächen eines Fachwerkbogens mit eingespannten Kämpfern. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Kinematische Ermittelung der Einflussflächen eines Fachwerkbogens mit eingespannten Kämpfern. I. Der in Fig. 1 dargestellte Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern hat A und B zu festen Auflagern und die Knotenpunkte Ja und Jb sind durch die elastischen Stäbe Ja Ga bezw. Jb Gb mit dem Fundamente in den Punkten Ga bezw. Gb gelenkartig verbunden. Der Träger ist dreifach statisch unbestimmt, und man kann aus ihm einen statisch bestimmten Träger machen, wenn man die beiden Stäbe Ja Ga und Jb Gb entfernt und den Punkt B in irgend welcher Richtung beweglich macht. Der Träger soll nur von parallelen Lasten beansprucht werden und es soll weiter die Bewegungsrichtung von B senkrecht zu den Lasten, also parallel zu \overline{m\,n} geschehen. Die Auflagerdrücke, welche von den Lasten hervorgerufen werden, sind deshalb parallel zu denselben; wir nennen die Entfernung der Auflagerdrücke l und bezeichnen sie mit Spannweite des Fachwerkbogens. Indem also so der Fachwerkbogen statisch bestimmt gemacht worden ist, möge einzig und allein der Stab UV elastisch seinl während alle übrigen Stäbe starr sein sollen. Letztere bilden zwei Gruppen von Stäben, welche man als starre Scheiben ansehen kann, und zwar ist die eine Scheibe ACxU und die andere Scheibe BCxV. Beide Scheiben haben den Punkt Cx gemeinsam, welchen wir gemeinschaftlichen Pol nennen wollen. – So erhält man stets zwei Scheiben, welche einen gemeinschaftlichen Pol haben, wenn man irgend einen anderen Stab als elastisch und alle übrigen als starr annimmt; auch dann, wenn ein Wandglied als elastisch angenommen wird. Ist z.B. UCx das elastische Wandglied, so ist der Schnittpunkt V von VU und WCx der gemeinschaftliche Pol der übrig bleibenden Scheiben, er ist ein sogen. gedachtes Gelenk, es dürfen jedoch die Stäbe VU und WCx den Scheiben nicht zugezählt werden, weil sie mit ihnen in starrer Verbindung nicht stehen. Gehen wir wieder darauf zurück, dass UV allein elastisch ist, so füge man die Stäbe Ja Ga und Jb Gb zunächst wieder ein und belaste den Träger nur mit P. Diese Last soll vom linken und rechten Auflager bezw. die Entfernungen pa und pb haben. Die Last P setzt, weil ja die eingefügten Stäbe auch elastisch sind, die beiden Scheiben in Bewegung und zwar dreht sich die linke Scheibe um A und die rechte Scheibe, wenn auch nur augenblicklich, um den Schnittpunkt Bx von ACx mit dem Lote von B auf \overline{m\,n}. Wir nennen dα und dβ die unendlich kleinen Drehwinkel um A bezw. Bx und dγ die unendlich kleine Veränderung des Winkels UCxV, so finden folgende Beziehungen statt: ABx . dα = BxCx . dγ und ABx . dβ = ACx . dγ. Dieselben sind unabhängig von P, sowie von irgend welcher anderen Belastung des Trägers. Wir nennen ux und vx die Entfernungen des Punktes Cx vom linken bezw. rechten Auflager, so ist: ACx : CxBx : ABx = ux : vx : l, so dass aus den beiden vorhergehenden Gleichungen sich ergibt: l . dα = vx . dγ . . . . . . q) und l . dβ = ux . dγ . . . . . . 2) Diese beiden Gleichungen genügen, um die gebräuchlichen statisch unbestimmten Systeme untersuchen zu können, wir machen davon Anwendung auf den Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. Textabbildung Bd. 317, S. 229 Fig. 1. II. Der Fachwerkbogen möge noch im Punkte B mit einer Kraft H parallel zu \overline{m\,n} und in Richtung von m nach n beansprucht sein. P und H bewirken, dass sich die linke Scheibe im Sinne des Zeigers einer Uhr, dagegen die rechte Scheibe im entgegengesetzten Sinne des Zeigers einer Uhr drehen. Hierdurch verkleinert sich der spitze Winkel UCxV, also auch die Entfernung der Punkte U und V, d.h. der Stab UV wird auf Druck beansprucht. Wenn dagegen der Stab U'V' allein elastisch ist, also Cy gemeinschaftlicher Pol der betreffenden Scheibe ist, so wird infolge der Kräfte H und P der Winkel U'CyV', also auch die Entfernung der Punkte U' und V' vergrössert, d.h. der Stab U'V' wird auf Zug beansprucht. Auf diese Weise findet man, dass alle Obergurtstäbe gedrückt und alle Untergurtstäbe gezogen werden; was aber die Wandglieder anbetrifft, so können sie auf Zug, Druck oder gar nicht beansprucht werden. Doch ist diese Bestimmung für unsere Zwecke vorläufig ohne Belang. Wichtiger ist folgendes. Ist UV elastisch, so dreht sich B als Punkt der rechten Scheibe um Bx und bewegt sich in Richtung von m nach n, und ist U' V' elastisch, so dreht sich der Punkt B als Punkt der betreffenden rechten Scheibe um By und bewegt sich ebenfalls in Richtung von m nach n. So kann man zeigen, dass sich B stets in Richtung von m nach n bewegt, wenn auf die angegebene Weise irgend ein Ober- oder ein Untergurtstab elastisch ist, und die übrigen Stäbe starre Scheiben bilden. Was jedoch die Wandglieder anbelangt, so kann die Bewegung auch umgekehrt von n nach m geschehen. Es ist aber üblich, den Einfluss der Wandglieder als sehr klein zu vernachlässigen, so dass wir darauf hier nicht näher eingehen wollen. Was wir eben über die Gurtstäbe ausgesagt haben, gilt aber nur dann, wenn der Träger sichelförmig ist. Ist er nämlich linsenförmig gestaltet, so werden die Obergurtstäbe wiederum gedrückt und die Untergurtstäbe gezogen, jedoch ist die Bewegung des Punktes B, wenn ein Obergurtstab elastisch ist, von n nach m gerichtet; ist jedoch ein Untergurtstab elastisch, so ist sie wiederum von m nach n gerichtet, wie man sich leicht überzeugen kann. Fällt der Untergurt z.B. mit AB zusammen, so wird, wenn ein Obergurtstab elastisch ist, keine Bewegung des Punktes B hervorgerufen, ist dagegen ein Untergurtstab elastisch, so kann die Bewegung des Punktes B von m nach n oder auch umgekehrt geschehen, je nachdem der Obergurt über oder unter dem Untergurt zu liegen kommt. In letzterem Falle wird man die Bezeichnungen Untergurt mit Obergurt vertauschen müssen. Hierauf soll am Schluss dieses Aufsatzes noch näher eingegangen werden. III. Wenn UV elastisch ist, gehört P der rechten Scheibe an; derselben gehört auch H an. Nennen wir bx den Abstand des Punktes Bx vom Stabe JbGb, setzen die Strecke BxB = h, den Abstand des Punktes A vom Stabe JaGa = a und den Abstand des Punktes Cx von UV = rx, so werden von P, H, den Spannungen Sb, Sa und S in den bezüglichen Stäben Jb Gb, Ja Ga und UV gleichzeitig die momentanen Arbeiten geleistet: P . pb . dβ, H . h . dβ, Sb . bx . dβ, Sa . a . dα und S . rx . dγ. Es muss nun sein: P . pb . dβ + H . h . dβ = Sb . bx . dβ + Sa . a . dα + S . rx . dy. Mit Rücksicht auf die Gleichungen 1) und 2) entsteht hieraus: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,h\,\cdot\,\frac{u_x}{l}=S_b\,\cdot\,b_x\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+S_a\,\cdot\,a\,\cdot\,\frac{v_x}{l}+S\,\cdot\,r_x. Man zeichne weiter AB, lege durch Cx zu den Auflagerdrücken die Parallele, welche AB in Dx trifft und setze Cx DX = tx, so ist auch: t_x=h\,\cdot\,\frac{u_x}{l} . . . . . 3) wie sich leicht geometrisch ableiten lässt. Hierdurch entsteht aus der vorigen Gleichung weiter: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=S_b\,\cdot\,b_x\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+S_a\,\cdot\,a\,\cdot\,\frac{v_x}{l}+S\,\cdot\,r_x 4) Wir nennen b den Abstand des Punktes B von Jb Gb und M den Schnittpunkt letzterer Geraden mit Bx B, so ist: M\,R=\frac{b}{sin\,\alpha}, also entsteht dann: B_x\,M=h-\frac{b}{sin\,\alpha} und b_x=\left(h-\frac{b}{sin\,\alpha}\right)\,\cdot\,sin\,\alpha=h\,\cdot\,sin\,\alpha-b. Daher ist mit Rücksicht auf die Gleichung 3) b_x=\frac{l\,\cdot\,t_x}{u_x}\,\cdot\,sin\,\alpha-b . . . . . 5) woraus sich bx jedesmal berechnen lässt, wenn man nach und nach alle Ober- und Untergurtstäbe als elastisch nimmt. Wir müssen also nach Gleichung 5) bx stets als bekannt annehmen. In Jb Gb wirkt die Spannung Sb, nennen wir Fb, Sb und Eb bezüglich den Querschnitt, die Länge und den Elastizitätsmodul des Stabes, so ist nach dem Hooke'schen Gesetz: S_b=\frac{b_x\,\cdot\,d\,\beta}{S_b}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b. Weiter wirkt im Stabe Ja Ga die Spannung Sa. Wir nennen Fa, sa und Ea bezüglich den Querschnitt; die Länge und den Elastizitätsmodul des Stabes, so ist auch nach dem Hooke'schen Gesetz: S_a=\frac{a\,\cdot\,d\,\alpha}{S_a}\,\cdot\,E_a\,\cdot\,F_a. Endlich wirkt im Stabe UV die Spannung S. Wir nennen Fx, sx und Ex bezüglich den Querschnitt, die Länge und den Elastizitätsmodul dieses Stabes, so ist nach dem Hooke'schen Gesetz: S=\frac{r_x\,\cdot\,d\,\gamma}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x. Aus den drei letzten Gleichungen folgt: \frac{S_b}{S}=\frac{\frac{b_x}{S_b}\,d\,\beta\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b}{\frac{r_x}{s_x}\,\cdot\,d\,\gamma\,\cdot\,E_x\,F_x} und \frac{S_a}{S}=\frac{\frac{a\,\cdot\,d\,\alpha}{S_a}}{\frac{r_x}{s_x}\,\cdot\,d\,\gamma\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x}. Mittels der Gleichungen 1) und 2) erhält man hieraus: S_b=S\,\cdot\,\frac{u_x}{l}\,\cdot\,\frac{\frac{b_x}{s_b}}{\frac{r_x}{s_x}}\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{E_x\,\cdot\,F_x} . . . . 6) und S_a=S\,\cdot\,\frac{v_x}{l}\,\cdot\,\frac{\frac{a}{s_a}}{\frac{r_x}{s_x}}\,\cdot\,\frac{E_a\,\cdot\,F_a}{E_x\,\cdot\,F_x} . . . . 7) Aus der Gleichung 4) erhält man jetzt: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=S\,\cdot\,\left[\frac{{b_x}^2\,\cdot\,{u_x}^2}{l^2\,\cdot\,S_b}\,\cdot\,\frac{s_x}{r_x}\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{E_x\,\cdot\,F_x}+\frac{a^2\,\cdot\,{v_x}^2}{l^2\,\cdot\,s_a}\,\cdot\,\frac{s_x}{r_x}\,\cdot\,\frac{E_a\,\cdot\,F_a}{E_x\,\cdot\,F_x}+r_x\right] oder auch: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,f_x=S\,\cdot\,\frac{s_x}{r_x}\,\cdot\,\frac{1}{E_x\,\cdot\,F_x\,\cdot\,l^2} \cdot\,\left[{b_x}^2\,\cdot\,{u_x}^2\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{s_b}+a^2\,{v_x}^2\,\cdot\,\frac{E_a\,\cdot\,F_a}{s_a}+\frac{{r_x}^2\,\cdot\,l^2}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x\right]. Hierin setzen wir: \left{{\frac{s_x}{r_x}\,\cdot\,\frac{1}{E_x\,\cdot\,F_x}\,\cdot\,\frac{1}{l^2}\,\left[\frac{{l_x}^2\,\cdot\,{u_x}^2}{s_b}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b\right}\atop{\left+\frac{a^2\,\cdot\,v_x}{s_a}\,E_a\,\cdot\,F_a+\frac{{r_x}^2\,\cdot\,l^2}{s_x}\,E_x\,\cdot\,F_x\right]=w'_x}}\right\}\ 8) so dass man nunmehr erhält: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=S\,\cdot\,w'_x . . . 8a) Dabei wird vom Punkte B der Weg dσx = h . dβ zurückgelegt. Mit Rücksicht auf die Gleichung 2) entsteht hieraus: d\,\sigma_a=h\,\cdot\,\frac{u_x}{l}\,\cdot\,d\,\gamma d.h. nach Gleichung 3): dσx = tx . dγ. Da jedoch: S=\frac{r_x\,\cdot\,d\,\gamma}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x ist, so hat man auch: S=\frac{r_x}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x\,\cdot\,\frac{d\,\sigma_x}{t\,x}. Also ist: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=\,\cdot\,\frac{r_x}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x\,\cdot\,\frac{d\,\sigma_x}{t_x}\,\cdot\,w'_x. Setzen wir hierin den Wert von w' ein, so ergibt sich: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=\frac{d\,\sigma_x}{t_x} \cdot\,\frac{1}{l^2}\,\left[\frac{{b_x}^2\,\cdot\,{u_x}^2}{s_b}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b+\frac{a^2\,\cdot\,{v_x}^2}{s_a}\,\cdot\,E_a\,\cdot\,F_a+\frac{{r_x}^2\,\cdot\,l^2}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x\right]. Nunmehr setzen wir: \left{{\frac{1}{l^2}\,\cdot\,\left[\frac{{b_x}^2\,\cdot\,{u_x}^2}{s_b}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b+\frac{a^2\,\cdot\,{v_x}^2}{s_a}\,\cdot\,E_a\,\cdot\,F_a\right}\atop{\left\frac{{r_x}^2\,l^2}{s_x}\,\cdot\,E_x\,\cdot\,F_x\right]=w_x}}\right\}\ .\ 9) so dass weiter ist: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}+H\,\cdot\,t_x=\frac{d\,\sigma_x}{t_x}\,\cdot\,w_x, worin wx als ein Kraftmoment aufzufassen ist. Also ist: d\,\sigma_x=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}\,\cdot\,\frac{t_x}{w_x}+H\,\cdot\,\frac{{t_x}^2}{w_x} . . . 10) IV. Jetzt möge nur der Stab U'V' des Fachwerkträgers allein elastisch sein. Es entstehen dann die beiden Scheiben ACyU' und BCyV' mit Cy als gemeinschaftlicher Pol. Man lege durch ihn zu den Auflagerdrücken die Parallele bis zum Schnittpunkte Dy mit AB und man setze Cy Dy gleich ty. Die linke Scheibe dreht sich um A und die rechte um den Schnittpunkt By von ACy mit BBx. Wir setzen hier BBy = h und den Abstand des Punktes By vom Stabe Jb Gb gleich by. Sind uy und vy die Entfernungen des Punktes Gy vom linken und rechten Auflager, so findet man entsprechend der Gleichung 5) b_y=\frac{l\,\cdot\,t_y}{w_y}\,\cdot\,sin\,\alpha-b . . . . 11) woraus sich by stets berechnen lässt, also als bekannt gelten muss. Man beachte, dass hier P der linken Scheibe angehört und wir haben jetzt die Gleichung: P . pa . dα + H . h . dβ = Sb . by . dβ + Sa . a . dα + S . ry . dγ. Hierin sind Sb, Sa und S die bezüglichen Spannkräfte in Jb Gb, Ja Ga und U'V'; ry ist der Abstand des Punktes Cy vom Stab U'V'. Mit Rücksicht auf Gleichungen, welche den Gleichungen 1) und 2) entsprechen, hat man nun: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,h\,\cdot\,\frac{u_y}{l}=S_b\,\cdot\,b_y\,\cdot\,\frac{u_y}{l}+S_a\,\cdot\,a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+S\,\cdot\,r_y, worin noch t_y=h\,\cdot\,\frac{u_y}{l} . . . . . 12) ist. Wir erhalten also: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y=S_b\,\cdot\,b_y\,\cdot\,\frac{u_y}{l}+S_a\,\cdot\,a\,\frac{v_y}{l}+S\,\cdot\,r_y 13) Hierin ist by noch vorher aus der Formel 11) zu bestimmen, falls man die Strecke nicht direkt abmessen will. Dann erhalten wir, genau so wie vorhin, wenn wir mit Ey, Fy und sy Elastizitätsmodul, Querschnitt und Länge des Stabes U'V' bezeichnen: S_b=S\,\cdot\,\frac{u_y}{l}\,\cdot\,\frac{\frac{b_y}{s_b}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b}{\frac{r_y}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y} . . . 14) und S_a=S\,\cdot\,\frac{v_y}{l}\,\cdot\,\frac{\frac{a}{s_a}\,\cdot\,E_a\,\cdot\,F_a}{\frac{r_y}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y} . . . 15) Daher entsteht aus der Gleichung 13) folgende: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y =S\,\cdot\,\left[\frac{{b_y}^2\,\cdot\,{u_y}^2}{l^2\,\cdot\,s_b}\,\cdot\,\frac{s_y}{r_y}\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{E_y\,\cdot\,F_y}+\frac{a^2\,{v_y}^2}{l^2\,\cdot\,s_a}\,\cdot\,\frac{s_y}{r_y}\,\cdot\,\frac{E_a\,\cdot\,F_a}{E_y\,\cdot\,F_y}+r_y\right] oder auch: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y=S\,\cdot\,\frac{s_y}{r_y}\,\cdot\,\frac{1}{E_y\,F_y\,\cdot\,l^2} \cdot\,\left[{b_y}^2\,\cdot\,{u_y}^2\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{s_b}+a^2\,{v_y}^2\,\cdot\,\frac{E_a\,F_a}{s_a}+\frac{{r_y}^2\,\cdot\,l^2}{s_y}\,E_y\,F_y\right], und hierin setzen wir: \frac{s_y}{r_y}\,\cdot\,\frac{1}{E_y\,\cdot\,F_y\,\cdot\,l^2} \cdot\,\left[{b_y}^2\,\cdot\,{u_y}^2\,\cdot\,\frac{E_b\,\cdot\,F_b}{s_b}+a^2\,\cdot\,{v_y}^2\,\cdot\,\frac{E_a\,\cdot\,F_a}{s_a}+\frac{{r_y}^2\,\cdot\,l^2}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y\right]=w'_y, so dass man nunmehr hat: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y=S\,\cdot\,w'_y . . . 15a) Es wird dabei vom Punkte B der Weg – dσy = h . dβ zurückgelegt. Mit Rücksicht auf einen der Gleichung 2) entsprechenden entsteht hieraus: d\,\sigma_y=h\,\cdot\,\frac{u_y}{l}\,\cdot\,d\,\gamma oder auch mit Rücksicht auf Gleichung 12) dσy = ty . dγ. Da jedoch: S=\frac{r_y\,\cdot\,d\,\gamma}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y nach dem Hooke'schen Gesetze ist, so hat man auch: S=\frac{r_y}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y\,\cdot\,\frac{d\,\sigma_y}{t_y}. Also ist: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y=\frac{r_y}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y\,\cdot\,\frac{d\,\sigma_y}{t_y}\,\cdot\,w'_y. Mit Berücksichtigung des Wertes für tv hat man nun: P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}+H\,\cdot\,t_y=\frac{d\,\sigma_y}{t_y} \cdot\,\frac{1}{l^2}\,\left[\frac{{b_y}^2\,\cdot\,{u_y}^2}{s_y}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b+\frac{a^2\,\cdot\,{v_y}^2}{s_a}\,\cdot\,E_a\,F_a+\frac{{r_y}^2\,l^2}{s_y}\,E_y\,\cdot\,F_y\right], worin wir wiederum \frac{1}{l^2}\,\cdot\,\left[\frac{{b_y}^2\,\cdot\,{u_y}^2}{s_y}\,\cdot\,E_b\,\cdot\,F_b+\frac{a^2\,\cdot\,{v_y}^2}{s_a}\,\cdot\,E_a\,F_a+\frac{{r_y}^2\,\cdot\,l^2}{s_y}\,\cdot\,E_y\,\cdot\,F_y\right]=w_y entsprechend der Gleichung 9) setzen. Es entsteht dann der Gleichung 10) entsprechend: d\,\sigma_y=P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}\,\cdot\,\frac{t_y}{w_y}+H\,\cdot\,\frac{{t_y}^2}{w_y} . . . 16) Wie bei jedem statisch unbestimmten Systeme müssen wir hier die Elastizitätsmodel, die Querschnitte und Längen aller Stäbe als bekannt voraussetzen, also lässt sich für jeden Stab links und rechts von Pwx bezw. wy von vorn herein berechnen. Also setzen wir in Zukunft diese Grössen für jeden Stab als gegeben, also bekannt voraus. Beide sind, wie wir bereits wissen, als Kraftmomente aufzufassen. Aber auch \frac{t_y}{w_y} und \frac{t_x}{w_x} sind von vorn herein bekannt und jeder dieser Ausdrücke ist als eine reziproke Last aufzufassen. Wir setzen: K\,\cdot\,\frac{t_x}{w_x}=k_x . . . . . . I) und K\,\cdot\,\frac{t_y}{w_y}=k_y . . . . . . II) wobei K eine beliebig grosse Kraft bedeuten soll, dann sind kx und ky Zahlen, und diese müssen wir auch als bekannt annehmen, und es nehmen jetzt die Gleichungen 10) und 16) folgende Formen an: d\,\sigma_x=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_x}{l}\,\cdot\,\frac{k_x}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_x\,\cdot\,k_x}{K} . . III) und d\,\sigma_b=P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_y}{l}\,\cdot\,\frac{k_y}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_y\,\cdot\,k_y}{K} . . IV) V. In Fig. 2 mögen nur die Stäbe s1 bis s6 elastisch sein, wir bezeichnen die gemeinschaftlichen Pole der betreffenden Scheiben, welche jedesmal von den übrigen Stäben gebildet werden, bezüglich C1 bis C6. Links von P liegen die Stäbe s1, s2 und s3 und rechts davon die drei übrigen elastischen Stäbe s4, s5 und s6. P hat vom linken und rechten Auflager die Entfernungen pa bezw. pb. Man bilde k1 bis k6 und die Produkte t1 k1 bis t6 k6. Es entstehen dann nach den Formeln III und IV des vorigen Abschnittes: d\,\sigma_1=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_1}{l}\,\cdot\,\frac{k_1}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_1\,\cdot\,k_1}{K} d\,\sigma_2=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_2}{l}\,\cdot\,\frac{k_2}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_2\,\cdot\,k_2}{K} d\,\sigma_3=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_3}{l}\,\cdot\,\frac{k_3}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_3\,\cdot\,k_3}{K}. Textabbildung Bd. 317, S. 232 Ferner: d\,\sigma_4=P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_4}{l}\,\cdot\,\frac{k_4}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_4\,\cdot\,k_4}{K} d\,\sigma_5=P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_5}{l}\,\cdot\,\frac{k_5}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_5\,\cdot\,k_5}{K} und d\,\sigma_6=P\,\cdot\,p_a\,\cdot\,\frac{v_6}{l}\,\cdot\,\frac{k_6}{K}+H\,\cdot\,\frac{t_6\,\cdot\,k_6}{K}. Diese sämtlichen dσ haben bei dem sichelförmigen Träger die Bewegungsrichtung von m nach n, man kann sie deshalb addieren und wir nennen die Summe davon ∑dσ. Aus den Gleichungen entsteht daher: \left{{K\,\cdot\,\Sigma\,d\,\sigma=P\,\cdot\,\left\{\frac{p_b}{l}\,\cdot\,[u_1\,\cdot\,k_1+u_2\,\cdot\,k_2+u_3\,\cdot\,k_3]\right}\atop{\left+\frac{p_a}{l}\,\cdot\,[v_4\,\cdot\,k_4+v_5\,\cdot\,k_5+v_6\,\cdot\,k_6]\right\}+H\,\cdot\,\Sigma\,t\,\cdot\,k}}\right\} wobei Σt · k = t1 · k1 + t2 · k2 + t3 · k3 + t4 · k4 + t5 · k5 + t6 · k6 ist. Soll nun das Auflager B unbeweglich sein, so muss ∑dσ gleich Null sein. Es entsteht dann H=-\frac{\frac{P_b}{l}\,\left\{u_1\,\cdot\,k_1+u_2\,\cdot\,k_2+u_3\,\cdot\,k_3\right\}+\frac{p_a}{l}\,\cdot\,\left\{v_4\,\cdot\,k_4+v_5\,\cdot\,k_5+v_6\,\cdot\,k_6\right\}}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,P. Des Minuszeichens wegen hat H die umgekehrte Richtung als in der Abbildung angegeben worden ist. Man zeichne einen horizontalen Balken a0 b0 hin und belaste ihn unter C1, C2, C3 u.s.w. bezw. mit k1, k2, k3 u.s.w. Obgleich k1, k2, k3 u.s.w. Zahlen sind, so sehen wir sie dennoch als Gewichte an und nennen sie elastische Gewichte. Das Biegungsmoment des Balkens a0 b0 für den Punkt C, welcher sich unter P befindet, ist nun: M=\frac{p_b}{l}\,(u_1\,\cdot\,k_1+u_2\,\cdot\,k_2+u_3\,\cdot\,k_3) +\frac{p_a}{l}\,(v_4\,\cdot\,k_4+v_5\,\cdot\,k_5+v_6\,\cdot\,k_6), also ergibt sich endlich: H=-\frac{M}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,P. Zeichnet man mit einem beliebigen Polabstande d, welcher als Zahl aufzufassen ist, die Momentenfläche des Balkens und nennt p die Ordinaten unter P, so ist: M = d . p, so dass auch entsteht: H=-\frac{d}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,P\,\cdot\,p, worin der Nenner ∑t . k eine Strecke ist. Ist also der Fachwerkträger mit P1, P2, P3 u.s.w. belastet, und sind die entsprechenden Ordinaten in der Momentenfläche dazu p1, p2, p3 u.s.w., so ergibt sich folgender Wert für H: H=-\frac{d}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,[P_1\,\cdot\,p_1+P_2\,\cdot\,p_2+P_3\,\cdot\,p_3...]. Hieraus folgt, dass die Momentenfläche Einflussfläche und das Seileck Einflusslinie für die Kraft H ist. Der Multiplikator für diese Einflussfläche ist: \frac{d}{\Sigma\,t\,\cdot\,k} und zwar eine reziproke Strecke. Dieselbe muss mit demselben Masse als die Ordinaten p1, p2, p3 u.s.w. der Einflussfläche gemessen werden. Ist F der Inhalt der Einflussfläche und g die Belastung für die Längeneinheit, so erhält man dafür: H=-\frac{d}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,g\,\cdot\,F. Bei beweglichen Lasten wird man danach sehen müssen, dass P1 p1 + P2 p2 + P3 p3 ... den Maximalwert erhält. Hierdurch erhält man den grössten Wert von H und kann dann das Festliegen des Auflagers B bewirken. VI. Wir gehen dazu über, die Einflussfläche irgend eines Gurtstabes, z.B. des Stabes von der Länge s2 in Fig. 2 zu zeichnen. Die von den übrigen Stäben gebildeten Scheiben haben den Punkt C2 zum gemeinschaftlichen Pol. Es befindet sich die Last P allein auf dem Träger und zwar im besonderen auf der rechten Scheibe. Der Gleichung 8 a) entsprechend haben wir: P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u_2}{l}+H\,\cdot\,t_2=S\,\cdot\,w'_2, worin nach dem vorigen Abschnitte H=-\frac{d}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,P\,\cdot\,p ist. Daher entsteht: S_2\,\cdot\,w'_2=P\,\cdot\,p_b\,\cdot\,\frac{u^2}{l}-\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma_t\,\cdot\,k}\,P\,\cdot\,p oder auch: S_2\,\cdot\,w'_2=\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,\left[p_b\,\cdot\,\frac{u_2}{l}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}-p\right]\,\cdot\,P. Man zeichne in der Fig. 3 eine Horizontale a1 b1 zwischen den Auflagern und mache auf der Kraftlinie des linken Auflagers die Strecke \overline{a_1\,c_1}=f=u_2\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}, und ziehe \overline{c_1\,b_1}. Letztere Gerade wird von der Kraftlinie von P in e2 und die Gerade \overline{a_1\,b_1} davon in e1 getroffen. Es ist dann: \frac{e_1\,e_2}{f}=\frac{p\,b}{l}, d.h. \overline{e_1\,e_2}=f\,\cdot\,\frac{p_b}{l}=\frac{u_2}{l}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}\,\cdot\,p_b, daher entsteht jetzt: S'_2\,\cdot\,w'_2=\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,[\overline{e_1\,e_2}-p]\,\cdot\,P. Man zeichne weiter unten \overline{a_1\,b_1} die Einflusslinie für die Kraft H hin, welche von \overline{e_1\,e_2} in e3 getroffen wird, so ist: e_1\,e_2-p=\overline{e_2\,e_3}, so dass nunmehr: S_2=\frac{d\,\cdot\,t_2}{w'_2\,\cdot\,\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,\overline{e_2\,e_3}\,\cdot\,P ist. Wir erkennen daraus, dass zwischen dem Punkte C2 und dem rechten Auflager die Fläche, welche von der Strecke auf c1 b1 und dem betreffenden Teile der Einflusslinie der Kraft H begrenzt wird, Einflussfläche für die Spannkraft S2 im Gurtstabe s2 ist. Um die Einflussfläche zwischen C2 und dem linken Auflager zu ermitteln, sei die linke Scheibe nur mit P1 belastet. Wir nennen hier π1 den Abstand der Kraft P1 vom linken Auflager; dann entsteht der Gleichung 15a) entsprechend: P_1\,\cdot\,\pi_1\,\cdot\,\frac{v_2}{l}+H\,\cdot\,t_2=S\,\cdot\,w'_2. Setzen wir hierin den Wert für H ein, so ergibt sich weiter: P_1\,\cdot\,\pi_1\,\cdot\,\frac{v_2}{l}-\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,P_1\,\cdot\,p_1=S_2\,\cdot\,w'_2, d.h. S_2\,\cdot\,w'_2=P_1\,\cdot\,\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,\left[\pi_1\,\cdot\,\frac{v_2}{l}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}-p_1\right]. Man lege durch C2 zu den Auflagern die Parallele, welche \overline{a_1\,b_1} in d1 und \overline{c_1\,b_1} in d2 trifft. Es ist dann: \frac{\overline{d_1\,d_2}}{v_2}=\frac{f}{l}, d.h. mit Rücksicht auf die Weite von f ergibt sich: \overline{d_1\,d_2}=\frac{v_2}{l}\,\cdot\,u_2\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}, d.h. \frac{v_2}{l}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,t\,\cdot\,k}{d\,\cdot\,t_2}=\frac{\overline{d_1\,d_2}}{u_2}, also haben wir weiter: S_2\,\cdot\,w'_2=P_1\,\cdot\,\frac{d\,t_2}{\Sigma\,t\,k}\,\cdot\,\left[\pi\,\cdot\,\frac{\overline{d_1\,d_2}}{u_2}-p_1\right]. Die Kraftlinie von P1 schneidet \overline{a_1\,b_1} und \overline{b_1\,c_1} in den bezüglichen Punkten g1 und g2. Es ist dann: \frac{\overline{g_1\,g_2}}{\overline{d_1\,d_2}}=\frac{\pi_1}{u_2}, also: \overline{g_1\,g_2}=\frac{\overline{d_1\,d_2}}{u_2}\,\cdot\,\pi_1, so dass nunmehr entsteht: S_2\,\cdot\,w'_2=P_1\,\cdot\,\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,[g_1\,g_2-p_1]. Die Linie \overline{g_1\,g_2} schneidet noch die Einflusslinie für die Kraft H in der Fig. 3 im Punkte g3, so ist bekanntlich p_1=\overline{g_1\,g_3}, daher erhält man endlich: S_2\,\cdot\,w'_2=P_1\,\cdot\,\frac{d\,\cdot\,t_2}{\Sigma\,t\,\cdot\,k}\,\cdot\,\overline{g_1\,g_3}. Hieraus erkennt man, dass der Teil der Einflussfläche für den Stab s2 zwischen C2 und dem linken Auflager von dem betreffenden Stücke der Einflusslinie für die Kraft H und der Geraden \overline{a_1\,d_2} begrenzt wird. Die ganze Einflussfläche wird also von der Einflusslinie für die Kraft H, ferner von den Geraden \overline{a_1\,d_2} und \overline{d_2\,b_1} begrenzt. Ihr Multiplikator ist: \frac{d\,\cdot\,t_2}{w'_2\,\cdot\,\Sigma\,t\,\cdot\,k} und bedeutet eine reziproke Strecke. Im allgemeinen sind die Ordinaten der Einflussfläche teils positiv, teils negativ, so dass darüber noch Näheres mitgeteilt werden muss. Ist H allein die Belastung des Fachwerkbogens, so wird jeder Obergurtstab gedrückt und jeder Untergurtstab gezogen; daher ist für jeden Obergurtstab die Einflussfläche für H negativ und für jeden Untergurtstab positiv. Dort in τ, wo die Einflusslinie der Kraft H von \overline{b_1\,c_1} getroffen wird, findet die Scheidung in Bezug auf die Vorzeichen der Einflussfläche des Stabes s2 statt. Da nun s2 ein Obergurtstab ist, so ist der linke Teil der Einflussfläche positiv und der rechte Teil derselben negativ. Je nachdem also der Fachwerkträger links oder rechts von τ belastet ist, wird der Stab s2 gezogen oder gedrückt. Befindet sich die Last über r, so wird der Stab s2 gar nicht beansprucht. Wäre jedoch s2 ein Untergurtstab, so würde der linke Teil der Einflussfläche negativ und der rechte Teil positiv sein, wie man sich ähnlich ableiten kann. Die gefundene Einflussfläche gilt nur dann, wenn der Stab s2 selbst nicht belastet ist. Ist er nämlich auch belastet, so wird er auch auf Biegung beansprucht; da jedoch die Einflussflächen nur für gezogene und gedrückte Stäbe darstellbar sind, so ist es nicht möglich, für einen belasteten Stab eine Einflussfläche zu zeichnen. Befindet sich jedoch die Last auf einem Träger, welcher auf den Endpunkten H1 und J1 des Stabes ruht, aber so, dass das eine Auflager fest und das andere horizontal beweglich ist, oder auch, dass beide Auflager horizontal beweglich sind, so findet man folgendermassen die Einflusslinie für diesen Träger: Man lege durch H1 und J1 Parallele zu den Auflagern, welche \overline{a_1\,d_2} und \overline{b_1\,d_2} bezw. in h2 und i2 treffen und ziehe die Verbindungslinie \overline{h_2\,i_2}, so ist diese die verlangte Einflusslinie; es wird also das Dreieck h2 d2 i2 weggeschnitten. Der Multiplikator bleibt dabei derselbe, wie vorhin. Die Richtigkeit dafür lässt sich leicht nachweisen, indem man die Last in die Seitenkräfte, die in H1 und J1 wirken, zerlegt und dabei beachtet, dass die eine der linken und die andere der rechten Scheibe angehört. In einem künftigen Aufsatze wollen wir die Einflussfläche eines Wandgliedes und die Spannkräfte, welche in Jb Gb und Ja Ga wirken, bestimmen. Als Litteraturangabe sei bemerkt, dass sich dieser Träger in dem Handbuche der Ingenieurwissenschaft, II. 4. Abt. S. 124, sowie in der Graph. Statik der Baukonstruktionen von Müller-Breslau, II. Bd., und vom Verfasser S. 595 bis 598 in Nr. 36 der Zeitschrift des Oesterreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins, LIII. Jahrg., jedoch in letzterem Aufsatze ohne Einflussflächen, behandelt befindet.