Die dynamischen Verhältnisse der Schachtfördermaschinen. Von Prof. M. Herrmann, kgl. ungarischer Bergrat in Schemnitz. Die dynamischen Verhältnisse der Schachtfördermaschinen. Die Untersuchung einiger, von den häufig verwendeten Tachographen aufgezeichneten Zeitgeschwindigkeitsdiagramme, namentlich solcher der nebenstehenden Form (Fig. 1), hat mich zu einer näheren Prüfung des Zusammenhanges zwischen mittlerer und maximaler Fördergeschwindigkeit, erforderlicher Beschleunigung und Bremsverzögerung, sowie Antriebs- und Bremskraft veranlasst, wobei sich teilweise ein graphisches Verfahren ergab, das geeignet ist, über eine Reihe wesentlicher Fragen Auskunft zu erteilen. Die Veröffentlichung desselben erschien mir um so berechtigter, als in der auf die Mechanik der Fördermaschinen bezüglichen Litteratur nur spärliche Ausführungen enthalten sind, trotzdem die Berücksichtigung der dynamischen Verhältnisse mit dem Anwachsen der mittleren Geschwindigkeit immer mehr zur Notwendigkeit wird. Textabbildung Bd. 317, S. 469 Fig. 1. Ins Auge gefasst wurde hierbei bloss der Fall cylindrischer Seiltrommeln, ohne Ausgleich des Seilgewichts, also eine Anordnung nach Fig. 2, in welcher überdies die führenden Seilscheiben weggelassen wurden. Textabbildung Bd. 317, S. 469 Fig. 2. Es bedeute nun MT das die Trommelwelle treibende Kraftmoment zur Zeit t, r den Trommelradius und T die auf denselben als Momentenarm bezogene Triebkraft, so dass MT = rT ist. Desgleichen sei MB das bremsende Moment, B die auf den Trommelradius bezogene Bremskraft, also MB = B . r. Weiters sei: R das Gewicht des gleichzeitig gehobenen Gutes, Q das Gewicht einer Förderschale samt leeren Wagen, J=\frac{G}{g}\,\cdot\,\varrho^2 das auf die Trommelwelle bezogene Trägheitsmoment der rotierenden Teile vom Gewichte G und dem Trägheitsradius ρ, H die zu durchfahrende Teufe, v die Seilgeschwindigkeit zur Zeit t, vk die mittlere Geschwindigkeit, x der vom Fahrbeginne bis zur Zeit 4 durchfahrene Weg (Fig. 2), τ die Dauer einer Fahrt, c die Beschleunigung der Schale zur Zeit t, σ die Winkelbeschleunigung der Trommel zur Zeit t, also \sigma=\frac{c}{r} und γ das Gewicht des laufenden Meters Seil. Im Verlaufe einer ganzen Fahrt oder eines Triebes mögen drei Abschnitte unterschieden werden und zwar I. Einwirkung des treibenden Momentes, II. Lauf des sich selbst überlassenen Mechanismus und III. Einwirkung des bremsenden Momentes. Diese drei Perioden seien nun einer gesonderten Untersuchung unterzogen. I. Bewegung der Förderschale unter der Einwirkung des treibenden Momentes MT. Bewegt sich die eine Förderschale beschleunigt nach aufwärts, so erhöht sich die Anspannung des sie tragenden Seilstückes um jene Kraft, welche zu der Beschleunigung der Massen erforderlich ist. Im obersten Seilquerschnitte sei nun die Anspannung des aufwärtsgehenden Seiltrumes S1, so ergibt sich mit Einrechnung des Seilgewichts: S_1=[R+Q+\lambda\,(H-x)]+\frac{R+Q+\lamba\,(H-x)}{g}\,\cdot\,c. Dagegen ist für das niedergehende Seiltrum, dessen Anspannung im obersten Querschnitte S2 sei, infolge der Verringerung durch die die Massen beschleunigende Kraft S_2=(Q+\lambda\,x)-\frac{Q+\lambda\,x}{g}\,\cdot\,c. Schliesslich besteht zwischen den die Trommelwelle angreifenden Kraftmomenten MT, S1 r und S2 r, sowie der durch sie hervorgebrachten Winkelbeschleunigung die Beziehung: MT – S 1 r + S 2 r = J . σ. Setzt man für σ den Wert \frac{c}{r} und für S1 sowie S2 die aus obigen Gleichungen hervorgehenden Werte ein, so wird, nachdem noch Tr = MT ist, nach entsprechender Vereinfachung: T-(R+\gamma\,H-2\,\gamma\,x)-\frac{c}{g}\,\left(R+2\,Q+\gamma\,H+G\,\frac{\varrho^2}{r^2}\right)=0. Nun werde noch gesetzt: R + γH = P, so dass P das Gewicht des Fördergutes und des Seiles bedeutet; R+ 2\,Q+\gamma\,H+G\,\frac{\varrho_2}{r^2}=a, das reduzierte Gewicht der gesamten bewegten Massen, so ist dann \mbox{und }\left{{T=(P-2\,\gamma\,x)+\frac{c}{g}\,a}\atop{c=g\,\cdot\,\frac{T-P+2\,\gamma\,x}{a}}}\right\} Aus der letzten Gleichung ergibt sich die Beschleunigung als Funktion der treibenden Kraft und des durchlaufenden Wegstückes x. Unter Zuhilfenahme der Beziehung cdx = vdv ist es in zwei Fällen möglich, durch Integration einen geschlossenen Ausdruck für die Geschwindigkeit v zu finden. Und zwar ist dies möglich a) wenn die treibende Kraft im ganzen Verlaufe des Antreibens den gleichen Wert beibehält oder b) wenn sich die Beschleunigung nicht ändert. Diese beiden Fälle seien nun einer gesonderten Betrachtung unterzogen. Bemerkt muss noch werden, dass die Bewegungswiderstände bei Aufstellung der Ausgangsgleichungen ausser Betracht gelassen wurden. Bei ihrer Berücksichtigung können dieselben derzeit nur als konstante Grössen in Rechnung gestellt werden, so zwar, dass sie den mit P bezeichneten Wert vergrössern. An dem Bau der Gleichung ändern sie unter dieser Bedingung nichts, werden daher nicht unter besonderer Bezeichnung eingeführt. a) Die treibende Kraft T ist konstant. In diesem Falle ist auch die, vom treibenden Motor bei jeder Umdrehung geleistete Arbeit konstant. Es wird v\,d\,v=\frac{g}{a}\,[(T-P)\,d\,x+2\,\gamma\,x\,d\,x] und integriert \frac{v^2}{2}=\frac{g}{a}\,[(T-P)\,x+\gamma\,x^2]+C. Setzen wir noch: 2\,\frac{g\,\gamma}{a}=\frac{1}{\alpha^2} oder \alpha=\sqrt{\frac{a}{2\,g\,\alpha}} so wird, weil für den Augenblick des Anfahrens x = 0, v = 0, also auch C = 0 ist: v^2=\frac{1}{\alpha^2}\,\left[\frac{T-P}{\gamma}\,x+x^2\right] . . . . 2) Diese Gleichung werde noch umgeformt, so dass wir erhalten: 1=\frac{\left(x+\frac{T-P}{2\,\gamma}\right)^2}{\left(\frac{T-P}{2\,\gamma}\right)^2}-\frac{v^2}{\left(\frac{T-P}{2\,\gamma}\right)^2\,\cdot\,\frac{1}{\alpha^2}}. Aus dieser Gleichung geht hervor, dass die Geschwindigkeitswegkurve eine Hyperbel ist. Tragen wir nämlich die von der Förderschale zurückgelegten Wege als Abscissen auf und verzeichnen hierzu die augenblicklichen Geschwindigkeiten als Ordinaten, so liegen die Ordinatenendpunkte auf einer Hyperbel. Die reelle Achse derselben fällt mit der Abscissenachse zusammen, ihr Scheitel ist der Ausgangspunkt der Förderschale, während ihr Mittelpunkt, vom Scheitel gegen die negative x-Achse hin gerechnet, in der Entfernung \frac{T-P}{2\,\gamma} liegt. Also beträgt die Länge der reellen Halbachse \frac{T-P}{2\,\gamma}, jene der immaginären Halbachse \frac{1}{\alpha}\,\cdot\,\frac{T-P}{2\,\gamma}. Dividiert man letztere durch erstere, so erhält man die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels der Asymptote gegen die Abscissenachse: tg\,\varphi=\frac{1}{\alpha}=\sqrt{\frac{2\,g\,\gamma}{a}}. Dieser Neigungswinkel ist nur vom Gewichte der bewegten Masse abhängig, jedoch unabhängig von der Grösse der Triebkraft, so dass mit der Abänderung von T wohl der Hyperbelmittelpunkt seine Lage verändert, jedoch die Asymptoten ihre Neigung beibehalten. Durch diese Angaben ist nun die Verzeichnung der Hyperbel leicht durchführbarSiehe z.B. Hütte, 1899 Abt. I S. 104.. Nicht zu übersehen ist hierbei der Abscissen- und Ordinatenmassstab, und zwar muss gemacht werden tg\,\varphi=\frac{1\,\cdot\,1\mbox{ m Geschwindigkeit}}{\alpha\,\cdot\,1\mbox{ m Weg}}. Für T = P übergeht die Hyperbel in zwei, sich im Ausgangspunkte der Förderschale schneidende Geraden, deren Neigungswinkel gegen die x-Achse wieder φ ist. Die zur Zurücklegung des Wegstückes x erforderliche Zeit bestimmt sich nun folgendermassen. Nachdem v=\frac{d\,x}{d\,t} oder d\,t=\frac{d\,x}{v} ist, wird nach Gleichung 2): d\,t=\frac{\alpha\,d\,x}{\sqrt{x^2+\frac{T-P}{\gamma}\,x}}. Die Integration ergibt: t = α l nat \left[\frac{2\,\gamma\,x+T-P}{T-P}+\sqrt{\left(\frac{2\,\gamma\,x+T-P}{T-P}\right)^2}-1\right]+C. Die Konstante C ist 0, weil für den Augenblick der Ausfahrt x = 0 und t = 0 ist. Uebergehen wir auf Zahlen, so wird: \frac{e^{\frac{t}{a}}+e^{-\frac{t}{a}}}{2}=\frac{2\,\gamma\,x+T-P}{T-P} . . . 3) Handlichere Form nimmt diese Gleichung durch Einführung folgender Gleichung an. Auf Seite 30 und 31 des Taschenbuches Hütte befindet sich eine Tabelle der Hyperbelfunktionen sin φ und cos φ, wobei nach Seite 67 ebendort sin\,\varphi=\frac{e^{\varphi}-c^{-\varphi}}{2} und cos\,\varphi=\frac{e^{\varphi}+c^{-\varphi}}{2} bedeutet. Unter Benutzung dieser Ausdrücke haben wir nun cos\,\frac{t}{\alpha}=\frac{2\,\gamma\,x+T-P}{T-P} woraus weiters ist: x=\frac{T-P}{2\,\gamma}\,\left(cos\,\frac{t}{\alpha}-1\right) v=\frac{T-P}{2\,\gamma\,\alpha}\,sin\,\frac{t}{\alpha} C=g\,\frac{T-P}{a}\,cos\,\frac{t}{\alpha}=\frac{T-P}{2\,\gamma\,\alpha^2}\,cos\,\frac{t}{\alpha} . A) Die zweite der drei Gleichungen liefert den Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit bei der untersuchten Bewegung. Trägt man in einem rechtwinkligen Koordinatensysteme nun die Zeit als Abscisse, die Geschwindigkeit wieder als Ordinate ein, so ergibt sich als Verbindungslinie der Ordinatenpunkte für alle Zeitpunkte eine Kurve, deren Gleichung die soeben hervorgehobene ist. Die Kurve ist die Geschwindigkeitszeitkurve der behandelten Bewegung, und die bei den Fördermaschinen verwendeten Tachographen zeichnen ebenfalls die Geschwindigkeitszeitkurven der registrierten Bewegung auf. Wo es darauf ankommt, grosse Massen mit bedeutender Geschwindigkeit zu befördern, namentlich aber, wo es sich darum handelt, grosse Massen in gegebenev Zeit bestimmte Strecken durchlaufen zu lassen, bietet die Kenntnis dieser die Bewegung charakterisierenden Kurven bei Verfolgung des Bewegungsverlaufes viele Vorteile, so dass die, solche Fälle behandelnden, neueren Publikationen sich ihrer mit Vorteil bedienen (D. p. J., S. 85 d. Bd., Compoundfördermaschine oder elektrische Fördermaschine, ferner die Berichte über elektrischen Schnellverkehr a. a. O.). Diese Geschwindigkeitszeitkurven (G.-Z.-K.) haben nun folgende, hier wiederholt zu benutzende Eigenschaften. 1. Die Diagrammflüche zwischen zwei Ordinaten, dem zugehörigen Kurvenstücke und dem zugehörigen Abschnitte der Abscissenachse ist proportional einem Wegstücke, welches in der durch den Abscissenabschnitt gemessenen Zeit zurückgelegt wurde. Geometrisch genommen ist nämlich das Flächenstück \int_{t_0}^{t_1}\,v\,d\,t, im Sinne der Mechanik hingegen der Wert des Integrals = x1 – x0. Hieraus folgt auch, dass die Fläche des von einem Tachographen verzeichneten Diagrammes jederzeit den durchlaufenen Weg angibt, also bei der Fördermaschine die durchlaufene Teufe anzeigt. 2. Es ist die Beschleunigung in jedem Augenblicke proportional der trigonometrischen Tangente des Neigungswinkels der geometrischen Tangente an die Z.-G.-Kurve für diesen Zeitpunkt, nachdem ja geometrisch \frac{d\,v}{d\,l} thatsächlich die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels bedeutet, während im Sinne der Mechanik dies die Beschleunigung ist. Behufs Berücksichtigung des Massstabes für die Zeit und die Geschwindigkeit braucht man nur zu beachten, dass zur Bestimmung der Beschleunigung in einem beliebigen Punkte die Berührende und eine der t-Achse parallele Gerade zu ziehen ist. Trägt man nun auf letztere ein der Zeit t entsprechendes Stück auf, errichtet eine Senkrechte im Endpunkte bis zur Kurve, misst das Stück am Geschwindigkeitsmassstabe ab und findet dasselbe gleich v, so ist dann c=\frac{v}{t}. Kennt man also für einen vorliegenden Fall die mit a, P und γ bezeichneten Werte und liegt ein G.-Z.-Diagramm vor, so ist auch die treibende Kraft T für jeden Augenblick angebbar. Denn man hat bloss aus dem Diagramme den zurückgelegten Weg x (die Förderschalenstellung) und die Beschleunigung c zu ermitteln, wonach nach Gleichung 1) sofort T=P+\frac{c}{g}\,a=2\,\gamma\,x sich ergibt. 3. Für die weiteren Entwickelungen ist auch noch folgender Umstand von Wert. Es werde für die Bewegung sowohl das Geschwindigkeitswegdiagramm, als auch das Geschwindigkeitszeitdiagramm entworfen. Als Einheit des Geschwindigkeitsmassstabes diene für beide dieselbe Länge, dagegen entsprächen 1 Sekunde n mm und 1 m Weg n : vk mm, wenn vk die mittlere Geschwindigkeit in Meter bedeutet. Fallen überdies in beiden Diagrammen die Abscissenachsen und die Anfangspunkte zusammen und suchen wir den Schnittpunkt der beiden Kurven auf, so ist die Fläche des G.-Z.-Diagrammes bis zur Ordinate des Schnittpunktes gleich einem Rechtecke, dessen Basis die zum Schnittpunkt gehörige Zeit, dessen Höhe die gewählte mittlere Geschwindigkeit vk ist. Textabbildung Bd. 317, S. 471 Fig. 3. D.h. es ist Fläche OAm = mnop (Fig. 3). Denn weil vk die mittlere Geschwindigkeit ist, besteht vk . t = x = Fläche OA m. Nun ist \xi\mbox{ mm}=x\,\cdot\,\frac{n}{v_k}\mbox{ mm} und τ mm = t . n mm, also v_k\,\cdot\,\frac{\tau}{n}=\xi\,\cdot\,\frac{v_k}{n}, daher thatsächlich \tau=\xi. Nach Feststellung dieser allgemeinen Eigenschaften der Z.-G.-Kurven wenden wir uns nun dem zweiten, einfacheren Falle der unter dem Einflüsse eines treibenden Momentes erfolgenden Bewegung zu. b) Die Beschleunigung ist konstant. Nachdem T=P+\frac{a}{g}\,c-2\,\gamma\,x ist, muss sich bei konstanter Beschleunigung die Grösse der treibenden Kraft in dem Masse verkleinern, als der durchlaufene Weg anwächst. Es verkleinert sich also auch die bei einer Umdrehung geleistete Arbeit des Antriebsmotors bei wachsendem x. Bezeichnen wir mit T0 die Grösse der Triebkraft am Beginne der Ausfahrt, so ist wegen x = 0 T_0=P+\frac{a}{g}\,c oder c=g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}. Damit erhalten wir nun: x=c\,\frac{t^2}{2}=\frac{1}{2}\,g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}\,\cdot\,t^2 v=c\,t=g\,\frac{T_0-P}{a}\,\cdot\,t^2 c=g\,\frac{T_0-P}{a} . . . a) und weiters v^2=2\,g\,\frac{T_0-P}{a}\,\cdot\,x . . . . 2a) Die letzte Beziehung stellt wieder die Gleichung der Geschwindigkeitswegkurve vor, welche also eine Parabel ist. Ihre Achse fällt mit der x-Achse zusammen, der Schemtel befindet sich im Auslaufspunkte der Förderschale, ihr Parameter ist der Beschleunigung proportional. Beim Auftragen des vom Scheitel in der Entfernung \frac{p}{2}=\frac{c}{2} liegenden Brennpunktes ist selbstverständlich abermals der Abscissen- und Ordinatenmassstab in Berücksichtigung zu ziehen. Entsprechen im Diagramme 1 m Geschwindigkeit n mm, 1 m Weg m mm, so dass η mm der Geschwindigkeit v und ξ mm dem Wege x entsprechen, so ist v_m=\frac{\eta\mbox{ mm}}{n} und x=\frac{\xi\mbox{ mm}}{m}. Mithin schreibt sich Gleichung 2 a) nunmehr \left(\frac{\eta}{n}\right)^2=2\,\cdot\,g\,\frac{T_0-P}{a}\,\frac{\xi}{m} oder \eta^2\mbox{ mm}-2\,\left(g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}\right)\,\frac{n^2}{m}\,\cdot\,\xi\mbox{ mm}. Mithin ist in der Zeichnung die Länge des Parameters g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}\,\frac{n^2}{m}\mbox{ mm} und die Brennpunktdistanz \frac{p}{2}=\frac{1}{2}\,\left(g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}\right)\,\frac{n^2}{m}=\frac{c}{2}\,\cdot\,\frac{n^2}{m}. Die durch v=g\,\cdot\,\frac{T_0-P}{a}\,\cdot\,t gegebene Geschwindigkeitszeitkurve ist im vorliegenden Falle eine gerade Linie. Beispiel 1. Es möge nun an der Hand der entwickelten Beziehungen folgende Aufgabe gelöst werden. Es sei R = 1300 kg oder 13 q und H = 600 m. Das Wegstück von 300 m werde mit einer mittleren Geschwindigkeit von vk = 10 m durchlaufen. Wie viel beträgt die anfängliche Triebkraft, die erreichte Maximalgeschwindigkeit am Ende des Wegstückes und die geleistete Arbeit? a) Bei konstanter Triebkraft. Ich fand γ = 3,28 kg pro Meter = 0,0328 q, und schätzungsweise a = 89,61 q. Damit wird α = 11,8, P = 32,68 qq sei als Zeichen für 100 kg gebraucht.. Es ist die zur Zurücklegung des 300 m langen Wegstückes nötige Zeit t = 300 : vk = 30'', somit \frac{t}{\alpha}=\frac{30}{11,8}=2,542 und damit cos\,\frac{t}{\alpha}=6,3920, sin\,\frac{t}{\alpha}=6,3132. Nach Formeln A) ist nun x=300=\frac{T-P}{0,0656}\,\cdot\,5,392, daher T-P=\frac{19,68}{5,372}=3,65\,q, mithin T= 36,33 g. Durch Division der in A) befindlichen Formeln finden wir für \frac{v}{x}=\frac{1}{\alpha}\,\cdot\,\frac{sin\,\frac{t}{\alpha}}{cos\,\frac{t}{\alpha}-1}=\frac{1}{11,8}\,\cdot\,\frac{6,3132}{5,3920}, woraus v_{max}=\frac{300}{11,8}\,\cdot\,\frac{6,3132}{5,3920}\,\sim\,29,8\mbox{ m.} Die verwendete Arbeit beträgt T . x = 1089900 mkg. Hiervon wurden verwendet auf Hebung der Nutzlast und des Seiles: \int_0^{300}\,(R+\gamma\,H-2\,\gamma\,x)\,d\,x=R\,\cdot\,300+\gamma\,x\,(H-x)=685200\mbox{ mkg}, während die der bewegten Masse innewohnende lebendige Kraft \frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{v_{max}}{2}=\frac{89,61}{9,81}\,\cdot\,\frac{\overline{29,8^2}}{1}=404900\mbox{ mkg} beträgt. Letztere Werte geben 1090100 mkg, so dass der bei der Rechnung mittels Rechenschieber und Tabelle begangene Fehler \frac{198}{10901} beträgt. Der vom Motor abzugebende Arbeitseffekt in Pferdekräften beträgt im Momente der grössten Geschwindigkeit N_{max}=\frac{36,33\,\cdot\,v_{max}}{75}=1432\mbox{ PS,} während der Effekt \frac{R\,\cdot\,v_k}{75}-\frac{1300\,\cdot\,10}{75}=173,1 PS beträgt, mithin aus der Nutzlast und mittlerer Geschwindigkeit berechnete Effekt am Ende des Antriebes um das 8,3fache überschritten wird. b) Bei konstanter Beschleunigung wird nach Gleichung a), T_0-P=\frac{a}{g}\,\frac{2\,x}{t^2}=\frac{89,61}{9,81}\,\cdot\,\frac{600}{900}=6,09\,q, daher T0 = 38,77 q. Die maximale Geschwindigkeit ist nach v=\frac{2\,x}{t}=2\,v_k doppelt so gross als die mittlere, also vmax = 20. Die konstante Beschleunigung beträgt c=9,81\,\frac{6,09}{89,61}=0,667\mbox{ m.} Am Ende des Wegstückes beträgt die Triebkraft T = 38,77 – 2 . 0,0328 . 300 = 18,83 q. Die während des Treibens geleistete Arbeit beträgt L=\left(P+\frac{a}{g}\,c\right)\,x+\gamma\,x^2=x\,(T_0-\gamma\,x)=867900\mbox{ mkg} und muss um ebensoviel kleiner sein gegen den im vorigen Falle gefundenen Wert, als der Unterschied der der Masse innewohnenden lebendigen Kraft beträgt. Der erforderliche grösste Arbeitseffekt ist jedoch bedeutend kleiner, und beträgt bloss N_{max}=\frac{1883\,\cdot\,20}{75}=502\mbox{ PS.} II. Lauf der sich selber überlassenen Maschine. Wir fassen nun den Fall ins Auge, wenn die Einwirkung der treibenden Kraft aufhört, ein Bremsen der Maschine jedoch nicht stattfindet. Die Beschleunigung ist dann aus Gleichung 1): c=g\,\frac{-P+2\,\gamma\,x}{a}=g\,\cdot\,\frac{\gamma\,(2\,x-H)-R}{a} Solange nun x\,<\,\frac{H}{2}+\frac{R}{2\,\gamma} ist, muss c negativ sein, und die Bewegung der Maschine ist verzögert. Wird x=\frac{H}{2}+\frac{R}{2\,\gamma}, so ist die Beschleunigung eben gleich Null, darüber hinaus aber positiv, also die Bewegung beschleunigt. Beträgt nun das Seilgewicht mehr als die Nutzlast, d.h. ist R < γH, also auch x=\frac{H}{2}+\frac{R}{2\,\gamma}\,<\,H, so wird bei sich selbst überlassener Maschine diese Beschleunigung unbedingt eintreten und es muss die Maschine unbedingt durch Bremsung angehalten werden. In diesem Falle hat demnach der Motor nicht bloss jene Arbeit zu leisten, welche zum Heben der Nutzlast und für die Ueberwindung der Bewegungswiderstände erforderlich ist, sondern er hat auch für die durch das unvermeidliche Bremsen wieder aufgezehrte Arbeit aufzukommen. Im anderen Falle jedoch, wo das Seilgewicht kleiner ist als die Nutzlast, also R > γH, kann – theoretisch wenigstens – die, sich auch ohne Bremsung ohnehin verzögert bewegende Förderschale, ohne Bremsung im Hängebankniveau zum Stillstande kommen. Vom Standpunkte der Energieersparnis ist dieser Fall der günstigste, es fragt sich nur, ob er auch zu verwirklichen ist, ohne dabei die mittlere Fördergeschwindigkeit allzusehr herabzusetzen. Wann dies nun der Fall ist, soll im folgenden untersucht werden. A. R > γH und die sich selber überlassene Maschine kommt ohne Bremsung zur Ruhe, sobald die Förderschale die Hängebank erreicht hat. Die Geschwindigkeit ergibt sich wie im vorhergehenden Falle durch Integration: \frac{v^2}{2}=\frac{\gamma\,g}{a}\,\left(x^2-\frac{P}{\gamma}\,x\right)+C. Für x = H gesetzt, muss v = 0 sein, womit C=\frac{g\,\gamma}{a}\,\cdot\,\frac{R\,H}{\gamma} wird, und nun ist v^2=\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x^2-\frac{P}{\gamma}\,x+\frac{R\,H}{\gamma}\right) . . . 5) oder transformiert \frac{\left(x-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2}{\left(\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma}\right)^2}-\frac{v^2}{\frac{1}{\alpha^2}\,\left(\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma}\right)^2}=1 . . . 6) Die letztere Gleichung stellt wieder die Geschwindigkeitswegkurve der Bewegung dar. Es ist eine Hyperbel, deren Scheitel mit der Endstellung der Förderschale zusammenfällt, also in der Entfernung H vom Koordinatenanfangspunkte liegt. Der Mittelpunkt fällt um \frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma} über H hinaus (Fig. 5 auf S. 474). Die Länge der mit der x-Achse zusammenfallenden reellen Halbachse beträgt somit \frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma}, jene der imaginären \frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma\,\alpha}, so dass die Tangente des Neigungswinkels der Asymptote wieder \frac{1}{\alpha} beträgt. Es sei diese Kurve, welche auch angibt, wie gross die Geschwindigkeit der Förderschale in beliebiger Tiefe unter der Hängebank sei, damit selbst ohne Bremsung kein Ueberheben über die Hängebank erfolge, die Hauptwegkurve genannt. Sie ist insofern bemerkenswert, als durch sie jene Geschwindigkeit bestimmt erscheint, deren Ueberschreiten in bestimmter Tiefe unter der Hängebank durch die in neuerer Zeit vielfach angewendeten Sicherheitsvorrichtungen verhindert werden soll. Denn es ist klar, dass für den Fall R > γH ein Ueberheben, selbst ohne Bremsung, ausgeschlossen ist, wenn die Geschwindigkeit das oben festgesetzte Mass nicht überschreitet, oder durch die Sicherheitsvorrichtung auf dieses Mass reduziert wird. Den Ausdruck für die Zeit erhalten wir durch abermalige Integration, indem d\,t=\alpha\,\frac{d\,x}{\sqrt{x^2-\frac{P}{\gamma}\,x+\frac{R\,H}{\gamma}}} integriert gibt: t=-\alpha\,l\,\nat\,\left[\frac{P-2\,\gamma\,x}{R-\gamma\,H}+\sqrt{\left(\frac{P-2\,\gamma\,x}{R-\gamma\,H}\right)^2-1}\right]+C. Zur Konstantenbestimmung führen wir die ganze Fahrtdauer τ ein, und finden, nachdem für t = τ, x = H wird: \tau-t=\alpha\,l\,\nat\,\left[\frac{P-2\,\gamma\,x}{R-\gamma\,H}+\sqrt{\left(\frac{P-2\,\gamma\,x}{R-\gamma\,H}\right)^1-1}\right]. Durch Entfernung der Logarithmen und Einführung der Hyperbelfunktionen wird x=\frac{P}{2\,\gamma}-\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma}\,cos\,\frac{\tau-t}{\alpha} v=\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma\,\alpha}\,sin\,\frac{\tau-t}{\alpha} c=-\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma\,\alpha^2}\,cos\,\frac{\tau-t}{\alpha} . . C) Die zweite Gleichung der Gruppe C) gibt die Geschwindigkeitszeitkurve der untersuchten Bewegung und wir wollen sie Hauptzeitkurve (H.-Z.-K.) nennen. Sie gibt uns Aufschluss darüber, ob in einem gegebenen Falle das Einhalten der geforderten Fahrzeit ohne Bremsung möglich ist, oder nicht (R > γH immer vorausgesetzt). Das Verfahren ist folgendes. Gegeben ist ausser den Gewichten und der Teufe die geforderte Fahrzeit τ. Damit wird die mittlere Geschwindigkeit vk = H : τ. Nun tragen wir die Fahrgeschwindigkeit t als Abscisse auf, und errichten über sie ein Rechteck von der Höhe vk. Die Rechtecksfläche ist also der Teufe proportional und jedes Geschwindigkeitszeitdiagramm, welches den Bedingungen der Aufgabe entspricht, muss diesem Rechtecke flächengleich sein. Weiters zeichnen wir die Hauptzeitkurve ein, setzen also voraus, dass die in einem beliebigen Punkte sich selbst überlassene Förderschale im Hängebankniveau ohne Bremsung stille hält, und ziehen diese Kurve bis t = 0, also bis zu dem dem Bewegungsbeginne entsprechenden Zeitpunkte. Schliesst nun die Hauptzeitkurve mit der Abscissenachse und der Ordinate t = 0 ein grösseres Flächenstück ein, als vk . τ, so ist dies ein Zeichen für die Möglichkeit der Fahrt ohne Bremsung. Ist dagegen die eingeschlossene Fläche kleiner, so ist das Einhalten der Fahrtzeit ohne Bremsung überhaupt ausgeschlossen. Denn setzen wir im letzteren Falle selbst einen unendlich grossen Motor voraus, welcher in der Zeit 0 der Maschine, die durch die Hauptzeitkurve bestimmte maximale Geschwindigkeit zu erteilen im stände ist, und überlassen wir nun die Maschine sich selbst, so gelangt sie wohl ohne Bremsung zum Stillstande, durchläuft aber die Teufe in einer grösseren, als der verlangten Zeit. In Fig. 5 (auf S. 474) ist A – S die Hauptzeitkurve und es ist die Fahrt ohne Bremsung möglich. Aufschluss über das Vorliegen des einen oder anderen Falles erhält man durch Mitverwendung der Hauptwegkurve. Diese zeichnen wir nach dem auf S. 471 unter 3 angegebenen Massstabe auf und erhalten für die Zeit τ dieselbe Diagrammlänge wie für die Teufe H. Suchen wir nun den Schnittpunkt der Hauptzeitkurve mit der Hauptwegkurve auf, so gibt die Länge des Abscissenstückes zwischen der Ordinate des Schnittpunktes und dem Endpunkte der Länge H oder τ jenes Wegstück an, welches von der sich selbst überlassenen Förderschale bis zum Stillstande mit der geforderten mittleren Geschwindigkeit zurückgelegt wird, und gleichzeitig erhalten wir in derselben Länge die hierzu erforderliche Zeit. Ist diese nun kleiner als die Fahrtzeit, so ist das Einhalten der Fahrtzeit ohne Bremsung möglich, ist sie hingegen grösser, so ist die Bremsung unbedingt nötig. Im ersteren Falle liegt der Schnittpunkt innerhalb der Strecke H oder τ, im anderen ausserhalb derselben. Fig. 5 und die später folgende Fig. 6 entsprechen dem ersteren Falle. Textabbildung Bd. 317, S. 473 Fig. 4. Behufs Ergänzung des Geschwindigkeitszeitdiagrammes ziehen wir nun (Fig. 4) die zum Schnittpunkte A gehörige Ordinate \overline{A,a} und suchen ihren Schnittpunkt B mit einer Geraden, welche in der Entfernung 2 vk parallel mit der Abscissenachse gezogen wurde. Verbindet man schliesslich den O-Punkt mit B, so ist Fläche OBAS flächengleich vkτ, denn es ist O\,B\,a=v_k\,\cdot\,\overline{O\,a} und OBAS (eingeschlossen durch die Hauptzeitkurve) =v_k\,\cdot\,\overline{a\,S}, somit die Summe =v_k\,\cdot\,\overline{O\,S}=v_k\,\tau. Ein unmittelbar verwendbares Diagramm stellt der Linienzug OBAS allerdings noch nicht vor, denn es ist die, eine unendlich grosse Beschleunigung anzeigende Strecke BA nicht zu verwirklichen. Verlängert man jedoch OB bis zum Schnittpunkte mit der Hauptzeitkurve C', so scheidet man aus dem Diagramme die Fläche ABC' aus. Zu ihrem Ersatze verbinden wir O mit A und ziehen dazu paralell BC. Dann ist Fläche ABC' = OCC', somit OCS wieder flächengleich vkτ. Der Linienzug OCS ist nun schon ein zu verwirklichendes Zeitgeschwindigkeitsdiagramm und zwar entspricht es der Fahrt mit konstanter Beschleunigung während der Zeit OC, und hierauf folgendem Lauf der sich selbst überlassenen Maschine. Der Stillstand erfolgt nach durchlaufener Teufe H ohne Bremsung. Die erforderliche Triebkraft ist beim Fahrtbeginn am grössten und beträgt, wenn cC = vm' und \overline{O\,C}=t'_m gesetzt wird, also c=\frac{v'_m}{t'_m} ist: T_0=P+\frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{v'_m}{t'_m}. Will man die Triebkraft für den Fall bestimmen, dass sie ihren Wert nicht ändert, so geht man am zweckmässigsten derart vor, dass man die Kurve OD (Fig. 5) dem Augenmasse nach so einzeichnet, dass die Digrammfläche nicht geändert werde. OD = tm gibt dann einen ersten Sicherungswert für die Dauer der Einwirkung der konstanten Triebkraft. Die Bestimmungsgleichung für tm finden wir aus Gruppen A) und C), wonach x_m=\frac{T-P}{2\,\gamma}\,\left(cos\,\frac{t_m}{\alpha-1}\right)=\frac{P}{2\,\gamma}-\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma}\,cos\,\frac{r-l_m}{\alpha} und v_m=\frac{T-P}{2\,\gamma\,\alpha}\,sin\,\frac{l_m}{\alpha}=\frac{R-\gamma\,H}{2\,\gamma\,\alpha}\,sin\,\frac{\tau-t_m}{\alpha} ist. Nach Division der oberen durch die untere Gleichung wird \left(cos\,\frac{t_m}{\alpha}-1\right)\,\frac{\frakfamily{h}_m\,\frac{\tau-t_m}{\alpha}}{\frakfamily{h}_m\,\frac{t_m}{\alpha}}+cos\,\frac{\tau-t}{\alpha}=\frac{R+\gamma\,H}{R-\gamma\,H}, woraus tm mit Zuhilfenahme des gefundenen Näherungswertes leicht genauer zu bestimmen ist. Die Beschleunigung für den Hubbeginn finden wir aus der Tangente des Neigungswinkels der Berührenden an die Z.-G.-Kurve, oder aus Gleichung A) und es ist dann wieder: T=P+\frac{a}{g}\,C_0=P+\frac{2\,\gamma\,\alpha\,\cdot\,v_m}{sin\,\frac{t}{\alpha}}. Nachdem aus der Fig. 5 ersichtlich, dass c0 < c, so wird auch T < T0, dagegen ist die maximale Geschwindigkeit grösser im Falle konstanter Triebkraft als in jenem konstanter Beschleunigung. Textabbildung Bd. 317, S. 474 Fig. 5. Beispiel 2. Es sei die Nutzlast wieder R = 1300 kg = 13 q, die Teufe 300 m und die mittlere Geschwindigkeit = 10 m = vk, Das Seilgewicht pro laufenden Meter ermittelte ich zu γ = 2,1 kg = 0,021 q. Damit wird γH = 6,3 q, P = 19,3 q, R – γ H= 6,7 q. Ferner a = 70 q, \alpha=\sqrt{\frac{a}{2\,g\,\gamma}}=13 und τ = 30''. Die Gleichung der Hauptzeitkurve wird damit nach Gleichung C): v=12,27\mbox{ sin }\frac{\tau-t}{13}, daher wenn τ – t = 0 5'' 10'' 15''   20'' v = 0 4,836 10,395 17,52 27,28 m. In Fig. 5 Die Originalzeichnungen wurden im Drucke verkleinert. wurde nun angenommen 1 m Geschwindigkeit entsprechen 5 mm 1 Sekunde entspricht 5 „ 1 m Weg entsprechen \frac{5}{v_k} 0,5 „ der ganzen Fahrzeit, somit 5 . 30 = 150 mm, und der Teufe 300 : 0,5 = 150 mm, daher sind die Diagrammlängen, wie erwähnt, für Zeit und Weg dieselben. Die Hauptzeit- und Wegkurven schneiden sich in A, also innerhalb der Diagrammlänge, und es ist somit Fahrt ohne Bremsung möglich. Die Ordinate des Schnittpunktes schneidet die der Abscissenachse parallele und von derselben in der Entfernung 2 vk gezogene Gerade im Punkte B, so dass Linienzug OBAS mit der Abscissenachse die Fläche vk . t = H einschliesst. Durch Abtrennung der Fläche ABC' und Ersatz derselben nach dem früheren Verfahren ist OCS nunmehr das G.-Z.-Diagramm für Antrieb mit konstanter Beschleunigung. Nun ist die Dauer der Einwirkung der Triebkraft: tm' = Oc = 12,8 Sekunden. Die maximale Geschwindigkeit: vm' = Cc = 21,6 m. Somit die Beschleunigung: c=\frac{v'_m}{t'_m}=\frac{21,6}{12,8}=1,688\mbox{ m.} Folglich die Antriebskraft am Beginne: \begin{array}{rcl}T=P+\frac{a}{g}\,c&=&19,3+\frac{70}{9,81}\,1,688=19,3+12,0\\ &=&31,3\,q=3130\mbox{ kg}.\end{array} Die für den Antrieb gezeichnete Geschwindigkeitswegkurve und die Hauptwegkurve schneiden sich im Punkte D. Derselbe hat die gleich lange Ordinate wie C, d.h. es ergibt sich auch aus den Wegkurven die gleiche maximale Geschwindigkeit als Zeichen der richtig durchgeführten Konstruktion. Die Abscisse dieses Punktes gibt die beim Antrieb durchlaufene Strecke an, und es ist laut Zeichnung \overline{O\,\gamma}=x'_m=138,3\mbox{ m.}= xm' = 138,3 m. Die geleistete Arbeit muss, nachdem ein Verlust durch Bremsen nicht entsteht, gleich RH sein. Nachdem L = xm' (T0 – γ xm') ist, berechnet sich mit den gefundenen Angaben L = 391500 mkg gegen RH= 390000 mkg in Wirklichkeit. Die Triebkraft am Ende des Antriebes beträgt T1 = 2564 kg und der Arbeitseffekt in diesem Momente \frac{2564\,\cdot\,21,6}{75}=760\mbox{ PS.} Bei Fahrt mit konstanter Triebkraft sind die Abweichungen auch im Diagramme sehr geringe und ich fand tm = 12,4'', vm = 22,3, xm = 129 m, woraus T = 3030 kg. Die Arbeit des Triebes ist Txm = RH = 390000 mkg. Der Arbeitseffekt bei grösster Geschwindigkeit \frac{3030\,\cdot\,22,3}{75}=900\mbox{ PS.} Wir übergehen nun zu dem Falle, dass B. R > γH, jedoch Bremsung zur Erreichung der geforderten mittleren Geschwindigkeit unbedingt erforderlich ist. Kennzeichnend für diesen Fall ist nach den früheren Bemerkungen der Umstand, dass die bis t = 0 gezeichnete Hauptzeitkurve eine kleinere Fläche einschliesst, als jene, welche der Teufe entspricht, oder, dass der Schnittpunkt der beiden Hauptkurven ausserhalb H bezw. τ gelegen ist. In diesem Falle muss die Diagrammfläche dadurch vergrössert werden, dass man die Zeitkurve in der letzten Periode des Treibens unter stärkerer Neigung gegen die Abscissenachse abfallen lässt, als die Hauptkurve dies thut, also stärkere Verzögerung d.h. Bremsung anwendet. Selbstverständlich kann man sich dieses Mittels auch im vorigen Falle bedienen, um die maximale Geschwindigkeit oder die Maschinendimensionen auf Kosten eines grösseren Energieaufwandes herabzusetzen, im vorliegenden Falle ist dies jedoch ein Gebot der Notwendigkeit. (Schluss folgt.)