Allgemeine Untersuchung des elastischen Bogens zwischen zwei festen Kämpfergelenken und ohne Zwischengelenken. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Allgem. Untersuchung des elastischen Bogens zwischen zwei festen Kämpfergelenken u. ohne Zwischengelenken. I. Der elastische Bogen habe in Fig. 1 A zum festen und B zunächst zu einem parallel zu \overline{m\,n} beweglichen Auflager. Er sei von der Kraft P beansprucht, welche von A den Abstand p hat. Der Auflagerdruck in B ist, wenn wir von der Reibung absehen senkrecht zu \overline{m\,n} gerichtet, wir nennen denselben künftig auch B und seinen Abstand von A bezeichnen wir mit l. Es ist dann: B=\frac{P\,\cdot\,p}{l} . . . . . . . 1.) Man betrachte einen Querschnitt normal zu den als Parallel vorausgesetzten Fasern des Bogens und bezeichnen mit G den Schnittpunkt desselben mit dem Auflagerdruck B. Sind nun die Fasern in der Nähe dieses Querschnitts allein elastisch, so zerfällt der Bogen in zwei starre, aber bewegliche Teile, welche einen gemeinschaftlichen Punkt haben, welchen wir D nennen werden. Dieser Punkt liegt auf der Verlängerung von \overline{G\,C}, wenn C der Schwerpunkt des Querschnitts ist. Um ihn zu bestimmen, nenne man x den Trägheitsradius des Querschnitts, so muss sein: x^2=\overline{G\,C}\,\cdot\,\overline{C\,D} Textabbildung Bd. 317, S. 633 Fig. 1. hieraus folgt: \overline{C\,D}=\frac{x^2}{G\,C} . . . . . . . 2.) mittels welcher Gleichung der Punkt D leicht zu zeichnen ist. Man ziehe, nachdem dies geschehen ist, AD bis zum Schnittpunkte K mit GB, so ist der Teil zwischen D und B Momentan um K drehbar, während der andere Teil zwischen A und D sich um A drehen kann. Wir bezeichnen mit dα und dβ die unendlich kleinen Drehwinkel um A bezw. K und mit dγ die unendlich kleine Veränderung des gestreckten Winkels ADK, welche gleichzeitig mit den Drehungen stattfindet, so findet nach den Lehren der Kinematischen Geometrie Agende Bezeichnung statt: \overline{A\,K}\,\cdot\,d\,\beta=\overline{A\,D}\,\cdot\,d\,\gamma Durch D lege man zu \overline{G\,K} die Parallele bis zum Schnitt-Punkte D' mit der vorher zu ziehenden Geraden \overline{A\,B} und wenn y' die entstandene Strecke, so ist: \frac{\overline{A\,K}}{\overline{D\,A}}=\frac{\overline{K\,B}}{y'} also haben wir auch: \overline{K\,B}\,\cdot\,d\,\beta=y'\,\cdot\,d\,y Hierin ist nun \overline{K\,B}\,\cdot\,d\,\beta nichts anderes, als der von B zurückgelegte Weg, wenn sich die Bogenteile mit den genannten unendlich kleinen Winkeln um A bezw. K drehen. Nennen wir dσ diesen unendlich kleinen Weg, so findet folgende Gleichung statt: dσ = y' . dγ . . . . . . . . . . 3.) Hierin ist dγ von der Belastung abhängig, welche die Beweglichkeit der Bogenteile erzeugt und wir machen es jetzt uns zur Aufgabe, diese Abhängigkeit festzustellen. – Zu dem Zwecke wähle man G zum Angriffspunkt von B und zerlege dort diese Kraft in die Seitenkräfte B . sin α senkrecht zum Querschnitt und B . cos α im Querschnitte wirksam, wenn ∢ CGB = a ist. Den Einfluss dieser Seitenkraft lassen wir, weil er zu geringfügig ist, unbeachtet und beschäftigen uns nur mit der Seitenkraft B . sin α. Ist K die Spannung in der Schwerpunktfaser, so hat man, wenn F der Inhalt des Querschnitts ist: K . F = B . sin α Ist ferner τ die Spannung in der Entfernung „Eins“ von D, so ist weiter: K=\overline{D\,C}\,\cdot\,\tau also hat man: \overline{D\,C}\,\cdot\,\tau\,\cdot\,F=B\,\cdot\,sin\,a Mit Rücksicht auf Gleichung 2 entsteht weiter: \tau\,\cdot\,F\,\cdot\,x^2=\overline{G\,C}\,\cdot\,B\,\cdot\,sin\,a worin F . x2 das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die betreffende Schwerpunktachse ist, die zur neutralen Achse parallel liegt und letztere geht wiederum durch D. Bezeichnen wir noch mit b den Abstand des Schwerpunktes C von B, so ist: B . b = τ . J . . . . . . . . . . 4.) weil \overline{G\,C}\,\cdot\,sin\,a=b ist. Wir bezeichnen weiter mit E den Elastizitätsmodul sämtlicher Fasern des Querschnitts und mit ds das Bogenelement der Schwerpunktfaser, so ist: K=\frac{\overline{D\,C}\,\cdot\,d\,\gamma}{d\,s}\,\cdot\,E nach dem Hooke'schen Gesetz. Die letzte Gleichung ist nicht genau richtig, denn sie setzt voraus, dass sämtliche Fasern zwischen zwei unendlich nahen Querschnitten gleiche Länge ds haben. Nehmen wir aber die Dicke des Bogens im Verhältnis zum Krümmungsradius als sehr gering an, so ist die Gleichung ausserordentlich genau. Da: DC . τ = K ist, so hat man nunmehr: \tau=\frac{d\,\gamma}{d\,s}\,\cdot\,E so dass man nach Gleichung 4 hat: B\,\cdot\,b=E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s} also entsteht endlich mittels Gleichung 1.) E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s}=\frac{P\,\cdot\,p}{l}\,\cdot\,b womit die Beziehung zwischen der Belastung P und dγ festgestellt ist. Nun ist \frac{P\,\cdot\,p}{l}\,\cdot\,b das Biegungsmoment von P für den Querschnitt, nennen wir es M, so hat man: E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s}=M . . . . . . . . 5.) Nach Gleichung 3 ist jetzt: E . J . dσ = B . b . y' . ds. Man ziehe durch C die Parallele zu y' bis zum Schnittpunkte C' mit AB und nenne y die entstandene Strecke. Bildet nun y mit AB den Winkel φ, so ist: y=y'+\frac{\overline{D\,C}\,\cdot\,sin\,(\varphi+a)}{sin\,\varphi} Also ist, wenn man noch \overline{D\,C}=\frac{x^2}{\overline{C\,G}} setzt: d\,\sigma=\frac{B\,\cdot\,b\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}-\frac{x^2\,sin\,(\varphi+a)}{sin\,\varphi}\,\cdot\,\frac{B\,\cdot\,b\,\cdot\,d\,s}{\overline{C\,G}\,\cdot\,E\,\cdot\,J} Nun ist weiter: J = F . κ2 und \frac{b}{\overline{C\,G}}=sin\,a. Daher hat man: d\,\sigma-\frac{B\,\cdot\,b\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}-\frac{sin\,(\varphi+a)}{sin\,\varphi}\,\cdot\,B\,\cdot\,sin\,a\,\cdot\,\frac{d\,s}{E\,\cdot\,F} Wir setzen d\,\sigma'=\frac{B\,\cdot\,b\,\cdot\,}{E\,\cdot\,J}\,y\,\cdot\,d\,s und d\,\sigma''=\frac{B\,\cdot\,sin\,a\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,F}\,\cdot\,\frac{sin\,(\varphi+a)}{sin\,\varphi} wodurch entsteht: dσ = dσ' – dσ''. Betrachtet man \frac{B\,\cdot\,sin\,a\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,F}, so ist dies nichts anderes, als die Längenveränderung von ds, welche von der Kraft B . sin α erzeugt wird. Wir nennen sie Δds und haben jetzt: d\,\sigma''=\Delta\,d\,s\,\cdot\,\frac{sin\,(\varphi+a)}{sin\,\varphi} Aus der Gleichung erkennt man, dass dσ'' nur dann die Projektion von Δds ist, wenn φ = 90° beträgt, sonst aber nicht, Man zeichne ein Dreieck uvw hin, so dass \overline{u\,v} senkrecht zu \overline{G\,B}, \overline{v\,w} senkrecht zu \overline{A\,B} und \overline{w\,u} senkrecht zu \overline{G\,C} ist; bedeutet nun \overline{u\,w} die Veränderung Δds der Schwerpunktfaser ds, so ist \overline{u\,v} nichts anderes als der Weg, welchen der Punkt B dabei zurücklegt. Würde statt der Kraft B das Kräftepaar vom Momente B . b wirken, so würde dσ'' der Weg sein, welchen B dabei zurücklegt, ferner wäre der Schwerpunkt C, statt dem Punkte D gemeinschaftlicher Punkt der beiden Bogenstücke. – Man bringe in C zwei der Kraft B gleiche parallele aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte B1 und B2 an, wodurch an dem Kräftesystem nichts geändert wird. Das Kräftepaar, bestehend aus den Kräften B2 und B, veranlasst den Weg dσ'', indem dabei der Schwerpunkt C gemeinschaftlicher Punkt der Bogenstücke ist, die Kraft B1 veranlasst ferner dσ''. Letzterer Ausdruck ist nun gegen dσ zu vernachlässigen, was wir künftig auch thun werden. Wir werden also stets: d\,\sigma=\frac{B\,\cdot\,b\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J} . . . . . . . . 6.) setzen und dabei zugleich den Schwerpunkt C zum gemeinschaftlichen Punkte der beiden Bogenstücke nehmen. Zieht man also \overline{A\,C} bis zum Schnittpunkte K' mit \overline{B\,G}, so ist letzterer als momentaner Pol des rechten Bogenstückes statt K anzusehen. In der Abbildung liegt der Querschnitt zwischen P und dem beweglichen Auflager. Setzen wir B . b = M, so ist: d\,\sigma=\frac{M\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J} . . . . . . . . 7.) und in dieser Gestalt ist die Gleichung auch brauchbar, wenn P zwischen dem Querschnitt und dem beweglichen Auflager sich befindet. Die Formel hat also auch dann Gütigkeit, wenn M das Biegungsmoment von beliebig vielen auf den Bogen wirkenden Belastungen ist. Wichtig ist der Fall, wenn die Kraft in B parallel zu \overline{m\,n} wirksam ist. Nennen wir sie H, so entsteht, wie sich leicht ableiten lässt: M = H . y und man hat dann: d\,\sigma=\frac{H\,\cdot\,y^2\,d\,s}{E\,\cdot\,J} . . . . . . . . 8.) Wirken also äussere Kräfte und H zugleich auf den Bogen, so bringen sie eine Verschiebung dσ hervor, welche mittels der Formeln 7.) und 8.) sich ergiebt. Sie lautet: d\,\sigma=\frac{M\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}\,\pm\,\frac{H\,\cdot\,y^2\,d\,s}{E\,\cdot\,J} . . . 9.) Bewirken die äusseren Kräfte, aus welchen sich M bildet, eine Bewegung wie H in gleicher Richtung, also entweder von m nach n oder von n nach m, so gilt das positive Vorzeichen. Ist aber die Bewegung, welche die äusseren Kräfte hervorbringen, entgegengesetzt zu der von H erzeugten Bewegung, so gilt das negative Vorzeichen. Ersteres findet statt, wenn H die Richtung von m nach n hat, letzteres dagegen, wenn die Richtung von n nach m geht. Ergiebt sich dσ positiv, so heisst dies: B bewegt sich von m nach n hin, und ist dσ negativ, so ist die Bewegung des Punktes B umgekehrt von n nach m. Zum Schlusse bemerken wir noch, dass dσ', dσ'', dσ und ds nicht als Differentiale, sondern als sehr kleine Grössen aufzufassen sind. Es liegt dies an der Ungenauigkeit des Hooke'schen Gesetzes; anders würde sich die Sache gestalten, wenn in dem Gesetze die Zeit, in welcher von einer Kraft eine bestimmte Längenveränderung eines Stabes hervorgerufen wird, mit berücksichtigt würde. II. In Fig. 2 ist nur die Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte, welche wir, wie es üblich ist, elastische Linie nennen wollen, dargestellt. Dieselbe hat A zum festen und B zum horizontal beweglichen Auflager, sodass \overline{m\,n} eine wagerechte Bahn ist. Weiter setzen wir voraus, dass künftig die Belastungen des Bogens nur senkrecht, also normal zu \overline{m\,n} und unter einander parallel gerichtet sind. Die Auflagerdrücke sind dann ebenfalls parallel zu den Lasten, und den Abstand derselben nennen wir die Spannweite l des Bogens. Ferner soll für die weitere Untersuchung der Elastizitätsmodul E und das Trägheitsmoment J eines jeden Querschnitts bekannt sein. – Es sei \overline{e\,f}=d\,s das Bogenelement der elastischen Linie an irgend einer Stelle. Durch den Mittelpunkt u von \overline{e\,f} ziehe man bis zum Schnittpunkte v mit der vorher zu ziehenden Geraden \overline{A\,B} eine zu \overline{m\,n} senkrecht gerichtete Strecke und nenne sie wie vorhin y. Durch v lege man die Parallele zu \overline{m\,n} und zeichne die Normale in1 Punkte u zum Bogenelemente \overline{e\,f}. Letztere Geraden treffen sich in w und wir setzen \overline{u\,w}=z' = z'. Ebenso lege man durch e und f Parallelen zu y und nenne dx deren Abstand von einander. Es ist dann, wie sich leicht ableiten lässt: \frac{d\,s}{d\,x}=\frac{z'}{y} d.h. ds . y = z' . dx. Wir nennen weiter E den Elastizitätsmodul und J das Trägheitsmoment an der Stelle u und E0 einen beliebigen aber konstanten Elastizitätsmodul und J0 ein beliebiges aber konstantes Trägheitsmoment. Es ist dann auch: \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s=\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,d\,x\,\cdot\,z'. Es ist nun \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,z' eine Strecke, welche man berechne. Wir nennen z diese Strecke und erhalten einmal: \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,z'=z . . . . . 10.) und das anderemal: \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,s=z\,\cdot\,d\,x . . . . . 11.) Man zeichne in Fig. 2 eine horizontale Linie \overline{a\,b} hin und projeziere darauf das Element \overline{e\,f} der elastischen Linie, so ist die Projektion gleich dx. Ferner bezeichne man die Projektion von u auf \overline{a\,b} mit k und mache die normale Strecke \overline{k\,r} auf \overline{a\,b} gleich z. So verfahre man mit allen Elementen der elastischen Linie und zeichne für jedes derselben den Punkt r, so erhält man durch Verbindung der Punkte r eine krumme Linie, welche mit \overline{a\,b} eine Fläche begrenzt, die für die Zukunft von grosser Bedeutung ist. Wir wollen die Fläche aus Gründen, welche später von selbst sich ergeben werden, die Belastungsfläche des Balkens \overline{a\,b} nennen. Man fasse nämlich \overline{a\,b} als geraden frei aufliegenden Balken auf, welcher die Fläche zur Belastung hat, daher der Name. Es sei bemerkt, dass, wenn der Bogen eine solche Gestalt hat wie hier, d.h. wenn alle Punkte desselben über \overline{A\,B} liegen, alle Punkte r entweder über oder unter \overline{a\,b} zu zeichnen sind. Es gilt dies auch dann, wenn der Bogen nur unter \overline{A\,B} sich befindet. Liegt er teils über, teils unter \overline{A\,B}, so ist die Sache anders, wir werden es dann teils mit Belastung, teils mit Entlastung des Balkens \overline{a\,b} zu thun haben; doch wollen wir uns erst später damit beschäftigen. Ist nun die Belastungsfläche dargestellt, so zeichne man dafür mit einem beliebigen Polabstande h die Momentenfläche. In der Fig. 2 ist a1 b1 die Schlusslinie dieser Momentenfläche. Textabbildung Bd. 317, S. 635 Fig. 2. Der Bogen sei nun mit P belastet und letzterer habe vom linken und rechten Auflager pa bezw. pb zu Abständen. Der linke Auflagerdruck ist dann \frac{P\,\cdot\,p_b}{l} und der rechte \frac{P\,\cdot\,p_a}{l}. Befindet sich der Punkt Ca der elastischen Linie links von P, so ist dafür das Biegungsmoment: \frac{P\,\cdot\,p_b}{l}\,\cdot\,x_a und befindet sich der Punkt Cb der elastischen Linie rechts von P, so ergiebt sich dafür das Biegungsmoment \frac{P\,\cdot\,p_a}{l}\,\cdot\,x_b durch Ca und Cb lege man Parallelen zu P bis zu den Schnittpunkten mit \overline{A\,B} und bezeichne die entstandenen Strecken mit ya bezw. yb. Dann möge noch der Bogen im Punkte B mit der Kraft H parallel zu \overline{m\,n} beansprucht sein. Sind nun die Fasern in der Nähe des Querschnitts mit dem Schwerpunkte Ca elastisch, so ergiebt sich der von B zurückgelegte Weg dσb infolge der Lasten P und H aus Gleichung 9.), nämlich: d\,\sigma_a=\frac{P\,\cdot\,p_b}{l}\,\cdot\,\frac{y_a\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,x_a-\frac{H\,\cdot\,y_a^2\,d\,s}{E\,\cdot\,J} Dabei wirkt die Kraft H in der Richtung von n nach m. Die übrigen Grössen in dieser Gleichung haben die Bedeutung wie früher; dasselbe gilt von der folgenden Gleichung. – Sind dagegen nur die Fasern in der Nähe des Querschnitts mit dem Schwerpunkte Cb elastisch, so ergiebt sich der von B zurückgelegte Weg dσb infolge derselben Lasten ebenfalls aus Gleichung 9.) und zwar: d\,\sigma_b=\frac{P\,\cdot\,p_a}{l}\,\cdot\,\frac{y_b\,\cdot\,d\,s}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,x_b-\frac{H\,\cdot\,y_b^2\,d\,s}{E\,\cdot\,J} Wir schreiben diese Gleichungen: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_a-\frac{P\,\cdot\,p_b}{l}\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y_a\,\cdot\,d\,s\,\cdot\,x_a-\frac{H\,\cdot\,y^2_a}{E\,\cdot\,J},E_0\,J_0\,\cdot\,d\,s und E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_b-\frac{P\,\cdot\,p_a}{l}\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y_b\,\cdot\,d\,s\,\cdot\,x_b-\frac{H\,\cdot\,y^2_b}{E\,\cdot\,J},E_0\,J_0\,\cdot\,d\,s Nach Formel 11.) ist nun: \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y_a\,\cdot\,d\,s=z_a\,\cdot\,d\,x und \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y_b\,\cdot\,d\,s=z_b\,\cdot\,d\,x wobei za und zb Ordinaten zu Ca und Cb in der Belastungsfläche sind. Daher entsteht: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_a=\frac{P\,\cdot\,p_b}{l}\,\cdot\,z_a\,\cdot\,d\,x\,\cdot\,x_a-H\,\cdot\,y^2_a\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} und E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_b=\frac{P\,\cdot\,p_a}{l}\,\cdot\,z_b\,\cdot\,d\,x\,\cdot\,x_b-H\,\cdot\,y^2_b\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} Nun sind weiter za . dx und zb . dx nichts anderes als Flächenelemente der Belastungsfläche, die wir dfa und dfb nennen wollen. Hierdurch entsteht weiter: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_a=P\,\cdot\,\frac{p_b}{l}\,\cdot\,d\,f_a\,\cdot\,x_a-H\,\cdot\,y^2_a\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} und E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_b=P\,\cdot\,\frac{p_a}{l}\,\cdot\,d\,f_b\,\cdot\,x_b-H\,\cdot\,y^2_b\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} Nehmen wir an, dass nach und nach die Fasernelemente aller Querschnitte elastisch werden, so kann man für sämtliche diese beiden Gleichungen bilden. Man addiere alle dσa und dσb. Erstere erstrecken sich von A bis zum Schnittpunkt G der elastischen Linie mit der Kraft P und letztere von B bis G. Diese Summe nenne man σb und jene σa, so hat man: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,\sigma_a=P\,\cdot\,\frac{p_b}{l}\,\cdot\,\int\limits_A^G\,x_a\,\cdot\,d\,f_a-H\,\cdot\,\int\limits_A^G\,y^2_a\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} und E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,\sigma_b=P\,\cdot\,\frac{p_a}{l}\,\cdot\,\int\limits_B^G\,x_b\,\cdot\,d\,f_b-H\,\cdot\,\int\limits_B^G\,y^2_b\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J} Aber auch σa und σb kann man zusammenzählen und ist σ die Summe, so ist: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,\sigma=P\,\cdot\,\left\{\frac{p_b}{l}\,\cdot\,\int\limits_A^G\,x_a\,\cdot\,d\,f_a+\frac{p_a}{l}\,\cdot\,\int\limits_B^G\,x_b\,\cdot\,d\,f_b\right\} -H\,\cdot\,\left\{\int\limits_A^G\,y_e^2\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}+\int\limits_B^G\,{y_b}^2\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\right\} Betrachtet man den Ausdruck \frac{p_b}{l}\,\cdot\,\int_A^G\,x_a\,\cdot\,d\,f_a+\frac{p_a}{l}\,\cdot\,\int\limits_B^G\,x_b\,\cdot\,d\,f_b und zeichnet in der Momentenfläche der Belastungsfläche die Ordinate p auf der verlängerten Kraftlinie von P liegend, so sieht man, dass er nichts anderes als h . p ist, wobei h als Fläche aufzufassen ist. Der Ausdruck für H ist von der Form des Bogens abhängig und muss von Fall zu Fall ermittelt werden. Wir setzen ihn T, sodass \int\limits_A^G\,{y_a}^2\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}+\int\limits_B^G\,{y_b}^2\,d\,s\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}=T . . . 12.) ist. Also ergiebt sich jetzt: E0 . J0 . σ = P . h . p – H . T . . . . . . 13.) Soll nun trotz der Einwirkung von P und HB festliegen bleiben, so ist σ = 0 und wir erhalten dann: H=P\,\cdot\,\frac{h}{T}\,\cdot\,p Es ist dies der horizontale Schub, welcher bei B ausgeübt wird, wenn die beiden Auflager A und B festliegen. Wirkt nun statt P die Last Q auf den Bogen und ist q die zugehörige Ordinate in der Momentenfläche von der Belastungsfläche, so entsteht der Horizontalschub H=P\,\cdot\,\frac{h}{T}\,\cdot\,p wie man auf gleiche Weise ableiten kann. Beide Lasten ergeben den Horizontalschub H=\frac{h}{T}\,\cdot\,(P\,\cdot\,p+Q\,\cdot\,q) Hieraus erkennt man, dass die Momentenfläche von der Belastungsfläche Einflussfläche für die Bestimmung des Horizontalschubes ist, sie hat \frac{T}{h} zum Divisor und ist letzterer, weil T dreidimensional ist, eine Strecke. –––––––––– Wir gehen jetzt dazu über, den Einfluss der Temperatur zu berücksichtigen. Ist das Auflager B beweglich, so bleibt infolge der Temperaturveränderung der Bogen sich ähnlich, falls er, wie wir annehmen wollen, an allen Stellen denselben Elastizitätsmodul hat. Ist ε der Ausdehnungskoeffizient und t die Temperaturveränderung in Celsiusgraden, so ist, wenn B nach B1 gekommen ist und wir \overline{B\,B_1}=d_{\sigma\,t} setzen: \overline{A\,B_1}=\overline{A\,B}\,\cdot\,(1+\varepsilon\,\cdot\,t) Man mache in Fig. 3 \overline{A\,C}=\overline{A\,B}, so entsteht \overline{C\,B_t}=\overline{A\,B}\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t Indem der Winkel φ dieselbe Bedeutung wie in Fig. 1 hat, entsteht: A\,B=\frac{l}{sin\,\varphi}. Der Winkel BCB1 kann als ein rechter angesehen werden und es ist weiter: \overline{C\,B_1}=\overline{B\,B_1}\,\cdot\,sin\,\varphi also d_{\sigma\,t}=\frac{l}{sin^2\,\varphi}\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t Gleichung 13 muss nun die Gestalt \sigma=\frac{P\,\cdot\,h\,\cdot\,p}{E_0\,\cdot\,J_0}-H_t\,\cdot\,\frac{T}{E_0\,\cdot\,J_0} Textabbildung Bd. 317, S. 636 Fig. 3. Textabbildung Bd. 317, S. 636 Fig. 4. erhalten und darin ist Ht die Horizontalkraft infolge der Temperaturveränderung, statt \frac{P\,h\,p}{E_0\,J_0} ist d_{\sigma\,t} zu setzen und σ = 0 zu nehmen, damit das Auflager B fest bleibt. Wir haben, wenn man für σt den Wert setzt: H_t=\frac{E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,\frac{l}{sin^2\,\varphi}\,\cdot\,\varepsilon\,\cdot\,t}{T} . . . . 14.) als Ausdruck für die von der Temperatur hervorgebrachte Horizontalkraft. Die so gefundene Bestimmung des Horizontalschubes H mittels der Einflusslinie gilt allgemein, wenn nur der Bogen sich auf einer Seite der Geraden \overline{A\,B} befindet. Die elastische Linie kann dabei beliebig gestaltet sein, also z.B. auch so wie in Fig. 4 angegeben, nämlich aus krummen und geraden Linien zusammengesetzt sein. Wir gehen nun dazu über, einige wichtige Sonderfälle zu behandeln. (Schluss folgt.)