Ueber die Berechnung der Schornsteine. Von R. Leupold, Lehrer a. d. Ingenieurschule zu Zwickau. Ueber die Berechnung der Schornsteine. Der Schornstein einer Feuerungsanlage hat einen doppelten Zweck: einerseits soll er Luft in den Verbrennungsraum schaffen, und andererseits soll er die Verbrennungsprodukte, nachdem sie soviel als möglich von ihrer Wärme an die Kesselwandungen abgegeben haben, einschliesslich der während der Verbrennung überschüssig zugeführten Luftmenge in die freie Atmosphäre abführen. Dieser doppelte Zweck wird dadurch erreicht, dass man den Schornstein als Röhre von gewisser Höhe ausbildet. Da die Temperatur der Gassäule in dieser Röhre eine höhere, ihre Pressung dagegen eine geringere ist als die der äusseren Luft in gleicher Hohe mit dem Rost, und an der Schornsteinmündung die Heizgase spezifisch leichter sind als die äussere Luft, so werden die ersteren in die letztere entweichen. Damit aber ein Schornstein seinen Zweck erfüllt, müssen lichte Weite und Höhe richtig bemessen werden. Weil ferner der Schornstein als freistehendes Bauwerk ausgeführt wird, sollen seine Wandungen so stark sein, dass er von den stärksten, an seinem Ausführungsorte vorkommenden Stürmen nicht umgeworfen wird. Wir können somit bei einem Schornstein – es sollen hier nur solche aus Ziegelmauerwerk betrachtet werden – zwei Berechnungen unterscheiden, von welchen die eine die Bedingungen eines guten Zuges und die andere die Stabilitäts- und Festigkeitsverhältnisse zu ermitteln hat. Hinsichtlich des ersten Teiles kann von einer mathematisch genauen Theorie aus dem Grunde nicht die Rede sein, weil sich viele dabei in Betracht kommende Grössen eben nicht mathematisch genau, sondern nur schätzungsweise ermitteln lassen, z.B. die Abnahme der Temperatur der Heizgase infolge von Wärmeabgabe an die Heizflächen des Kessels oder die Wände des Kesselmauerwerks und des Schornsteins etc., oder die geringe Wärmezunahme, hervorgerufen durch die Reibungswiderstände in den Kanälen und überall da, wo infolge mehr oder minder plötzlichen Richtungswechsels der Kanäle durch Stösse und Wirbel eine gewisse lebendige Kraft der Heizgase in Wärme umgesetzt wird. Wollen wir also eine Theorie des Schornsteinzuges aufstellen, dann werden wir natürlich auf die Hilfe der mechanischen Wärmetheorie nicht verzichten können, nur muss dann die Theorie durch Erfahruncskoeffizienten korrigiert werden. Von diesem Standpunkt aus hat H. v. Reiche, weiland Professor des Maschinenbaues an der technischen Hochschule in Aachen, in seinem bekannten Werke „Anlage und Betrieb der Dampfkessel“ Formeln entwickelt, die jedes bessere technische Taschenbuch mitteilt. Er findet d = 0,1 B0,4. . . . . . . . (1) worin bedeutet: d den lichten Durchmesser an der Mündung in m und B die Brennmaterialmenge in kg, die unter der Kesselanlage per Stunde verfeuert wird. Für die Schornsteinhöhe über dem Rost giebt H. v. Reiche an: H_0=0,00277\,\left(\frac{B}{R}\right)^2+6\,d . . . . . (2) Hierin ist \frac{B}{R} das Verhältnis der Brennmaterialmenge zur Rostfläche, welches bei einem Kessel ganz genau das gleiche ist, wie bei n Kesseln, vorausgesetzt natürlich, dass die zu einer Anlage vereinigten n Kessel von ein und derselben Konstruktion sind. In beiden Formeln (1) und (2) ist Rücksicht genommen auf eine Betriebsvergrösserung der Anlage um 30 %. L. Vogt, Ober-Ingenieur des Barmer Dampfkesselrevisions-Vereins entwickelt in der Zeitschrift des internationalen Verbandes der Dampfkesselüberwachungs-Vereine vom Jahre 1896 auf Seite 90 seine Formeln in der folgenden Weise: Ist f der Mündungsquerschnitt in qm und c die Geschwindigkeit der Heizgase in m, dann ist das die Mündung pro Sekunde durchströmende Gasvolumen = fc. Ist V das auf 0° C reduzierte Volumen der Heizgase, die aus 1 kg Brennmaterial per Stunde entstehen, so ist dasselbe natürlich bei B kg B mal so gross und beträgt pro Sekunde \frac{B\,\cdot\,V}{3600}. Bei t° C nimmt dieses Volumen dann einen Raum ein von \frac{B\,\cdot\,V}{3600}\,\left(1+\frac{t}{273}\right). Somit ergiebt sich die Gleichung f\,c=\frac{B\,\cdot\,V}{3600}\,\left(1+\frac{t}{273}\right) woraus folgt: f=\frac{B\,\cdot\,V}{3600\,c}\,\left(1+\frac{t}{273}\right). . . . . . . . (3) Für die Nutzhöhe des Schornsteins über dem Rost giebt Vogt die empirischen Formeln an: \left{{\underset{\mbox{wenn }d\,\leq\,2,5\mbox{ m}}{H_0=25\mbox{ bis }30\,d}}\atop{\underset{\mbox{wenn }d\,>\,2,5\mbox{ m}}{H_0=20\,d}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ .\ (4) Strupler. Ober-Ingenieur des Züricher Dampfkesselrevisions-Vereins, empfiehlt in der Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure vom Jahre 1894 S. 970 bei den gewöhnlichen Kesseln und Rostsystemen, insbesondere bei Steinkohlen, die folgenden Verhältnisse des lichten Schornsteinquerschnittes f zur totalen Rostfläche R: Bei„„„„„„     4 u.    6 u.    7 u.8, 9 u.   1 Kessel  2 Kesseln  3 Kesseln  5      „  7      „  8      „10      „ \frac{f}{R}=\frac{1}{4} \ \ "\ \ =\frac{1}{5} \ \ "\ \ =\frac{1}{6} \ \ "\ \ =\frac{1}{7} \ \ "\ \ =\frac{1}{8} \ \ "\ \ =\frac{1}{9} \ \ "\ \ =\frac{1}{10} . . . (5) Für die Nutzfläche des Schornsteins giebt Strupler an: H0 = 6 ∛F . . . . . . . . . . . (6) worin F die Gesamtheizfläche bedeutet. Textabbildung Bd. 317, S. 637 Fig. 1. Ehe zur Festigkeitsberechnung der Schornsteine geschritten wird, möge versucht werden klar zu machen, wie die Grösse des Winddruckes auf einen Schornstein von rundem Querschnitt zu berechnen ist. Es sei zu diesem Zwecke in Fig. 1 XX eine durch die Schornsteinachse gelegte Vertikalebene, senkrecht zur Windrichtung YY. Von dem ganzen Schornstein sei ein Ringstück von der Höhe 1 beachtet. Ist α der Winkel, welchen das Ringelement mn mit der Windrichtung einschliesst, so ist der Winkel mCB ebenfalls = α. Ist dα das Differential von α, dann ist das Ringelement mn = rdα, und in dem unendlich kleinen Dreieck mn o ist n o als Projektion von m n auf die Horizontale = mn sin α = r sin α dα. Das Ringelement mn wird somit unter dem Winkel a von einem Luftstrom getroffen, welcher den Querschnitt r sin α dα hat. Wenn nun ein Luftstrom auf eine senkrecht zu seiner Richtung aufgestellte Fläche von der Höhe 1 wie 1 und der Breite 1 einen Druck von k Kilogrammen ausübt, dann muss derselbe Luftstrom auf eine Fläche von der Höhe 1 und der Breite r sin α dα unter der gleichen Bedingung die Pressung kr sin α dα ausüben. Da aber dieser Luftstrom das Ringelement unter dem Winkel α trifft, so zerlegt sich seine Kraft in zwei Componenten, wovon die eine senkrecht auf dem Element mn steht und die andere damit parallele, wenn von der Luftreibung am Mauerwerk abgesehen wird, wirkungslos abgleitet. Die senkrechte Componente hat die Grösse kr sin2 a dα. Links von der Verticalebene YY ist ein zu mn symmetrisch liegendes Ringelement m'n' vorhanden, für welches sich gleichfalls eine radial wirkende Componente kr sin2 a dα ergiebt. Diese beiden Radial-Componenten verschieben wir bis zum Mittelpunkt C und zerlegen sie dort nach den beiden auf einander senkrechten Richtungen XX und YY. Die in XX fallenden Componenten, von denen jede = kr sin2 α cos α dα ist, heben sich als entgegengesetzt auf. Die in YY liegenden summieren sich als gleichgerichtet; jede ist = kr sin3 α dα. Ist CD eine dieser beiden, so stellt CE = 2 CD ihre Summe dar. Die Resultante sämtlicher auf den Halbkreis über XX wirksamen Winddrücke wird daher gefunden, wenn wir bilden: W=kr\,\int_0^\pi\,sin^3\,a\,d\,a=kr\,\int_0^\pi\,(sin\,a-cos^2\,a\,sin\,a)\d\,a =kr\,\left[\frac{1}{3}\,cos^3\,a-cos\,a\right]_0\pi=\frac{4}{3}\,kr=\frac{2}{3}\,k\,d . . (7) worin also d den Ringdurchmesser bedeutet. Gegen die Zulässigkeit dies%r rein statischen Betrachtungsweise könnten nun aber Zweifel erhoben werden; denn wir haben es hier doch nicht mit ruhenden Kräften, sondern mit bewegten Massen, also Energieen zu thun. Die am Schornstein abgleitenden Luftteilchen werden z.B. die auf sie treffenden an der Entfaltung der vollen Druckwirkung hindern. Wegen der vollkommenen Elastizität des auf einander prallenden Materiales (Luft) wird dieser ausser Acht gelassene negative Betrag sich wahrscheinlich nicht viel unterscheiden von dem ebenfalls ausser Acht gelassenen positiven der Reibung. Schliesslich müsste auch die saugende Wirkung der abgleitenden Luftteilchen und die dadurch hervorgerufene Wirbelbildung berücksichtigt werden. Alle diese Einflüsse sind aber so gering, dass der oben für Zylinderflächen abgeleitete Koeffizient \frac{2}{3}=0,667 sich in der That auch aus sorgfältig ausgeführten Beobachtungen ergeben hat, die von Prof. Pinzger angestellt wurden. (Siehe den Vertrag von Bastine in der Zeitschr. d. V. d. J. 1897 S. 291). Wenn man nun ferner bedenkt, dass unsere Schornsteine keine geraden Kreiszylinder, sondern Kegelstumpfe sind und dass die über einen solchen Kegelstumpf ausgedehnte Integration des Winddruckes wegen der wenn auch geringen Neigung der Mantelfläche noch einen etwas kleineren Wert also \frac{2}{3} ergeben wird, so dürfte wohl der Koeffizient 0,667 volle Sicherheit gewährleisten. Für k hat man natürlich den grössten, am Bauplatz voraussichtlich vorkommenden Winddruck einzusetzen. Nach einem Gutachten der Kgl. Preuss. Akademie des Bauwesens soll es für deutsche Windverhältnisse genügen, k = 125 kg pro qm senkrecht gedrückter Fläche anzunehmen. Mit Rücksicht aber darauf, dass auch im flachen Lande bei heftigen Orkanen noch höhere Pressungen festgestellt worden sind, und die Materialspannungen im Mauerwerk durch die pendelartigen Schwingungen, – wie man sie z.B. bei der hohen Esse der Halsbrückener Hütte bei Freiburg während eines schweren Sturmes am 24. Januar 1890 beobachtete –, vergrössert werden, geht man mit B bis zu 150 und 200 kg. Textabbildung Bd. 317, S. 638 Fig. 2. Es bedeute nun in bezug auf Fig. 2: aa irgend einen Horizontalquerschnitt durch den Schornstein, W den gesamten Winddruck oberhalb dieses Querschnittes. w den Abstand des Schwerpunktes der Projektionsfläche dieses Schornsteinteiles von der Ebene αα, e den Abstand der äussersten Kanten dieses Querschnittes von der Mitte. F den Inhalt, und J das Trägheitsmoment dieses Querschnittes, so betragen die durch die biegende Kraft des Winddruckes an den Kanten a1 und a2 hervorgerufenen Zug- und Druckspannungen, wenn wir dieselben mit sb Fig. 2. bezeichnen s_b=\frac{W_w}{\frac{J}{e}} . . . . . . . . . . (8) Die durch das Eigengewicht G in beiden Kanten sowie im ganzen Querschnitt hervorgerufenen Druckspannungen s_G=\frac{G}{F} . . . . . . . . . . (9) Als resultierende Spannung ergiebt sich in der Kante a1 s_1=\frac{G}{F}-\frac{W_w}{\frac{J}{e}} . . . . . . (10) die sich als Druckspannung äussern wird, wenn \frac{G}{F}\,<\,\frac{W_w}{\frac{J}{e}} und in der Kante a2 s_2=\frac{G}{F}+\frac{W_w}{\frac{J}{e}} . . . . . . . . (11) die natürlich stets Druckspannung ist. Soll der Schornstein auch auf der vom Winde angeblasenen Seite nur Druckspannungen erleiden, so muss für alle Querschnitte die Ungleichung erfüllt werden \frac{G}{F}\,<\,\frac{W_w}{\frac{J}{e}} . . . . . . . . . . (12) In Fig. 2 schneidet die Resultante R aus W und G die Querschnittsebenen αα im Abstande r von der Mitte. Dieser Abstand r wird die Stützweite genannt, weil er den Punkt bestimmt, auf welchen sich die Resultante aus W und G gewissermassen stützt. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ergiebt sich nun \frac{W}{G}=\frac{r}{w} also Ww = Gr . . . . . . . . . (13) Mit Berücksichtigung dieses geht die Ungleichung (12) über in folgende \frac{G}{F}\,<\,\frac{G\,r}{\frac{J}{e}} . . . . . . . . . . (12a) und hieraus ergiebt sich r\,>\,\frac{J}{e\,F} . . . . . . . . . . (14) Der Quotient \frac{J}{e\,F} wird die Kernweite genannt und allgemein mit p bezeichnet. Er bestimmt den Kern des Querschnittes, d. i. diejenige Figur, aus welcher der Angriffspunkt einer Druckkraft nicht heraustreten darf, wenn alle Teile des Querschnittes nur Druckspannungen erleiden sollen. Die Bedingung dafür besteht also in der Ungleichung r < p, Stützweite kleiner als Kernweite . (14a) Manche sich mit Schornsteinbau befassende Praktiker sehen die Kernweite oft als gleichbedeutend mit der lichten Weite eines Schornsteins an. Das ist natürlich grundfalsch; denn die Kern weite ist bei einem Kreisring ein Radius und die lichte Weite ein Durchmesser. Diese Thatsache wird hier selbstverständlich nur aus dem Grunde erwähnt, damit man bei Revisionsarbeiten vorkommenden Falles sein Augenmerk darauf richte. Aus Gleichung (13) folgt r=\frac{W\,w}{G} . . . . . . . . . . (15) worin sich der Schwerpunktsabstand w der Projektionsfläche, die ein Trapez ist, bekanntlich nach der Gleichung bestimmt w=\frac{a+2\,b}{a+b}\,\cdot\,\frac{h}{3} wenn a die grosse, b die kleine und h die Höhe des Trapezes bedeutet. Für die Kernweite hat man, wie schon oben erwähnt, die Gleichung p=\frac{J}{e\,F} . . . . . . . . . 16) woraus folgt \frac{J}{e}=p\,F . . . . . . . . . (17) Führen wir nun jetzt in die Gleichungen (10) und (11) Gr an Stelle von Ww und pF an Stelle von \frac{J}{e}, so ergiebt sich als kleinste Druckspannung, der dem Winde zugekehrten Seite kurzweg als Luvseite bezeichnet s_1=\frac{G}{F}\,\left(1-\frac{r}{p}\right) . . . . . . . (10a) und als grösste Druckspannung der dem Winde abgekehrten Seite, kurzweg als Leeseite bezeichnet s_2=\frac{G}{F}\,\left(1+\frac{r}{p}\right) . . . . . . (11a) Da der achteckige und der runde Schornstein wegen des geringeren Materialaufwandes, geringeren Winddruckes und geringerer Reibung der Heizgase mehr als der viereckige zur Ausführung kommen, so sei die folgende Tabelle der in den obigen Gleichungen Anwendung findenden Werte mitgeteilt: Querschnittsform Achteck Kreisring Schwerpunktsachse parallel einer Seite einer Diagonale Trägheitsmoment J 0,0547 (D4 – d4) 0,0547 (D4 – d4) \frac{\pi}{64}\,(D^4-d^4) Kantenabstand e         0,5 D        0,446 D        0,5 D Querschnittsinhalt F 0,8284 (D2 – d2) \frac{\pi}{4}\,(D^2-d^2) Kernweite p 0,132\,\frac{D^2+d^2}{D} 0,122\,\frac{D^2+d^2}{D} 0,125\,\frac{D^2+d^2}{D} Es soll nun an einem praktischen Beispiel die Anwendung des bis jetzt Vorgetragenen gezeigt werden: 4 Wasserröhrenkessel, von denen jeder eine stündliche Dampfmenge von 1800 kg entwickelt, sind zu einer Anlage vereinigt. Die Kessel sollen pro qm Heizfläche 20 kg Dampf entwickeln, also etwas mehr als massig angestrengt werden. Das Brennmaterial sei Steinkohle von der folgenden Zusammensetzung: c = 0,7774; h = 0,0483; o = 0,0604; s = 0,0151; w = 0,04 und a = 0,0588. Hierin bedeutet c den Gehalt von 1 kg Brennmaterial an Kohlenstoff, h an Wasserstoff, w an hygroskopischem Wasser, 8 an Schwefel und n an Stickstoff und a mineralische Beimengungen. I. Berechnung von lichter Weite und Höhe. Bezeichnen wir die von einem Kessel erzeugte Dampfmenge mit D, seine Heizfläche mit F, dann muss also sein \frac{D}{F}=20,\ F=\frac{D}{20}=\frac{1800}{20}=90\mbox{ qm} Für Steinkohle können wir dann entsprechend dieser Dampfentwicklung das Verhältnis \frac{B}{F} (Brennmaterialmenge durch Heizfläche) = 2,2 annehmen. Für einen Kessel erhalten wir damit eine Brennmaterialmenge von B = 90 . 2,2 = 198 ~ 200 kg, für alle 4 Kessel eine solche von 800 kg. Nach H. v. Reiche ergiebt sich für den lichten Durchmesser an der Schornsteinmündung d = 0,1 . 8000,4 = 1,44959 m ~ 1,45 m Für einen Kessel ist \frac{B}{R} (Brennmaterialmenge durch gesamte Rostfläche) so gross wie für alle vier. Bei 20 kg stündlicher Dampfentwicklung pro qm Heizfläche können wir \frac{B}{R}=90 setzen. Für die Nutzhöhe des Schornsteines ergiebt sich dann nach Formel (2) H0 = 0,00277 (90)2 + 6 . 1,45 = 31,13 m Rechnet man die Höhe des Rostes über dem Kesselhausflur zu 0,75 m, so ist die Höhe des Schornsteines über Erdgleiche H = H0+ 0,75 m = 31,88 m ~ 32 m Bei Anwendung der Vogt'schen Formel ist zunächst V, das Volumen der Verbrennungsprodukte mit Hilfe der Gleichung zu bestimmen: V = 1,854 c + 1,243 (gh + w) + 0,7 s + 0,796 n + (m – 0,21) L . . . . . . . . . (18) Hierin ist m ein Erfahrungskoeffizient und L bedeutet die zur Verbrennung nötige theoretische Luftmenge in Kubikmetern. Die vollständige Ableitung dieser Formel, die übrigens jedes gute Handbuch mitteilt, würde uns hier zu weit führen. Es möge nur erwähnt werden, dass sie erhalten wird, wenn man die Gewichte der aus 1 kg Brennmaterial entstehenden Heizgase mit ihrem spezifischen Volumen multipliziert. Für die Steinkohle von der oben mitgeteilten Zusammensetzung ergiebt sich pro Kilogramm eine theoretische Luftmenge von 8,04 cbm; mit m = 1,8 erhalten wir dann nach Formel (7) 14,8 cbm Verbrennungsprodukte. Nehmen wir die Temperatur der Heizgase an der Schornsteinmündung zu 200° C. an und setzen ihre Geschwindigkeit = 3 m, dann ist f=\frac{800\,\cdot\,14,8}{3600\,\cdot\,3}\,\left(1-\frac{200}{273}\right)\underset{=}{\infty}1,9\mbox{ qm} Für einen runden Schornstein ist damit der innere lichte Durchmesser an der Mündung d = 1,5569 m ~ 1,56 m Da d kleiner als 2,5 m ist, so können wir nach Formel (4) für H0 25 bis 30 d, im Mittel also 27,5 d annehmen, also H0 = 27,5 . 1,56 = 42,9 m und H = 42,9 + 0,75 = 43,65 m Nach Strupler finden wir mit \frac{f}{R}=\frac{1}{7} d=\sqrt{\frac{R\,\cdot\,4}{\pi\,\cdot\,7}} Die Gesamtrostfläche berechnet sich aus dem Verhältnis \frac{B}{R}=90, also R=\frac{B}{90}=\frac{200}{90}=2,222 qm bei einem Kessel; bei allen vier = 2,222 . 4 = 8,888 qm. Demnach ist d=\sqrt{\frac{8,888\,\cdot\,4}{\pi\,\cdot\,7}}=1,28\mbox{ m }\infty\ 1,30\mbox{ m} und da die Heizfläche eines Kessels = 90 qm ist, ergiebt sich: H0 = 6∛360 = 42,827 und H = 42,827 + 0,75 = 43,6 m Zusammenstellung der Ergebnisse: H. v. Reiche Vogt Strupler d =   1,45 m   1,56 m   1,30 m H = 32,00 m 43,65 m 43,60 m Nach H. v. Reiche erhalten wir die kleinste Höhe und nach Strupler den kleinsten Durchmesser. Wäre der Schornstein für nur einen Kessel, also eine Brennmaterialmenge von 200 kg zu berechnen gewesen, dann hätte sich ergeben, nach H. v. Reiche Vogt Strupler d =   0,84 m   0,78 m   0,84 m H = 28,23 m 24,15 m (mit H0 = 30 d) 28,75 m Bei geringen Brennmaterialmengen geben die Formeln von H. v. Reiche und Strupler fast genau übereinstimmende Werte, die von Vogt giebt anscheinend zu kleine Abmessungen. Mit zunehmender Brennmaterialmenge nimmt die Schornsteinhöhe nach H. v. Reiche im Verhältnis zu den beiden andern Formeln bedeutend geringer zu. Dies hat seinen Grund im Bau dieser Formel, welche lautet: H_0=0 00277\,\left(\frac{B}{R}\right)^2+6\,d Da nun \frac{B}{R} bei einem Kessel genau so gross ist wie bei n Kesseln, so ist das erste Glied von der für n Kessel aufgewendeten Brennmaterialmenge vollständig unabhängig. Das zweite Glied wächst nun allerdings mit der Brennmaterialmenge, aber dennoch wird dadurch nicht so schnell eine Zunahme von H0 herbeigeführt, wie dies bei den andern Formeln der Fall ist. Wenn nun auch im allgemeinen der Einfluss der Schornsteinhöhe auf die Zugwirkung überschätzt wird, so ist doch so viel klar, dass unter sonst gleichen Verhältnissen ein höherer Schornstein besser ziehen wird als ein niedrigerer, von der geringeren Rauch- und Russbelästigung der Nachbarschaft durch den ersteren ganz abgesehen. Daher dürfte Textabbildung Bd. 317, S. 640 es sich empfehlen, um bewährten Ausführungen der Praxis nahe kommende Ergebnisse zu erzielen, aus diesen Formeln wie folgt auszuwählen: Bei mässigen Brennmaterialmengen zur Berechnung der lichten Schornsteinmündungsweite die H. v. Reiche'sche Formel, bei grösseren die von Vogt und zur Berechnung der Schornsteinhöhe stets die von Strupler. Bei Anwendung der Vogt'schen Formel macht sich der Umstand unangenehm bemerkbar, dass die Temperatur der aus der Schornsteinmündung abziehenden Heizgase nicht genau abgeschätzt werden kann. Gewöhnlich nimmt man die Temperatur der den Fuchs verlassenden Gase um 100° C. grösser an, als die dem Dampfdruck des Kessels entsprechende Temperatur und zieht davon für den laufenden Meter Schornsteinhöhe, je nach der Weite des Schornsteins, 2 bis 3° ab. Es liegt aber auf der Hand, dass diese rein empirische Regel sehr mangelhaft ist, und wäre es daher sehr zu wünschen, Wenn einmal eine Reihe von Temperaturmessungen an den Schornsteinmündungen grösserer Fabrikanlagen auf irgend eine zuverlässige Weise wirklich ausgeführt würde. II. Berechnung von Eigengewicht und Winddruck. Wir wollen nun für unseren Schornstein eine lichte Mündungsweite von 1,60 m und eine Höhe von 43 m annehmen. Den Sockel machen wir 8 m hoch und bauen darauf 7 Stockwerke von je 5 m Höhe auf. Die Wandstärke des obersten Stockwerkes sei 18 cm; die jedes folgenden nehme immer am 5 cm zu. Der Anlauf des Schornsteins soll für den laufenden Meter 2 cm betragen; der äussere Durchmesser somit um 4 cm zunehmen. Als Baumaterial sollen radiale gelochte Formsteine bester Beschaffenheit verwendet werden. Alle übrigen Einzelheiten sind aus der Zeichnung (s. S. 640) ersichtlich. Die Rauminhalte der einzelnen Stockwerke, welche abgestumpfte Hohlkegel darstellen, können nach der bekannten Formel V=\frac{\pi\,h}{3}\,\left[({R^2}_a+R_a\,r_a+{r^2}_a)-({R^2}_i+R_i\,r_i+{r^2}_i)\right] berechnet werden (s. Fig. 3). Der Koeffizient \frac{\pi\,h}{3} hat mit h = 5 den Wert 5,236. Für den ersten Schuss ergiebt sich demnach: V1 = 5,236 [(1,082 + 1,08 . 0,98 + 0,982) – (0,92 + 0,9 . 0,8 + 0,82)] = 5,3156 cbm Da ein cbm Mauerwerk 1600 kg gerechnet wird, so ist G1 = 5,3156 . 1600 ≌ 8510 kg. Textabbildung Bd. 317, S. 641 Fig. 3. Es ist hier aber bedeutend einfacher, die Guldin'sche Regel anzuwenden und die einzelnen Hohlkegelstumpfe als Drehkörper zu berechnen. Der Vertikalschnitt f durch die Wand eines Schusses ist = h . s, worin h die Schusshöhe und s die Wandstärke ist. Bedeutet ρ den Schwerpunktsabstand von der Rotationsachse, dann ist bekanntlich V = f 2ρ = hs 2ρ π Da \varrho=\frac{R_i+r_i}{2}+\frac{s}{2}=\frac{R_a+r_a}{2}-\frac{s}{2} und ri = ra – s: ra = ri + s, so erhält man die für das Zahlenrechnen sehr bequeme Gleichung: 2ρ = Ri + ra = Ra + ri (Schluss folgt.)