Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger. Von Dr.-Ing. Max Kloss. (Fortsetzung von S. 206 d. Bd.) Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger. II. Der dreifach gestützte Träger. a) Bestimmung der Biegungsmomente und Stützdrücke. 1. Träger nur in einem Felde belastet. Die Auflager mögen so eingerichtet sein, dass sie in allen zur Trägerachse senkrechten Richtungen Stützdrücke aufnehmen können, wie es z.B. bei den Lagern von Maschinenwellen der Fall ist. Die in Richtung der Wellenachse auftretenden Reibungskräfte mögen vernachlässigt werden. Wir haben dann die beiden Gleichgewichtsbedingungen, dass die Summe sämtlicher Kräfte und ebenso die Summe aller Momente gleich Null sein müssen. Da wir jedoch 3 Unbekannte, das sind die 3 Stützdrücke, haben, so ist die Aufgabe statisch unbestimmt. Sie kann nur gelöst werden unter Zuhilfenahme der Theorie der elastischen Linie. Auf Grund unserer bisherigen Untersuchungen bietet jedoch die Lösung der Aufgabe keinerlei Schwierigkeiten. Wir können nämlich den im dritten Lager (2 in Fig. 11) auftretenden Lagerdruck als Belastungskraft T2 für den in den Punkten 1 und 0 gestützten Träger l1 ansehen. Dann haben wir denselben Fall, den wir im vorhergehenden Abschnitt ausführlich behandelt haben, nämlich einen zweifach gestützten, mit Innen- und Aussenkraft belasteten Träger. Nur ist hier vorläufig noch die Aussenkraft T2 unbekannt. Wenn wir diese zunächst beliebig annehmen, so können wir nach der zuletzt abgeleiteten Gleichung (43. die im Angriffspunkt 2 der Kraft T2 auftretende Durchbiegung y2 berechnen y_2=-\frac{l_2}{3\,E\,J}\,\left[M'\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)+M'_0\,L\right] (44. Da wir nun annehmen, dass die drei Lager 1, 0 und 2 in gleicher Höhe liegen, so muss y2 = 0 sein. Hieraus ergiebt sich aber die Bedingungsgleichung Textabbildung Bd. 318, S. 214 Fig. 11. M'_0\,L+M'\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)=0 . . (45. Hierin bedeutet M' das Biegungsmoment, das die Kraft P1 in ihrem Angriffspunkt hervorbringen würde, wenn der Trägernur in den beiden Punkten 1 und 0 unterstützt wäre, also M'=\frac{P_1\,a_1\,b_1}{l_1} . . (46. und M0' das vom Stützdruck T2 herrührende Biegungsmoment, also M0' = – T2 . l2. . . (47. Textabbildung Bd. 318, S. 214 Fig. 12. Aus (45. lässt sich nun dieses Moment berechnen M'_0=-M'\cdot \frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L}=-\frac{P_1\,a_1\,b_1\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)}{l_1\cdot L} (48. Was das Vorzeichen der Biegungsmomente anlangt, so wollen wir folgende Regel festsetzen: Das in einem Trägerquerschnitte auftretende Biegungsmoment ist positiv, wenn die gezogene Faser unten liegt, negativ, wenn sie oben liegt. Aus den durch M' und M0' gegebenen Momentenflächen findet man dann durch algebraische Addition die resultierende Momentenfläche. Das im Angriffspunkt 3 der Kraft P1 wirklich auftretende Biegungsmoment ist dann M'_1=M'+M'_0\,\frac{a_1}{l_1}=M'\,\left(1-\frac{a_1\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)}{l_1\cdot L}\right) (49. Da wir nunmehr sowohl das Biegungsmoment M1' im Punkte 3 als auch dasjenige M0' im Punkte 0 kennen, so ist die ganze Aufgabe auf den in Fig. 10 bereits behandelten Fall zurückgeführt. Nach Gleichung (48. lässt sich das Mittellagermoment M0' aus dem von P herrührenden M' zwar sehr einfach mit dem Rechenschieber ermitteln. Es soll hier jedoch auch eine einfache graphische Bestimmung gezeigt werden, da wir dieselbe später beim abgesetzten Träger anwenden werden. Die Konstruktion ist in Fig. 12 ausgeführt. 3 ist der Angriffspunkt der Kraft P1, 4 der Halbierungspunkt der Strecke b1, sodass also (1/4)=a_1+\frac{b_1}{2} ist. Man trägt nun das von P1 bei zweifacher Lagerung erzeugte Biegungsmoment M'=\frac{P_1\,a_1\,b_1}{l_1} als Strecke (3/5) auf, zieht 5/6 parallel 1/2 und verbindet 6 mit 1. Diese Linie schneidet die in 4 errichtete Vertikale in Punkt 7. Dann ist Strecke (4/7)=(2/6)\cdot \frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L}=M'\,\frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L}=M'_0 also gleich dem gesuchten Mittellagermoment. Nunmehr macht man (0/8) = (4/7) = M0', zieht 1/8 und trägt (5/10) = (3/9) von 5 aus ab. Dann ist 1/10/11/8/2 die resultierende Momentenfläche. (3/10) = M1' ist das in 3 wirklich auftretende Moment, aus dem sich der Stützdruck T1 ergiebt T_1=-\frac{M_1}{a_1} . . . . (50. Der Stützdruck im Lager 2 ergiebt sich aus M0' T_2=-\frac{M'_0}{l_2} . . . . (51. Den Stützdruck im Mittellager findet man dann aus der Gleichgewichtsbedingung P1 + T1 + T2 + T0 = 0 . . (52. Ist der Träger im Felde l1 mit mehreren Einzelkräften belastet, so bestimmt man für jede Kraft die Momente und addiert dann alle Momentenflächen. 2. Träger in beiden Feldern belastet. Für die im rechten Trägerfelde l2 angreifende Last P2 gilt natürlich genau dasselbe, was für die Kraft P1 abgeleitet wurde. Das von ihr im Mittellager 0 erzeugte Biegungsmoment M0'' ergiebt sich ohne weiteres entsprechend der Gleichung (48. M''_0=-M''\,\frac{a_2+\frac{b_2}{2}}{L}=-\frac{P_2\,a_2\,b_2\,\left(a_2+\frac{b_2}{2}\right)}{l_2\cdot L} (48a. Die Konstruktion der Momentenfläche ist genau dieselbe wie die in Fig. 12 für Feld l1 ausgeführte. Textabbildung Bd. 318, S. 215 Fig. 13. Wirken die beiden Kräfte P1 und P2 in der gleichen Achsialebene, so erhält man das resultierende Momentendiagramm einfach durch Addierung der einzelnen Momentenflächen. Das im Mittellager 0 auftretende Biegungsmoment M0 ist dann (Fig. 13) \left{{M_0=M'_0+M''_0=-\left(M'\,\frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L}+M''\,\frac{a_2+\frac{b_2}{2}}{L}\right)}\atop{M_0=-\frac{P_1\,a_1\,b_1\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)}{l_1\cdot L}-\frac{P_2\,a_2\,b_2\,\left(a_2+\frac{b_2}{2}\right)}{l_2\cdot L}}}\right\}\ (53. Es ist dies die bekannte Formel zur Bestimmung des Biegungsmomentes im Mittellager. (Vgl. „Hütte“, 17. Aufl., Seite 381, Gleichung (1. für y0 = y1 = y2, M0 = 0, M2 = 0, q0 = 0, q1 = 0.) Wirken die beiden Kräfte nicht in der gleichen Ebene, so hat man die von den Einzelkräften herrührenden Biegungsmomente und Stützdrücke geometrisch zu addieren. b) Bestimmung der elastischen Linie. Wenn wir nach den eben abgeleiteten Formeln die auftretenden Biegungsmomente bestimmt haben, bietet die Aufzeichnung der elastischen Linie keine Schwierigkeiten mehr, da sie einfach nach dem in Fig. 10 (Seite 206) dargestellten Verfahren erfolgen kann. Will man nur die Durchbiegung im Angriffspunkte der Kraft P1 haben, so braucht man natürlich nicht erst die ganze elastische Linie aufzuzeichnen. Man kann dann f1 direkt berechnen. Die Ableitung der Gleichung würde hier zu weit führen, sie ergiebt sich aber ohne weiteres aus den früher gegebenen Sätzen. Wir finden dann f_1=\frac{a_1\,b_1}{3\,E\,J}\,\left[M'+M_0\,\frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{l_1}\right] . . . (54. Hierin ist M_0=-\left(M'\,\frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L}+M''\,\frac{a_2+\frac{b_2}{2}}{L}\right) . . . (53. und M'=\frac{P_1\,a_1\,b_1}{l_1} und M''=\frac{P_2\,a_2\,b_2}{l_2} Die Gleichung (54. hat dieselbe Form wie für einen zweifach gestützten Träger: f_1=\frac{\frakfamily{M}\,a_1\,b_1}{3\,E\,J} . . . (54a. Wir können also M als äquivalentes Biegungsmoment ansehen, das bei frei aufliegendem, zweifach gestützten Träger die gleiche Durchbiegung hervorbringen würde. Dieses äquivalente Moment M setzt sich zusammen aus dem Moment M', das die Kraft P1 hervorrufen würde, wenn der Träger l1 nur in den beiden Endpunkten 1 und 0 frei aufliegend gestützt wäre, und der zum Punkte x=a_1+\frac{b_1}{2} gehörigen Ordinate des von M0 über L gebildeten Momentendreiecks. Es mag auch bei dieser Gelegenheit darauf hingewiesen werden, dass man bei Einsetzung von Zahlenwerten genau auf die Vorzeichen zu achten hat. Will man den Einfluss der Kraft P1 für sich allein untersuchen, so hat man einfach in Gleichung (53. M'' = 0 zu setzen. Für die Durchbiegung im Angriffspunkte der Kraft P1 erhält man dann f'_1=\frac{M'\,a_1\,b_1}{3\,E\,J}\,\left[1-\frac{\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)^2}{l_1\,L}\right] (55. Diese Gleichung zeigt deutlich den Einfluss des dritten Lagers auf die Durchbiegung. Denken wir uns das dritte Lager in die Unendlichkeit gerückt, so hat es keinen Einfluss mehr auf die Form der elastischen Linie, wir müssen also dann denselben Wert erhalten, wie für einen zweifach gestützten Träger. In der Tat wird für l2 = ∞ auch L = ∞, das zweite Glied in der Klammer wird = 0, und die Gleichung nimmt die Form an f'_1=\frac{M'\cdot a_1\,b_1}{3\,E\,J} Dies gilt aber für einen frei aufliegenden zweifach gestützten Träger. Wenn wir andererseits wieder das dritte Lager uns unendlich nahe an das Mittellager verschoben denken, also l2 = 0 und L = l1 annehmen, so heisst das nichts anderes, als dass zwei unendlich benachbarte Punkte der elastischen Linie auf einer Horizontalen liegen müssen, dass also die Tangente der elastischen Linie im Mittellager horizontal verläuft. Dies ist aber das Kennzeichen für den einseitig eingespannten Träger. Wir erhalten zunächst aus Gleichung (55. f'_1=\frac{M'\,a_1\,b_1}{3\,E\,J}\,\left(\frac{4\,{l_1}^2-(2\,a_1+b_1)^2}{4\,{l_1}^2}\right) Diese Gleichung geht nach einigen einfachen Umformungen über in die Form: f'_1=\frac{M'\,a_1\,{b_1}^2}{12\,E\,J\,{l_1}^2}\,(4\,a_1+3\,b_1)=\frac{P_1\,{a_1}^2\,{b_1}^3\,(4\,a_1+3\,b_1)}{12\,E\,J\,{l_1}^3} (56. (Vergl. „Hütte“, 17. Auflage. Seite 370, Zeile 17 für Q = 0.) Will man nur den Einfluss der Kraft P2 auf die Durchbiegung im Punkte x = a1 für sich allein untersuchen, so hat man in Gleichung (53. und (54. M' = 0 zu setzen. Man erhält dann für die durch P2 im Punkte x = a1 hervorgerufene Durchbiegung: f''_1=-\frac{M''\,a_1\,b_1\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)\,\left(a_2+\frac{b_2}{2}\right)}{3\,E\,J\,l_1\,L} (57. Wirken die beiden Kräfte P1 und P2 nicht in einer Ebene, so bestimmt man die von jeder einzelnen Kraft hervorgerufenen Durchbiegungen f1' und f1'' nach den eben entwickelten Gleichungen (55. und 57. und setzt beide vektoriell zusammen. In der Praxis kommt oft der Fall vor, dass die drei Lager und die beiden Belastungskräfte Pi und P2 ganz symmetrisch zu einander angeordnet sind, dass also l_1=l_2=\frac{L}{2} und a_1=b_1=a_2=b_2=\frac{l_1}{2} ist. Für diesen Fall lassen sich natürlich die oben angegebenen Formeln wesentlich vereinfachen. Die Gleichung (55. die uns die von P1 hervorgerufene Durchbiegung im Punkte x = a1 gibt, geht in die Form über: f'_1=\frac{P_1\,l^3}{66,7\cdot E\,J} . . . (55a. Entsprechend erhalten wir für die von P2 herrührende Durchbiegung im selben Punkte x = a1 nach Gleichung (57. f''_1=\frac{P_2\,l^3}{170,5\cdot E\,J} . . . (57a. Trifft der hier angenommene Fall der symmetrischen Anordnung nicht zu, so kann man dann doch die eben abgeleiteten Formeln (55a. und 57a. für eine erste Ueberschlagsrechnung gut verwenden, um sich wenigstens von der ungefähren Grössenordnung des erforderlichen Trägheitsmomentes einen Begriff zu machen. (Fortsetzung folgt.)