Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände.Die Anregung zu dieser Untersuchung ist mir durch Herrn Geheimen Regierungsrat Professor Frank an der Technischen Hochschule zu Hannover gegeben, der mir vorstehende Frage zum Zwecke meiner Doktorarbeit gestellt hat. Von Dipl.-Ingenieur Karl Wolters, Hannover. Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände. Eine Lokomotive kann im Sinne der Mechanik als eine Massengruppe aufgefasst werden; die Bewegungen einer solchen werden durch sechs Gleichungen bestimmt, und zwar bestimmen drei die Bewegungen des Schwerpunktes in Richtung der drei Koordinatenachsen und die andern drei die Drehungen der Massengruppe um die drei Hauptachsen. Nehmen wir nun die Lokomotive gleichförmig bewegt auf der Bahn an, dann können wir mit derselben ein ebenso bewegtes Koordinatensystem, das nur an der Verschiebung des Schwerpunktes teilnimmt, und ein bewegliches, das mit der Lokomotive zugleich die Bewegungen derselben mitmacht, verbinden; die erste der drei Achsen des gleichförmig bewegten Koordinatensystemes legen wir parallel der Geleismitte und dies möge die X-Achse sein (vergl. Fig. 1); die zweite legen wir quer zur Lokomotive, senkrecht zur X-Achse und bezeichnen sie als Y-Achse; die Z-Achse legen wir dann senkrecht zu beiden, damit lotrecht auf der Bahn stehend. Der gemeinsame Schnittpunkt aller drei Achsen, das ist zugleich der Koordinatenanfangspunkt, möge der Schwerpunkt des auf den Federn ruhenden Teiles der Lokomotive sein. Das bewegliche Koordinatensystem möge die Achsen X1 Y1und Z1 haben, und diese mögen als freie Drehachsen der Lokomotive gelten, d.h. die Zentrifugalmomente mögen auf sie bezogen den Wert = 0 haben; für den Ruhezustand der Lokomotive sollen die Achsen dieses beweglichen Koordinatensystemes mit denen des gleichförmig bewegten zusammenfallen. Wie wir später nun sehen werden, rufen vor allem die durch die Konstruktion der Dampfmaschine bedingten Kräfte besonders drehende Bewegungen um die drei Achsen hervor, und in wie weit die Reibung imstande ist, diese Bewegungen und auch Drehungen um beliebige andere Achsen vollständig zu beseitigen oder auch nur zu schwächen, soll im folgenden näher untersucht werden. Textabbildung Bd. 318, S. 641 Fig. 1. Als Einheiten sind, wenn nicht besonders angegeben, für die Länge das Meter, für das Gewicht das Kilogramm und für die Zeit die Sekunde gewählt. Die beim Blick in Richtung der Achsen zum Nullpunkt hin sich als rechts drehend ergebenden Momente sind ferner positiv, die links drehenden negativ bezeichnet und die Kräfte in Richtung der Achsen vom Nullpunkt aus positiv und umgekehrt negativ in Rechnung gestellt. Bezeichnen nun für das gleichförmig bewegte Koordinatensystem ΣX ΣY ΣZ die Summe aller in Richtung der drei Achsen wirkenden Kräfte, x0y0z0 die Koordinaten des Schwerpunktes bezogen auf dieses Koordinatensystem, x y z die Koordinaten eines beliebigen Punktes, gemessen parallel den betreffenden Achsen, J1J2 J3 die Trägheitsmomente (= Summe aller Massenteilchen × Quadrat des Abstandes von der Achse) bezogen auf die drei Achsen. Dabei sind diese als konstant angenommen, d.h. die kleinen Aenderungen infolge des verschiedenen Abstandes der beweglichen Teile sind nicht berücksichtigt; φ ϰ ψ die Winkelgeschwindigkeiten um die drei Achsen; β ξ ζ die Winkel der Drehung um die drei Achsen; MxMyMz die Summe der statischen Momente bezogen auf die drei Achsen; ferner M die Masse der Lokomotive mit Ausschluss der Achsen = Gewicht : 9,81 und m die Masse eines beliebigen Massenteilchens, dann lauten die sechs Gleichungen: \Sigma\,X=M\cdot \frac{d^2\,x_0}{dt^2}=\Sigma\,m\cdot \frac{d^2\,x}{dt^2} \Sigma\,Y=M\cdot \frac{d^2\,y_0}{dt^2}=\Sigma\,m\cdot \frac{d^2\,y}{dt^2} \Sigma\,Z=M\cdot \frac{d^2\,z_0}{dt^2}=\Sigma\,m\cdot \frac{d^2\,z}{dt^2} . . . 1). \frakfamily{M}_x=J_1\cdot \frac{d\,\varphi}{d\,t}-(J_2-J_3)\cdot \chi\cdot \psi \frakfamily{M}_y=J_2\cdot \frac{d\,\chi}{d\,t}-(J_3-J_1)\cdot \psi\cdot \varphi \frakfamily{M}_z=J_3\cdot \frac{d\,\psi}{d\,t}-(J_1-J_2)\cdot \varphi\cdot \chi . . 2). Setzen wir nun voraus, dass die rotierenden Massen vollständig und der Massen druck der hin- und hergehenden Teile zu 1/n ausgeglichen sei, dann kommen für den von den Federn getragenen Teil einer ruhig auf der Bahn stehenden Lokomotive als Kräfte in Betracht: 1. das Gewicht dieses Teiles, 2. die statische Spannkraft der Federn. Würde sich die Lokomotive aber gleichförmig auf der Bahn bewegen, dann kommen die folgenden während der gleichförmigen Bewegung konstanten Kräfte weiter in Frage nämlich: 3. der Widerstand des zu ziehenden Zuges, 4. der Luftwiderstand der Lokomotive, 5. der konstante Teil der Pressungen der Trieb- und Kuppelachslager gegen die Achsgabeln, 6. die Pressungen gegen den Drehzapfen des Drehgestells oder gegen die Führungsbüchsen der Laufachse. Sodann haben wir noch veränderliche Kräfte, die, da sie sich nicht zu Null ergänzen, und da ihre Momente auch nicht den Wert Null ergeben, die störenden Bewegungen hervorrufen; dieses sind: 7. die Pressungen der Kreuzköpfe gegen die Gleitbahnen, 8. der Massendruck der nicht ausgeglichenen hin- und hergehenden Teile; diese Kräfte können jedoch in ihrer vollen Grosse nicht zur Wirkung kommen, sondern daran hindern sie die folgenden, die erst durch das Bestreben der Bewegung oder durch sie selbst hervorgerufen werden: 9. die Reibung der Teile, auf denen die Bewegungen stattfinden, vor allem die Reibung an den Achsgabeln, die Reibung an den Gleitflächen am Drehgestell oder der Laufachse, die Reibung der Räder auf den Schienen, an der Berührungsfläche mit dem Tender usw., sodann die Reibung der einzelnen Blattfedern aufeinander; 10. eine Komponente des Zugwiderstandes am Koppelbolzen mit dem Tender; 11. der Widerstand des Kreuzkopfes, vor allem bei Drehungen um die X-Achse; 12. die durch Lagenänderung hervorgerufenen Federkräfte. I. Bestimmung der Kräfte 1) bis 11). Die Anteile, welche diese Kräfte 1) bis 11) zu den Gleichungen 1) und 2) stellen, bestimmen sich nun in folgender Weise: wir legen als Beispiel der Untersuchung eine Personenzuglokomotive mit vorderem Drehgestell zu Grunde, bei derdie Treib- und Kuppelachsfedern mit einander durch Längsbalanzier oder Winkelhebel auf gleiche Spannung gebracht sind, und bei der ebenso die beiden Federn des Drehgestells gleiche Spannung zeigen; jedoch passen die Entwicklungen für jede Lokomotive, wenn man statt dieser Annahmen die dort vorhandenen Einrichtungen zu Grunde legt. Weiter mögen die wagerecht gelagerten Zylinder aussen und vor der Treibachse sich befinden und mögen einander gleich sein, d.h. wir mögen es mit einer Zwillingslokomotive zu tun haben, die rechte Kurbel möge der linken voreilen und die Federn der Treib- und Kuppelachse und der beiden Laufachsen je gleich stark sein und gleiche Abmessungen zeigen. Ferner ist die zum Zusammendrücken einer Feder nötige Kraft der Zusammendrückung proportional; die Zahl, mit welcher man die Zusammendrückung einer Feder multiplizieren muss, um die zusammendrückende Kraft zu erhalten, heisst der Starrheitskoeffizient. a) Kräfte 1). und 2). Bezeichnet nunEine Zusammenstellung der hauptsächlichsten Bezeichnungen und deren Zahlenwerte für die als Beispiel gewählte Lokomotive findet sich am Schluss. G das Gewicht des auf den Federn ruhenden Baues der Lokomotive einschliesslich des Wassers im Kessel, Δ1 den wagerechten Abstand des Schwerpunktes des auf den Federn ruhenden Baues von der Treibachse, Δ2 den wagerechten Abstand des Schwerpunktes von der Kuppelachse, Δ3 den wagerechten Abstand von der hinteren Achse des Drehgestells, Δ4 den wagerechten Abstand des Schwerpunktes von der vorderen Achse des Drehgestells, Δ5 den wagerechten Abstand des Schwerpunktes vom Drehzapfen des Drehgestells, da dieser meist in der Mitte des Drehgestells liegt, so ist \Delta_5=\frac{\Delta_3+\Delta_4}{2}; Δ6 den wagerechten Abstand vom Drehpunkt des Ausgleichhebels =\frac{\Delta_1+\Delta_2}{2}; 2 . ε die Entfernung der Federn der Treib- und Kuppelachse einer Seite von den Federn der anderen Seite, 2 . ε1 die Entfernung der Federn des Drehgestells von einander, st die Zusammendrückung der Federn der Treib- und Kuppelachse, sd die Zusammendrückung der Federn des Drehgestells, kt den Starrheitskoeffizienten der Federn der Treib- und Kuppelachse, kd den Starrheitskoeffizienten der Federn des Drehgestells, wenn jede Achse an jeder Seite eine besondere Feder hat, dann haben wir, weil der Schwerpunkt vor der Triebachse liegt, für die ruhig auf der Bahn stehende Lokomotive die Gleichgewichtsbedingungen: G=4\cdot s_t\cdot k_t+4\cdot s_d\cdot k_d 4\cdot\delta_6\cdot s_t\cdot k_t-4\cdot \Delta_5\cdot s_d\cdot k_d \varepsilon\cdot 2\cdot s_t\cdot k_t+\varepsilon_1\cdot 2\cdot s_d\cdot k_d-\varepsilon\cdot 2\cdot s_t\cdot k_t +\varepsilon_1\cdot 2\cdot s_d\cdot k_d . 3). daraus folgt \left{{G=4\cdot (s_t\cdot k_t+s_d\cdot k_d)}\atop{\Delta_6\cdot s_t\cdot k_t}=\Delta_5\cdot s_d\cdot k_d}\right\}\ .\ .\ 4). während die dritte Gleichung identisch erfüllt ist. Dieselben Gleichungen gelten auch für den Fall, dass sowohl das Drehgestell, wie auch die beiden Hinterachsen an jeder Seite nur eine Längsfeder besitzen. b) Kräfte 3). bis 6). Bewegt sich nun die Lokomotive vom Dampf getrieben auf der Bahn, dann kommen, wenn wir von den störend wirkenden Kräften noch absehen, die mit den Nummern 3). bis 6). bezeichneten Kräfte noch hinzu. Bezeichnet nun W den Widerstand des zu ziehenden Zuges, gemessen durch die Beanspruchung des Kuppelbolzens zwischen Tender und Maschine, D den Triebraddurchmesser, γ das spezifische Gewicht der Luft, g die Erdbeschleunigung = 9,81, F die Fläche der Lokomotive, projiziert auf die Y-Z Ebene, v die Fahrgeschwindigkeit der Lokomotive, h den Vertikalabstand des Schwerpunktes des auf den Federn ruhenden Teiles der Lokomotive über der Tenderkupplung, h1 den Vertikalabstand vom Schwerpunkt der Fläche F, h2 den Vertikalabstand von der Achsmitte der Triebräder, h3 den Vertikalabstand vom Drehzapfen des Drehgestells, K = K1 = K2 den numerischen Wert der Triebkraft seines Kolbens, d.h. den Unterschied des Dampfdruckes auf die Vorder- und Rückseite, ϑ' bezw. ϑ'' den Massendruck der rechten bezw. linken Maschine, P' bezw. P'' die konstant angenommene Kolbenstangenkraft der rechten bezw. linken Maschine, und zwar können wir sie mit Rücksicht auf den Massendruck konstant annehmen, weil dieser bei der später vorausgesetzten Fahrgeschwindigkeit diesen Ausgleich etwa schafft. Diese Werte sind ferner positiv, wenn der Kolben sich vom Schwerpunkt aus in Richtung der Fahrt bewegt, und negativ bei rückläufigem Kolben, N' bezw. N'' die lotrechte Pressung des Kreuzkopfes gegen seine Führungen für die rechte und linke Maschine, μ die hin- und hergehenden Massen des Kolbens, der Kolbenstange + ⅔ Schubstange, v die Geschwindigkeit im Kurbelkreis, a den Winkel der voreilenden rechten Eig. 2. Kurbel mit der Horizontalen, gemessen in Quadrantenfolge (Fig. 2), Textabbildung Bd. 318, S. 643 Fig. 2. r den Kurbelradius, L die Länge der Schubstange, 2 . e die Entfernung der Zylinder mitten von einander, 2 . c die Entfernung der Rahmenmitten von einander, Tt die Reibung der gleich belasteten Triebräder auf den Schienen für ein Rad, Tk die Reibung der gleich belasteten Kuppelräder auf den Schienen für ein Rad, λ den Winkel der Schubstange mit der Zylinderachse, ϰ den Zapfendruck zur Ueberwindung des Rollwiderstandes und der Lagerreibung am Drehgestell, Q das Gewicht der nur an der Verschiebung teilnehmenden Teile des Drehgestells + Gewicht seiner Belastung, Q1 das Gewicht der nur an der Rollbewegung teilnehmenden Teile des Drehgestells, d.h. hauptsächlich der Radsätze, f die Reibungsziffer für geschmierte Flächen, f' die Reibungsziffer für Lager, i den Hebelarm der rollenden Reibung für die Räder des Drehgestells, δ den Zapfendurchmesser der Laufräder des Drehgestells, ρ den Halbmesser der Laufräder des Drehgestells, damit ist das Moment des Zugwiderstandes bezogen auf die Y-Achse; = + W . h . . . 5). Ferner haben wir das Moment des Luftwiderstandes auf dieselbe Achse bezogen von der Grösse =-h_1\cdot \frac{\gamma}{g}\cdot F\cdot v^2 . . . 6). negativ, weil in den meisten Fällen der Schwerpunkt der Fläche höher als der Schwerpunkt des auf den Federn ruhenden Teiles der Lokomotive liegt. Die Pressungen der Triebachse gegen die Achsgabeln erhalten wir nun, wenn wir von der Triebkraft des Kolbens ausgehen. Diese setzen wir als konstant = der mittleren Dampfkraft voraus. Dann denken wir uns zunächst die Lokomotive an ihren vier Ecken aufgehängt und die Reibung an den Schienen etwa durch einen Bremszaun ersetzt, sodass wir dieselben Vorgänge wie bei der Fahrt haben, nur dass die Reibung keine nach aussen wirkende Kraft noch ein Moment erzeugt. Treibend wirkt dann am Kolben die Dampfkraft K, dieser wird das Gleichgewicht gehalten von der Kolbenstangenkraft P, ferner von dem Massen druck der zu beschleunigenden Massen, der bekanntlich die Grösse hat \vartheta=\frac{\mu\cdot v^2}{r}\cdot \left[\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot cos\,a+\frac{r}{L}\cdot cos\,2\,a\right] 7). und schliesslich von den einzelnen Bestandteilen der Reibung; dahin gehören vor allem die Reibung an den Kolbenringen, an den Stopfbüchsen, die wagerecht gerichtete Kreuzkopfreibung, Reibung in den Lagern usw. Mit derselben Grösse K drückt nun auch der Dampf auf die Deckelflächen des Zylinders. Dieser Druck pflanzt sich mittels der Zylinderbefestigung auf den Rahmen fort; die Kolbenstangenkraft P dagegen überträgt sich durch die Schubstange, da die wagerechte Komponente der Schubstangenkraft stets = P ist, auf den Kurbelzapfen. Dieser Vorgang spielt sich in der Entfernung e von der Mitte ab; die Rahmen liegen aber in der Entfernung c von der Mitte, mithin haben wir die Rahmendrücke (vergl. Fig. 3) P_1=\frac{e+c}{2\cdot c}\cdot P' und P_2=\frac{e-c}{2\cdot c}\cdot P' Textabbildung Bd. 318, S. 643 Fig. 3. Ihre Summe ist stets = P, d.h. wir haben, wenn wir vom Massendruck absehen, stets nach der einen Richtung, in der Figur nach rechts, von der Achse ausgehend den Druck P' im Rahmen vermehrt um die Reibung zwischen sämtlichen sich bewegenden Teilen und nach links den Dampfdruck auf die Deckelflächen am Zylinder; diese beiden Teile heben sich mithin vollständig auf, d.h. die Reibung an diesen Teilen kann keine Bewegung der Maschine hervorbringen, denn je grösser sie wird, um so kleiner wird die Kolbenstangenkraft, stets bleibt aber die Gleichung bestehen: Reibung + Kolbenstangenkraft = Dampfkraft. Für eine Bewegung bleibt nach aussen nur übrig der später zu behandelnde Massendruck. Verfolgen wir nun einmal den Vorgang durch alle vier Quadranten, so erhalten wir ein Anliegen der einzelnen Lagerkasten an den Achsgabeln in der durch Fig. 4 veranschaulichten Weise; wir sehen also, dass der Rahmen abwechselnd auf Druck und Zug beansprucht wird. Nach dieser Figur könnte es scheinen, als ob für Stellungen der rechten Kurbel in den Quadranten I und III ein Drehen der Maschine möglich wäre, jedoch ist dies nicht der Fall, denn infolge des Dampfdruckes auf die Zylinderdeckel wirkt von hier ausgehend stets ein gleiches Moment dem von den Achsgabeln ausgehenden Drehmoment entgegen. Textabbildung Bd. 318, S. 644 Fig. 4. Stellen wir die Lokomotive nun auf die Bahn und setzen vorläufig nur eine Treibachse und keine Kuppelachse voraus, dann haben wir anstatt des Bremsbandes jetzt die Reibung am Umfange der Triebräder von den Schienen erzeugt; diese dient bekanntlich zur Fortbewegung des Zuges. Dabei ändern sich aber auch die Achsdrücke, und zwar erhalten wir sie, wenn wir die Momentengleichung aufstellen. Am Rade haben wir die drei Kräfte: wagerecht die oben erwähnte Kolbenstangenkraft am Kurbelzapfen angreifend und an demselben die lotrechte Komponente der Schubstangenkraft = N, schliesslich am Umfange des Rades die Reibung T auf der Schiene. Nun ergibt sich N'=P'\cdot tg\,\lambda=P'\cdot \frac{sin\,\lambda}{cos\,\lambda}=P'\cdot \frac{(r/L)\cdot sin\,a}{\sqrt{1-(r/L)^2\cdot sin^2\,a}} dies gibt annähernd N'=P'\cdot \frac{r}{L}\,sin\,a . . . 8). Ebenso für die linke Maschine N''=P''\cdot \frac{r}{L}\cdot sin\,(a-\frac{\pi}{2})=-P''\cdot \frac{r}{L}\cdot cos\,a . 9). und zwar sind beide stets positiv, da beim ersten das Vorzeichen von sin a mit dem von P' gleichzeitig wechselt und beim zweiten Wert das Vorzeichen von P'' mit dem cos a zugleich sich ändert. Mithin haben wir die Momentengleichung 2\cdot T\cdot \frac{D}{2}=P'\cdot r\cdot sin\,(\pi-a)+P''\cdot r\cdot sin\,(a-\frac{\pi}{2})+P'\cdot \frac{r}{L}\,sin\,a\cdot r\cdot cos\,(\pi-a)-P''\,\frac{r}{L}\cdot cos\,a\cdot r\cdot cos\,\left(a-\frac{\pi}{2}\right). Daraus folgt \left{{T=\frac{r}{D}\,(P'\cdot sin\,c-P''\cdot cos\,a)}\atop{-\frac{r^2}{2\cdot L\cdot D}\cdot (P'-P'')\cdot sin\,(2\,a)}}\right\}\ .\ .\ 10). Diese Reibung T ist an der Schiene vorhanden und sucht das Rad in Richtung der Fahrt zu verschieben, erzeugt mithin an der Achsgabel eine Pressung von derselben Grosse und damit haben wir das Moment bezogen auf den Schwerpunkt des auf den Federn ruhenden Teiles \left{{h_2\cdot \left[\frac{r}{D}\cdot (P'\cdot sin\,a-P''\,cos\,a)\right}\atop{\left-\frac{r^2}{2\cdot L\cdot D}\cdot (P'-P'')\cdot sin\,(2\,a)\right]}}\right\}\ .\ .\ 11). Bei gebremsten Rädern hatten wir nun abwechselnd ein Anliegen der Lagerkasten an der vorderen und hinteren Achsgabel und zwar mit der Kraft P; dabei hatten wir bei rückläufigen Kolben Zugspannung im Rahmen und Anliegen an der dem Tender zugekehrten Achsgabel und bei der Vorwärtsbewegung des Kolbens hatten wir Druckspannungen im Rahmen und dabei Anliegen an der vorderen Achsgabel. Bei der auf den Schienen stehenden Lokomotive dagegen haben wir immer in Richtung der Fahrt noch die eben abgeleitete Kraft T, sodass die Pressungen gegen die Achsgabeln betragen = P ± T, und zwar gilt das positive Vorzeichen, wenn der Kolben sich vorwärts bewegt und das negative bei rückläufiger Kolbenbewegung. Da die Kraft P stets grösser als T ist, so findet bei der Bewegung der Lokomotive mithin nicht immer ein Anliegen an der vorderen Achsgabel statt, sondern das Ziehen des angehängten Wagenzuges geschieht in der Weise, dass von der Tenderkupplung ausgehend bis zur Triebachse im Rahmen immer die Spannung = W vorhanden ist, zwischen Triebachse und Zylinder ist abwechselnd auf jeder Seite Druck und Zug von gleicher Grosse = P vorhanden und zwar Zug beim Anliegen an der hintern Achsgabel und Druck beim Anliegen an der vorderen Achsgabel; da aber die Kraft T stets nach vorn gerichtet ist, so wird der von den Zylindern ausgehenden Dampfkraft im ersten Fall von dem Achsgabeldruck + Widerstand des Wagenzuges das Gleichgewicht gehalten, während im zweiten Fall der Widerstand W von den Teilen T der um diesen Betrag als die Kolbenstangenkraft grösseren Achsgabeldrücke aufgehoben wird. Nun haben wir in Wirklichkeit eine Trieb- und Kuppelachse; beide sind miteinander durch eine Kuppelstange verbunden. Diese kann auf die Kuppel achse nur wagerechte Kräfte übertragen, die Grösse derselben lässt sich jedoch nicht vollkommen genau bestimmen, sondern hängt von der genauen Einstellung der Keile in den Lagern der Kuppelstange ab. Nehmen wir nun an, dass von der Kolbenstangenkraft P die Hälfte zur Drehung der Triebachse verwendet würde und die andere Hälfte durch die Kuppelstange übertragen würde, was eine Entfernung der Mitten obiger Lager = Achsstand voraussetzt, dann haben wir am Triebrade infolge des Druckes N ein anderes Drehmoment. Stellen wir nun die Momentengleichung auf, dann erhalten wir für die Kuppelachse 2\cdot T_k\cdot \frac{D}{2}=\frac{P'}{2}\cdot r\cdot sin\,a-\frac{P''}{2}\cdot r\cdot cos\,a . . 12). daraus folgt T_k=\frac{r}{2\cdot D}\cdot (P'\cdot sin\,a-P''\cdot cos\,a) . . 13). Um das Moment der Triebachse zu erhalten, haben wir in den Ausdrücken der horizontalen Kräfte in Gleichung 10) \frac{P}{2} statt P zu setzen, während N seine Grösse nicht ändert, und damit erhalten wir \left{{T_t=\frac{r}{2\cdot D}\cdot (P'\cdot sin\,a-P''\cdot cos\,a}\atop{-\frac{r^2}{2\cdot L\cdot D}\cdot (P'-P'')\cdot sin\,(2\,a)}}\right\}\ .\ 14). Ihre Summe liefert, wie früher bezogen auf die Schwerpunktsachse; das Moment =h_2\cdot (T_k+T_t) =h_2\cdot \left[\frac{r}{D}\cdot (P'\cdot sin\,a-P''\cdot cos\,a)\right \left-\frac{r^2}{2\cdot L\cdot D}\cdot (P'-P'')-sin\,(2\,a)\right] . 15). Jetzt haben wir aber die Achsgabeldrücke auch geändert und zwar haben wir für jede Lagerstelle \mbox{an der Kuppelachse }=\frac{P}{2}\,\pm\,T_k \mbox{an der Triebachse }=\frac{P}{2}\,\pm\,T_t . . 16). und zwar gelten die positiven Vorzeichen, wenn die zugehörigen Kolben sich vorwärts bewegen und die negativen bei rückläufigen Kolben. Eine geringe Aenderung der Achsdrücke ruft dann noch der Massendruck hervor und zwar wird auch dieser sich zur Hälfte durch die Kuppelstange übertragen, aber auch den Wert N ändern; eine weitere Aenderung ist ferner durch die Gegengewichte bedingt, die den Massendruck auszugleichen haben; sodann auch durch den Rollwiderstand, der jedochinfolge des grossen Raddurchmessers sehr klein ausfällt. Ihrer Kleinheit wegen können wir aber diese Kräfte vernachlässigen. Als letzte der bei ruhiger Fahrt in Betracht kommenden Kräfte, ist noch der Druck gegen den Drehzapfen des Drehgestells zu erwähnen. Dieses gebraucht nämlich auch zu seiner Fortbewegung ohne Beschleunigung eine Kraft infolge der Reibung an den Lagerteilen und infolge der rollenden Reibung. Diese am Drehzapfen aufzuwendende Kraft beträgt bekanntlich x=\frac{1/2\cdot Q\cdot f'\cdot \delta+(Q+Q_1)\cdot i}{\varrho} . . 17). und liefert bezogen auf die Y-Achse das Moment = h3 . x . . . 18). (Fortsetzung folgt.)