Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände. Von Dipl.-Ingenieur Karl Wolters, Hannover. (Fortsetzung von S. 645 d. Bd.) Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände. c) Kräfte 7). und 8). Somit sind noch die schon eingangs erwähnten die störenden Bewegungen hervorrufenden Kräfte näher zu bestimmen und zwar zunächst die Pressungen der Kreuzköpfe gegen die Gleitbahnen. Der wagerechte Abstand derselben von der Y- Achse ist zwar veränderlich und beträgt, wenn die dem Schwerpunkte am nächsten liegende Achse die Treibachse ist, für die rechte Maschine L + r . cos (π – a) – Δ1 = L – r . cos a – Δ1 und für die linke Maschine L=r\cdot cos\,\left(a-\frac{\pi}{2}\right)-\Delta_1=L-r\cdot sin\,a-\Delta_1 Mithin gibt diese Kraft die Momente für die Querachse: =-\left[P'\cdot \frac{r}{L}\cdot sin\,a\cdot (L-r\cdot cos\,a-\Delta_1)-P''\cdot \frac{r}{L}\cdot cos\,a\cdot (L-r\cdot sin\,a-\Delta_1)\right] \left{{=-\left[\frac{r^2}{2\cdot L}\cdot (P'-P'')\cdot sin\,(2\,a)\right}\atop{\left+\frac{r}{L}\cdot e\cdot (P'\cdot sin\,a+P''\cdot cos\,a)\right]}}\right\}\ 19). für die Längenachse: =\frac{r}{L}\cdot e\cdot (P'\cdot sin\,a+P''\cdot cos\,a) . . 20). und die Summe der vertikal gerichteten Pressungen beträgt \frac{r}{L}\cdot (P'\cdot sin\,a+P''\cdot cos\,a) . . 21). Ferner haben wir noch den bei der Bestimmung des Achsgabeldruckes erwähnten Massendruck zu berücksichtigen und zwar können wir dabei das durch die endliche Länge der Lenkstange entstehende Fehlerglied fortlassen, wodurch nur eine sehr geringe Ungenauigkeit entsteht. Wir erhalten somit für die rechte Maschine den Massendruck \vartheta'=\frac{\mu\cdot v^2}{r}\cdot cos\,a und zwar ist er der Richtung wegen negativ in Rechnung zu stellen. Der Massendruck der linken Maschine dagegen beträgt \vartheta''=\frac{\mu\cdot v^2}{r}\cdot sin\,a Jetzt sehen wir, dass für den Quadranten I beide Werte negativ sind und für den Quadranten III beide Werte positiv. Um den Betrag des Massendruckes ist nun die KolbenstangenkraftP entweder kleiner oder grösser zu wählen. Infolgedessen ändern sich auch die Kreuzkopfdrücke. Die Grösse dieses Wertes beträgt für die rechte Maschine: =\vartheta'\cdot \frac{r}{L}\cdot sin\,a=-\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L}\cdot sin\,(2\,a) für die linke Maschine: =-\vartheta''\cdot \frac{r}{L}\cdot cos\,a=+\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L} Mithin erhalten wir ein Moment für Drehungen um die Z- Achse =e\cdot \frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{r}\cdot (cos\,a-sin\,a) . . 22). die Summe beider in Richtung der X-Achse beträgt =-\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{r}\cdot (cos\,a+sin\,a) . . 23). in lotrechter Richtung erhalten wir weiter die Summe dieser Kräfte =-\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L}\cdot sin\,(2\,a)+\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L}\cdot sin\,(2\,a)=0 . . 24). ferner für Drehungen um die X-Achse =-e\cdot \frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L}\cdot sin\,(2\,a) . . 25). d) Kräfte 9). bis 11). Dem schädlichen Einfluss dieser eben erwähnten Kräfte tritt vor allem die Reibung entgegen. Da diese erst bei eingetretener Bewegung ihren Höchstwert erreicht, den sie dann während der Bewegung auch beibehält, so dürfen wir sie nicht von vornherein als vorhandene Kraft einführen, sondern müssen erst untersuchen, ob die Bewegung überhaupt eintritt. Als Reibungsziffer soll dabei die der gleitenden Bewegung in Rechnung gestellt werden. Von den Reibungskräften kommen nun vor allem in Frage: 1. die Reibung der Lager der Trieb- und Kuppelachsen an den lotrechten Flächen der Achsgabeln, 2. die Reibung an den wagerechten Flächen des Drehgestells, 3. die Reibung an den senkrechten Flächen des Drehgestells, 4. die Reibung an den wagerechten Flächen der Federstützen auf den Achsbüchsen, 5. die Reibung der Räder auf den Schienen, 6. die Reibung der einzelnen Federlagen der Blattfedern aufeinander, 7. die Reibung an den Berührungsflächen mit dem Tender. Bezeichnet man weiter f1 die Reibungsziffer zwischen Rad und Schiene, f2 die Reibungsziffer der Federlagen aufeinander, Qd die auf einer der Gleitflächen des Drehgestells ruhende Last, Qt die Belastung eines Rades der Treibachse, gemessen als Druck in der Federstütze, Qk die Belastung eines Rades der Kuppelachse, gemessen als Druck in der Federstütze, Qt' die Belastung beider Räder der Treibachse + Achsgewicht, Qk' die Belastung beider Räder der Kuppelachse + Achsgewicht, 2 . ε2 die Entfernung der Rollkreise beider Räder voneinander; nehmen wir ferner an, dass die Bewegung der in Frage kommenden Teile wirklich eingetreten sei, dann ist 1. die Reibung an den Achsgabeln der Triebachse bei Vernachlässigung des Massendruckes, wenn man gleich für die Werte P' und P'' die numerischen Grössen K' und K'' einführt, weil die positive bezw. negative Richtung der Kolbenstangenkraft bald ein Anliegen an der vorderen und bald an der hinteren Achsgabel bedingt, was auf die Richtung der Reibung ohne Einfluss ist: =f\cdot \left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_t\right) und =f\cdot \left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_t\right) mithin das Moment beider Gleitflächen für die Y- und Z- Achse =\Delta_1\,f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_t\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_t\right)\right] . . 26). Ebenso das Moment der Achsgabelreibung der Kuppelachse für dieselben Achsen =\Delta_2\,f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_k\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_k\right)\right] . . 27). Ferner auf die X-Achse bezogen die Momentensumme aller vier in Frage kommenden Flächen \sqrt{c^2+{h_2}^2}\cdot f\cdot [K'\,\pm\,(T_t+T_k)+K''\,\pm\,(T_t+T_k)]; 28). ferner die Summe der Kräfte in lotrechter Richtung = f . [{K' ± (Tt + Tk)} + {K'' ± (Tt + Tk}] . 29). 2. Nehmen wir wagerechte Berührungsflächen an, dann erhalten wir an jeder Fläche die Reibung von der Grösse = Qd . f . . . 30). mithin ein Moment beider Flächen bezogen auf die Z-Achse = Δ . 2 . Qd . f . . 31). Ausserdem haben wir aber am Drehgestell noch eine wagerechte Feder, die bestrebt ist, bei eingetretener Abweichung aus der mittleren Lage das Drehgestell in seine Mittelstellung zurückzuführen. Diese kommt dann noch der Reibung zu Hilfe, sodass wir ein Gesamtmoment erhalten =\Delta_5\cdot (2\cdot Q_d\cdot f+k_{d_1}\,\Delta_5\cdot \zeta) . . 32). wenn k_{d_1} den Starrheitskoeffizienten dieser Feder bedeutet und wenn die Reibung zwischen den einzelnen Federlagen nicht berücksichtigt wird. 3. Die Reibung an den senkrechten Flächen des Drehgestells liefert, wenn man die Dicke des Führungssteines nicht beachtet, sowohl für die Y- wie Z- Achse das Moment = Δ5 . x . f . . 33). bei Drehungen um die X-Achse dagegen = h3 . x . f . . 34). in Richtung der Z- Achse ferner die Kraft = x . f . . 35). 4. Nehmen wir wagerechte Berührungsflächen an, dann erhalten wir bei Drehungen um die Z- Achse aus der Reibung auf den Stützflächen der Federstützen der Trieb- und Kuppelachse zusammen das Moment =2\cdot f\cdot (Q_t\cdot \sqrt{{\Delta_1}^2+\varepsilon^2}+Q_k\cdot \sqrt{{\Delta_2}^2+\varepsilon^2}) . . 36). 5. Weiter gibt die Reibung der Räder des Drehgestells bei Drehungen um die Z- Achse unter Voraussetzung gleicher Belastung das Moment = ∞ (Q + Q1) . f1 . Δ5 . 37). die Neigung gegen die Schiene beträgt zwar im allgemeinen 1/20 da jedoch das eine Rad sich um gerade soviel hebt, wie das andere sich senkt, so wird sich bei kleinen Drehungen der Gesamtschwerpunkt nicht heben, infolgedessen erhalten wir obige einfache Form. Ebenso liefern Trieb- und Kuppelachse zusammen das Moment =f_1\,(Q'_1\cdot \sqrt{{\Delta_1}^2+{\varepsilon_2}^2}+Q'_k\cdot \sqrt{{\Delta_2}^2+{\varepsilon_2}^2}) . 38). 6. Federreibung. Hierbei möge bezeichnen h die Stärke einer Federlage, o die Anzahl der Federlagen einer Feder, 2 . l' die ganze Länge der Feder, 2 . Pf die Belastung einer Feder fd die Durchbiegung der Feder unter der Last 2 . Pf, E den Elastizitätsmodul für Stahl in kg/qcm, J das Trägheitsmoment einer Federlage, bezogen auf eine wagerechte Schwerpunktsachse. Wir hatten nun zu Anfang die Kraft, welche nötig ist, eine Feder zusammenzupressen, der Zusammendrückung proportional angenommen; genauer noch können wir sie zerlegen in zwei einzelne Kräfte, von denen die eine die Feder durchbiegt, d.h. Formänderungsarbeit leistet, während die andere durch Reibung zwischen den einzelnen Federlagen verzehrt wird. Die erstere Arbeit erhalten wir beim Zurückbiegen vollständig wieder, die zweite dagegen bekommen wir nicht nur nicht zurück, sondern, wenn wir die Druckabnahme in derselben Weise vor sich gehend denken, wie die Druckzunahme, geht von der in der Feder aufgespeicherten Arbeit ein ebenso grosser Teil als Reibung noch einmal verloren, weil die einzelnen Teile beim Zurückbiegen doch denselben Weg zurücklegen müssen, wie beim Durchbiegen. Tritt nun die Bewegung der Lokomotive ein, dann können wir diese Reibung wiederum als wirkliche Kraft einführen, und zwar lotrecht nach oben drückend an der zusammenzupressenden Feder und nach unten ziehend an der sich ausdehnenden Feder. Diese Reibung erhalten wir nun folgendermassen: bei der Berechnung der Feder hatten wir angenommen, dass der Druck Pf (Fig. 5) sich in gleicher Grösse in den Punkten A, B, C u.s.w. übertragen würde, mithin erhalten wir in bezug auf die Mittellinie das Moment =\left(P_f\cdot \frac{l'}{0}\right)\cdot 0=P_f\cdot l' Textabbildung Bd. 318, S. 658 Fig. 5. Die Reibung gibt nun im Punkte A für die erste Federlage eine nach aussen gerichtete Kraft und für die zweite Federlage eine nach der. Mitte gerichtete; ebenso für die Punkte B, C u.s.w. Mithin erhalten wir, wenn wir je zwei an einer Lage wirkende Kräfte zu einem Moment zusammenfassen und wenn wir annehmen, dass auch an der obersten und untersten Federlage ein gleiches Moment vorhanden wäre, die Summe der Momente zu Pf . f2 . h . o Damit erhalten wir an der Feder ein Gesamtmoment von der Grösse \frakfamily{M}=P_f\cdot l'-P_f\cdot f_2\cdot \frakfamily{h}\cdot o Die Durchbiegung einer Feder bei einem Momente M beträgt nun allgemein f_d=\frac{\frakfamily{M}\cdot l'^2}{2\cdot E\cdot (J\cdot o)} dies gibt in unserm Fall f_d=\frac{P_f\cdot \{l'-f_2\cdot \frakfamily{h}\cdot o\}\cdot l'^2}{2\cdot E\cdot J\cdot o} und daraus erhalten wir P_f=\frac{2\cdot f_d\cdot E\cdot J\cdot o}{(l'\,\mp\,f_2\cdot \frakfamily{h}\cdot o)\,l'^2} . . 39). und zwar gilt das obere Vorzeichen beim Zusammendrücken und das untere positive beim Ausdehnen der Feder. Für fd = 1 m erhalten wir daraus den Starrheitskoeffizienten, und zwar sehen wir jetzt, dass derselbe, nicht wie früher angenommen, konstant ist, sondern sich nach der jeweiligen Bewegung richtet. Als letzter der für die Erzeugung von Reibung wichtigen Flächen ist noch der Berührungsflächen zwischen Tender und Maschine zu gedenken. Die gewöhnliche Kupplung zwischen Maschine und Tender besteht in einem in der Maschinenachse gelagerten Bolzen und seitlich von diesem haben wir durch eine im Tender liegende Feder gegen geneigte Flächen der Maschine angepresst zwei Bolzen (Fig. 6), die Reibung an den Berührungsflächen dieser Bolzen mit der Maschine soll nun berücksichtigt werden. Dreht die Maschine sich um die Z-Achse, dann wird die eine Seite der Feder stärker zusammen gepresst, infolgedessen dreht sie sich um ihre Mitte, sodass der Druck auf die beiden Flächen immer derselbe ist. Diese Flächen sind ferner nicht eben, sondern immer keilförmig, infolgedessen haben wir bei Drehungen um die X-Achse auch keine Berührung der keilförmigen Flächen aufeinander, sondern von Kanten und Ecken auf Flächen. Zur Vereinfachung nehmen wir nun ebene Flächen an. Textabbildung Bd. 318, S. 659 Fig. 6. Bezeichnet nun P den Druck für jede Fläche, z den wagerechten Abstand jeder Flächenmitte von der Maschinenmitte, h4 den senkrechten Abstand derselben vom Schwerpunkt des von den Federn getragenen Teiles der Maschine. x den Horizontalabstand von der Y-Z-Ebene, damit ist die zur Verfügung stehende Reibung für jede Fläche = P . f Mithin das Moment bei Drehungen um die X-Achse =2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \sqrt{{h_4}^2+\frakfamily{z}^2} . 40). und bei Drehungen um die Y- und Z- Achse =2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \frakfamily{x} . . . . .41). ferner die Summe der Kräfte in Richtung der Z- Achse =2\,\frakfamily{P}\frakfamily{}f . . . 42). Wenn der Tender noch im Gleichgewicht sein sollte, dürften diese Kräfte und Momente nicht grösser ausfallen,als die betreffenden Momente der Reibung an den Achsgabeln des Tenders auf dessen Schwerpunkt bezogen, bezw. als diese Reibung selbst. Werden sie nämlich grösser, dann wird der Tender gezwungen, die Bewegungen der Maschine mitzumachen, und in diesem Fall treten an Stelle der obigen drei Gleichungen die entsprechenden Momente bezw. Reibungswerte der Achsgabelreibung des Tenders. Diese Reibung an den Achsgabeln erhalten wir, wenn wir die zur Fortbewegung des Tenders erforderliche Kraft aus Gleichung 17). bei Anwendung derselben auf den Tender ausrechnen, wobei wir für die Werte des Drehgestells jetzt diejenigen des Tenders einsetzen; und zwar erhalten wir für einen voll beladenen dreiachsigen Tender von 36,9 t Gesamtgewicht und 1,105 t Radsatzgewicht, ferner von 0,16 Achsschenkelstärke und 0,49 Radhalbmesser, wenn wir die Reibung an der Mittelachse bei Drehungen um die Y- und Z-Achse vernachlässigen, die nötige Zugkraft zu \frac{1/2\cdot (36900-3\cdot 1105)\cdot 0,015\cdot 0,16+36900\cdot 0,0005}{0,49}=119 Damit sind die Höchstwerte \left{{2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\,\sqrt{{h_4}^2+\frakfamily{z}^2}}\atop{\leq\,119\cdot 0,1\cdot \sqrt{\left(\frac{1,956}{2}\right)^2+1,1^2}\,\leq\,\infty\,20}}\right\}\ .\ .\ 40a). 2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \frakfamily{x}\,\leq\,\frac{119}{6}\cdot 0,1\cdot 1,5\cdot 4\,\leq\,\infty\,12. .  41a). 2\cdot \frakfamily{P}\cdot . f\,\leq\,119\cdot 0,1\,\leq\,\infty\,12 . . 42a). Da nun der zur Erzielung dieser Höchstwerte erforderliche Druck, der beiläufig nur \frakfamily{P}=\frac{20}{2\cdot f\cdot \sqrt{{h_h}^2+\frakfamily{z}^2}}=106 mit den beim Wanken benutzten Zahlenwerten ergeben würde, bei weitem vorhanden ist, so muss der Tender mithin an den Bewegungen der Maschine teilnehmen. Ferner haben wir noch des Einflusses des Zuges im Kuppelbolzen bei eingetretenen Drehungen um die Y- und Z- Achse zu gedenken. Bei solchen sucht eine Komponente von W die Lokomotive stets in ihre ursprüngliche Lage zurückzudrehen. Die Grosse dieses Momentes ergibt sich beispielsweise bei Drehungen um die Y-Achse durch folgende Rechnung, bei der (s. Fig. 7) Textabbildung Bd. 318, S. 659 Fig. 7. ξ den Winkel der Verdrehung der Maschine bedeutet, ferner b den Abstand der Mitte des Kuppelbolzens an der Maschine von der Y- Achse, u die Länge des Kuppelbolzens, q die Lotrechte von der Schwerpunktsachse auf die Verlängerung des Kuppelbolzens. ς den Winkel von u mit der X-Achse. Unter der Voraussetzung, dass der Tender sich nicht drehen würde, ist dann b . sin ξ = u . sin ς oder annäherungsweise b . ξ = u . ς daraus folgt \varepsilon=\frac{b}{u}\cdot \xi Weiter ist q=b\cdot sin\,(\zeta+\xi)=\infty\,b\cdot \left\{\xi\cdot \frac{b+u}{u}\right\} damit hat das Moment, welches die Maschine zurückzudrehen bestrebt ist, die Grösse =W\cdot q=W\cdot b\cdot \left\{\xi\cdot \frac{b+u}{u}\right\} . . 43). Der letzte der die Bewegung hindernden Widerstände ergibt sich folgendermassen aus der Konstruktion der Lokomotive: dreht sich dieselbe beispielsweise um die X-Achse, dann nehmen die Räder an dieser Bewegung keinen Anteil, folglich auch nicht der Kurbelzapfen, und damit auch nicht das rotierende Ende der Schubstange. Die Gleitbahn aber, welche an dem Rahmen befestigt ist, muss sich mit drehen, folglich auch der Kreuzkopf und damit auch das andere Schubstangenende. Da nun die Schubstange in ihrer Länge vollkommen bestimmt ist, so müssen andere Teile nachgeben, und zwar wird der Kolben sich langsamer bezw. schneller bewegen,je nachdem, in welchem Quadranten sich der Kurbelzapfen befindet, und je nachdem, ob der Kreuzkopf gehoben oder gesenkt wird. Die bei dieser Beschleunigung oder Verzögerung des Kolbens und Gestänges auftretende Kraft vermehrt oder vermindert die Kolbenstangenkraft und ruft durch weitere Veränderung des Kreuzkopfdruckes stets ein die Maschine zurückzudrehen bestrebtes Moment hervor. Ebenso haben wir bei Drehungen um die Y- Achse und bei Bewegungen in der Z- Richtung eine in derselben Ursache begründete Kraft mit derselben Wirkung. Ihrer bei kleinen Drehungen geringen Wirkungen wegen soll jedoch, um die Rechnung nicht zu verwickelt zu gestalten, auf diese Vorgänge nicht näher eingegangen werden. (Fortsetzung folgt.)