Die Berechnung der Lasthaken und die sich daraus ergehenden Hakenformen bester Materialausnutzung. Von Dipl.-Ing. G. Griffel. Die Berechnung der Lasthaken und die sich daraus ergehenden Hakenformen bester Materialausnutzung. Die älteste mir bekannt gewordene Behandlung der Lasthaken findet sich in dem 1848 erschienenen Buche von Redtenbacher: „Resultate für den Maschinenbau“. Dort hat Redtenbacher aus der damals schon recht hoch entwickelten Mechanik für die Hakenberechnung eine Formel entnommen, die – wenngleich sie nach heutiger Auffassung sehr unvollkommen ist – doch anregend gewirkt hat. Ich werde auf diese Formel an geeigneter Stelle noch zurückkommen. Ein anderer Hinweis auf Kranhaken findet sich in einem Buche von Glynn vom Jahre 1854.Glynn:„A rudimentary treatise on the construction of cranes . . . .“ Dort ist gesagt: „Es gibt einen Kranteil, der einer bedeutenden Querkraft unterworfen ist, und der nur zu oft vom Ingenieur vernachlässigt und dem Schmied überlassen wird; durch den Bruch des Kranhakens sind mehr Menschenleben verloren gegangen und mehr Güter beschädigt worden als durch den irgend eines anderen Teiles der Maschine.“ Aus dem, was Glynn sonst noch über Haken sagt, geht hervor, dass er in bezug auf die Lage des am meisten beanspruchten Querschnittes- noch nicht das richtige erkannt hat; ein Vorschlag zur Hakenberechnung findet sich nicht. Im Jahre 1861 hat auch Reuleaux in seinem Buche „Der Konstrukteur“ auf die Wichtigkeit der Hakenberechnung aufmerksam gemacht, indem er schreibt: „Die Haken verdienen eine besondere Beachtung, weil sie, um haltbar zu sein, grössere Abmessungen erhalten müssen als man auf den ersten Blick zu glauben geneigt ist.“ Daselbst ist auch für die Berechnung von Lasthaken eine Formel angegeben, die dem Sinne nach dieselbe ist wie die von Redtenbacher. Seitdem sind die Haken in der Literatur mehrfach behandelt worden und verschiedene Wege zu ihrer Berechnungangegeben. Diese sollen im folgenden betrachtet und stellenweise weiter ausgebaut werden; schliesslich sollen die Ergebnisse auf ihre praktische Brauchbarkeit durch Vergleichung derselben mit dem vorhandenen Versuchsmaterial geprüft werden. Textabbildung Bd. 319, S. 129 Fig. 1. Die bei einem Haken in irgend einem Querschnitt zwischen Schaft und Angriffspunkt der Last zu übertragende Kraft setzt sich zusammen aus einem Biegungsmoment, einer Normalkraft und einer Schubkraft. Die Gesamtwirkung dieser drei Arten von Kräften erreicht ihren Grösstwert im Querschnitt B C (Fig. 1), was durch die Tatsache erwiesen sein mag, dass ein halbkreisförmiger Stab überall gleichen Querschnittes und gleichen Gefüges, an dessen Enden zwei radiale Kräfte in entgegengesetzter Richtung angreifen, stets in der Mitte zwischen den Angriffspunkten der Kräfte zerbricht. Man pflegt demgemäss bei Haken neben dem Schaftdurchmesser nur diesen am meisten gefährdeten Querschnitt zu berechnen; hier ist die Schubbeanspruchung gleich Null, und dadurch wird die Rechnung ganz erheblich vereinfacht. Im weiteren sollen nun folgende Bezeichnungen eingeführt werden: f die Grösse des Querschnittes B C. J das Trägheitsmoment desselben in bezug auf die Schwerpunktsachse O O. Mb das im Querschnitt B C auftretende Biegungsmoment. σz die grösste im Querschnitt B C auftretende Zugspannung, also die bei B σd die grösste im Querschnitt B C auftretende Druckspannung, also die bei C. Ausserdem gelten die in Fig. 1 angegebenen Bezeichnungen. Die zugrunde gelegte Längeneinheit ist das Zentimeter, die Krafteinheit das Kilogramm. Bei der Berechnung des eben erwähnten Hakenquerschnittes berücksichtigt nun die eingangs erwähnte Formel von Redtenbacher nur das Biegungsmoment. Diese Formel ist heute nicht mehr gebräuchlich, sie ist im Jahre 1862 von Redtenbacher selbst durch eine andere ersetzt worden, welche auch die Normalkraft in Rechnung zieht, im übrigen aber den Haken so berechnet wie einen geraden, exzentrisch durch eine Zugkraft beanspruchten Stab;Vgl. Redtenbacher: „Der Maschinenbau“. 1862, S. 51. Der Ansatz zu der hier gegebenen Formel berücksichtigt auch die Krümmung des Hakens; bei der Weiterentwicklung wird dann aber \frac{h}{r} (Fig. 1) als eine sehr kleine Grösse vernachlässigt, womit die Schlussformel nur für den geraden Stab zutrifft. sie ist etwa bis zum Jahre 1890 allgemein benutzt worden und ist auch heute noch viel in Anwendung.Sie wird von Prof. Föppl als richtig angegeben in seinen „Vorlesungen über Techn. Mechanik.“ 2. Aufl. 1900. Bd. III, S. 214 u. f. Textabbildung Bd. 319, S. 130 Fig. 2. Nach dieser Formel sind die durch das Biegungsmoment (Mb) bedingten Spannungen in den einzelnen Schichten proportional ihrem Abstande von der Schwerpunktsachse OO. Untersucht man danach einen Querschnitt der in bezug auf die Schwerpunktsachse OO symmetrisch ist, so findet man, dass hier notwendigerweise die gesamte sich ergebende Zugbeanspruchung (σz) grösser ist wie die Druckbeanspruchung (σd) denn das Biegungsmoment allein gibt schon gleiche Zug- und Druckbeanspruchung =\frac{M_b\,e}{J}, während die ausserdem vorhandeneZugbeanspruchung =\frac{Q}{f} sich innen zur Zugbeanspruchung addiert, aussen von der Druckbeanspruchung subtrahiert. Fig. 2 stellt dies zeichnerisch dar. Solche symmetrischen Haken-Querschnitte – kreisförmiger, elliptischer und rechteckiger – waren bis vor etwa 30 Jahren ganz allgemein gebräuchlich. Im Jahre 1873 wurde von H. ZimmermannVgl. „Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure“. 1873 S. 129. zuerst die Forderung gleicher grösster Zug- und Druckbeanspruchung aufgestellt zur Erreichung bester Materialausnutzung, und diese führte ihn auf einen Trapezquerschnitt, welcher in bezug auf die in Frage kommende Schwerpunktsachse unsymmetrisch liegt. Die Gleichsetzung von Zug- und Druckbeanspruchung gibt mit den Bezeichnungen der Fig. 1: \sigma_z=\sigma_d=\frac{M_b\,e_2}{J}+\frac{Q}{f}=\frac{M_b\,e_1}{J}-\frac{Q}{f} . . . 1) oder: \frac{2\,Q}{f}=\frac{M_b}{f}\,(e_1-e_2) . . . . (2) Es gilt ausserdem die Gleichung: Mb = Q (a + e2) Damit wird Gleichung (1): \frac{\sigma_z}{Q}=\frac{(a+e_2)}{J}+\frac{1}{f} . . . . . (1a) und Gleichung (2): \frac{2}{f}=\frac{(a+e_2)\,(e_1-e_2)}{J} . . . . . (2a) Für die Trapezform gelten die Beziehungen: f=\frac{b_2+b_1}{2}\,\cdot\,h e_1=\frac{2\,b_2+b_1}{3\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h e_2=\frac{2\,b_1+b_2}{3\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h . . . (3) J=\frac{{b_1}^2+4\,b_1\,b_2+{b_2}^2}{36\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h^3 Setzt man diese Werte in die Gleichung (2a) ein. so erhält man als Resultat die Gleichung:Die Ausführung der Rechnung geschieht wie folgt: Aus Gleichung (2a) ergibt sich:2 J=(a + e2) (e1 – e2) f oder:\frac{{b_1}^2+4\,b_1\,b_2+{b_2}^2}{18\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h^3=\left[a+\frac{2\,b_1+b_2}{3\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h\right]\,\cdot\frac{h\,(b_2-b_1)}{3\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,\frac{(b_2+b_1)}{2}\,\cdot\,h;(b12 + 4 b1b2 + b22) h = [3 a (b2 + b1) + (2 b1 + b2) h] [b2 – b1];3 a (b2 + b1) (b2 – b1) = h [b12 + 4 b1b2 + b22 – (2 b1 + b2) (b2 – b1)];= h [3 b12 + 3 b1b2]\frac{h}{a}=\frac{(b_2+b_1)\,(b_2-b_1)}{b_1\,(b_1+b_2)}=\frac{b_2}{b_1}-1 oder \frac{b_2}{b_1}=1+\frac{h}{a} \frac{b_2}{b_1}=1+\frac{h}{a}. . . . . . . . (4) Setzt man darin \frac{a}{h}=m so wird: \frac{b_2}{b_1}=1+\frac{1}{m} . . . . . . . . (4a) Die Gleichung (3) in (1a) eingesetzt, ergibt mit Hilfe der Gleichung (4a) als ResultatDie Ausführung der Rechnung ist folgende: Durch Einsetzen von (4a) nehmen die Werte der Gleichungen (3) folgende Form an:e_2=\frac{2\,(b_1+b_2)}{3\,(b_2+b_1)}\,\cdot\,h=\frac{\left(2+\frac{b_2}{b_1}\right)\,\cdot\,h}{3\,\left(1+\frac{b_2}{b_1}\right)}=\frac{h\,\left(3+\frac{1}{m}\right)}{3\,\left(2+\frac{1}{m}\right)}=\frac{h\,(3\,m+1)}{3\,(2\,m+1)}a+e_2=a+\frac{h\,(3\,m+1)}{3\,(2\,m+1)}=a+\frac{a\,(3\,m+1)}{3\,m\,(2\,m+1)}=\frac{a\,(6\,m^2+6\,m+1)}{3\,m\,(2\,m+1)}J=\frac{{b_1}^2+4\,{b_1}^2\,\left(1+\frac{1}{m}\right)+{b_1}^2\,\left(1+\frac{2}{m}+\frac{1}{m^2}\right)}{36\,b_1\,\left(2+\frac{1}{m}\right)}\,\cdot\,h^3=\frac{{b_1}^2\,\left(6+\frac{6}{m}+\frac{1}{m^2}\right)}{36\,b_1\,\left(2+\frac{1}{m}\right)}\,\cdot\,h^3=\frac{b_1\,(6\,m^2+6\,m+1)}{36\,m\,(2\,m+1)}\,\cdot\,h^3f=\frac{b_2+b_1}{2}\,\cdot\,h=\frac{h\,b_1\,(2\,m+1)}{2\,m}Diese Werte eingesetzt in (1a) gibt:\frac{\sigma_z}{Q}=\frac{a\,(6\,m^2+6\,m+1)\,h\,(3\,m+1)\,\cdot\,36\,m\,(2\,m+1)}{3\,m\,(2\,m+1)\,\cdot\,3\,(2\,m+1)\,b_1\,(6\,m^2+6\,m+1)\,h^3}+\frac{1}{f}=\frac{4\,m\,(3\,m+1)}{b_1\,h\,(2\,m+1)}+\frac{2\,m}{h\,b_1\,(2\,m+1)}=\frac{12\,m^2+6\,m}{b_1\,h\,(2\,m+1)}\frac{\sigma_2}{Q}=\frac{6\,m}{b_1\,h}; oder b_1\,h=6\,m\,\frac{Q}{\sigma_z} die Beziehung: b_1\,h=6\,m\,\frac{Q}{\sigma_z} . . . . . . . . (5) daraus erhält man mit Hilfe von (4a): b_2\,h=6\,(1+m)\,\frac{Q}{\sigma_z}. . . . . . (5a) Die halbe Summe dieser beiden Gleichungen gibt den Hakenquerschnitt: f=\frac{b_2+b_1}{2}\,\cdot\,h=3\,(1+2\,m)\,\frac{Q}{\sigma_z}. . . . (6) Nun ist unter Zugrundelegung der Guildinschen Regel das Volumen eines Hakens abhängig von dem Werte f . r.Das Hakenvolumen (V) lässt sich darstellen durch die Gleichung:V = c (f r) a + CDarin stellt das erste Glied den Beitrag des Bogenstückes dar, auf das sich die gewählte Form des gefährlichen Querschnittes erstreckt. Der Winkel a ist in der Regel etwa gleich π, und c eine Constante, welche die Veränderlichkeit von f und r mit a berücksichtigt. Das zweite Glied stellt den Beitrag des Schaftes und der Hakenspitze dar, die man stets rund ausführt, es ist also für einen vorliegenden Wert von Q konstant. Es ändert sich demnach V proportional dem Werte f . r. Aus Gleichung (6) folgt durch Multiplikation mit r = a + e2: f\,r=3\,(1+2\,m)\,\frac{Q}{\sigma_z}\,\cdot\,\frac{a\,(6\,m^2+6\,m+1)}{3\,m\,(2\,m+1)} Der hier für a + e2 eingesetzte Wert ist in Anmerkung 6 entwickelt. oder: f\,r=\frac{Q\,a}{\sigma_z}\,\left(6\,m+6+\frac{1}{m}\right) . . . (7) In dieser Gleichung ist der Ausdruck \frac{Q\,a}{\sigma_z} für einen zu entwerfenden Haken gegeben, daher als konstant zu betrachten; es ist somit durch Gleichung (7) f r als Funktion von m dargestellt. Soll nun der Haken bei genügender Festigkeit möglichst wenig Material enthalten – und das wird durch die Berechnung angestrebt, so ist derjenige Wert m zu wählen, für den f r und damit das Hakenvolumen ein Minimum wird. Dieser Wert m ergibt sich aus Gleichung (7) mit Hilfe der Beziehung: \frac{d\,(f\,r)}{d\,m}=\frac{Q\,a}{\sigma_z}\,\left(6-\frac{1}{m^2}\right)=\mbox{Null} also: 6-\frac{1}{m^2}=\mbox{Null} oder: \frac{1}{m}=\frac{h}{a}=\sqrt{6}=2,45. . . . .(8) Unter der Voraussetzung also, dass die für diesen Rechnungsgang angenommene Spannungsverteilung nach Fig. 2 richtig ist, gibt das Verhältnis \frac{h}{a}=2,45 die günstigste Querschnittsform. Setzt man diesen Wert von \frac{h}{a} in die Gleichungen (5) und (5a) ein so wird: b_1=\frac{Q}{\sigma_z\,\cdot\,a}. . . . . . . . . . (9) b_2=\left(1+\frac{1}{m}\right)\,b_1=(1+2,45)\,b_1=3,45\,b_1 also: b_2=3,45\,\frac{Q}{\sigma_z\,\cdot\,a}. . . . . . (10) Sollte aus irgend welchen Gründen von dem Verhältnis \frac{h}{a}=2,45 abgewichen werden, so gelten die allgemeineren Gleichungen: b_1=\frac{6\,m^2\,Q}{\sigma_z\,\cdot\,a}. . . . . . .(9a) b_2=\frac{6\,(m^2+m)\,Q}{\sigma_z\,\cdot\,a} . . . . . . .(10a) Beispielsweise ist das Verhältnis \frac{h}{a}=2;\ \left(m=\frac{1}{2}\right) bisher viel gebräuchlich. Dafür wird: b_1=\frac{3}{2}\,\frac{Q}{\sigma_z\,\cdot\,a};\ b_2=\frac{9}{2}\,\frac{Q}{\sigma_z\,\cdot\,a} also: b2 = 3 b1 und: \sigma_2=\sigma_d=\pm\,3\,\frac{Q}{b_1\,h} Die Grösse von a wählt Professor Klein so, dass ein Hanfseil ohne Ende zweimal eingehangen werden kann. Dieses Seil trägt die Last (Q) in vier Querschnitten; seinen Durchmesser (ds) gibt, wenn man für Hanf eine Beanspruchung von 100 kg/qcm wählt die Gleichung: \frac{{d_s}^2\,\pi}{4}=\frac{\frac{Q}{4}}{100};\ d_s=0,056\,\sqrt{Q} Soll dieses Seil zweimal nebeneinander in der Hakenöffnung Platz finden, so muss sein: a\,>\,d_s\,>\,0,056\,\sqrt{Q} Bei Redtenbacher finden sich für a folgende Werte, die auch Ernst empfiehlt:Vgl. Redtenbacher: „Der Maschinenbau“ 1862. Bd. I. S. 136–138. Ernst; „Die Hebezeuge“ 1903. Bd. I. S. 42. A) Für Kettenhaken: a = dk bis 1,5 dk wobei dk die Eisenstärke der Kette von der Tragfähigkeit Q bedeutet. Setzt man die Beanspruchung der Kette σk = 500 kg/qcm so ist: \frac{{d_k}^2\,\pi}{4}=\frac{\frac{Q}{2}}{500}; oder d_k=0,036\,\sqrt{Q} danach wird also: a=0,036\,\sqrt{Q} bis 0,054\,\sqrt{Q} B) Für Seilhaken: a = 0,75 ds bis ds worin ds den Durchmesser eines Hanfseiles von der Tragfähigkeit Q bedeutet. Wählt man die Beanspruchung des Hanfes 100 kg/qcm so ist: \frac{{d_s}^2\,\pi}{4}=\frac{Q}{100}; oder d_s=0,113\,\sqrt{Q} Danach wird also: a=0,085\,\sqrt{Q} bis 0,113\,\sqrt{Q}. Die mangelhafte Uebereinstimmung dieser Werte hat mich veranlasst, über die praktisch gebräuchliche Grösse von a noch Erkundigungen von einigen namhaften Firmen einzuziehen. Einen Mittelwert aus den normalen Ausführungen der Firma Ludwig Stuckenholz in Wetter a. d. Ruhr und der Beurather Maschinenfabrik A. G. stellt der Wert: a=0,06\,\sqrt{Q} dar. Diesen empfehle ich zur Ausführung und werde ihn daher dem weiteren zu Grunde legen, werde aber die Hauptformeln und -tabellen auch für den Fall a=0,05\,\sqrt{Q} aufstellen, so dass man für Zwischenwerte von a die Querschnittsabmessungen näherungsweise durch Interpolieren bestimmen kann. Die grösste auftretende Spannung pflegt man, unter der Voraussetzung, dass der gekrümmte Stab sich ebenso verhält wie ein gerader, bei bestem Material = 800kg/qcm zu wählen. Führt man diese Beanspruchung ein, so erhält man für die Werte a=0,05\,\sqrt{Q} und 0,06\,\sqrt{Q} und für die Verhältnisse \frac{h}{a}=2 und 2,45 die Hakenabmessungen aus folgender Tabelle: a  = 0,05\,\sqrt{Q} 0,06\,\sqrt{Q} \frac{h}{a}= 2 2,45 2 2,45 h  = 0,10 \sqrt{Q} 0,123 \sqrt{Q} 0,12 \sqrt{Q} 0,147 \sqrt{Q} b1 = 0,038 \sqrt{Q} 0,025 \sqrt{Q} 0,031 \sqrt{Q} 0,021 \sqrt{Q} b2 = 0,113 \sqrt{Q} 0,068 \sqrt{Q} 0,094 \sqrt{Q} 0,072 \sqrt{Q} Die fett gedruckten Werte führen zur besten Ausnutzung des Materials. Nimmt man die Beanspruchung im Kerndurchmesser (dk) der Schaftschraube, in Rücksicht auf möglicherweise hinzutretende Biegungs- und Hebungsbeansprung zu 600 kg/qcm an, so wird: \frac{{d_k}^2\,\pi}{4}=\frac{Q}{600} oder d_k=0,046\,\sqrt{Q} Danach lassen sich die Abmessungen des Trapezquerschnittes unmittelbar auf den Kerndurchmesser der Schaftschraube beziehen; man erhält die folgende Tabelle: a  = 1,09 dk 1,30 dk \frac{h}{a}= 2 2,45 2 2,45 h  = 2,18 dk 2,66 dk 2,61 dk 3,20 d k b1 = 0,82 dk 0,54 dk 0,68 dk 0,45 dk b2 = 2,45 dk 1,87 dk 2,04 dk 1,56 dk In der Ausführung wird der so bestimmte Trapezquerschnitt abgerundet etwa nach Fig. 3. Textabbildung Bd. 319, S. 132 Fig. 3. Gegenwärtig bekennt man sich nun meistens zu der Ansicht, dass die für diese Rechnungsart grundlegende Annahme nicht zulässig ist, sondern dass bei Haken eine andere Spannungsverteilung eintritt, die sich auf Grund der Annahme, dass die Querschnitte bei der Beanspruchung eben bleiben, streng gesetzmässig entwickeln lässt. Bei einem gekrümmten Stabe ist die Länge der Fasern innen kleiner wie aussen; unter der Voraussetzung, dass die Querschnitte eben bleiben ist deshalb die verhältnismässige Dehnung bezw. Verkürzung derselben infolge des Biegungsmomentes innen grösser wie aussen. Textabbildung Bd. 319, S. 132 Fig. 4. Daraus folgt, dass die Spannung von der spannungslosen Schicht aus nach innen schneller wächst wie nach aussen, etwa so wie die in Fig. 4 eingezeichnete Kurve darstellt. Die Formel für die Spannung im Abstande η von der Schwerpunktsachse ist zuerst von Grashof entwickelt worden;Vgl. Grashof: „Festigkeitslehre“ 1866, S. 129 oder Bach: „Elastizität und Festigkeit“. 4. Aufl. 1902 S. 468. Eine elementare Entwicklung dieser Formel gibt Tolle in der „Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure“ 1903. S. 884. sie lautet: \sigma=\frac{Q}{f}+\frac{M\,b}{f\,r}+\frac{M\,b}{\kappa\,f\,\cdot\,r}\,\cdot\,\frac{\eta}{r+\eta}. . . . . . (11 darin ist: r der Krümmungshalbmesser der Mittellinie im Punkte O (Fig. 4) \kappa=-\frac{1}{f}\,\int\,\frac{\eta}{r+\eta}\,d\,f ferner ist: Mb positiv, wenn es eine Verstärkung der Krümmung bewirkt, negativ, wenn das Entgegengesetzte der Fall ist. η positiv, wenn es von der Schwerpunktsachse aus gemessen vom Krümmungsmittelpunkt weg liegt, negativ, wenn es nach demselben hin liegt. Die übrigen Bezeichnungen sind dieselben wie bisher. Man muss nach dem am Schluss dieser Arbeit betrachteten Versuchsmaterial zu der Ansicht kommen, dassdie Hakenberechnung nach der Grashofschen Formel richtigere Werte ergibt, wie die erste Rechnungsart, sie soll deswegen im folgenden eingehender behandelt werden. (Fortsetzung folgt.)