Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. Von Dipl.-Ing. Adolf Schmoll von Eisenwerth, Darmstadt. Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. Einleitung. Die vorliegende Arbeit ist angeregt worden durch den Aufsatz von A. Pfarr: „Der Reguliervorgang bei Turbinen mit indirekt wirkendem Regulator“ (Z. d. V. d. J. 1899). Dort wurde der Reguliervorgang unter Voraussetzung konstanter Schlusszeit entwickelt. Es wurde darauf hingewiesen, dass diese Voraussetzung nicht streng zutrifft, dass vielmehr bei mechanischen Regulatoren eine Abhängigkeit zwischen Schlusszeit und Winkelgeschwindigkeit der Turbine besteht, die aber bei den verhältnismässig kleinen Schwankungen der Winkelgeschwindigkeit vernachlässigt werden darf. Es soll nun hier untersucht werden, inwiefern Abweichungen von der Voraussetzung konstanter Schlusszeit bei hydraulischen Regulatoren sich geltend machen können. Die Untersuchung wird sich auf die hydraulischen Regulatoren im engeren Sinne (hydrostatische Regulatoren) erstrecken, es werden also die sog. Durchflussregulatoren nicht in den Rahmen dieser Betrachtung gezogen. Ist die Schlusszeit nicht konstant, so wird die zeitliche Aenderung der Turbinenfüllung innerhalb eines Regulierabschnittes („Oeffnen“ oder „Schliessen“) nicht mehr durch eine Gerade, sondern durch eine Kurve, die „Füllungskurve“, veranschaulicht. Wenn diese ermittelt ist, so kann daraus bei gegebenen Schwungmassen und Arbeitsgrössen der Turbine die Aenderung der Umdrehungszahlen während dieses Regulierabschnittes abgeleitet werden. Ebenso ist für eine vorgeschriebene maximale Aenderung der Umdrehungszahlen die Berechnung der erforderlichen Schwungmassen aus der Füllungskurve möglich. Zweckmässig machen wir dabei von der genügend genauen Voraussetzung Gebrauch, dass die Turbinendrehmomente den Füllungen proportional verlaufen und bei den verhältnismässig geringen Schwankungen der Winkelgeschwindigkeit von dieser unabhängig sind. (Vergl. den oben erwähnten Aufsatz von Pfarr.) Dann kann die Füllungskurve unmittelbar als Darstellung des zeitlichen Verlaufes der Turbinendrehmomente benützt werden. Die Belastungsänderung vollziehe sich plötzlich und das widerstehende Moment der Arbeitsmaschinen und dergl. bleibe vom Augenblick der erfolgten Belastungsänderung an unveränderlich. Die graphische Darstellung des widerstehenden Momentes ist dann eine Parallele zur Zeitachse. Die beschleunigenden bezw. verzögernden Momente M werden durch die Unterschiede zwischen der Geraden des widerstehenden Momentes undder Füllungs- bezw. Momenten-Kurve dargestellt. (s. Fig. 1.) Aus der bekannten Beziehung zwischen Winkelbeschleunigung ω, Moment M und Trägheitsmoment der Schwungmassen J, \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M}{J};\ \omega=\frac{1}{J}\,\int\,M\,\cdot\,dt, folgt, dass der zeitliche Verlauf der Winkelgeschwindigkeiten ω (oder auch der diesen proportionalen Umdrehungszahlen n) der Turbine durch die Integralkurve der zeitlich dargestellten Momente M gegeben ist. Durch graphische oder mechanische Integration der Füllungsdifferenzen ist es daher auch bei verwickelter Form der Beziehung zwischen Füllung und Zeit stets möglich, die Kurve der Umdrehungszahlen und insbesondere deren Höchstwerte aus der Füllungskurve abzuleiten. Textabbildung Bd. 319, S. 257 Fig. 1. Die Füllungskurven nun ergeben sich aus den Kolbenwegdiagrammen des Servomotors, sobald der Zusammenhang zwischen den Kolbenstellungen und den Turbinenfüllungen bekannt ist. Wir setzen vorläufig voraus, dass 1. die Turbinenfüllungen den Kolbenwegen des Servomotors proportional sind, 2. die Steuerbewegung so rasch erfolgt, dass die Steuerquerschnitte des Servomotors praktisch als plötzlich voll eröffnet angesehen werden können. Dann können noch folgende Umstände eine veränderliche Geschwindigkeit der Füllungsänderung bedingen: I. Die zu bewegenden Massen des Reguliergetriebes und namentlich auch die Druckflüssigkeit des Servomotors selbst müssen bei jedem Kolbenhub beschleunigt werden. Bleiben die Verstellwiderstände des Leitapparates während des Kolbenhubes unveränderlich, so wird die Kolbenbewegung offenbar nur allmählich in eine gleichförmige übergehen können. Daher ist streng genommen eine gleichförmige Füllungsänderung nur bei unendlich kleinen Massen möglich. Je grösser diese Massen im Verhältnis zu den beschleunigenden Kräften sind, um so grösser wird die Abweichung der richtigen Füllungskurve von der „ideellen“ Füllungslinie (für massenlos gedachten Servomotor) sein. In vielen Fällen wird freilich die Annäherung der Kolbengeschwindigkeit des Servomotors an den Beharrungszustand rasch genug erfolgen, dass von einem gewissen Punkte ab die Füllungskurve näherungsweise als geradlinig angesehen werden darf. Diese annähernd gerade Füllungslinie liegt aber zeitlich verschoben gegen den Bewegungsanfang, während die „ideelle“ Füllungslinie im Anfangspunkt der Bewegung beginnt. An sich scheint diese Verschleppung der Füllungsänderung geringfügig, da es sich meist nur um Bruchteile von Sekunden handelt. Trotzdem kann hierdurch der Reguliervorgang wesentlich ungünstiger ausfallen, als nach der „ideellen“ Füllungsänderung zu erwarten wäre. Namentlich würde man die Wirkung einer kurzen (ideellen) Schlusszeit sehr überschätzen, wenn man den Einfluss etwa vorhandener grösserer Massen des Servomotors auf den Bewegungsvorgang ausser acht liesse. Bei nicht zu kleinen Belastungsänderungen erhält man meist genügend genaue Werte für die grössten Schwankungen der Umdrehungszahlen, wenn man den Berechnungen die Asymptote der Füllungskurve statt dieser selbst zugrunde legt. Die zeitliche Verschiebung der Asymptote gegen den Anfangspunkt der Bewegung des Servomotors hat bei diesem Verfahren etwa die Bedeutung einer „Spielraumzeit“ (s. d. oben genannten Aufsatz von A. Pfarr). Zu ihrer Ermittlung ist die Kenntnis des tatsächlichen Bewegungsvorganges erforderlich, wenn man sich nicht auf ganz unsichere Schätzung einlassen will. II. Ausser diesem Beschleunigungsvorgange treten beträchtliche Aenderungen der Treibkolbengeschwindigkeiten dann auf, wenn der Verstellungswiderstand des Leitapparates sich je nach der eingestellten Füllung ändert, wie dies z.B. bei Finkschen Drehschaufeln meist der Fall ist. Die hierdurch bedingte Aenderung in der Kolbengeschwindigkeit wird sich namentlich bei grösseren Belastungsänderungen bemerklich machen, da hierbei ausgedehntere Füllungsbereiche mit grösseren Verschiedenheiten der Verstellungswiderstände durchlaufen werden. Bei grösseren Belastungsänderungen und bei stark veränderlichem Verstellungswiderstande wird man daher, auch abgesehen von dem unter I) besprochenen Beschleunigungsvorgang, keine gerade Füllungslinie voraussetzen dürfen. Bei kleineren Füllungsänderungen und geringer Massenwirkung wird man zwar die Schlusszeit für die betreffende Aenderung als konstant ansehen dürfen, aber ihre Grösse nach der in Betracht kommenden mittleren Füllung bezw. Verstellkraft berechnen. In den Erörterungen unter I. und II. war zunächst angenommen, dass die Turbinenfüllungen den Kolbenwegen des Servomotors proportional sind. In vielen Fällen, auch bei zweckmässigen Reguliervorrichtungen, z.B. häufig bei Finkschen Drehschaufeln, ändert sich aber das Verhältnis zwischen Füllungsänderung und Kolbenweg beträchtlich. In solchen Fällen sind dieFüllungskurven unter Berücksichtigung des Zusammenhanges zwischen Füllung und Kolbenstellung aus den Kolbenwegdiagrammen abzuleiten. Auch wenn das Kolbenwegdiagramm als eine gerade Linie aufgefasst werden darf (bei kleinen Massen des Servomotors usw. und bei konstantem Verstellungswiderstande) wird man bei stark sich änderndem Verhältnis zwischen Füllungsänderung und Kolbenweg keine geraden Füllungslinien den Berechnungen der Umdrehungszahlen für grössere Füllungsänderungen zugrunde legen dürfen. – Es besteht dann im allgemeinen auch nicht mehr Uebereinstimmung im Verlauf der sog. Tachometerbahn und der Füllungskurve. Die gezwungene Bewegung der Tachometerhülse wird nämlich gewöhnlich unmittelbar von der Kolbenbewegung abgeleitet, derart, dass Proportionalität zwischen Kolbenweg und Hülsenweg besteht. Sind nun die Füllungen den Kolbenwegen nicht proportional, so auch nicht die Tachometerhülsenwege den Füllungen. (Dieselbe Erscheinung tritt natürlich auch bei mechanischen Regulatoren ein, wenn die Hülsenbewegung in proportionale Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit der Turbine gebracht ist, dagegen keine Proportionalität zwischen Winkelgeschwindigkeit und Füllung bestellt.) Während die Füllungskurve für die Ermittlung des zeitlichen Verlaufes der Umdrehungszahlen innerhalb eines Regulierabschnittes maassgebend ist, lässt sich mit Hilfe der Tachometerbahn der Eintritt eines neuen Abschnittes (Augenblick der Umsteuerung usw.) bestimmen. Es war ferner unter 2., Seite 257 unten, die Voraussetzung gemacht, dass die Steuerbewegung plötzlich erfolge. Dies trifft für die normalen Steuerungen genau genug zu, wenn grössere Belastungsänderungen in Frage stehen und wenn die Schwungmassen an der Turbinenwelle usw. nicht zu gross sind. Bei verhältnismässig langsamer Steuerbewegung beeinflusst auch der zeitliche Verlauf der Querschnittsänderung der Steuerkanäle die Bewegung des Servomotorkolbens. Die Untersuchung dieses Falles lässt sich annäherungsweise auf den Fall plötzlicher Eröffnung zurückführen, indem man die stetige Querschnittsänderung durch stufenweise plötzliche Aenderungen ersetzt. In jedem Falle ist die Form des Kolbenwegdiagrammes für den Verlauf des Reguliervorganges von Bedeutung. Wir stellen uns daher zunächst allgemein die Aufgabe, die Beziehung zwischen den vom Kolben des Servomotors zurückgelegten Wegen und den dazu erforderlichen Zeiten zu ermitteln. Zu diesem Zwecke werden wir die dynamische Gleichgewichtsbedingung für die bei der Kolbenbewegung wirkenden Kräfte aufstellen. Aus dieser Bedingung wird sich infolge des Zusammenhanges der Kräfte mit den Grössen: Kolben-Weg, -Geschwindigkeit und -Beschleunigung die gesuchte Beziehung zwischen Weg und Zeit ergeben. Während die dynamische Gleichgewichtsbedingung gleich den allgemeineren Fall der veränderlichen Verstellkräfte umfassen mag, erscheint es zweckmässig, bei der Auflösung der Bewegungsgleichung zuerst den einfacheren Fall (unveränderliche Verstellkräfte während eines Kolbenhubes) zu behandeln. An die Lösung soll eine Erörterung der Verhältnisse geknüpft werden, die das Auftreten von nachteiliger Massenwirkung bei der Kolbenbewegung bedingen bezw. verhindern. Das Verfahren zur Ermittlung der Füllungskurve mit Berücksichtigung der Massenwirkung wird an einem Zahlenbeispiel erläutert werden, ebenso die Verwendung des Resultates und seiner zweckmässigen Vereinfachung zur weiteren Untersuchung des Reguliervorganges. In ähnlicher Weise wird dann der Fall der veränderlichen Verstellkraft behandelt. 1. Teil. Aufstellung der dynamischen Gleichgewichtsbedingung für die Bewegung des Servomotorkolbens. Wir können irgend einen beliebigen Punkt des bewegten Systems (bestehend aus Betriebsflüssigkeit und Reguliergetriebe) der Betrachtung unterwerfen; die in diesem Punkte im Sinne der Bewegung wirkenden Kräfte müssen den der Bewegung entgegenwirkenden Kräften das Gleichgewicht halten. Der Anschaulichkeit wegen betrachten wir einen Punkt unmittelbar vor der Stelle, an welcher die eigentliche Druckleitung für den Servomotor beginnt. Falls natürliches Gefälle als Betriebskraft vorausgesetzt ist, soll damit die Anschlusstelle der Druckleitung an die Wasserführung zur Turbine (Obergraben, Zuleitungsrohr) gemeint sein, falls künstlich erzeugtes Gefälle in Betracht kommt, soll die Anschlusstelle der Druckleitung an den Windkessel der Pumpe gemeint sein. 1. Unmittelbar vor der Anschlusstelle stehe ein Druck po in kg/qcm (Ueberdruck über die Atmosphäre) zur Ueberwindung der Bewegungswiderstände zur Verfügung. 2. Bei etwa vorhandenem Gefälle h (in Metern) zwischen Anschlusstelle und Ausmündung der Leitung wirkt in gleichem Sinne wie po noch der Druck p_h=\frac{\gamma\,\cdot\,h}{10000} (γ = spez. Gewicht der Flüssigkeit in kg/cbm). Dies gilt für doppeltwirkenden Treibkolben. Für einfach wirkenden ist h das Gefälle zwischen Anschlussstelle und Kolbenflächenmitte. Dem Drucke po + ph entgegen wirken folgende Drucke: 3. pk herrührend vom Verstellungswiderstande des Regulierapparates; 4. pw herrührend vom Durchflusswiderstande der ganzen Flüssigkeitsführung von der Anschlussstelle an; 5. pp herrührend von der Stopfbüchsen- und Kolbenreibung am Arbeitszylinder des Servomotors; 6. pmf herrührend von den Massenwiderständen der Flüssigkeit; 7. pmg herrührend von den Massen widerständen der Getriebeteile. Wir erhalten somit die Gleichgewichtsbedingung: po + ph = pk + pw + pp + pmf + pmg Es ist nunmehr die Abhängigkeit der unter 1. bis 7. aufgeführten Drucke von den Grössen: Kolbenweg s, Kolbengeschwindigkeit v=\frac{ds}{dt} und Kolbenbeschleunigung i=\frac{dv}{dt} festzustellen. 1) po. Bei künstlichem Gefälle (Pumpe in Verbindung mit Windkessel) ist po der Druck im Windkessel, kann also bei genügend grossem Windkessel als konstant betrachtet werden. Bei natürlichem Gefälle können Aenderungen von po eintreten, auch wenn der Oberwasserspiegel dieselbe Höhenlage beibehält, sofern die Druckleitung des Servomotors von der Wasserzuführung zur Turbine abzweigt. Denn infolge von Füllungsänderungen der Turbine ändert sich die Geschwindigkeit des Wassers in der Zuführung zur Turbine und es treten dadurch auch Aenderungen des hydraulischen Druckes po an der Anschlusstelle der Leitung zum Regulator ein. Da jedoch bei Benutzung eines natürlichen Gefälles dieses selbst beträchtlich grosssein muss, die Geschwindigkeitshöhe in der Rohrleitung zur Turbine dagegen nur einen verhältnismässig kleinen Betrag ausmachen darf, so können die Aenderungen der Geschwindigkeitshöhe und somit auch die Aenderungen von po vernachlässigt werden. Aenderungen des Druckes an der Anschlusstelle infolge des Wasserverbrauches des Servomotors selbst können selbstverständlich ohne weiteres unberücksichtigt bleiben. Wir nehmen daher po als konstant an. 2) ph. Bleibt der Unterwasserspiegel für die Servomotorleitung unverändert, so ist auch ph konstant. 3) pk. Es sei K die Kraft, die an der Kolbenstange aufzuwenden ist, um eine Verstellung des Regulierorganes in einem bestimmten Sinne zu erzielen. Dann ist p_k=\frac{K}{\mbox{Kolbenfläche }F}. K kann in zwei Teile zerlegt werden: K = Ki + Kr Ki ist an der Kolbenstange aufzuwenden, um bei reibungslos gedachtem Reguliergetriebe den Kräften das Gleichgewicht zu halten, die der Bewegung entgegen gerichtet sind (hydraulische Drücke bei Drehschaufeln, Gewichte bei Schützen usw.). Kr ist erforderlich, um die Reibung im Reguliergetriebe zu überwinden. Ki kann sowohl positiv als negativ sein. Bei Regulierung mit Zylinderschütze ist z.B. beim Heben der Schütze Ki aufzuwenden, um dem nicht ausbalancierten Teile des Schützengewichtes das Gleichgewicht zu halten; Ki ist in diesem Falle positiv. Beim Senken der Schütze wirkt dagegen der nicht ausbalancierte Teil als treibende Kraft von der Grösse Ki im Sinne der Bewegung; Ki ist in diesem Falle negativ. Kr ist selbstverständlich immer positiv. Die absolute Grösse von K kann somit beim Oeffnen verschieden von der beim Schliessen sein. Daher kann auch pk beim Oeffnen und Schliessen verschiedene Werte haben, wenn nicht die wirksamen Kolbenflächen entsprechend K für Oeffnen und Schliessen verschieden gross sind. Wenn Ki > Kr ist, kann K und damit pk negativ ausfallen. Aber auch während der Verstellung des Regulierorganes in einem bestimmten Sinne kann die Grösse von pk sich ändern, z.B. bei drehbaren Leitschaufeln. Hier ändern sich die hydraulischen Drucke auf die Leitschaufelflächen je nach der eingestellten Schaufelweite. Durch geeignete Zwischenglieder mit sich ändernder Uebersetzung zwischen Leitschaufeln und Kolbenstange lässt sich allerdings die Veränderlichkeit von Ki und Kr und somit von pk in engeren Grenzen halten. Immerhin ist die Abhängigkeit der Grösse pk von der jeweiligen Stellung des Regulierorganes bezw. vom Kolbenweg s zu beachten. Diese Abhängigkeit lässt sich bei gegebenen Konstruktionsverhältnissen ohne Schwierigkeit durch eine punktweise ermittelte Kurve veranschaulichen, die beispielsweise als Abszissen die Kolbenwege s, als Ordinaten die Grösse pk enthält. Eine allgemein gültige mathematische Form für diese Kurve pk = Funktion (s) lässt sich natürlich nicht angeben. Jedenfalls aber können wir näherungsweise die Funktion durch einen bekannten mathematischen Ausdruck darstellen, wenn die Kurve gezeichnet vorliegt. Für den hier in Betracht kommenden Zweck wird es meist genügen, die Kurve durch eine Gerade zu ersetzen, also pk durch eine Funktion ersten Grades von s darzustellen, etwa p k = ± k 0 ± k 1 s. Bei höheren Ansprüchen auf Genauigkeit könnte für pk eine Funktion höheren Grades von s angenommen werden, etwa pk = ± k0 ± k1 s ± k2 s2 ±. . . ± kv sv. Für die weitere Behandlung ist der Grad der Funktion beliebig, nur muss diese rational und ganz sein. 4) pw. Es sei w die gesamte Druckhöhe in m Flüssigkeitssäule, die erforderlich ist, um die Flüssigkeit bei einer bestimmten Kolbengeschwindigkeit v durch die Leitung zu führen. Dann ist der entsprechende Druck in kg/qcm: p_w=\frac{w \,\cdot\,\gamma}{10000} w setzt sich aus folgenden Teilen zusammen: w1 = Geschwindigkeitshöhe, w2 = Widerstandshöhe für Reibung in der geradlinig gedachten Leitung, w3 = Widerstandshöhe für Richtungsänderungen der Leitungsachse (Kniee, Krümmer usw.), w4 = Widerstandshöhe für Querschnittsänderungen der Leitung. Die Widerstandshöhen w1, w2, w3, w4 lassen sich als Vielfache von \frac{v^2}{2g} darstellen; es ist also w_1=\zeta_1\,\cdot\,\frac{v^2}{2g}, w_2=\zeta_2\,\cdot\,\frac{v^2}{2g}, w_3=\zeta_3\,\cdot\,\frac{v^2}{2g}, w_4=\zeta_4\,\cdot\,\frac{v^2}{2g}, wobei die ζ Koeffizienten sind, die sich bei gegebenen Durchflussverhältnissen nach den bekannten Formeln der Hydraulik berechnen lassen. Aus diesen Formeln ergibt sich, dass ζ1 konstant ist und dass auch die Koeffizienten für die Richtungs- und Querschnittsänderungen, ζ3 und ζ4, als unabhängig von der Geschwindigkeit v angesehen werden dürfen; dagegen nimmt ζ2 (Koeffizient der Reibung in der geradlinig gedachten Leitung) nach Weisbach, Weston, Lang u.a. mit kleiner werdender Geschwindigkeit stark zu. Die von Darcy, Dupuit u.a. angegebenen Koeffizienten, die diese Abhängigkeit nicht aufweisen, gelten nur innerhalb engerer Grenzen der Geschwindigkeit. Bei den hier zu untersuchenden Bewegungserscheinungen ändern sich aber die Geschwindigkeiten von Null bis zu einer maximalen Grösse und zwar treten die grössten Geschwindigkeitsänderungen offenbar bei Beginn der Bewegung auf, also bei verhältnismässig kleinen Werten der Geschwindigkeit. Da nun ζ2 gerade bei den kleinen Geschwindigkeiten stark veränderlich ist, so werden wir zunächst auf diese Veränderlichkeit Rücksicht nehmen müssen, behalten uns aber zweckmässige Vereinfachungen an geeigneter Stelle vor. Da über andere Betriebsflüssigkeiten als Wasser keine Werte der ζ2 bekannt sind, so ist im folgenden die für Wasser aufgestellte Form der Beziehungen zwischen ζ2 und v benützt. Diese Form wird voraussichtlich auch für die bei Regulatoren angewandten Oele gelten, da hierfür nur dünnflüssige Mineralöle in Frage kommen. Nach Lang und Weisbach lässt sich ζ2 durch folgende Formel darstellen: \zeta_2=\zeta_{2_a}+\frac{\zeta_{2_\beta}}{\sqrt{v}} wobei \zeta_{2_a} und \zeta_{2_\beta} von der Länge der Leitungsstrecke, den Querschnittsverhältnissen und der Beschaffenheit der Rohrwandungen abhängen. Es ist also \begin{array}{rcl}w_2&=&\left(\zeta_{2_a}+\frac{\zeta_{2_\beta}}{\sqrt{v}}\right)\,\frac{v^2}{2g}\\ &=&\zeta_{2_a}\,\frac{v^2}{2g}+\zeta_{2_\beta}\,\frac{v^{\frac{3}{2}}}{2g} \end{array} Somit ist w=\frac{v^2}{2g}\,(\zeta_1+\zeta_{2_\alpha}+\zeta_3+\zeta_4)+\frac{v^{\frac{3}{2}}}{2g}\,\cdot\,\zeta_{2_\beta} und schliesslich p_w=\frac{v^2\,\gamma}{2g\,\cdot\,10000}\,(\zeta_1+\zeta_2+\zeta_3+\zeta_4)+\frac{v^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,\gamma}{2g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\zeta_{2_\beta} 5) pρ. Die Kolben- und Stopfbüchsenreibung hängt von den Ueberdrücken der abzudichtenden Räume ab. Im Ruhezustande wird die Anpressung der Liderungen durch die konstanten statischen Ueberdrücke bewirkt; zur Ueberwindung des hierbei auftretenden Reibungsbetrages sei ein Druck p_{p_0} erforderlich. Bei der Bewegung des Kolbens werden die Drücke in den Räumen hinter dem Kolben vermindert, entsprechend den Durchflusswiderständen der Flüssigkeit in der Leitung bis zu der betreffenden Dichtungsstelle; die Drücke vor dem Kolben werden vermehrt, entsprechend dem Durchflusswiderstande von der betreffenden Stelle an bis zum Ende der Leitung. Nach 4. sind nun die Durchflusswiderstände proportional v2 und v^{\frac{3}{2}}; mithin kommt bei der Bewegung des Kolbens zu dem (konstanten) Druck p_{p_0} noch ein Betrag hinzu von der Form \pm\,p_1\,v^2\,\pm\,p_2\,v^{\frac{3}{2}}. Man erhält demgemäss p_p=p_{p_0}\pm\,p_1\,v^2\,\pm\,p_2\,v^{\frac{3}{2}}. 6) pmf. Es handelt sich hier nur um die Massenwiderstände der Flüssigkeit, die bei Aenderungen der Kolbengeschwindigkeit auftreten. (Die Massenwiderstände, die infolge des Durchganges der Flüssigkeitsmassen durch veränderliche Querschnitte bei einer bestimmten Kolbengeschwindigkeit auftreten, sind bereits unter 4. behandelt worden.) Es sei fx in qcm der Querschnitt eines Stückes der Leitung von der Länge lx in m, so ist die Masse der Flüssigkeit in diesem Stücke m_x=\frac{f_x\,\cdot\,l_x\,\cdot\,\gamma}{g\,\cdot\,10000} Bei einer Geschwindigkeit v des Kolbens ist die Geschwindigkeit dieser Flüssigkeitsmasse v_x=v\,\cdot\,\frac{F}{f_x}. Aendert sich die Kolbengeschwindigkeit um einen bestimmten Betrag, so ändert sich die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsmasse in derselben Zeit um den \frac{F}{f_x} fachen Betrag, d.h. die Beschleunigung ix der Flüssigkeitsmasse ist gleich \frac{F}{f_x} mal der Kolbenbeschleunigung i=\frac{dv}{dt}, also i_x=\frac{F}{f_x}\,\cdot\,\frac{dv}{dt}. Um nun der Flüssigkeitsmasse mx die Beschleunigung ix zu erteilen, ist eine Kraft m_x\,\cdot\,i_x=\frac{f_x\,l_x\,\cdot\,\gamma}{g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\frac{F}{f_x}\,\cdot\,\frac{dv}{dt} erforderlich. Pro Flächeneinheit des Querschnittes fx ist daher erforderlich der Druck: \frac{f_x\,l_x\,\gamma}{g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\frac{F}{f_x}\,\cdot\,\frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{1}{f_x}=\frac{l_x\,\cdot\,\gamma\,\cdot\,F}{g\,\cdot\,10000\,\cdot\,f_x}\,\cdot\,\frac{dv}{dt}. Die gesamte Flüsigkeitsmasse besteht nun aus einzelnen Massenteilchen mx mit verschieden grossen fx und lx. Zur Beschleunigung der gesamten Flüssigkeitsmasse ist daher ein Druck pmf erforderlich, der gleich der Summe der einzelnen Drucke \frac{l_x\,\cdot\,\gamma\,\cdot\,F}{g\,\cdot\,10000\,f_x}\,\cdot\,\frac{dv}{dt} ist, also p_{mf}=\frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{\gamma\,\cdot\,F}{g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\Sigma\,\cdot\,\frac{l_x}{f_x} 7) pmg. Ein Massenteilchen my des Getriebes habe bei der Bewegung des Kolbens eine Beschleunigung iy. Die Kraft, die erforderlich ist, um der Masse my die Beschleunigung iy zu erteilen, ist my . iy. Liegt zwischen dem Massenteilchen und dem Kolben ein Zwischenmechanismus mit dem Uebersetzungsverhältnis φy, so ist am Kolben eine φy-mal so grosse Kraft aufzuwenden, also φy . my . iy. Um den gesamten Massen ihre jeweiligen Beschleunigungen zu erteilen, ist daher am Kolben aufzuwenden die Kraft ∑φy . my . iy. Der hierzu erforderliche Druck ist somit p_{mg}=\frac{\Sigma\,\phi_y\,\cdot\,m_y\,\cdot\,i_y}{F} Bleibt φy während des Kolbenhubes konstant, so entspricht immer einer Aenderung der Kolbengeschwindigkeit eine φy-mal so grosse des Massenteilchens my, es ist also dann i_y=\phi_y\,\cdot\,i=\phi_y\,\cdot\,\frac{dv}{dt}; mithin ist p_{\mbox{mg}}=\frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,m_y\,{\phi_y}^2}{F} Die Ausdrücke 1) bis 7) sind nun in die dynamische Gleichgewichtsbedingung (s. S. 259 oben) einzusetzen, demnach ist die Gleichung zu bilden: 1) + 2) = ∑ 3) bis 7) oder 1) + 2) – ∑ 3) bis 7) = 0. In dieser letzten Gruppierung stellen sich die Ausdrücke 1) bis 7) wie folgt dar: + 1) po 2) ph – 3) \pm\,k_0\,\pm\,k_1\,s\,\pm\,k_2\,s^2...\pm\,k_v\,s^v 4) \frac{v^2\,\cdot\,\gamma}{2g\,\cdot\,10000}\,(\zeta_1+\zeta_{2_\alpha}+\zeta_3+\zeta_4)+\frac{v^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,\gamma}{2\,g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\zeta_{2_\beta} 5) p_{p_o}\,\pm\,\varrho_1\,\cdot\,v^2\,\pm\,\varrho_2\,\cdot\,v^{\frac{3}{2}} 6) \frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{\gamma\,\cdot\,F}{g\,\cdot\,10000}\,\cdot\,\Sigma\,\frac{l_x}{f_x} 7) \frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,m_y\,\cdot\,{\phi_y}^2}{F} = 0 Sämtliche Koeffizienten von s, v, \frac{dv}{dt} und von Potenzen dieser Grössen lassen sich aus den Konstruktionsverhältnissen der Turbine und des Servomotors ermitteln und sind daher als bekannt zu betrachten. Näheres über deren Ausrechnung siehe weiter unten im Abschnitte: „Zahlenbeispiel“. Wir ordnen nun die Glieder obiger Gleichung nach Potenzen von \frac{dv}{dt}, v und s und führen die beigefügten Abkürzungen ein: -\frac{dv}{dt}\,\left[\frac{\gamma\,\cdot\,F}{g\,\cdot\,10000}\,\Sigma\,\frac{l_x}{f_x}+\frac{\Sigma\,m_y\,\cdot\,{\phi_v}^2}{F}\right]\,\equiv\,-\frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frakfamily{M} -v^2\,\left[\frac{\gamma}{2\,g\,10000}\,(\zeta_1+\zeta_{2_\alpha}+\zeta_3+\zeta_4)\,\pm\,\varrho_1\right]\,\equiv\,-v^2\,\cdot\,A -v^{\frac{3}{2}}\,\left[\frac{\gamma}{2\,g\,10000}\,\cdot\,\zeta_{2_\beta}\,\pm\,\varrho_2\right]\,\equiv\,-v^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,B +p_0+p_h-(\pm\,k_0+p_{p_0})\,\equiv\,\pm\,C_0 \mp\,k_1\,s\,\equiv\,\pm\,C_1\,s \mp\,k_2\,s^2\,\equiv\,\pm\,C_2\,s^2 oder: ∓ kv sv ≡ ± Cv sv = 0 ≡ 0 also: -\frac{dv}{dt}\,\frakfamily{M}-v^2\,A-v^{\frac{3}{2}}\,B\,\pm\,C_0\,\pm\,C_1\,s\,\pm\,C_2\,s^2...\pm\,C_v\,s^v=0 Der Koeffizient von \frac{dv}{dt}, \frakfamily{M}, stellt die gesamte zu beschleunigende Masse für den qcm Kolbenfläche dar. (Reduzierte Masse.) Dividieren wir durch \frakfamily{M} und setzen wir zur Abkürzung für die durch \frakfamily{M} dividierten Koeffizienten A, B, Co . . . . . . . . Cv, die entsprechenden kleinen Buchstaben a, b, c0 . . . . . cv ein, so ergibt sich: \frac{dv}{dt}-v^2\,a-v^{\frac{3}{2}}\,b\,\pm\,c_0\,\pm\,c_1\,s\,\pm\,c_2\,s^2..\pm\,c_v\,s^v=0. Dies ist die Differentialgleichung der Kolbenbewegung des Servomotors für den allgemeinen Fall, dass der Verstellwiderstand eine Funktion (v-ten Grades) des Kolbenweges ist. Ehe wir die Lösung für diesen allgemeinen Fall geben, wollen wir zunächst den besonderen, einfacheren, betrachten, dass der Verstellwiderstand konstant ist. ––––––––– Anmerkung. Bei manchen Getriebeteilen, z.B. bei den drehbaren Leitschaufeln, ist φy nicht konstant, sondern ändert sich mit dem Kolbenwege s. In diesem Falle kommt zu dem eben betrachteten Massenwiderstande noch ein Betrag hinzu, der von den Aenderungen der Geschwindigkeiten infolge des wechselnden Uebersetzungsverhältnisses herrührt. Ist vy die Geschwindigkeit des Massenteilchens my, so ist v_y=\phi_y\,\cdot\,v. Aendert sich nun während der Zeit dt das Uebersetzungsverhältnis um dφy, so ist die dadurch hervorgerufene Geschwindigkeitsänderung des Massenteilchens gleich dφy . v, also die entsprechende Beschleunigung: i_y=v\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{dt}=v\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}\,\cdot\,\frac{ds}{dt}=v^2\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}. Die zu dieser Beschleunigung von my erforderliche Kraft ist m_y\,\cdot\,v^2\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}; am Kolben ist die φy-fache Kraft nötig, also m_y\,\cdot\,v^2\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}\,\cdot\,\phi_y; der zugehörige Druck ist somit gleich m_y\,\cdot\,v^2\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}\,\cdot\,\phi_y, und der erforderliche Druck für die Beschleunigung der Gesamtmasse: \frac{v^2}{F}\,\cdot\,\Sigma\,m_y\,\cdot\,\frac{d\,\phi_y}{ds}\,\cdot\,\phi_y. Dieser Betrag kommt für die Teile mit veränderlichem φy noch zu dem Betrage: \frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,m_y\,\cdot\,{\phi_y}^2}{F}\mbox{ (s. o.)} hinzu. Bei den Massenteilen mit stark veränderlichem φy ist aber bei den gebräuchlichen Konstruktionen auch der maximale Betrag von φy zumeist so klein, dass der Massenwiderstand dieser Teile den übrigen Widerständen gegenüber vernachlässigt werden kann. (Fortsetzung folgt.)