Untersuchung eines flachen Bogens mit festen Kämpfergelenken beansprucht von horizontalen Kräften. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. (Schluss von S. 375 d. Bd.) Untersuchung eines flachen Bogens mit festen Kämpfergelenken usw. Wir gehen jetzt dazu über, das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt des Bogens mit Berücksichtigung des Wertes von H anzugeben. Befindet sich die Belastung in Fig. 3 zwischen A und C (s. a. Fig. 1), so ist das Biegungsmoment für den Querschnitt von C M=\frac{P\cdot p}{l}\cdot x-P\cdot p+P\cdot y-H\cdot y. Hierin ist H=\frac{P\cdot z}{l}, so dass weiter entsteht: M=P\cdot \left\{-p\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)+y\cdot \left(1-\frac{z}{l}\right)\right\} Dann ist: p=4\cdot \frac{f\cdot q\cdot (l-q)}{l^2}=4\cdot f\cdot \frac{q}{l}\cdot \left(1-\frac{q}{l}\right) und y=4\cdot \frac{f\cdot x\cdot (l-x)}{l^2}=4\cdot f\cdot \frac{x}{l}\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right) Daher haben wir, wenn man Mr das Moment nennt: M_r=4\cdot P\cdot f\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\,\left\{-\frac{q}{l}\cdot \left(1-\frac{q}{l}\right)+\frac{x}{l}\cdot \left(1-\frac{z}{l}\right)\right\} Befindet sich aber die Last zwischen C und B, so ist das Biegungsmoment für denselben Querschnitt: M_l=\frac{P\cdot p}{l}\cdot x-H\cdot y und mit Rücksicht auf die Werte für H, p und y entsteht: M_l=\frac{4\cdot P\cdot f}{l}\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[\frac{q}{l}\,\left(1-\frac{q}{l}\right)-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \frac{z}{l}\right]. Beide Momente müssen einander gleich sein, wenn x = q ist, was ja, wie der Vergleich zeigt, eintrifft. Man setze, wenn n eine beliebige Zahl ist, worüber später verfügt wird: w_r=n\cdot l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-\frac{q}{l}\,\left(1-\frac{q}{l}\right)+\frac{x}{l}\,\left(1-\frac{z}{l}\right)\right] 10) und w_l=n\cdot l\cdot \frac{x}{l}\,\left[\frac{q}{l}\,\left(1-\frac{q}{l}\right)-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \frac{z}{l}\right] . . 11) und hat nunmehr: M_r=\frac{4\cdot P\cdot f}{n\cdot l}\cdot w_r . . . . . 12) M_l=\frac{4\cdot P\cdot f}{n\cdot l}\cdot w_l . . . . . 13) Hierbei ist Gleichung 12) die Gleichung der Einflusslinie für das Biegungsmoment vom Querschnitte des Punktes C, wenn die Last zwischen C und B sich befindet und Gleichung 13) ist die Gleichung der Einflusslinie für das Biegungsmoment dieses Querschnittes, wenn die Last zwischen A und C sich befindet. Zur Darstellung der Einflusslinie nehme man \frac{q}{l}=0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 und 1,0. Hierdurch erhält man der Reihe nach: _1w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,09+0,77904\cdot \frac{x}{l}\right] _2w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,16+0,62528\cdot \frac{x}{l}\right] _3w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,21+0,53872\cdot \frac{x}{l}\right] _4w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,24+0,50496\cdot \frac{x}{l}\right] _5w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,25+0,50000\cdot \frac{x}{l}\right] _6w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,24+0,49504\cdot \frac{x}{l}\right] _7w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,21+0,46128\cdot \frac{x}{l}\right] _8w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,16+0,37472\cdot \frac{x}{l}\right] _9w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0,09+0,22096\cdot \frac{x}{l}\right] _{10}w_r=l\cdot \left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot \left[-0+0\cdot \frac{x}{l}\right]=0 und _0w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0\ \ \ -\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0\right]=0 _1w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,99-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,22096\right] _2w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,16-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,37472\right] _3w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,21-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,46128\right] _4w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,24-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,49504\right] _5w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,25-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,500000\right] _6w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,24-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,50496\right] _7w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,21-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,53872\right] _8w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,16-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,62568\right] _9w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0,09-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 0,77904\right] _{10}w_r=l\cdot \frac{x}{l}\cdot \left[0-\left(1-\frac{x}{l}\right)\cdot 1,00000\right] Für den Mittelpunkt M ist \frac{x}{l}=0,5, also auch 1-\frac{x}{l}=0,5 zu nehmen, Zu benutzen sind ferner hierbei die Ordinaten ow1 bis 5w1 links von Af, und von 6wr bis 10wr rechts von M. Man erhält: 0w1 = 0, 1w1 = – 0,01024, 2w1 = – 0,01368, 3w1 = – 0,01032, 4w1 = – 0,00376 und 5w1 = 0, ferner 6wr = + 0,00376, 7wr = + 0,01032, 8wr = + 0,01368, 9wr = + 0,1024 und 10wr = 0 von l. Hiernach ist in Fig. 4 die Einflussfläche für das Biegungsmoment des Querschnittes von C gezeichnet worden. Es ist hierbei n = 10 genommen worden. Wir nehmen auch für die künftigen Einflusslinien n = 10, nur für die des Querschnittes von A nehmen wir n = 1. Ist weiter \frac{x}{l}=0,4 und 1-\frac{x}{l}=0,6. Zu benutzen sind jetzt die Ordinaten von ow1 bis 4w1 und von 5wr bis 10wr. Man hat 0w1 = 0, 1w1 = – 0,170302, 2w1 = – 0,0235382, 3w1 = – 0,0267072, 4w1 = – 0,0228096, ferner 5wr = – 0,030000, 6wr = – 0,0251904, 7wr = – 0,0152928, 8wr = – 0,0060672, 9wr = – 0,0009696 und 10wr = 0 von l. Die Einflusslinie ist in Fig. 5 dargestellt worden. Wenn \frac{x}{l}=0,3 und 1-\frac{x}{l}=0,7 ist, so sind zu benutzen die Ordinaten von 0w1 bis 3w1 und von 4wr bis 10wr. Man hat 0w1 = 0, 1w1 = – 0,0194016, 2w1 = – 0,0285912, 3w1= – 0,0338688, ferner 4wr = – 0,0619584, 5wr = – 0,070000, 6wr = – 0,0640416, 7wr = – 0,0501312, 8wr = – 0,0333080, 9wr = – 0,0166614 und 10wr = 0 von l. Hierzu ist die Einflusslinie in Fig. 6 dargestellt worden. Nehmen wir \frac{x}{l}=0,2 und 1-\frac{x}{l}=0,8, so sind zu benutzen die Ordinaten 0w1 bis 2w1 und 3wr bis 10wr. Man hat 0w1 = 0, 1w1 = – 0,01 73536, 2w1 = – 0,0279552, 3wr = – 0,0818048, 4wr = – 0,1112064, 5wr = – 0,120000, 6wr = – 0,1127936, 7wr = – 0,0942112, 8wr = – 0,0680448, 9wr = – 0,0366464 und 10wr = 0 von l. Die Einflusslinie ist in Fig. 7 dargestellt worden. Ist weiter \frac{x}{l}=0,1 und 1-\frac{x}{l}=0,9, so hat man zu benutzen 0w1, 1w1 und 2wr bis 10wr. Man erhält: 0w1 = 0, 1w1 = – 0,0108864, 2wr = – 0,0877248, 3wr = – 0,1405152, 4wr = – 0,1705536, 5wr = – 0,180000, 6wr = – 0,1714464, 7wr = – 0,1474848, 8wr = – 0,1102752, 9wr = – 0,0611136 und 10wr = 0 von f. Die Einflusslinie ist in Fig. 8 dargestellt worden. Die Einflusslinien für \frac{x}{l}=0,6, 0,7, 0,8 und 0,9 sind nicht dargestellt worden; sie sind Spiegelbilder der Einflusslinien für \frac{x}{l}=0,4, 0,3, 0,2 und 0,1 der Reihe nach. In Fig. 9 ist endlich die Einflusslinie für \frac{x}{l}=0, also 1-\frac{x}{l}=1 gezeichnet worden. Man hat hierfür der Reihe nach die Ordinaten 0,00, – 0,090, – 0,160, – 0,210, – 0,240, – 0,250, – 0,240, – 0,210, – 0,160, – 0,090 und 0,00 von A bis B. Uebrigens ist die Einflusslinie die gemeine Parabel und gilt auch für den Querschnitt von B. Betrachtet man nun die Einflusslinien, so findet man, Textabbildung Bd. 320, S. 391 dass die gemeine Parabel die grössten Ausdehnungen hat, woraus folgt, dass A und B gefährliche Querschnitte des Bogens sind, wenn, wie wir nochmals erwähnen, die auf das Gewölbe wirkenden Kräfte nur wagerecht gerichtet sind. Die Gleichung der massgebenden Einflusslinie lautet: M=4\cdot P\cdot f\cdot \frac{q}{l}\,\left(1-\frac{q}{l}\right) . . . 14) Ist z.B. das halbe Gewölbe von A bis M gleichmässig mit g für die Längeneinheit belastet, so ergibt sich das Höchstbiegungsmoment: M=4\cdot g\cdot f\cdot \int_0^{\frac{1}{2}}\,\frac{q}{l}\cdot \left(1-\frac{q}{l}\right)\cdot d\,q. Hieraus ergibt sich: M=\frac{1}{3}\,g\cdot l\cdot f . . .  . . 15) Zur Bestimmung des Querschnittes nenne man k die Beanspruchung des Materials für die Flächeneinheit, b die Breite und h die Höhe des rechteckigen Querschnittes vom Gewölbe. Man darf annehmen, dass die Horizontalkraft senkrecht zum Querschnitte in A oder B wirksam ist, weil ja der Bogen sehr flach ist. Die Horizontalkraft hatten wir nach Formel 8 in B gleich \frac{35}{192} gl; und nach Formel 9 in A gleich \frac{61}{192} gl; da letztere grösser ist, so muss der Querschnitt von A als der gefährlichere angesehen werden und man hat deswegen nach der bekannten Festigkeitsformel für Biegung und Zug oder Druck: k=\frac{\frac{61}{192}\,gl}{b\,h}\,\pm\,\frac{\frac{1}{3}\,g\cdot l\cdot f}{\frac{1}{6}\cdot b\,h^2} oder auch: k=\frac{gl}{b\,h}\cdot \left\{\frac{61}{192}\,\pm\,2\cdot \frac{f}{h}\right\} und zwar gilt das obere Vorzeichen für Druck und das untere für Zug. Damit nun keine Zugspannung vorkommt, ist \frac{61}{191}-2\,\frac{f}{h}\,>\,0 oder auch h\,>\,\frac{384}{61}. Es müsste demnach h mindestens gleich 6,3 f sein, was bei ausgeführten Gewölben wohl niemals eintrifft. Es ist also Zugspannung unvermeidlich und man hat zur Ermittlung des Querschnittes folgende Gleichung: b\cdot h=\frac{g\cdot l}{k}\cdot \left(\frac{61}{192}+2\,\frac{f}{h}\right) wobei für \frac{f}{h} am vorteilhaftesten Tabellen angefertigt werden müssten. Anwendung kann von dieser Untersuchung gemacht werden, wenn das Eigengewicht des Gewölbes vernachlässigbar ist und der Winddruck nur berücksichtigt wird. Nimmt man dagegen auch Rücksicht auf das Eigengewicht und befinden sich auf dem Gewölbe bewegliche Lasten, so ist die Untersuchung dann zu gebrauchen, wenn die Reibungswiderstände zugleich wirksam sind. Wie man zu verfahren haben wird, soll in einer späteren Abhandlung mitgeteilt werden. Es werden nämlich die Ordinaten der Einflusslinien für senkrecht zueinander stehende Kräfte zu vereinigen sein, wodurch man neue Einflusslinien erhält und diese sind der Untersuchung zugrunde zu legen. Sonst würde man mit den Einflusslinien in Fig. 1 und Fig. 9 vollkommen auskommen.