Zur Theorie der Wechselstromkreise. Von Leo Lichtenstein, Berlin. Zur Theorie der Wechselstromkreise. I. Die vorliegende Arbeit bezweckt, einige für die Theorie der Wechselstromkreise grundlegende Begriffe, über deren Gebrauch die Ansichten der Fachleute zur Zeit noch sehr verschieden sind, klarzulegen. Die Begriffe, um die es sich hier handelt, kommen besonders häufig bei der Berechnung von Wechselstromnetzen zur Anwendung und beanspruchen jetzt mit Rücksicht auf die neu aufgekommene Einphasentechnik erhöhtes Interesse. Um möglichst einfache Verhältnisse zu erhalten, legen wir der weiteren Betrachtung eine einfache Stromschleife zugrunde (Fig. 1). Textabbildung Bd. 321, S. 38 Fig. 1. Ist J t der momentane Wert des Stromes, E t „ „ „ der Maschinenspannung, W „ Widerstand, N t die Zahl der Kraftlinien, die von dem Strom Jtdurch das Rechteck ABCD hindurchgeschicktwerden, sämtliche Grössen im absoluten elektromagnetischen Masssystem ausgedrückt, so besteht die Relation E_t=J_t\cdot W+\frac{d\,N_t}{d\,t} . . . . . . . . . . 1) Geht man von den momentanen zu den effektiven Werten über, so findet man E=J\,W\,\overset{\wedge}{+}\,\left(+\frac{d\,N}{d\,t}\right) . . . . . . . . . . 2) wenn man mit +\frac{d\,N}{d\,t} den Effektivwert der Grösse \frac{d\,N_t}{d\,t} bezeichnet. Das Zeichen Δ soll die geometrische Addition andeuten. Enthält die Stromschleife keine eisernen Leiter, so ist die Kraftlinienzahl N dem Strom proportional Nt= L . Jt.                     L = konstant E=J\,W\,\overset{\wedge}{+}\,L\,\left(+\frac{d\,J}{d\,t}\right) . . . . . . . . . . 3) L heisst Koeffizient der Selbstinduktion der Stromschleife, +\frac{d\,J}{d\,t} bezeichnet den Effektivwert von +\frac{d\,J_t}{d\,t}. Bestehen die die Schleife bildenden Leiter ganz oder teilweise aus Eisen, so ist L nicht mehr von dem Strome unabhängig. Bei den im Bahnbetriebe vorkommenden Stromdichten kann aber L mit genügender Genauigkeit als unveränderlich angesehen werden. Für die vorliegenden Betrachtungen spielt die Veränderlichkeit von L vollends keine Rolle mehr. Nach Maxwell ist der Selbstinduktionskoeffizient des in Fig. 1 dargestellten Stromkreises in absoluten elektromagnetischen Einheiten L=\frac{1}{2}\,\left\{\mu_1+\mu_2+4\,\mu_0\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\,r}\right\}\,l 4) μ 1 ist die Permeabilität des Leiters 1, μ 2 „ „ „ „ „ 2, μ 0 „ „ „ „ Zwischenmediums, l „ „ Länge der Schleife in cm. Das Glied μ1 + μ2 in dem Klammerausdruck rührt von dem magnetischen Feld in den Leitern, das Glied 4\,\mu_0\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\,r} von dem Feld in dem Zwischenmedium (Luft) her. Besteht der Leiter 2 aus Kupfer, der Leiter 1 aus Eisen, das Zwischenmedium aus Luft (Luftleiter und Schiene), so wird L=\frac{1}{2}\,\left\{1+\mu+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\,r}\right\} . 5) Bei der Ableitung der Formeln 4) und 5) wird bekanntlich vorausgesetzt, dass die beiden Leiter AB und CD kreiszylindrisch sind und dass ferjer die Stromdichte im Leiterquerschnitt überall dieselbe ist. Bei den aus Luftleitern und Schienen gebildeten Stromkreisen sind diese Voraussetzungen nicht erfüllt. Insbesondere wird infolge des sogenannten Skineeffektes (Hautwirkung) der Strom in der Schiene nach der Oberfläche hin gedrängt. In den Formeln 4) und 5) ist daher unter μ nicht die wahre Permeabilität des Schieneneisens, sondern eine Funktion jener, die wir im weiteren „äquivalente Permeabilität“ der Schiene nennen wollen, zu verstehen. Desgleichen sind R und r äquivalente Halbmesser des Lufteiters und der Schiene. Ist die Frequenz des Wechselstromes, den wir sinusförmig annehmen, gleich ∾, so nimmt die Gleichung 2) die Form an E=J\,W\,\overset{\wedge}{+}\,2\,\pi\,\sim\cdot J\,\frac{1}{2}\,\left\{1+\mu+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\cdot r}\right\}\cdot l;\ C\,G\,S . 6) E=J\,W\,\overset{\wedge}{+}\,2\,\pi\,\sim\cdot J\cdot L; E0 = JW ist die wattsche, E1 = 2π ∾ . J . L die wattlose Komponente der Spannung. Ist die Schleife nicht kurzgeschlossen, ist vielmehr im Zweige BC eine gegenelektromotorische Kraft wirksam, so nennt man das Glied E0 = JW den ohmschen, das Glied Ei = 2π ∾ . J . L den induktiven Spannungsabfall des Stromkreises. Bleiben wir zunächst bei der Kurzschlusschleife (Fig. 1). Man findet die Maschinenspannung E aus den beiden Komponnenten E0 und Ei durch einfache Konstruktion (Fig. 2). Textabbildung Bd. 321, S. 39 Fig. 2. Wir wollen E0 und Ei im folgenden auch bei der auf Fig. 1 abgebildeten Schleife als ohmschen und induktiven Spannungsabfall bezeichnen. Wie aus Fig. 2 ersichtlich, ist \frac{E_0}{E}=\frac{E_0}{\sqrt{E^2+{E_1}^2}}=\cos\,\varphi . . . . 7) der Leistungsfaktor des Stromkreises. Besteht die Stromschleife lediglich aus Kupferleitern, so ist in der Formel 5) μ = 1 zu setzen. Wir erhalten also L=\frac{1}{2}\,\left\{2+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\cdot r}\right\}\cdot l\,(C\,G\,S) 8) E_1=2\,\pi\,\sim\cdot J\,\frac{1}{2}\,\left\{2+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\cdot r}\right\}\cdot l\,(C\,G\,S) 9) Setzt man in 9) l in km, J in Amp., Ei in Volt ein, so findet man E_1^{Volt}=2\,\pi\,\sim\cdot J^{Amp.}\cdot \frac{1}{2}\,\left\{2+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\,r}\right\}\cdot l^{km}\cdot 10^{-4} . 10) Diese Formel ist durch Versuche vollkommen bestätigt worden. Bei einer Stromschleife, deren hauptsächliche Abmessungen sind: ρ = 1 m, Leiterquerschnitt = 100 qmm, R = r = äquivalenter Halbmesser = 0,536 cm, l = 2,05 km, sind folgende Werte gemessen worden: Strom J Ma-schinen-spannungE VerbrauchEJ cos ϕ Leistungs-faktorcos ϕ Frequenz Selbst-induktions-koeffizientder Strom-schleifeL=\frac{E\,\sin\,\varphi}{2\,\pi\,\infty\cdot J} Amp. Volt Watt cos ϕ ∞/Sek. Henry     90,5   149,2   6200 0,460 49,5 0,0047   145,6 227 16200 0,490 46,7 0,0046 176 270 23400 0,491 45,0 0,0047 Im Mittel   0,00467 Aus der Formel 9) erhält man aber L=\frac{1}{2}\,\left\{2+4\mbox{ log nat }\frac{(100-0,556)\,(100-0,536)}{0,536\cdot 0,536}\right\}\cdot 2,05\cdot 10^5\,C\,G\,S oder L = 0,00476 Henry. Der Unterschied beträgt rund 1,9 v. H. Wie aus den Formeln 9) und 10) ersichtlich, ist der Koeffizient der Selbstinduktion unserer Stromschleife der Länge l proportional L = L0 . l. L0 heisst „Koeffizient der Selbstinduktion der Strom schleife f. d. Längeneinheit“. Neuerdings ist statt dieses Ausdrucks der Name „Induktivität der Stromschleife für die Längeneinheit“ vorgeschlagen worden. L_0=\frac{1}{2}\,\left\{1+\mu+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-R)\,(\varrho-r)}{R\cdot r}\right\}C\,G\,S 11) Die Einführung des Begriffes „Koeffizient der Selbstinduktion für die Längeneinheit“ hat zu der Vorstellung geführt, als hätte nun tatsächlich jede Längeneinheit und überhaupt jedes in sich nicht geschlossene Leiterstück einen Selbstinduktionskoeffizienten. Den Selbstinduktionskoeffizienten der Stromschleife fasst man danach als Summe der Induktionskoeffizienten, die den einzelnen Leitern der Schleife entsprechen, auf, ähnlich wie der Gesamtwiderstand der Schleife die Summe aller Einzelwiderstände ist. Diese Vorstellung gewinnt anscheinend um so eher an Berechtigung, als manche Autoren mit Vorliebe mit dem Koeffizienten der Selbstinduktion einzelner Leiter einer Stromschleife rechnen und im Endergebnis zu richtigen, durch Versuche bestätigten Resultaten gelangen. In der drahtlosen Telegraphie wird häufig mit der Selbstinduktion gerader ungeschlossener Leiterstücke (Antenne) gerechnet und von der Formel L=2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{2\,l}{r}-0,75\right)\,C\,G\,S . . 12) Gebrauch gemacht. In der Gleichung 12) bedeutet l die Länge des Drahtes in cm, r seinen Halbmesser. Neuerdings sind von einem vom Elektrotechnischen Verein eingesetzten Ausschuss Vorschläge zur Definition der elektrischen Eigenschaften gestreckter Leiter ausgearbeitet worden, die auf der Vorstellung einer einem Leiter innewohnenden Selbstinduktion gegründet sind. In der Tat ist aber die besagte Vorstellung unrichtig und kann unter Umständen zu groben Fehlern führen. Dass dem so ist, überzeugt uns folgende einfache Ueberlegung. Betrachten wir eine einfache Stromschleife (Fig. 1). Fliesst in dem Kreise Strom, so erzeugt dieser ein magnetisches Feld, und die Schleife wird von magnetischen Kraftlinien geschnitten. Aendert sich der Strom, so ändert sich gleichzeitig das Feld, und in der Schleife wird elektromotorische Kraft induziert. Diese nennt man „elektromotorische Kraft der Selbstinduktion“. Selbstinduktion ist also ein physikalisches Phänomen, das in dem den Leiter umgebenden Raum seinen Ursprung hat und von den Leitern selbst nur mittelbar abhängt. Ohne Leiter hätten wir keinen Strom und mithin keine Selbstinduktion. Liegen jedoch die beiden Leiter unmittelbar nebeneinander, so dass der von ihnen eingeschlossene Flächenraum Null wird, so verschwindet die Selbstinduktion bis auf einen kleinen Betrag, der von dem Felde in den Leitern selbst abhängt. Bei bifilarer Anordnung haben wir Wechselstromkreise praktisch ohne Selbstinduktion. Daraus ersieht man schon, dass man im physikalischen Sinne lediglich von der Selbstinduktion und von dem Selbstinduktionskoeffizienten eines Stromkreises, nicht aber von denen eines ungeschlossenen Leiters sprechen darf. Wie kommt es nun, dass man, wie gesagt, trotzdem häufig mit der Selbstinduktion einzelner Leiter arbeitet und doch zu richtigen Resultaten kommt? Der Selbstinduktionskoeffizient des Stromkreises (Fig. 1) ist L=\frac{1}{2}\,\left\{1+\mu+4\mbox{ log nat }\frac{(\varrho-r)\,(\varrho-r)}{R\cdot r}\right\}\cdot l;\ (C\,G\,S) Wir schreiben L=\frac{1}{2}\,\left\{1+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-r}{r}\right)\right\}\cdot l+\frac{1}{2}\,\left\{\varrho+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-R}{R}\right)\right\}\cdot l;\ (C\,G\,S). Führen wir die Bezeichnungen ein L_1=\frac{1}{2}\,\left\{1+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-r}{r}\right)\right\}\cdot l;\ (C\,G\,S) L_2=\frac{1}{2}\,\left\{\mu+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-R}{R}\right)\right\}\cdot l;\ (C\,G\,S), so erhalten wir L = L 1 + L 2 E1 = 2π ∾ . J . L = 2π ∾ J (L1 + L2) = 2π ∾ . J . L1 – 2π ∾ (– J) . L2 . . . . . . . . . . 13) Nennt man jetzt L1 und L2 Selbstinduktionskoeffizienten der beiden Leiter AB und CD, so gibt die Formel 13) den induktiven Spannungsabfall der Schleife richtig an. Die Glieder 2π ∾ . J . L1 = E1' und 2π ∾ (– J) L2 = E1'' geben den „induktiven Spannungsabfall“ der Leiter AB und CD E1= E1' – E1''. Wir sehen also, dass man tatsächlich mit den Koeffizienten der Selbstinduktion einzelner nicht in sich geschlossener Leiter rechnen kann. Der Grund liegt, wie aus unserer Ableitung unzweideutig hervorgeht, darin, dass in dem Endresultat E1 immer nur die Differenz der beiden Einzelabfälle auftritt. Es scheint also, als ob es für die praktische Anwendung gleichgültig wäre, ob man mit der physikalischen Vorstellung des Selbstinduktionskoeffizienten einer Stromschleife oder mit den lediglich mathematischen definierten Begriffen der Selbstinduktionskoeffizienten einzelner Leiter der Schleife rechnet. Dem ist aber tatsächlich nicht so. Nichts hindert uns nämlich zu setzen L_1=\frac{1}{2}\,\left\{1+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-r}{r}\right)\right\}\cdot l+A L_2=\frac{1}{2}\,\left\{\mu+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-R}{R}\right)\right\}\cdot l-A L = L1 + L2 E1 = 2π ∾ . J . L = 2π ∾ . J (L1 + L2)                          = 2π ∾ . J . L1 – 2π ∾ (– J) L2. Für den „induktiven Spannungsabfall“ des Leiters AB erhalten wir jetzt \begin{array}{rcl}E_1'&=&2\,\pi\,\sim\cdot J\cdot L_1\\&=&2\,\pi\,\sim\cdot J\,\left[\frac{1}{2}\,\left\{1+4\mbox{ log nat }\left(\frac{\varrho-r}{r}\right)\right\}\,l+A\right];\end{array} für den Abfall des Leiters CD den Wert \begin{array}{rcl}E_1''&=&2\,\pi\,\sim\,(-J)\cdot L_2\\&=&2\,\pi\,\sim\,(-J)\,\left[\frac{1}{2}\,\left\{\mu+4\mbox{ log nat }(\varrho-R})\right\}\,l-A\right].\end{array} Vergleicht man diese Werte mit denen der Formel 13), so findet man, dass die beiden Spannungsabfälle jetzt um 2π J . A grösser geworden sind. Die „Spannungsabfälle der Leiter“ sind mithin nicht eindeutig gegeben, ihre Differenz allein ist genau bekannt. Nun wird häufig, besonders in der Praxis des elektrischen Bahnbetriebes, gefragt, wie gross der Spannungsabfall in einem Leiter der Schleife, z.B. in den Schienen, bei Wechselstrom sei. Man will darunter die geometrische Summe des ohmschen Spannungsabfalles in jenem Leiter J . W (W = Wechselstrom widerstand des Leiters) und des eben genannten „induktiven“ verstehen. Da dieser aber, wie erwähnt, nicht eindeutig gegeben ist, so kann auf die erwähnte Frage eine Antwort nicht erteilt werden. Nicht selten wird sogar bei der Ausschreibung von Bahnprojekten verlangt, die Potentialdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten der Schiene solle einen bestimmten Wert nicht überschreiten. Unter „Potentialdifferenz“ will man den „gesamten Spannungsabfall“ in den Schienen verstehen. Natürlich ist die Frage in dieser Form überhaupt unlösbar. Was man unter „Potentialdifferenz“ zwischen zwei Punkten der Schienen zu verstehen hat. wird sich aus dem Folgenden ergeben. Wir kehren zur Betrachtung eines ungeschlossenen geraden Leiters zurück. Nach Franz Neumann ist die Selbstinduktion eines geraden Drahtes vom Halbmesser r und der Länge l L=2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{2\,l}{r}-0,75\right);\ (C\,G\,S) . 12) Bei raschen elektrischen Schwingungen wird ein gerader an einen Generator einpolig angeschlossener Leiter vom Strom (Ladestrom) durchflössen. Wir haben hier scheinbar mit einem ungeschlossenen Strome zu tun. Der Koeffizient der Selbstinduktion des Drahtes wird nach der Formel (12) bestimmt. So wird z.B. bei der Berechnung der Frequenz von Hertzschen Oscillatoren verfahren. Tatsächlich sind die Ströme auch hier nur scheinbar „ungeschlossen“. Nach der Theorie von Maxwell schliessen sie sich vielmehr durch das Dielektrikum in Gestalt der sogenannten „dielektrischen Verschiebung“. Lg ist also als Selbstinduktionskoeffizient der aus dem geraden Draht und der Rückstrombahn gebildeten geschlossenen Schleife anzusehen. Betrachten wir jetzt eine irgendwie gestaltete poligonale Strombahn ABCDEF (Fig. 3). Sind die Längen einzelner Leiter l1, l2, l3, l4, l5, l6, so kann der Koeffizient der Selbstinduktion des bezeichneten Stromkreises in der Form L = αl1+ βl2+ – – – – + kl6, α, β – – – – k gleich konstant, überhaupt nicht dargestellt werden. – L kann also in Einzelbeträge, die der „Selbstinduktion einzelner Leiter“ entsprechen würden, nicht zerlegt werden. Der Begriff der Selbstinduktion einzelner Leiter versagt also vollständig, so wie man von der einfachen Stromschleife (Fig. 1) zu den komplizierteren geradlinien Strombahnen übergeht. Textabbildung Bd. 321, S. 41 Fig. 3. Die Formel 12), auf die Stromschleife (Fig. 1) angewendet, würde zu ganz falschen Ergebnissen führen. Bei Systemen, die aus mehreren parallel geführten Lettern bestehen, wird darum bisweilen jedem Leiter ein „Koeffizient der Selbstinduktion“, jedem Leiterpaar ein „Koeffizient der gegenseitigen Induktion“ zugeordnet. Für die Stromschleife (Fig. 1) gibt man z.B. an L_1=2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{2\,l}{r}-0,75\right);\ C\,G\,S L_2=2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{2\,l}{r}-0,75\right);\ C\,G\,S M_{12}=2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{2\,l}{r}-1,0\right);\ C\,G\,S 13) Der „induktive Spannungsabfall“ des Leiters (1) ergibt sich hiernach zu \Delta\,V_1=2\,\pi\,\sim\cdot L_1\cdot J+2\,\pi\,\sim\,M_{12}\cdot (-J)=2\,\pi\,\sim\,(L_1-M_{12})\,J=2\,\pi\,\sim\cdot J\cdot 2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{\varrho}{r}+0,25\right) Der „induktive Spannungsabfall“ des Leiters (2) ist in analoger Weise gleich \Delta\,V_2=2\,\pi\,\sim\cdot L_2\,(-J)+2\,\pi\,\sim\cdot M_{12}\cdot J=-2\,\pi\,\sim\,(L_2-M_{12})\,J=-2\,\pi\,\sim\cdot 2\,l\,\left(\mbox{log nat }\frac{\varrho}{R}+0,25\right)\cdot J. Der induktive Spannungsabfall der Schleife berechnet sich zu ΔV = ΔV1 – ΔV2 = 2π ∾ . 2l \left(\mbox{log nat}\,\frac{\varrho^2}{R\,r}+0,50\right)\cdot J= =2\,\pi\,\sim\cdot J\cdot 1/2\,\left(4\,\mbox{log nat}\,\frac{\varrho^2}{R\,r}+2,0\right)\cdot l Diese Formel stimmt bis auf eine geringfügige Vernachlässigung mit der Formel (10) überein. Diese Uebereinstimmung ist einfach dadurch bedingt, dass die Glieder, die log nat l enthalten, sich in dem Endresultat aufheben. Die nach den Formeln (13) gerechneten Koeffizienten sind der Leiterlänge nicht proportional. Ihre Einführung ist willkürlich und nur durch die im Endresultat sich ergebende Uebereinstimmung bedingt. (Fortsetzung folgt.)