Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung: der n-fach übersetzten Hebelwage. Von Franz Lawaczeck, Dipl.-Ing., Camberg. (Fortsetzung von S. 684 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung usw. 7. Empfindlichkeit und Schwingungsdauer desselben Systems in ihrer gegenseitigen Abhängigkeit und ihre Abhängigkeit von der Massenverteilung. Schon die Analogien, die sich aus dem ähnlichen Bau der Gleichungen 24 und 10 ergeben, lassen auf den innigen Zusammenhang, der zwischen Empfindlichkeit und Schwingungszahl desselben Systems bestehen muss, schliessen. Die Abhängigkeit dieser beiden Eigenschaften von einander, ergibt sich direkt, wenn man Gleichung 10, die die Empfindlichkeit eines Hebelsystems ausdrückt, mit Gleichung 24, die die Schwingungszahl desselben Systems angibt, multipliziert. Das Resultat dieser Multiplikation ist die einfache Beziehung: z^2\,\Delta\,\varphi=\frac{3600}{\pi^2}\cdot \frac{\Delta\,L\,a}{J_0} . . . 26) welche besagt, dass das Produkt aus dem Quadrat, der Schwingungszahl und dem einer gewissen Zulage ΔL entsprechenden Ausschlagwinkel bei derselben Wage konstant sei, dass also der Ausschlagwinkel dem Quadrat der Schwingungszahl umgekehrt proportional sei. Da sowohl Gleichung 10 wie 24 auf Systeme beliebig vieler Glieder ausgedehnt werden kann, sieht man, dass die von Brauer in ähnlicher Gestalt nur für die gleicharmige Wage abgeleitete Beziehung der Gleichung 26 für alle möglichen Wagensysteme Geltung hat, dass also ganz allgemein für jede Wage gilt, dass ihre Schwingungszahl nur auf Kosten ihres Empfindlichkeitswinkels erhöht werden kann. Führt man die für die Empfindlichkeit selbst massgebende Grösse ein, die Senkung m der belasteten Endschneide infolge der Zulage \Delta\,L=\frac{L+F}{E}, wobei m = aΔϕ, und setzt man noch J0 = μa2, wobei μ, die auf a reduzierte Masse, nur von der Grösse und Verteilung der schwingenden Massen abhängt, so geht Gleichung 26 über in m\,z^2=\frac{3600}{\pi^2}\,\frac{1}{E}\,\frac{L+F}{\mu} . . . 27) d.h. bei gleicher Masse und Massenverteilung, gleicher Belastung und gleicher Empfindlichkeitsziffer besteht die einzige Möglichkeit, die Schwingungszahl zu erhöhen, darin m kleiner zu machen. Damit durch diese kleinere Senkung der Endschneiden, dennoch nicht die Empfindlichkeit sinkt, ist man genötigt, diese kleinere Senkung der Endschneide, oder die ihr entsprechende Verschiebung des mit ihr festverbundenen Zeigers durch eine Lupe oder ein Mikroskop zu betrachten. In der Tat wird dieses Mittel bei Präzisionswagen angewandt, um grosse Empfindlichkeit bei hinreichenden Schwingungszahlen erzielen zu können. Da bei einer fertigen Wage also das Produkt mz2 konstant ist bei feststehender Belastung und bestimmtem E, so wird man versuchen müssen, für jede neu zu erbauende Wage diesem Produkt einen möglichst hohen Wert zu verleihen. Die einzige Möglichkeit dafür besteht, wie Gleichung 27 erkennen lässt, in der Kleinhaltung von μ, den reduzierten Massen der Wage. Wir wollen deshalb im Folgenden die Abhängigkeit dieses Wertes μ von den Konstruktionsdaten erörtern. 8. Einfluss der Hebelübersetzung auf die Massenverteilung. Reduktion der Massen. Es war fi definiert durch \mu=\frac{J_0}{a^2}, wobei J0 das auf den Drehpunkt des ersten Hebels bezogene Trägheitsmoment, das der Trägheit sämtlicher schwingenden Massen gleichwertig war, und a der Hebelarm der Last L + F bezüglich der Drehschneide ebenfalls des ersten Hebels war. Für die Potenzwage der Fig. 6 war demnach J_0=J_1+J_2\,\frac{b^2}{c^2}+J_3\,\frac{b^2}{c^2}\,\frac{d^2}{e^2}+\frac{L+F}{g}\,(1+u)\,a^2, 28) wobei u=\frac{b\cdot d\cdot f}{a\cdot c\cdot e}. . . . . . 29) Wir setzen weiter mit den früheren Bezeichnungen das Trägheitsmoment des ersten Hebels, dessen Gewicht W1 ist: J_1=x_1\,\frac{W_1}{g}\,a^2, wobei demnach x1 die Zahl ist, mit der die Masse \frac{W_1}{g} des Hebels multipliziert werden muss, damit sie in der Entfernung a von der Drehschneide angehäuft gedacht, ein der wirklichen Massenverteilung entsprechendes gleichwertiges Trägheitsmoment bezüglich der Drehschneide ergibt, x hängt im wesentlichen nur von der Massenverteilung, d.h. von der Formgebung des Hebels ab, und soll sich immer auf den grössten durch Schneiden markierten Hebelarm eines Wagenhebels bezüglich der Drehschneide beziehen. Setzt man entsprechend: J_2=x_2\,\frac{W_2}{g}\,c^2, J_3=x_3\,\frac{W_3}{g}\,e^2, so wird J_0=\frac{a^2}{g}\,\left[x_1\,W_1+x_2\,W_2\,\frac{b^2}{a^2}+x_3\,W_3\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}+(L+F)\,(1+u)\right] 30) und damit μ, wenn man noch den Beitrag sämtlicher Hebel, den wir das reduzierte Hebelgesamtgewicht nennen können, mit ∑xWred. bezeichnet, \mu=\frac{1}{g}\,\left[\Sigma\,x\,W_{red.}+(L+F)\,(1+u)\right]. . 31) Selbst wenn nun die Gewichte der einzelnen Hebel infolge der Festigkeitsforderungen bei gegebenem L + F einigermassen feststehen sollten, erkennt man durch die Gleichungen 30 und 31, dass μ durch die Wahl der Uebersetzung u erheblich verändert werden kann, da sowohl der Beitrag der Last und des Gegengewichts (L + F)(1 + u) als auch der Beitrag ∑xWred, der aus einzelnen von der Uebersetzung abhängigen Summanden besteht, durch die Uebersetzung beeinflusst werden. Der erste Beitrag (L + F)(1 + u) ist in seiner Abhängigkeit von u leicht zu übersehen. Um auch ein Bild von der Abhängigkeit des Beitrages, den das reduzierte Hebelgewicht ∑xWred zu μ liefert, von der Uebersetzung u zu gewinnen, wollen wir uns etwa eine Potenzwage aus einer gleicharmigen (u = 1) Wage durch stetige Uebersetzungsänderung entstanden denken. Stellen wir uns nämlich vor, an einem zunächst gleicharmigen Wagenbalken würde die Uebersetzung zwischen Last und Gegengewicht geändert, indem die Mittelschneide verschoben würde, so fände diese Uebersetzungsänderung statt, ohne dass Gewicht oder Gesamtlänge des Hebels sich änderte. Denken wir uns diese Verschiebung so weit getrieben, als es praktisch mit Rücksicht auf die Schneidenunterbringung oder sonstige Umstände möglich ist, womit etwa eine Uebersetzung u1 erreicht sei, so müsste man, um die Uebersetzung zwischen Last und Gegengewicht weiter verstärken zu können, etwa nach Art der Potenzwage einen Hebel vorschalten; dieser zweite Hebel habe ein Gewicht W2 eine ebenfalls meist durch Raumverhältnisse bestimmte Länge c und zunächst eine Uebersetzung 1 : 1, die dann wieder durch Verschieben der Mittelschneide, die jetzt keineswegs mehr Drehschneide sein muss – vielmehr kann der Hebel auch einarmig gedacht sein, dann trägt die Mittelschneide die Last – allmählich im selben Sinne, wie bei dem ersten Hebel verstärkt wird bis zu einer praktischen Grenze u2. Alsdann möge ein dritter Hebel des Gewichtes W3 vorgeschaltet werden, und so weiter bis zur beliebigen Gesamtübersetzung u. (s. Fig. 13 S. 697.) Wollen wir den einer solchen Wage zugehörigen Wert ∑xWred seiner gedachten Entstehung zufolge also unter Voraussetzung unveränderlicher Hebelgewichte, als eine Funktion von u in einer Kurve graphisch darstellen, so müssen wir zunächst noch untersuchen, ob und wie sich die Reduktionsfaktoren x, von denen, wie aus Gleichung 30 ersichtlich, das reduzierte Gesamtgewicht abhängt, mit der Uebersetzung u ändern. Um den Zusammenhang zwischen u und x zu erkennen, wollen wir die Form der Hebel als rechtwinklige Parallelepipede auffassen, eine Auffassung, die uns von der Wirklichkeit nicht allzusehr entfernt, wenn wir von den als Gitterträger ausgebildeten Wagebalken der Präzisionswagen absehen. Textabbildung Bd. 321, S. 695 Fig. 10. Fig. 10 möge also einen Hebel konstanter Dicke und Breite darstellen, AB seien senkrecht zur Papierebene stehende fest mit dem Hebel verbundene Schneiden, während die parallele Winkelschneide C in der Längsachse verschiebbar gedacht ist. Es sei C die Drehschneide; demnach stellt die Figur einen zweiarmigen Hebel vor. Befindet sich nun die Schneide C in einer Entfernung x von A, so ist das Trägheitsmoment des Hebels, bezogen auf die Drehschneide C: J=J_s+\frac{W}{g}\,(a_1-x)^2, sofern W das Hebelgewicht, Js das auf die C parallele Schwerpunktsachse bezogene Trägheitsmoment des Hebels bedeutet. Da J_s=\frac{1}{3}\,\frac{1/2\,W_1}{g}\,2\,{a_1}^2, wird J=\left[\frac{1}{3}\,{a_1}^2+(a_1-x)^2\right]\,\frac{W}{g}. Den Wert x kann man nun sowohl auf A wie auf B beziehen, da man sich in jeder der beiden Schneiden eine Masse μ angehängt denken könnte, die bezüglich der Drehachse C ein J gleichwertiges Trägheitsmoment erzeugte. Wir wollen beide Möglichkeiten untersuchen. Ist zunächst x auf B bezogen, so ist der Definition von x zufolge x=\frac{J}{(2\,a_1-x)^2\cdot \frac{W}{g}}=\frac{\frac{1}{3}\,{a_1}^2+(a_1-x)^2}{(2\,a_1-x)^2}, und sofern u=\frac{x}{2\,a_1-x}, ergibt sich x=\frac{1}{3}\,(1-u+u^2) . . . . . . . 32) Wird der Reduktionsfaktor auf die Schneide A bezogen, so wird, wenn wieder der Wert u=\frac{x}{2\,a_1-x} eingeführt wird, x'=\frac{J}{x^2}=\frac{1/3\,{a_1}^2+(a_1-x)^2}{x^2}=\frac{1}{3}\,\left(1-\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2}\right)=x\,\frac{1}{u^2} 33) Tragen wir der Gleichung 32 entsprechende Werte von u auf der Abscisse, die zugehörigen Werte von x auf der Ordinate eines rechtwinkligen Koordinatensystems auf, so erhalten wir eine Parabel, deren Scheitel einem Minimum für x mit x = ¼ entspricht und bei u = ½ liegt. Dem Werte u = 0 sowohl, wie u = 1 entspricht der Wert x = ⅓, während u = ∞ x = ∞ ergibt, (s. Fig. 11.) Der zweiten Gleichung für x', Gleichung 33, entsprechende Werte sind ebenfalls in dieser Figur eingetragen. Die Kurve für x' zeigt ein Minimum bei u = 2 entsprechend u = ½ ebenfalls mit x'min = ¼, hat bei u 9 1 den Wert x' = ⅓ und nähert sich diesem Werte wieder asymptotisch für u = ∞, während für u = 0 sich der Wert x' = ∞ ergibt. Textabbildung Bd. 321, S. 696 Fig. 11. Man sieht aus dem Verlauf der Kurven, dass sich die Werte von x und x' innerhalb sehr weiter Grenzen mit der Uebersetzung ändern. Setzt man indessen, wie früher bereits geschehen, fest, dass man unter x jeweils den Wert des Reduktionsfaktors versteht, bei dem die reduzierte Masse des Hebels auf die von der Drehschneide am weitest entfernten Schneide bezogen wird, so wird dieser Wert x von u = 0 bis u= 1 in Fig. 11 durch das entsprechende Parabelstück, über u = 1 hinaus durch das unterhalb ihrer Asymptote verlaufende Kurvenstück der x'-Kurve dargestellt, so dass der Reduktionsfaktor zwischen u = 0 und u = ∞ nur mehr zwischen x = ¼ bis x = ⅓ schwankt. (Die beiden Kurvenstücke, die bei u = 1 einen Punkt gemeinsam haben, sind in der Fig. 11 – quasi als eine Kurve – ausgezogen.) Mit obiger Festsetzung erreicht man einmal die Beseitigung der Zweideutigkeit des Reduktionsfaktors, dann aber auch den praktischen Vorteil, dass man meist die nunmehr geringe Veränderlichkeit von x bei zweiarmigen Hebeln ganz vernachlässigen kann. Bei einarmigen Hebeln ergibt sich der Reduktionsfaktor, wenn man in Fig. 10 etwa A nunmehr als feste Drehschneide auffasst. Die Uebersetzungsänderung soll wieder durch Verschieben von C vorgenommen werden, dann wird x, sofern es auf den grössten Hebelarm, l, bezogen wird: x=\frac{\frac{1}{3}\,W/g\,l^2}{W/g\,l^2}=1/3=\mbox{konst.}, . . 34) da sich jetzt ja das Trägheitsmoment, das nunmehr stets auf eine festliegende Achse, A, bezogen werden muss, nicht ändert, ebensowenig wie die feste unveränderliche Entfernung l. Hätte man den Reduktionsfaktor auf den kürzeren Hebelarm, d.h. auf x, bezogen, so hätte sich x' ergeben zu x'=\frac{J}{x^2\cdot W/g}=\frac{1}{3}\,\frac{l^2}{x^2}=x/u^2, sofern u=\frac{x}{l}. 35) Nachdem wir uns so das Verhalten des Reduktionsfaktors klar gemacht haben, können wir den Ausdruck für ∑xWred weiter diskutieren. In Gleichung 30 bezw. 31 hatte sich für ∑xWred unter Berücksichtigung dessen, dass der Reduktionsfaktor auf den längsten Hebelarm eines jeden Hebels bezogen werden solle, der Ausdruck ergeben: \Sigma\,x\,W_{red.}=x_1\,W_1+x_2\,W_2\,\frac{b^2}{a^2}+x_3\,W_3\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}, . 36) der demnach gilt, solange b < a, d < c, f < e, solange also u < 1. Denken wir uns die Potenzwage der Fig. 6 für eine Verstärkung der Uebersetzung im Sinne u < 1 aus einer gleicharmigen Wage so entwickelt wie auf Seite 681 beschrieben, also unter Beibehaltung der jeweils als feststehend gegebenen Hebelgewichte W1, W2, so ist x1 als mit u veränderlich x2, x3 dagegen als unveränderlich anzusehen, weil die letzten auf einen einarmigen Hebel bezogen sind. Und zwar wird das Veränderungsgesetz für x1 durch Gleichung 32 ausgedrückt. Demnach wird sich die graphische Darstellung des Aenderungsgesetzes für ∑xWred im Sinne der Entstehung der Potenzwage aus der gleicharmigen Wage folgendermassen gestalten, wenn man ∑x Wred auf der Ordinate, u auf der Abscisse eines rechtwinkligen Koordinatensystems aufträgt: Zunächst nimmt nach einem Parabelbogen ∑xWred von dem Werte (∑xWred)1 = ⅓W1 bei u = 1 ab bis zu dem Minimum ∑xWred = ¼W1, um dann wieder zu wachsen, ohne indessen seinen früheren Wert ⅓W1 wieder zu erreichen. Treibt man die Uebersetzung bis zu u_1=\frac{b}{a}, so entspricht diesem Werte ein gewisser aus Gleichung 32 zu berechnender Wert x1W1. Durch Vorschalten des zweiten Hebels springt dann bei u1 der Betrag ∑xWred plötzlich um x2W2u12, um dann konstant zu bleiben, bis der dritte Hebel bei u=u_2=\frac{b}{a}\,\frac{d}{c} vorgeschaltet wird, für den ∑kWred wiederum nach einem Sprung um k3W3u22 konstant bleibt. Der Gleichung 36 entspricht also der Teil des Diagramms (Fig. 12) für u < 1. Wäre der zweite und dritte Vorschalthebel zweiarmig gewesen, so müssten die Geraden zwischen den Punkten AB und DC durch Parabelbögen ersetzt werden, die aber sehr flach würden, (die Reduktionsfaktoren würden sich dann nämlich auch nach dem Gesetze der Gleichung 32 ändern). Textabbildung Bd. 321, S. 697 Fig. 12. Textabbildung Bd. 321, S. 697 Fig. 13. Textabbildung Bd. 321, S. 697 Fig. 14. Man erkennt jedenfalls aus dem Verlauf des Diagrammes für u < 1, dass bei hinreichend starker Uebersetzung die Beiträge des zweiten und dritten Hebels leicht vernachlässigbar klein gemacht werden können, dass für u < 1 angenähert ∑xWred = x'W1 = konst. gesetzt werden kann. Für u > 1 erhalten wir, wieder von der gleicharmigen Wage ausgehend den Wagentypus der Skizze (Fig. 14). Da jetzt b > d, a > c, f > e geworden ist, gilt Gleichung 36 für das reduzierte Hebelgewicht nicht mehr, da in der vorliegenden Form jetzt die Reduktionsfaktoren auf den jeweils kürzesten Hebelarm bezogen sind, es sei denn, dass wir diese stark veränderlichen Reduktionsfaktoren durch die kleineren Werte ersetzen, die auf den längeren Hebelarm zu beziehen sind. Wir wollen also nach Gleichung 33x1' = x1/u2 einführen, wo x1 der der Parabel in Fig. 11 entsprechende Wert, x1' der der anderen Kurve zugehörige Wert ist, der für u > 1 sich asymptotisch dem Grenzwert ⅓ nähert; und u_a=\frac{b}{a}\,>\,1 ist. Ebenso muss x2' = x2/ub2 eingeführt werden, wobei x2' der (für einarmige Hebel!) konstante Wert ⅓ ist, während u_b=\frac{x}{l}=\frac{d}{c}. Entsprechend ist x'_3=\frac{x_3}{{u_c}^2} zu setzten, womit Gleichung 36 übergeht in \Sigma\,x\,W_{red}=x'_1\,W_1\,\frac{b^2}{a^2}+x'_2\,W_2\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}+x'_3\,W_3\,\frac{b^2\,d^2\,f^2}{a^2\,c^2\,e^2}=x'_1\,W_1\,{u_1}^2+x'_2\,W_2\,{u_2}^2\,x+x'_3\,W_3\,{u_3}^2 . 37) in dieser Gleichung ist das einem zweiarmigen Hebel entsprechende x1' immer noch, wenn auch nur wenig mit u veränderlich, ebenso wären x2' und x3', wenn auch diese Vorschalthebel zweiarmig wären, noch veränderlich, allerdings ebenfalls in nur sehr geringem Masse; sehen wir einmal von dieser Veränderlichkeit, die nachher berücksichtigt werden soll, ab, oder nehmen wir an, es seien nur einarmige Hebel vorhanden, so ergibt die Darstellung der Gleichung 37 eine Schar Parabeln, deren Scheiteldurchmesser zusammenfallen (s. Fig. 12). Die bei Benutzung nur eines Hebels geltende Beziehung ∑xWred = x1'W1u2 ergibt, wenn man wieder ∑xWred auf der Ordinate, u auf der Abscisse abträgt, eine Parabel, deren Scheitel bei u = 0 und ∑xWred = 0 liegt, (s. Fig. 12.) Treibt man die Uebersetzung an dem ersten Hebel bis \frac{b}{a}=u_1, so wird bei u1 durch Zuschalten des zweiten Hebels ein Sprung für ∑xWred eintreten, um den Betrag x2W2u12; danach wächst ∑xWred nach einer Parabel, deren Scheitel bei u = 0 und bei ∑xWred = x1'W1u12 liegt. Schaltet man bei u_2=\frac{b}{a}\,\frac{d}{c} den dritten Hebel vor, so geht das Wachstum von ∑xWred wiederum nach einem Sprung um x3W3u22 nach einer Parabel weiter, deren Scheitel bei u = 0 und ∑xWred = x1W1u12 + x2W2u22 liegt, und so fort für jeden weiteren Vorschalthebel. Diesen Verhältnissen entsprechend ist das Diagramm I für u > 1 in Fig. 12 entworfen. Wären die Vorschalthebel zweiarmige Hebel, so wären, wie bereits bemerkt, auch die Faktoren x2', x3' ebenso wie x1', für sich noch mit u veränderlich. Da das Aenderungsgesetz für x1' nach Gleichung 33 lautet x'_1=1/3\,\left(1+\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}\right) so wird mit Berücksichtigung dieses der Beitrag des ersten Hebels zu ∑xWred ausgedrückt durch \Sigma\,x\,W_{red}=\frac{1}{3}\,W_1\,\left(1+\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}\right)\,u^2=\frac{1}{3}\,W_1\,(u^2-u+1). Dieser Gleichung entspricht wieder eine Parabel, die denselben Parameter hat, wie die bereits für konstantes x1' = ⅓ in Figur 12, I eingezeichnete; sie ist gegen diese nur so verschoben, dass ihr Scheitel bei u = ½ und ∑xWred = ¼W1 liegt. Ist der zweite Hebel ebenfalls zweiarmig gedacht, so gilt für ihn x'_2=1/3\,\left(\frac{1}{u'}-\frac{1}{u'}+1\right), wenn u' die jeweils veränderlich zu denkende Teilübersetzung an diesem Hebel ist; damit wird der zugehörige Wert ∑xWred \Sigma\,x\,W_{red}=x'_1\,W_1\,\frac{b^2}{a^2}+x'_2\,W_1\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c}=x'\,W_1\,{u_1}^2+x'_2\,W_1\,{u_1}^2\cdot (u')^2 nach Einsetzung des Wertes für x2' \begin{array}{rcl}\Sigma\,x\,W_{red}&=&x'_1\,W_1\,{u_1}^2+1/3\,W_2\,{u_1}^2\left(\frac{1}{u'^2}-\frac{1}{u'}+1\right)\,u'^2\\&=&x'_1\,\Sigma_1\,{u_1}^2+\frac{1}{3}\,W_2\,{u_1}^2\cdot (u'^2-u'+1)\\&=&x'_1\,W_1\,{u_1}^2+\frac{1}{3}\,W_2\,(u^2-u\cdot u_1+{u_1}^2);\end{array} . 37a) auch diese Gleichung ergibt dieselbe Parabel, wie sie erhalten wurde, wenn x'2 = konst. = ⅓ gesetzt wurde, nur liegt der Scheitel für die letztere, dem zweiarmigen Hebel entsprechende Parabel bei u' = ½, also bei u = ½u1, und bei \Sigma\,x\,W_{red}=x_1\,W_1\,{u_1}^2+\frac{1}{4}\,W_2\,{u_1}^2. Analog ergibt sich für weitere zweiarmige Vorschalthebel nur eine Verschiebung derselben einem einarmigen Hebel entsprechenden Parabel. Die zweiarmigen Vorschalthebeln entsprechende Aenderung von ∑xWred ist in Fig. 12 durch Curve II dargestellt. Diese Figur ergibt somit ein vollständiges Bild der Abhängigkeit des auf den Drehpunkt des ersten Hebels einer Potenzwage reduzierten Gesamtgewichtes von der Uebersetzung, wenn die Hebelgewichte selbst als feststehend und unveränderlich angesehen werden. Nun wird aber diese Uebersetzung einen Einfluss auch auf das zweckmässigste Gewicht eines Hebels insofern haben können, als mit der Uebersetzung ein Teil der an dem Hebel wirkenden Kräfte der Grösse nach sich ändert und damit die die Querschnittsgrösse des Hebels bedingenden Biegemomente andere werden. Da indessen die Form dieser Querschnitte auch bei bestimmter Beanspruchung noch einigermassen willkürlich, die Form des ganzen Hebels wesentlich durch Herstellungsrücksichten und Raumverhältnisse mitbedingt ist, lässt sich der mathematische Zusammenhang zwischen Uebersetzung und zweckmässigstem Gewicht nicht konstruieren. Wir müssen uns vielmehr damit begnügen, mehrere verschiedene Hebelgewichte, die etwa für praktische Ausführung in Frage kommen könnten, der Ableitung der Potenzwage, wie sie oben geschildert wurde, zugrunde zu legen. Dann erhalten wir für die verschiedenen Hebelgewichte eine Schar von Kurven gleichen Charakters, wie eine durch die Fig. 12 dargestelllt ist. (Fortsetzung folgt.)