Fortschritte in der Theorie des Eisenbetons seit 1904. Von Dr.-Ing. P. Weiske, Kassel. Fortschritte in der Theorie des Eisenbetons seit 1904. Ein Markstein in der Entwicklung des Eisenbetonbaues ist in Deutschland die Herausgabe der amtlichen Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 16. April 1904. Vor dieser Zeit herrschte eine große Verschiedenheit in der Verwendung der Berechnungsverfahren zur Bemessung der Eisenbetonbauten. Dies hatte zur Folge, daß die Prüfung derartiger Berechnungen für die Behörden sehr lästig war, und daß das Vertrauen derselben zu den neuen Konstruktionen nicht gerade gesteigert wurde. – Durch die Herausgabe der „Bestimmungen“ wurde die neue Bauweise amtlich anerkannt. Außerdem wurde ein verhältnismäßig einfacher Rechnungsgang festgelegt, der in der Folge zahlreiche Arbeiten zur Gewinnung direkter Dimensionierungsformeln und Tabellen auslöste. Für die vorwärtsarbeitende Theorie wurde eine gewisse Richtschnur gegeben, nach der Versuche anzustellen und welche Fragen noch aufzuklären seien. In den folgenden Zeilen wollen wir versuchen, eine Uebersicht über beide Arbeitsgebiete zu geben, über die Fortschritte in der praktischen Dimensionierung der Eisenbetonbauten und über die Fortschritte ihrer Theorie. Bei der großen Menge der erschienenen Arbeiten konnten nicht alle berücksichtigt und gewürdigt werden, da hierzu der verfügbare Raum nicht ausreichen würde. Es sollen daher hauptsächlich typische Beispiele aus der Literatur hervorgehoben werden. Die Leitsätze, welche den amtlichen Bestimmungen zugrunde gelegt sind, sind folgende: 1. Das Elastizitätsmaß des Eisens ist zu dem fünfzehnfachen von dem des Betons anzunehmen. 2. Die Spannungen des auf Biegung beanspruchten Körpers sind unter der Annahme zu berechnen, daß sich die Dehnungen wie die Abstände von der Nullinie verhalten und daß die Eiseneinlagen sämtliche Zugkräfte aufzunehmen haben. 3. Schubspannungen sind nachzuweisen, wenn Form und Ausbildung der Bauteile ihre Unschädlichkeit nicht ohne weiteres erkennen lassen. 4. Die Eiseneinlagen sind möglichst so zu gestalten, daß die Verschiebung gegen den Beton durch ihre Form verhindert wird. Soweit dies nicht geschieht, ist die Haftspannung rechnerisch nachzuweisen. 5. Die Berechnung der Stützen auf Knicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das 18 fache der kleinsten Querschnittsabmessung beträgt. Zur Berechnung der Stützen auf Knicken ist die Eulersche Formel anzuwenden. Außerdem sind noch Angaben über die Ermittelung der Belastungen und äußeren Kräfte, sowie über die zulässigen Spannungen gemacht. Im Anschluß hieran werden in den „Bestimmungen“ Formeln abgeleitet für die Ermittelung der Lage der Nulllinie und der Größe der Spannungen in Platten, Plattenbalken, Säulen und Gewölben von gegebenem Querschnitt. Für die Praxis ist es wichtiger, direkte Dimensionierungsformeln zu haben, bei welchen die zulässigen Spannungen angenommen sind. Man kann aus den „Bestimmungen“ Formeln ableiten für die Nutzhöhe h und den Eisenquerschnitt Fe. Mit der Aufstellung von Formeln für die direkte Bemessung der Querschnitte beschäftigen sich eine Reihe von Arbeiten. Die ausführlichste Arbeit lieferte Barkhausen (Deutsche Bauzeitung 1905, No. 1, 4, 5), weitere Beiträge stammen u.a. von Mörsch (Eisenbetonbau, herausgegeben von Wayß und Freytag), Turley, Ramisch, Weiske, Elwitz. Wir wollen das Verfahren der Dimensionierung der Platten und Plattenbalken kurz erläutern: Textabbildung Bd. 322, S. 113 Fig. 1a. Textabbildung Bd. 322, S. 113 Fig. 1b. In Fig. 1a und b bezeichnet x die Breite der Druckzone, h die Nutzhöhe (Abstand der Eiseneinlage von der Druckkante), d die Plattenstärke, b die Breite der Druckzone (gew. b = 100), σd und σe die zulässigen Beanspruchungen von Beton und Eisen, Fe den Eisenquerschnitt. Dann ist: I. Die Breite der Druckzone: x=\frac{1}{1+\frac{\sigma_e}{15\,\sigma_d}}\cdot h II. Der Abstand von Druck- und Zugmittelpunkt h1: 1. für Platten und Plattenbalken mit d > x h_1=h-\frac{x}{3} 2. für Plattenbalken mit d < x h_1=h-\frac{d}{2}\cdot \frac{6-4\cdot \frac{d}{x}}{6-3\cdot \frac{d}{x}} allgemein h1 = φh. III. Der Eisenquerschnitt: a) für Platten und Plattenbalken mit d > x F_e=\frac{b\,x}{2}\cdot \frac{\sigma_d}{\sigma_e}, b) für Plattenbalken mit d < x F_e=b\,d\,\left(1-\frac{d}{2\,x}\right)\,\frac{\sigma_d}{\sigma_e}, allgemein F e = μ . bh. Da nun das Biegungsmoment M = σe . Fe . h1 ist, läßt sich auch schreiben: M = σeμ . φ . h2 oder h=\sqrt{\frac{1}{\mu\cdot \varphi\cdot \sigma_e}}\cdot \sqrt{M}. Setzt man das Biegungsmoment in mt für Im Breite ein, so ist h=\sqrt{\frac{1000}{\mu\,\varphi\cdot \sigma_e}}\cdot \sqrt{M}. Die Benutzung dieser Formeln und der Einfluß der Verminderung der Plattenstärke bezw. des Verhältnisses \frac{d}{h} ist für die Spannungen σd = 40 kg/qcm und σe = 1200 kg/qcm aus folgender Tabelle ersichtlich: d/h h 1 h = a√M Fe= b√M Fe = μbh Bemerkung σd = 40 kg/qcmσe = 1200 kg/qcmx = 0,333 h 0,100,150,200,250,300,333 0,953 h0,932 h0,914 h0,900 h0,891 h0,889 h 17,6 √M15,2    „14,0    „13,3    „13,1    „13,0    „ 5,0 √M5,9    „6,5    „6,9    „7,2    „7,2    „ 0,283 \frac{b\,h}{100}0,388     „0,466     „0,521     „0,550     „0,556     „ M ist einzu-setzen in mt Aus dieser Tabelle erkennt man, daß mit abnehmender Plattenstärke die erforderliche Höhe wächst und der Eisenquerschnitt abnimmt. Für doppelte Armierung auf der Zug- und Druckseite kann man ähnliche Formeln ableiten. Man wird die doppelte Armierung wählen bei beschränkter Konstruktionshöhe, namentlich bei dem Anschluß von Plattenbalken an Säulen, wenn die Plattenbalken über mehrere Säulen weglaufen. Im allgemeinen ist es vorteilhafter, bei beschränkter Konstruktionshöhe mit niedrigeren Eisenbeanspruchungen und einfacher Armierung zu arbeiten. Für den praktischen Gebrauch sind mit Benutzung ähnlicher Formeln mehrere Tabellenwerke herausgegeben, aus welchen die Abmessungen für gegebene Nutzlasten entnommen werden können. Zu erwähnen sind die Tabellen von Kaufmann, von Schybilsky (beide bei Ernst & Sohn erschienen), von Schellenberger und von Ramisch-Göldel (beide im Verlag der „Tonindustriezeitung“ erschienen). Die Benutzung von Tabellen hat namentlich bei Plattenbalken mit Vorsicht zu geschehen. Die Tabellen sind berechnet unter Zugrundelegung der zulässigen Normalspannungen im gefährlichen Querschnitt. Sache des Konstrukteurs ist es, den so ermittelten Querschnitt gegen zu große Schub- und Scherspannungen durch Aufbiegen der Eisen, Einlegen der Bügel, möglichst große Teilung des Eisenquerschnittes und genügende Rippenbreite zu sichern. Neuere Versuche, auf welche wir später noch zurückkommen, haben bewiesen, daß nicht so sehr übergroße Normalspannungen, sondern zu große Schub- und Haftspannungen die Bruchursache waren. In den amtlichen Bestimmungen ist diesen Verhältnissen durch Annahme einer zulässigen Beanspruchung auf Schub von nur 4,5 kg/qcm und einer gleich großen zulässigen Haftspannung Rechnung getragen. Es muß noch erwähnt werden, daß auch auf graphischem Wege sich die Aufgabe der direkten Dimensionierung lösen läßt. Mit Hilfe von Kraft und Seileck ist die Aufgabe gelöst von Weiske u.a. in der „Tonindustriezeitung“ 1905, No. 48. Ein anderes graphisches Verfahren stammt von v. Emperger, dasselbe ist von ihm u.a. erneut erörtert in dem Aufsatz: „Eine rationelle Bestimmung der Abmessungen von Balken“ („Beton und Eisen“ 1906, Heft II). Aus einem vierachsigen Diagramm kann man für gegebene Momentenwerte die Stützhöhen h, die Eisenquerschnitte Fe und die mit Berücksichtigung der Haftspannungen zu wählenden Durchmesser der Eisen δ entnehmen. Neuerdings hat auf ähnlicher Grundlage, allerdings ohne Berücksichtigung der Schub- und Haftspannungen, Haimovici graphische Tabellen herausgegeben. (Verlag von B. G. Teubner). Die Untersuchung der Spannungen in exzentrisch gedrückten Querschnitten (Säulen und Gewölbe) führt auf eine Gleichung dritten Grades zur Bestimmung der Lage der Nullinie. Die Lösung derselben ist unbequem. Eine Erleichterung gewähren die graphisch dargestellten Auflösungen dieser Gleichungen für gegebene Werte des Biegungsmomentes, des Normaldruckes und des Eisenbetonquerschnittes, die in Diagrammen vereinigt sind in Mörsch-Weyß und Freytag, „Der Eisenbetonbau“, S. 115. Für das Entwerfen empfiehlt sich wieder die Benutzung von direkten Dimensionierungsformeln. Ist P die Normalkraft und e0 ihr Abstand von der Achse des Stützen- oder Gewölbequerschnittes, so ermittelt man zunächst unter Zugrundelegung einer durchschnittlichen Spannung σ0 den Betonquerschnitt und legt hierdurch den Abstand der Kraft P vom Druckrande ± e fest. (Fig. 2.) Das Verhältnis der Breite der gedrückten Zone x zur Nutzhöhe h ist durch die unrein quadratische Gleichung: \frac{x}{h}=1,5-\sqrt{2,25-6\,\left(1-\frac{e}{h}\right)\,\frac{\sigma_o}{\sigma_d}}. . 1 gegeben. σd ist die anzunehmende größte Kantenpressung. Hierbei muß \frac{\sigma_d}{\sigma_o}\,<\,\frac{2}{3}\,\left(\frac{h}{e}\right) sein, weil sonst keine Eiseneinlagen erforderlich sind. Der Eisenquerschnitt in der Zugzone ergibt sich aus der Gleichung \mu=\frac{F_e}{b\,h}=\frac{\left(\frac{x}{h}\right)^2-3\,\left(\frac{x}{h}\right)\cdot \frac{e}{h}}{90\cdot \frac{1-\frac{x}{h}}{\frac{x}{h}}\cdot \left(1-\frac{e}{h}\right)}. . . 2 Die Zugspannung in der Eiseneinlage ergibt sich dann aus der Gleichung \sigma_e=n\cdot \frac{2-\frac{x}{h}}{\frac{x}{h}}\cdot \sigma_d. . . . . 3 hierbei ist n = 15 anzunehmen. Ist e negativ (wenn P außerhalb des Querschnitts wirkt), so ist das Vorzeichen der mit e behafteten Glieder in den Gleichungen 1 und 2 umzukehren. Die Kenntnis einer weiteren Lösung dieser Aufgabe verdanke ich der persönlichen Mitteilung des Herrn Professor Dr.-Ing. Hotopp, Hannover. Hotopp berechnet aus einer unrein quadratischen Gleichung die Nutzhöhe h für gegebene Werte von P und e0 und gibt für angenommene Spannungen den Eisenquerschnitt Fe als Funktion von h an. Praktische Dimensionierungsformeln liefert auch die Arbeit von Fröhlich: „Das Widerstandsmoment des Eisenbetonquerschnittes und seine Anwendung im Gewölbebau. Beton und Eisen 1906, S. 43.“ Eine Berechnung der Säulen auf Zerknicken ist im allgemeinen nicht erforderlich, da die amtlichen Bestimmungen eine solche nur vorschreiben für den Fall, daß die Säulenhöhe größer als das achtzehnfache der kleinsten Querschnittsabmessung ist. Textabbildung Bd. 322, S. 115 Fig. 2. Für diesen Fall läßt sich aus den Bestimmungen die praktische Formel für das Trägheitsmoment in cm4 ableiten. J = 70 Pl2, hierbei ist P in x, l in m einzusetzen. Bei der Berechnung des Trägheitsmoments ist das Eisen mit dem 15 fachen Querschnitt einzuführen. – (Fortsetzung folgt.)