Beitrag zur Theorie der Dampfmaschinen-Regulierung. Von Dr. W. Hort. Beitrag zur Theorie der Dampfmaschinen-Regulierung. Der Betrachtung des Reguliervorganges der Dampfmaschine und der Bedingungen für das Zustandekommen einer stabilen Regulierung sind eine große Anzahl beachtenswerter Arbeiten gewidmet worden. Wir sind durch sie im Besitz zeichnerischer und rechnerischer Methoden zur Vorausberechnung der bei einem Belastungswechsel sich abspielenden Bewegungsvorgänge der Dampfmaschine, wir kennen auch die Bedingungen für die Stabilität der Regulierung. In letzterer Hinsicht sind Arbeiten von WischnegradskiZivilingenieur 1877, S. 95. und von StodolaZ. d. V. d. I. 1899, S. 506, 673. von besonderer Wichtigkeit. Kurz zusammengefaßt kann man die Resultate dieser Forscher in folgenden Sätzen aussprechen: 1. Ohne Oelbremse ist jeder Zentrifugalregulator für eine stabile Regulierung unbrauchbar. 2. Unter Umständen kann die Wirkung der Oelbremse durch die Eigenreibung des Regulators und des Stellzugs ersetzt werden. 3. In jedem Falle läßt sich die Größe der Bremswirkung so bestimmen, daß der Reguliervorgang aperiodisch verläuft. 4. Ein astatischer Regulator ist auch in Verbindung mit einer Oelbremse unbrauchbarBezüglich der von Stodola a. a. O. behandelten Beharrungsregler lassen sich ähnliche etwas allgemeinere Sätze aufstellen, worauf hier nicht weiter eingegangen wird.. Die Aufstellung dieser einfachen Sätze hatte eine Voraussetzung, die auf die Dampfmaschine nicht genau zutrifft: nämlich die, daß in jedem Augenblick das Drehmoment von der Stellung des Regulators beherrscht sei. Streng genommen gilt dies nur für Turbinen, während bei Kolbendampfmaschinen immer nur die Regulatorstellung im Augenblick des Steuerungsabschlusses für das mittlere Drehmoment während des betreffenden Hubes maßgebend ist. Man kann daher die Kolbenmaschinenregulierung gegenüber der Turbinenregulierung als unstetig bezeichnen. Von diesem zutreffenderen Standpunkt aus ist die Regulierungstheorie der Dampfmaschine ebenfalls schon behandelt worden, so von KarglZivilingenieur 1871, S. 266. und neuerdings von RülfDer Reguliervorgang bei Dampfmaschinen. Berlin 1902. Springer.. In erster Linie haben diese beiden Verfasser zeichnerische und rechnerische Verfahren zur Verfolgung des Regelungsvorganges selbst angegeben. Textabbildung Bd. 322, S. 337 Fig. 1. Mit der Aufsuchung der diesem Standpunkt entsprechenden Stabilitätsbedingungen beschäftigt sich eine Arbeit des Verfassers dieser Zeilen in der Zeitschrift für Math. und Physik 1904, 3. Heft. Auf diese Arbeit soll hier in Kürze zurückgekommen werden, mit einer Erweiterung, die sich auf den Nachweis der Ungültigkeit des oben genannten Satzes 1 bezieht, wenn man von der tatsächlich vorhandenen Unstetigkeit der Kolbenmaschinenregulierung ausgeht. Textabbildung Bd. 322, S. 337 Fig. 2. Wir führen folgende Bezeichnungen ein (s. Fig. 1 und 2): Θ = Trägheitsmoment des Schwungrades. r = Kurbelradius. ϑ = Kurbelwinkel positiv gezählt von der vor-deren Totlage nach oben; auch die Dre-hung der Maschinen erfolge in dieser Rich-tung, also rechtsläufig. z = Regulatorhub. z = + z° = in der höchsten Stellung. z = – z° = in der tiefsten Stellung. z =   0   = in der mittleren Stellung. ωm = mittlere Winkelgeschwindigkeit der Ma-schine, entspr. dem Beharrungszustand mitz = 0. ωm + η0 = höchste Winkelgeschwindigkeit im Be-harrungszustande mit z = + z0 (Leerlauf). ωm– η0 = kleinste Winkelgeschwindigkeit im Behar-rungszustande mit z = – z0 (Vollast). M0 = mittl. Tangentialdruckmoment beim Leerlauf. M0+ Mm = mittl. Tangentialdruckmoment bei mittl. Be-lastung. M0 + 2 Mm = mittl. Tangentialdruckmoment bei Vollast. Wr = Widerstandsmoment der Maschinenreibung,unabhängig von der Geschwindigkeit undder Belastung. W = Widerstandsmoment der Belastung. Ueber den Regulator setzen wir weiter folgendes fest. Es sei ein Zentrifugalregulator mit Feder oder Gewichtsbelastung; seine Schwingungsgleichung sei: m\,\frac{d^2\,z}{dt^2}+b\,\frac{dz}{dt}+c\,\left(z-\frac{z^0}{\delta\,\omega_m}\,\eta\right) z ist hier der Muffenhub, t ist die Zeit, m ist eine Konstante, abhängig von den Abmessungen und Massen der Regulatorteile; die Konstante b trage dem Einfluß der Oelbremse und der Eigen- und Stellzeugreibung Rechnung, die Konstante c ist aus den Gewichten, Federkräften und Abmessungen des Regulators zusammengesetzt, m, b, c lassen sich für jeden gegebenen Regulator berechnen. Im übrigen hat die Gleichung 1 folgenden Sinn: Dreht sich der Regulator mit konstanter mittlerer Winkelgeschwindigkeit ωm (η = 0) um seine Achse, so wird seine Muffe in ihrer mittleren Ruhelage z = 0 verharren. Bringt man nun die Muffe (bei übrigens ungeänderter Winkelgeschwindigkeit) aus ihrer Ruhelage heraus, so wird sie, freigelassen, um die Lage z = 0 eine Schwingung nach obiger Differentialgleichung ausführen. Ist die Winkelgeschwindigkeit des Beharrungszustandes von ωm verschieden und etwa ωm + η, so wird die Ruhelage der Muffe bei z=\frac{z^0}{\delta\,\omega_m}\,\eta sich einstellen und dieser Punkt wird wieder der Schwingungsmittelpunkt der Muffenbewegung sein. Ist schließlich η mit der Zeit veränderlich, so gilt Gleichung 1 ebenfalls für die Regulatorbewegung; wir haben in diesem Falle eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit Störungsfunktion. Zur Erläuterung des Einflusses des Regulators auf die Drehmomente M diene Fig. 3. In dem oberen Diagramm bedeuten die Ordinaten q die Kanaleröffnungen bezw. die Ventilerhebungen in Funktion des Kurbel winkeis. In der anderen Figur ist in bekannter Weise das Drehmomentdiagramm gezeichnet. Der Flächeninhalt desselben und damit die Maschinenleistung ist wesentlich von dem früheren oder späteren Abschluß der Steuerorgane, der Füllung abhängig. Wir setzen nun voraus, daß die Füllungen sowie die mittleren Drehmomente der Beharrungszustände den Regulatorstellungen proportional sind: M = M0+ a (z0– z). . . . 2) Für die mittlere Belastung der Maschine gilt z = 0 und Mm = M0 + az0. . . . . 3) Für die höchste Belastung gilt z = – z0 und Mmax = M0 + 2 az0. . . . 4) während M0 das Drehmoment des Leerlaufs = Wr ist. Was die Winkelgeschwindigkeit der Maschine anlangt, so seien ihre den verschiedenen Beharrungszuständen entsprechenden Aenderungen ebenfalls proportional den Aenderungen der Regulatorstellung: Textabbildung Bd. 322, S. 338 Fig. 3. z : η = z0 : η0. . . . . . . 5) Führen wir jetzt, den Ungleichförmigkeitsgrad \delta=\frac{\omega_{\mbox{max}}\omega_{\mbox{min}}}{2\,\omega_m} . . . . 6) oder \delta=\frac{\eta^0}{\omega_m} . . . . . . . . 7) ein, so geht Gleichung 5, über in z=\frac{z^0}{\delta\,\omega_m}\,\delta . . . . . . . 8) Es erübrigt nun noch, eine den Abschluß des Einlaßorganes beherrschende Gleichung aufzustellen. Wir betrachten eine Hubperiode, der wir die von einer bestimmten Anfangsperiode angezählte Nummer k zuteilen, und schreiben folgende Gleichung an: \vartheta_k=\alpha_0+k\,\pi+\alpha\,\frac{z^0-z_k}{2\,z^0} . . . 9) Die Größen ϑk seien diejenigen Kurbelwinkel, bei denen die Steuerung vermöge ihrer besonderen Einrichtung unter Einfluß der Regulatorstellung zk die Dampfzufuhr für den Hub k absperrt. Diese Gleichung besagt folgendes: Läuft die Maschine bei höchster Regulatorstellung zk = + z0, also leer, so ist ϑk = α0 + kπ, . . . . . 10) α0 ist demnach die kleinste Füllung. Bei maximaler Belastung zk = z0 dagegen ist ϑk= α0+ kπ + α. . . . . 11) α0 + α ist demnach die größte Füllung der Maschine. Wir betrachten nach diesen Festsetzungen die Differentialgleichungen der Bewegung während einer Störung des stationären Zustandes. Dieser Beharrungszustand sei gekennzeichnet durch den anfänglich gegebenen Tangentialwiderstand W0. M = W0+Wr=M0+W0=M0+a (z0– z0) 12) W0= a (z0 – z0). . . . . 13) hieraus findet man die zugehörige Regulatorstellung z_0=z^0-\frac{W_0}{a}=\frac{a\,z^0-W_0}{a} Die zugehörige Winkelgeschwindigkeit \omega_0=\omega_m\,\left(1+\delta\,\frac{a\,z^0-W_0}{a\,z^0}\right). . . 14) und die zugehörige Füllung zu \alpha_0+\frac{\alpha\,W_0}{2\,a\,z^0}. Wir fassen jetzt einen Steuerungsschlußpunkt ins Auge, der unmittelbar auf einen Durchgang der Kurbel durch die vordere Totlage folgt, wobei wir die Kurbelwinkel von diesem Durchgang zu zählen anfangen. Im Schlußpunkt ist dann (k = 0) \vartheta_0=\alpha_0+\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{W_0}{a\,z^0}\,\vartheta. . . . 15) In diesem Augenblick nehmen wir eine Störung des Beharrungszustandes vor, indem wir das Tangentialwiderstandsmoment W0 in W plötzlich abändern. Dies sind die für die Lösung der Aufgabe nötigen Voraussetzungen. Die Methode der Lösung besteht nun dahin, daß aus den Bewegungsgleichungen von Maschine und Regulator für jeden Steuerungsschlußpunkt die Größen ηk, zk, z'k berechnet werden. Mit der weiteren Annahme, daß die zwischen zwei Steuerungsschlußpunkten verfließende Zeit nicht wesentlich schwanke und annähernd gleich der mittleren Hubzeit T der Maschine gesetzt werden könne, werden diese Gleichungen, die im genauen Falle transcendent sind, linear und ermöglichen so die explicite Lösung. Auf die Angabe der mathematischen Methode, die a. a. o. nachgelesen werden kann, soll hier verzichtet werden. Es resultiert aus ihr ein Gleichungssystem folgender Art: zk + 1 = α1 zk + β1 ηk + γ1 z'k + δ1ηk + 1 = α2 zk + β2 ηk + γ2 z'k + δ2z'k + 1 = α3 zk + β3 ηk + γ3 z'k + δ3 16) wo die α β γ δ Konstante sind. Dieses Gleichungssystem läßt sich so umformen, daß drei Gleichungen folgender Art entstehen: zk + 4 = α1 zk + 3 + α2 zk + 2 + α3 zk + 1 + α4 zk. 17) Für ηk + 4 und z'k + 4 kommen ganz analoge Gleichungen heraus, so daß man sich auf die Untersuchung der Gleichung für zk + 4 beschränken kann. Ein Theorem von Bernoulli erlaubt nun, aus dieser Gleichung die folgende abzuleiten: zk = C1 + C2 λ1k – 1 + C3 λ2k – 1 + C4 λ3k – 118) Hier sind die C1 aus den Anfangsbedingungen zu bestimmende Konstante, die λ dagegen die Wurzeln der Gleichung dritten Grades λ3 – Pλ2 – Qλ – R = 0. . . 19) Die PQR sind Größen, die nur von den eingangs aufgeführten Maschinen und Regulatorkonstanten abhängen und sich folgendermaßen schreiben: P=\gamma\,\left\{\frac{e_1-e_2}{\alpha_1-\alpha_2}+\frac{b}{c}\,\left(\frac{\alpha_2\,e_1-\alpha_1\,e_2}{\alpha_1-\alpha_2}+\right)\right     \left-T\right\}+e_1+e_2+1 Q=\gamma\,\left{-2\,\frac{e_1-e_2}{\alpha_1-\alpha_2}+\frac{b}{c}\,\left(e_1\,e_2-\frac{\alpha_1\,e_1-\alpha_2\,e_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right\right     \left\left-\frac{\alpha_2\,e_1-\alpha_1\,e_2}{\alpha_1-\alpha_2}-1\right)+T\,(e_1+e_2)\right\}-(e_1\,e_2+e_1+e_2) R=\gamma\,\left\{\frac{e_1-e_2}{\alpha_1-\alpha_2}+\frac{b}{c}\,\left(-e_1\,e_2+\frac{\alpha_1\,e_1-\alpha_2\,e_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right)\right     \left-e_1\,e_2\,T\right\}+e_1\,e_2. 20) γ bedeutet hier eine Abkürzung für \frac{a\,z^0}{{\gamma_1}^0\,\Theta} und ist der reziproke Wert der „Durchgangszeit“ Td der Maschine, d.h. derjenigen Zeit, die die Maschine braucht, um bei plötzlicher Entlassung von Vollast auf Leergang und nicht abgestellter Dampfzufuhr von der Geschwindigkeit ωm – η° auf ωm + η° zu kommen. Wie bekannt, muß Td stets größer sein als die Hubzeit, damit für den Fall, daß eine solche Entlastung durch einen unglücklichen Zufall (Riemenbruch, Stromloswerden der angetriebenen Dynamo usw.) gerade unmittelbar nach einem Steuerungsschluß stattfindet, die Maschinengeschwindigkeit nicht vor dem nächsten Steuerungsschluß, bei dem ja der Regulator erst in die Störung einzugreifen beginnt, unzulässig hoch wird. Ferner sind a1 und a2 die Wurzeln der für den Regulator charakteristischen Gleichung: ma2+ ba + c = 0, . . . . 21) während e1 und e2 abgekürzt sind für e^{a_1\,T} und e^{a_2\,T}. Nach diesen Feststellungen setzt uns Gleichung 18 in den Stand, den Verlauf jeder Beharrungsstörung voraus zu berechnen. Wir sind aber auch in der Lage, sofort angeben zu können, ob die Störung zu einem neuen Beharrungszustand führt. In diesem Falle muß der Regulator allmählich zur Ruhe kommen und hierfür ist notwendig, daß die Größen λ in Gleichung 18 kleiner als + 1, aber größer als – 1 sind. Denn in diesem Falle nehmen die Terme mit C2, C3, C4 fortgesetzt ab und es kommt heraus: lim zk = Konstant. (Schluß folgt.)