Studien über die Bildung des Kötzers beim Selfaktor. Von Dipl.-Ing. Michael Früh, Fürth i. B. (Fortsetzung von S. 520 d. Bd.) Studien über die Bildung des Kötzers beim Selfaktor. V. Der Quadrant. Durch die Kupplung des Wagens mit dem Quadranten durch Seil, Trommel und Zahnrad, bezw. durch die geradlinige Bewegung des Wagens und schwingende Bewegung des Quadrantenarmes (Fig. 16 S. 534) wird diejenige der Spindeln hervorgerufen. Wie bereits aus dem Vorhergehendem ersichtlich ist, bleibt die gesamte Tourenzahl der Spindeln entsprechend einer Wageneinfahrt konstant von Beginn der Bildung des Mittelstückes an bis zur Beendigung des Schlußstückes; noch genauer kann gesagt werden, daß zwischen diesen genannten Grenzen, jeder Wagenstellung eine gleiche Tourenzahl der Spindeln entspricht, wenn man jeweils bei Beginn einer Wageneinfahrt die Zählung der Umdrehungen der Spindeln mit Null beginnt. Jede Schicht besitzt also dieselbe Anzahl von Fadenringen; die Entfernungen derselben voneinander innerhalb jeder einzelnen Schicht bleiben konstant, wachsen jedoch mit der Zunahme der Schichtenhöhen und umgekehrt. Gegeben ist wiederum der Kegelstumpf als Oberfläche der Kötzerschichten. Für die Wirkungsweise des Quadranten ist nur der mittlere Durchmesser derselben von Bedeutung, während die verschiedenen Schichtenhöhen keinen Einfluß auf den Quadranten ausüben. Daraus geht hervor, daß die Tourenzahl der Spindeln und die jeweils aufgewickelte Fadenlänge unabhängig sind von der Höhe, was auch aus der folgenden Gleichung ersichtlich ist: x = π : (R + r) y,. . . . . 17) wobei x = Fadenlänge; y = zugehörige Tourenzahl; R = Grundkreisradius; r = Spitzenkreisradius. Obige, sowie sämtliche bezüglich der Fadenlänge vorkommenden Gleichungen enthalten einen kleinen Fehler. Für die hier ausgeführten Untersuchungen denkt man sich die Spiralen, nach denen der Faden aufgewickelt wird, in einzelne Fadenringe zerlegt. Dies hat man sich nicht nur wegen der Einfachheit der Ausdrucksweise in Worten, sondern auch in Form von Gleichungen gestattet. Während einer Umdrehung der Spindel bildet der Faden eine Windung der Schraubenlinie (Fig. 2 S. 497); die Fadenlänge ist also Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreieckes ABC (Fig. 11 S. 519), während diese hier der Kathete BC gleichgesetzt wurde. Dies kann nun auch, ohne einen größeren Fehler zu begehen, gestattet werden, denn die Kathete AB, welche die Steigung der Spirale darstellt, ist den anderen Größen gegenüber sehr klein. Mathematisch betrachtet wurde noch eine weitere Vernachlässigung begangen. Von einem rechtwinkeligen Dreieck kann man nur dann sprechen, wenn die Schraubenlinie auf einen Zylindermantel, und nicht, wie hier, auf einen Kegelmantel aufgewickelt wird. Der dabei begangene Fehler wird dadurch zum Teil beseitigt, indem man entsprechend einer Schraubenlinie den zugehörigen Kegelstumpf in einen Zylinder mit mittlerem Durchmesser aus den beiden Begrenzungskreisen desselben verwandelt. Auf Grund dieser Betrachtung wurde auch Gleichung 17 aufgestellt. Soll nun die Wirkungsweise des Quadranten von Schicht zu Schicht konstant bleiben, so darf der Aufhängepunkt der Kette am Quadranten seine Entfernung vom Drehpunkt desselben (Fig. 16 S. 534) nicht verändern. Diese Entfernung nimmt stetig zu während der Bildung des Ansatzes und bleibt nach dessen Beendigung konstant. Es wird wieder angenommen, daß der Wagen, somit auch die von demselben getragene Kettentrommel sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig fortbewegen. Die Kettentrommel macht infolge des Abziehens der um ihren Umfang gewundenen Kette, eine rotierende Bewegung, welch letztere dann auf die Spindeln übertragen wird. Es muß nun die Tourenzahl der Spindel f. d. Wegeinheit des Wagens während der Bildung der absteigenden Spirale ab-, während derjenigen der aufsteigenden Spirale zunehmen, bezw. weist die sich stetig abwickelnde Kette zuerst ein verzögertes und dann ein beschleunigtes Wachsen auf, denn abgewickelte Kettenlänge und Tourenzahl der Spindeln sind einander direkt proportional. Ebenso bewegt sich der Aufwinder mit abnehmender, bezw. zunehmender Geschwindigkeit, entsprechend der Spindelbewegung. Es folgt also die Tourenzahl f. d. Wegeinheit bei konstant angenommener Wagengeschwindigkeit denselben Gesetzen, wie die Geschwindigkeit des Aufwinders, d.h. die Gleichungen, welche diese Gesetze ausdrücken, sind, in bezug auf die veränderlichen Größen, einander gleich, nur bleiben die vorkommenden konstanten Größen nicht dieselben; die Gleichungen haben also denselben Charakter. Es muß sich also mit Hilfe einer kurzen Ueberlegung die Gleichung für die Tourenzahl der Spindeln, mit Rücksicht auf die Konstanten, aus derjenigen für die Aufwindergeschwindigkeit ableiten lassen, wobei für die erstere die Tourenzahl, bezw. die abgewickelte Kette, für die letztere Gleichung der zurückgelegte Aufwinderweg durch die Ordinate und beidemal der Wagenweg, entsprechend der aufzuwickelnden Fadenlänge durch die Abszisse ausgedrückt werden. Die Gleichung für die Kurve der Aufwindergeschwindigkeit ergibt sich aus Gleichung 3 S. 499, wenn man für c = 1 setzt; ferner werde der Einfachheit halber h1 = h bezeichnet. Es gilt dann für die aufsteigende Spirale: y^2=2\,H\,y+x\,\frac{h\,(2\,H-h)}{s_2}=0 . . . 18) wobei x = Wagenweg, freigewordene Fadenlänge; y = Aufwinderweg. Diese Gleichung soll nun in diejenige für die Spindelgeschwindigkeit umgeformt werden. Während also x dieselbe Bedeutung beibehält, muß man jetzt y als die Tourenzahl auffassen, die Gleichung also demgemäß umgestalten. Aufwinderweg und Tourenzahl sind einander direkt proportional, denn es entsprechen gleichen Weges des Aufwinders gleiche Tourenzahlen der Spindeln. Es muß also in obige Gleichung für y als Aufwinderweg ein Wert y' eingesetzt werden, welcher angibt, wieviel Fadenringe bezw. Touren diesem Weg entsprechen. Es sei nun: t1 = Tourenzahls1 = Fadenlänge während der Bildung der absteigendenSpirale; t2 = Tourenzahls2 = Fadenlänge entsprechend der aufsteigenden Spirale. Es ist dann: y=y'\,\frac{h}{t_2} . . . . . . 19) in Gleichung 18. y'^2-y'\,2\,f_2\,\frac{H}{h}+x\,t_2^2\,\frac{2\,H-h}{s_2\cdot h}=0 . . 20) Dies stellt dann die Gleichung der Geschwindigkeitskurve der Spindeln vor bezüglich der aufsteigenden Spirale; analog ist es dann für die absteigende. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung wird am besten geliefert, wenn diese ohne Zuhilfenahme der Gleichung für Aufwindergeschwindigkeit aufgestellt wird, was nun der Zweck der folgenden Betrachtung sein soll. Siehe Fig. 4 S. 498. Es sei nun: rk = beliebiger Radius des Kegels; x = Wagenweg, Fadenlänge; y = Tourenzahl, welche die Spindel gemacht hat vonBeginn der absteigenden Spirale bis zu derem Ende. Für den Beginn ist also x = 0, y = 0 und Ende x = s1, y = t1 ebenso soll dann für denjenigen der aufsteigenden Spirale, deren Gleichung ebenfalls abgeleitet werden soll; x = 0, y = 0, für deren Ende x = s2, y = t2 a) absteigende Spirale. x = π (r + rk) y . . . . . 21) r_k=r\,\frac{H-h+h/t_1\cdot y}{H-h} in 21) . . . . 22) y^2+y\,2\,t_1\,\frac{H-h}{h}-x\,\frac{t_1}{\pi\,r}\,\frac{H-h}{h}=0 . . . . 21) b) aufsteigende Spirale. x = π (R + rk) y . . . . . 23) r_k=R\,\frac{H-h/t_2\cdot y}{H} in 23) . . . .24) y^2-y\,2\,t_2\,\frac{H}{h}+x\,\frac{t_2}{\pi\,R}\,\frac{H}{h}=0 . . . . .23') Es muß nun bewiesen werden, daß Gleichung 20 und 23 identisch sind. Drückt man in Gleichung 20 s2 wie folgt aus: s2= π (R + r) t2 . . . . .25) r=R\,\frac{H-h}{H} in 25) . . . . .26) s_2=\pi\,R\,t_2\,\frac{2\,H-h}{H} . . . . . 25') s_1=\pi\,R\,t_1\,\frac{2\,H-h}{H} . . . . . 25a) Setzt man diesen Wert für s2 in Gleichung 20 ein, so ist der Beweis geliefert. Für die folgende Betrachtung sollen die Gleichungen 21 und 23 folgendermaßen lauten: y2+ a y – b x = 0 absteig. Spirale . . 21a) y2– c y + d x = 0 aufsteig. „ . . 23a) Beide Gleichungen stellen Parabeln dar, die beide durch den Koordinatenanfang gehen und deren Achsen parallel zur Abszissenachse verlaufen. Die Koordinaten des Scheitels der Parabel 21a sind: x_0=-\frac{a^2}{4\,b};\ y_0=-\frac{a}{2}; diejenigen der Parabel 23a. x_0=\frac{c^2}{4\,d};\ y_0=\frac{c}{2}; Fig. 13 entspricht 21a, Fig. 14, 23a. Für die Kötzerbildung kommen nur die Teile 1 – 2 bezw. 3 – 4 in Betracht. Die erste Parabel erscheint konkav, die zweite konvex, gesehen in Richtung der y-Achse. Dies steht im Zusammenhang mit der Verzögerung und Beschleunigung, welche die Tourenzahl der Spindeln während einer Schicht, also während einer Wageneinfahrt durchmacht. Textabbildung Bd. 322, S. 534 Fig. 13. Textabbildung Bd. 322, S. 534 Fig. 14. Es soll nun ein gemeinschaftliches Diagramm für die Spindelgeschwindigkeit gebildet werden; es muß also die Parabel für die aufsteigende Spirale so verschoben werden, daß Punkt 3 mit 2 zusammenfällt, doch muß ihre Symmetrielinie immer noch parallel zur Abszissenachse verlaufen. Die Gleichungen seien nun auf ein Koordinatensystem ξ, η bezogen, so daß für x = ξ,            y = ϒ1 . . . . . 21) x = ξ – s1; y = ϒ1 – t1 . . . . .23) ferner werde in Gleichung 21 r durch R ausgedrückt, siehe Gleichung 26, dann ist: \eta^2+\eta\,2\,t_1\,\frac{H-h}{h}-\xi\,\frac{t_1}{\pi\,R}\,\frac{H}{h}=0 . . . . . 21') \eta^2-2\,\eta\,\frac{t_1\,h+t_2\,H}{h}+\xi\,\frac{t_2\,H}{\pi\,R\,h}+t_1\,t_2+{t_1}^2=0 . . . . . 23') Die beiden Kurvenstücke stoßen also bei B (Fig. 15) zusammen; jedes einzelne bildet für sich eine stetige Kurve. Textabbildung Bd. 322, S. 534 Fig. 15. Es soll nun bewiesen werden, daß beide Kurvenstücke bei B stetig ineinander verlaufen, d.h. die Tangente an die Kurve AB im Punkte B soll gleichzeitig Tangente sein an die Kurve BC in demselben Punkt B. Der erste Differentialquotient \frac{d\,\eta}{d\,\xi}=\eta'=\mbox{tg}\,\alpha stellt die trigonometrische Tangente des Winkels α dar, welchen die Tangente an die Kurve mit der positiven x Halbachse einschließt. Differentiert man beide Gleichungen und setzt jedesmal η = t1   ξ = s1, so ist: \eta'\,\frac{2\,t_1\,h}{h}=\frac{t_1\,H}{\pi\,R\,h} . . . . . 21'') \eta'=\frac{1}{2\,\pi\,R}=\mbox{tg}\,\alpha \eta'\,\frac{2\,t_2\,H}{h}=\frac{t_2\,H}{\pi\,R\,h} . . . . . 23'') \eta'=\frac{1}{2\,\pi\,R}=\mbox{tg}\,\alpha, d.h. es findet ein stetiger Uebergang der beiden Kurvenstücke bei B statt; Punkt B stellt dann einen Wendepunkt vor. Mit Hilfe der entwickelten Gleichung läßt sich nun für jede beliebige Wagenstellung die zugehörige Spindeltourenzahl berechnen, und es kann jetzt ein Quadrant konstruiert werden, der diesen Gleichungen Genüge leistet. Dieser müßte dann in bezug auf eine konstante Wagengeschwindigkeit eine veränderliche Winkelgeschwindigkeit haben, d.h. es würden gleichen Wagenwegen keine gleichen Drehungen des Quadrantenarmes entsprechen. Es hat sich in der Praxis jedoch gezeigt, daß ein Quadrant mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ziemlich genau die Gesetze einhält, welche durch die vorhergehende Gleichung ausgedrückt worden sind. In der folgenden Betrachtung soll nun gezeigt werden, wie weit es möglich ist, diese theoretischen Gesetze mit! einem solchen Quadranten zu erfüllen. A) Quadrant mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Fig. 16 stellt nun den Quadrantenmechanismus in schematischer Form dar. DJ als Quadrantenarm macht während der Wageneinfahrt eine Drehung im Uhrzeigersinn um den festen Drehpunkt D. Punkt J ist der Aufhängepunkt der Quadrantenkette; er ist ein wandernder Punkt, und zwar entfernt er sich nach jeder Schicht während der Bildung des Ansatzes immer weiter vom Drehpunkt D, bis er schließlich nach Beendigung desselben seine Entfernung beibehält, wegen des konstant bleibenden mittleren Schichtendurchmessers; Punkt J in Fig. 16 entspreche derselben. Es sei: A = Stellung der Quadrantentrommel bei Beginn der Einfahrt; B = Stellung der Q.-T. beim Uebergang des Aufwinders von dera b-zur aufsteigenden Spirale; C = Stellung der Q.-T. am Ende der Einfahrt. Textabbildung Bd. 322, S. 534 Fig. 16. Der Einfachheit halber wurde angenommen, daß der Drehpunkt D des Quadrantenarmes DJ sowohl, als auch die Endstellung des letzteren in die Richtung A C falle, während dessen Anfangsstellung einen ∡ v mit A C bilde. Die Winkelgeschwindigkeit des Quadranten sei gleich 1 cm sek.– 1, d.h. ein Punkt des Armes DJ mit der Entfernung 1 cm vom Drehpunkt D legt in 1 Sek. einen Bogen von der Länge 1 cm zurück. Der Arm DJ habe sich nun um einen ∡ u aus seiner Anfangsstellung gedreht; so wird demnach diese Drehung in u-Sekunden ausgeführt. In derselben Zeit legt der Wagen, somit auch die von demselben mitgenommene Kettentrommel einen Weg u. c zurück, wenn c die konstante Wagengeschwindigkeit bedeutet, k stellt dann die frei' hängende Kettenlänge dar, und es ergibt sich (Fig. 16) mit Hilfe des Kosinussatzes folgende Hauptgleichung: k2 = (e + uc)2 + r2 – 2 r (e + uc) cos (v – u) . . . . . 27) Die abgewickelte Kettenlänge ist dann: k – k 0 =y. Obige transcendente Gleichung soll nun Gleichung 21 und 23 ersetzen. Wie sich später ergeben wird, stellt in Fig. 15 S. 534 die gestrichelte Kurve diejenige dar, welche Gleichung 27, während die zweite Kurve Gleichung 21 und 23 entspricht. Es müßte eigentlich zuerst die Kettenlänge in Tourenzahl umgerechnet werden; da jedoch der Quotient aus beiden, wie später noch gezeigt werden wird, konstant ist, ändert die Vertauschung beider Größen nichts an dem Charakter der Kurve; schließlich kann man sich ja den Maßstab der Zeichnung entsprechend gewählt denken. Gleichung 27 enthält neben den beiden Veränderlichen k, u, die Konstanten e, r, v. Letztere darf man nun so wählen, daß die Gleichung 27 folgende drei Bedingungen erfüllt. Die Kurve soll durch Punkt B (Fig. 15) gehen und dort einen Wendepunkt besitzen. Diese zwei Bedingungen lassen sich in zwei Gleichungen ausdrücken, indem man sagt, daß für x = s 1 = u 1 c, y = t 1 = k – k 1 die Hauptgleichung 27 erfüllt werden muß, und der zweite Differentialquotient k'' für dieses Wertepaar zu Null wird. Die dritte Bedingung ist die, daß die Kurve durch Punkt C gehen soll; es muß also Gleichung 27 erfüllt werden, für das Wertepaar x = s1 + s2 = v ∙ c = s; y = t1 + t2. Man erhält also drei Gleichungen, aus denen sich dann die Werte e, r, v berechnen lassen. Der Wert von k0, der durch diese Größen bestimmt ist, ergibt sich aus Gleichung 27 für u = 0 k = k0. Die Kurve geht dann durch Punkt A. Auf Grund dieser Betrachtung entstehen nun folgende vier Gleichungen: u = 0, k = k0 in 27, k02 = e2 + r2 – 2 r ∙ e cos v . . . . .28) uc = s1, k = k0+ t1 ∙ m in 27), wobei dann m diejenige Kettenlänge bedeutet, welche abgewickelt wird, während die Spindeln eine Umdrehung machen. (t_1\,m+k_0)^2=(e+s_1)^2+r^2-2\,r\,(e+s_1)\,\mbox{cos}\,\left(v-\frac{s_1}{c}\right) 29) Für dieselben Werte u, k muß k'' zu Null werden. kk' = (e + uc) c – r c cos (v – u) – r (e + uc) sin (v – u) 31) k'2+ kk'' = c2 – 2 rcsin (v – u) + r (e + uc) cos (y – u) 32) Setzt man nun obige Werte für u, k in 32) ein, so erhält man: k'' =f (e, r, v) = 0, . . . . . 33) u ∙ c =  v c = s, k = k0 + m (t1 + t2) in 27), m (t1 + t2) + k0 = e + s – r . . . . .34) Aus diesen Gleichungen lassen sich nun die eindeutig bestimmten Größen e, r, v bestimmen und ihre Werte müssen dann in Gleichung 27 eingesetzt und der Quadrant entsprechend angeordnet werden. Es erfüllt dann die Gleichung 27 die gestellten Bedingungen. Bis jetzt ist jedoch die sehr wichtige Bedingung noch nicht erfüllt, nämlich, daß die Kette während der ganzen Wageneinfahrt niemals schlaff werden darf, was ja zur Folge hätte, daß die Spindeln in Ruhe bleiben würden. Dieser Stillstand ist auch dann denkbar, wenn die Kette gerade noch gespannt ist, daß also weder eine Kettenabwicklung, noch ein Schlaffwerden derselben eintritt. Es mußte also k konstant bleiben, d.h. die Kurve würde in eine gerade Linie übergehen, welche Parallel zur Abszissenachse verläuft. Letzteres kann jedoch bei einem Quadranten mit konstanter Winkelgeschwindigkeit niemals der Fall sein. Im Interesse einer guten Kreuzwindung wäre es jja erwünscht, daß die Spindeln sich solange in Ruhe befänden, als der Aufwinder Zeit braucht, um seine Umkehrbewegung von der ab- zur aufsteigenden Spirale zu machen. Hätte man z.B. einen Quadranten mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit, so daß eben an dieser Stelle keine Kette abgewickelt würde, so müßte noch berücksichtigt werden, daß während dieses Stillstandes der Spindeln, der Wagen selbst nicht in Ruhe ist, d, h. immer noch Faden frei wird; es würde also die Fadenreserve zunehmen. Man kann ja schließlich den Quadranten dann so konstruieren, daß dieser Ueberschuß an Faden während der Bildung der aufsteigenden Spirale wieder aufgewickelt wird. Mit diesem Vorteil des momentanen Stillstandes der Spindeln ist nun sofort der Nachteil verbunden, daß an dieser Stelle, infolge der größeren Fadenreserve, die Fadenspannung abnimmt; abgesehen davon, daß sich diese Zunahme nicht über den Wirkungskreis des Gegenwinders erstrecken dürfte. Gerade an dieser Wendestellung des Aufwinders ist eine Abnahme der Fadenspannung unangebracht. Geht man nun zurück zu dem Quadranten mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, so bedingt ein stetes Rotieren der Spindeln, daß die Ordinaten der Kurve, ausgedrückt durch Gleichung 27, stetig wachsen. Bezeichnet α den Winkel, welchen die Tangente an einem beliebigem Punkt der Kurve mit der positiven Abszissenhalbachse einschließt, so muß sein: \alpha\,\geq\,0\,\leq\,\frac{\pi}{2} . . . . . 35) daraus folgt: y' = tg α ≧ 0 . . . . .36) Es muß also k' in Gleichung 31 für jedes Wertepaar u, k positiv werden. Ferner wird verlangt, daß die Kurve zuerst konkav und dann konvex verläuft, was bis jetzt noch nicht bewiesen wurde. Mathematisch ausgedrückt, müßte k'' bezüglich des konkaven Teiles negativ, des konvexen Teiles positiv werden. Es entstehen bei der Untersuchung nach dieser Eigenschaft transcendente Gleichungen, zu deren Diskussion und Lösungen unbedingt Probierverfahren nötig sind. Deshalb ist es vorzuziehen, die verschiedenen Kurven, die für verschiedene Werte von e, r, v entstehen, zu zeichnen, wie es z.B. in der Arbeit von E. Stamm (Fig. 16, Tafel 2) geschehen ist. Sämtliche dort gezeichneten Kurven, die praktischen Werten von e, r, v entsprechen, verlaufen zuerst konkav und dann konvex, gesehen in der Richtung der positiven Ordinatenhalbachse und die aufgestellte Bedingung sei hiermit als erfüllt zu betrachten. Aus dem Charakter der Gleichung 27, 21, 23 ist sofort klar, daß die Kurven niemals identisch werden können, d.h. sie können in der Zeichnung (Fig. 15) niemals zusammenfallen. Die sich ergebenden und für die Praxis brauchbaren Werte gestalten nun die Kurve (Gleichung 27) so, daß der konkave Teil derselben oberhalb und der konvexe unterhalb der Normalkurve (Gleichung 21, 23) verläuft. Dies hat nun zur Folge, daß die Spindeln innerhalb der absteigenden Spirale mehr Umdrehungen machen, als der entsprechenden Fadenlieferung zukommen. Es wird dadurch die Fadenreserve kleiner, also die Fadenspannung größer, was nun ein festes Aufwinden der absteigenden Spirale bedingt. Solange also kein Fadenbruch eintritt, ist diese Erscheinung nur zu begrüßen, denn die Kreuzwindung dient der aufsteigenden Spirale als Brücke; je weniger sich diese nun unter dem Druck ihrer Last durchbiegt, ein desto rascheres Abziehen ohne Fadenverwirrung wird ermöglicht. Andererseits machen die Spindeln während der Bildung der aufsteigenden Spirale zu wenig Umdrehungen; die Fadenreserve wird wieder größer. Die vorhergehende Verkürzung derselben wird wieder ausgeglichen, und es kann schließlich eine absolute Vergrößerung der Reserve eintreten. Doch hat man in dem sog. Hartwinder ein Mittel in der Hand, welches dann für eine Vergrößerung der Tourenzahl der Spindeln sorgt. Aus den früher aufgestellten Gleichungen lassen sich die Werte e, r, v berechnen, doch ist ohne weiteres nicht ersichtlich, daß die daraus berechneten Werte auch in der Praxis brauchbar sind, sei es, daß imaginäre Werte entstehen, also mathematisch genommen, brauchbare Werte oder auch positive, die eine praktische Verwertung ausschließen. Für die Berechnung von e, r, v bezw. für die Aufstellung der betreffenden Gleichungen wurden sämtliche andere Werte als bekannt vorausgesetzt, z.B. s1; mittlerer Kegeldurchmesser. Man kann mit der Wahl dieser Größen soweit gehen, daß der Quadrant für die Praxis sehr günstige Resultate ergibt. Auf diese Weise hat die geniale Erfindung des Quadranten den Selfaktor zu einer sehr vollkommenen Selbst-Spinnmaschine gemacht. Gleichung 36 wurde aufgestellt auf Grund der Bedingung, daß die Kette niemals schlaff werden darf. Mit der Zunahme von r, gleich der Entfernung des Aufhängepunktes J am Quadranten vom Drehpunkt D desselben, nähert man sich dem Grenzfall eines Wendepunktes mit wagerechter Tangente. Wird r nun noch größer, so tritt ein Schlaffwerden der Kette innerhalb der Wageneinfahrt ein. Dies äußert sich in der graphischen Darstellung der Kurve derart, daß dieselbe einen höchsten und schließlich auch einen tiefsten Punkt besitzt. Es darf also r ein ganz bestimmtes Höchstmaß nicht überschreiten. Dieses Maximum soll nun mathematisch festgelegt werden. Da hier nur der einzuschlagende Weg gezeigt werden soll, wird der Einfachheit halber angenommen, daß v=\frac{\pi}{2}, in 27) . . . . . 36) Bei einer solchen Annahme kann natürlich von der Kurve nicht mehr gefordert werden, daß sie durch die drei Punktet, B, C (Fig. 15), gehe. Hauptgleichung 27 geht dann über in k2 = (e + uc)2 + r2 – 2r (e + uc) sin u . . . . . 39) kk' = (e + uc) c – rc sin u – r (e + uc) cos u ≧ 0 . . . . .40) Diese Bedingung muß für jede Stellung des Quadranten während der Wageneinfahrt erfüllt werden; also auch für den Beginn derselben, für u = 0, in 40) e (c – r) ≧ 0 . . . . . 41) Daraus folgt die Bedingung, daß r ≦  c . . . . . 42) Gleichung 41 wird auch befriedigt für den Wert e = 0 in 40). uc – r sin u – ru cos u ≧ 0 . . . . .43) r\,\leq\,\frac{uc}{u\,\mbox{cos}\,u+\mbox{sin}\,u} Für den Wert u = 0, für welchen Gleichung 43 auch erfüllt werden muß, tritt der Fall ein: r\,\leq\,\frac{0}{0}=\frac{\varphi\,(u)}{\psi\,(u)}=\frac{\varphi'\,(u)}{\psi'\,(u)}\,\leq\,\frac{c}{2\,\mbox{cos}\,u-u\,\mbox{sin}\,u};\ u=0;\ r\,\leq\,\frac{c}{2} . . . . . 44) (Schluß folgt.)