Die Trägheitskräfte einer Schubstange. Von Dr.-Ing. Max Ensslin-Stuttgart. Die Trägheitskräfte einer Schubstange. Die Schubstange eines Kurbelgetriebes führt gleichzeitig eine hin- und hergehende, und eine schwingende Bewegung aus. Beide Bewegungen sind ungleichförmig, bald beschleunigt, bald verzögert, also mit dem Auftreten von Trägheitskräften verbunden. Die Trägheitskräfte bewirken einerseits Beanspruchung der Maschinenteile und beeinflussen anderseits die Gleichmäßigkeit und Ruhe des Ganges; sie kommen somit z.B. bei dem Massenausgleich und bei der Bemessung von Gegengewichten in Betracht. Die von einer Schubstange ausgehenden Trägheitskräfte, d.h. die auf Kreuzkopf- und Kurbelzapfen ausgeübten Drücke sind in strenger Weise von Mohr, Lorenz und Wittenbauer untersucht wordenLorenz, Techn. Mech. § 41. Wittenbauer, Zeitschr. d. V. D. Ing. 1906.Mohr, Zeitschr. d. V. D. Ing. 1899.Land, Zeitschr. d. V, D. Ing. 1896., ebenfalls in strenger Weise bestimmt Mollier die Kraft, welche am Kreuzkopf in der Schubrichtung wirken muß, um die Schubstange zu bewegenMollier, Zeitschr. d. V. D. Ing. 1903, S. 1638.. Die Schubstange kann aufgefaßt werden als gerader, beliebig mit Masse belegter Stab, von dem zwei Punkte in bestimmter Weise geführt sind, z.B. am häufigsten ein Punkt auf einem Kreis, der andere auf einer Geraden. Die Ingenieure scheinen ausgehend von der Tatsache, daß das Stangenende an der Kurbel sich kreisförmig, dasjenige am Kreuzkopf sich geradlinig bewegt, die Frage nach den Trägheitskräften sich in der Form vorgelegt zu haben: Welcher Teil der Schubstangenmasse ist als rotierend, und welcher als hin- und hergehend anzusehen. Dieser Auffassung zufolge erblickt man in der Schubstange nicht einen materiellen Körper, sondern zwei durch eine starre Gerade verbundene materielle Punkte, deren Trägheitskräfte leicht bestimmbar sind. Die Frage, welcher Teil der Schubstangenmasse als rotierend und welcher als mit dem Kreuzkopf hin- und hergehend angesehen werden darf, ist in Ingenieur - Taschenbüchern und Lehrbüchern verschiedenartig und fast immer unzutreffend beantwortet. Daß der Ersatz der Schubstange durch zwei starr verbundene materielle Punkte nur näherungsweise richtig ist, wird dabei nicht hervorgehoben. Die Eisenbahningenieure rechnen mit der Annahme, daß 6/10 der Schubstangenmasse als rotierend, 4/10 als hin- und hergehend aufzufassen sei; dies trifft häufig befriedigend zu, doch nicht allgemein. Aus den exakten Untersuchungen geht hervor, daß die Schubstange mit mehr oder minder großer Annäherung dieselben Trägkeitskräfte äußert, als wäre ihre Masse nach dem Schwerpunktsgesetz auf Mitte Kurbelzapfen und Kreuzkopfzapfen verteilt, und dort punktförmig konzentriert. Dies ist ein recht einfaches und einleuchtendes Ergebnis, das trotzdem wenig Eingang in die Bücher gefunden hat, die bei der Anwendung gewöhnlich von den Ingenieuren zu Rate gezogen werden. Zum Teil mag die Ursache hiervon darin liegen, daß der Beweis für das angegebene Verhalten der Schubstangenmasse bei Wittenbauer, Lorenz und Mollier nicht besonders leicht, zum mindesten nicht sehr rasch verständlich ist. Ich will nun versuchen, die genaue Ermittlung der Trägheitskräfte einer Schubstange auf einfache und leicht verständliche Weise vorzuführen, und will dann an einigen ausgeführten Schubstangen zeigen, welche Trägheitskräfte von einer Stange tatsächlich ausgeübt werden, und wie groß sie sich ergeben, wenn die Stange ersetzt gedacht wird durch zwei Massenpunkte an den Stangenenden, die dadurch erhalten werden, daß man die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die Stangenenden verteilt. Ich setze als bekannt voraus, wie die Beschleunigung des Kreuzkopfes gefunden wird, wobei die Wahl offen steht zwischen einem rechnerischen und einer größeren Anzahl zeichnerischer Verfahren, von denen die Methoden von Mohr, Rittershaus, Autenrieth, Mehmke und Bour-Pröll erwähnt seienz.B. Hütte, Des Ingenieurs Taschenbuch.. Ich setze fernerhin als bekannt voraus, daß man Beschleunigungen ebenso wie Kräfte nach dem Parallelogramm zerlegen und zusammensetzen darf. Schließlich muß ich einen weniger geläufigen, aber sofort einleuchtenden Satz aus der Kinematik ohne Beweis anführen, er lautet: Die Endpunkte der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsstrecken aller Punkte einer beliebig bewegten starren geraden Stange liegen auf einer Geraden und teilen diese Gerade in demselben Verhältnis, in welchem die Anfangspunkte die Stange teilen. Kennt man die Beschleunigung in den beiden Endpunkten der Stange, so kann man mit Hilfe des angegebenen Satzes die Beschleunigung eines beliebigen Stangenpunktes leicht konstruieren; man erhält z.B. die Beschleunigung in der Stangenmitte (Fig. 1), indem man die Verbindungsstrecke der Endpunkte der Beschleunigungen halbiert und den Halbierungspunkt mit der Stangenmitte verbindet. Die so erhaltene Strecke stellt nach Größe und Richtung die Beschleunigung in der Stangenmitte dar. Ueber die von der Schubstange geäußerten Trägheitskräfte erlangt man sehr leicht Klarheit, wenn man die Beschleunigung der einzelnen Stangenpunkte in passender Weise zerlegt bezw. ersetzt (s. Fig. 1). Zum Beispiel ersetze man die Beschleunigung p1 in A durch die Beschleunigung p2 in B und die durch das Parallelogrammgesetz bestimmte Komponente p3. Ebenso verfahre man in den übrigen Stangenpunkten. Die eine Ersatzkomponente sei stets p2. Aus Fig. 2 folgt mit Rücksicht auf die leicht ersichtliche Proportionalität, daß die zweite Ersatzkomponente p'3 in allen Stangenpunkten zu p3 parallel und dem Abstand von B proportional ist. Jetzt kann man sich den Beschleunigungszustand auch so vorstellen, daß die Stange unter dem gleichzeitigen Einfluß der Beschleunigungen p2 und p3 bezw. der zu diesen parallelen Beschleunigungen p2 und p'3 stehe. Die Wirkung dieser Beschleunigungen ist die gleiche, mögen diese gleichzeitig oder nacheinander wirken. Wir nehmen das Letztere an und haben dann die Stange zu betrachten: 1. unter dem Einfluß der in allen Punkten gleich großen und gleich gerichteten Beschleunigungen p2 (Fig. 3), 2. unter dem Einfluß der in Fig. 4 gezeichneten Beschleunigungen p'3, die einander parallel und dem Abstand von B proportional sind. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 1. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 2. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 3. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 4. Die in Fig. 4 gezeichneten Beschleunigungen p'3 zerlegen wir nochmals senkrecht zur Stange und nach derselben. Die dabei in A sich ergebenden Komponenten seien p4 und p5, diejenigen in einem beliebigen Punkt p'4 und p'5. Wir nennen nach Mohr die Komponenten p'4 die Drehbeschleunigungen und die Komponenten p'5 die Dehnungsbeschleunigungen. Man erkennt sofort aus Fig. 4, daß sowohl die senkrecht auf der Stange stehenden Drehbeschleunigungen, als auch die in der Stangenrichtung wirkenden Dehnungsbeschleunigungen dem Abstand von B proportional sind. Wir denken uns jetzt wieder, wie vorhin, die Beschleunigungen p'4 und p'5 wirken nacheinander und gelangen schließlich zu dem Ergebnis, daß wir an die Stelle der tatsächlichen Beschleunigung in irgend einem Stangenpunkt die drei bezeichneten Ersatzkomponenten treten lassen. Sie rufen alle zusammen die gleichen Trägheitskräfte hervor, wie die ursprüngliche Beschleunigung, gleichgültig, ob die Ersatzkomponenten gleichzeitig wirken, oder ob man sie nacheinander wirken läßt und die Einzelwirkungen übereinanderlagert. Demzufolge können wir die Stange betrachten: 1. unter dem alleinigen Einfluß der Beschleunigungen p2, die in allen Punkten der Stange gleich groß und parallel sind (s. Fig. 5); 2. unter dem alleinigen Einfluß der Drehbeschleunigungen p'_4=\frac{x}{l}\cdot p_4 die senkrecht zur Stange stehen und dem Abstand x von B proportional sind (s. Fig. 6); 3. unter dem alleinigen Einfluß der Dehnungsbeschleunigungen p'_5=\frac{x}{l}\cdot p_5, die in der Stangenrichtung liegen und dem Abstand x von B proportional sind (s. Fig. 7). Der Nutzen dieser Trennung der Gesamtwirkung in drei äquivalente Einzelwirkungen besteht darin, daß man in den drei Einzelfällen die Trägheitskräfte leicht ermitteln kann, während dies vor der Trennung in einfacher Weise nicht möglich ist. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 5. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 6. Textabbildung Bd. 322, S. 594 Fig. 7. Kennt man die Einzelwirkungen, so findet man rückwärts die Gesamtwirkung, durch Uebereinanderlagerung der Einzelwirkungen, selbstverständlich unter Beachtung ihrer Größe und Richtung. Diese Uebereinanderlagerung wird, wie sich nacher zeigt, sehr einfach sein. 1. Die Schabstange unter der alleinigen Wirkung der Beschleunigungen p2. (Fig. 5.) Diese Beschleunigungen wirken ebenso wie die Erdbeschleunigung. Die Resultierende der hierbei entstehenden Trägheitskräfte geht durch den StangenschwerpunktIm Folgenden bedeutet (vgl. später die Figur über der Zusammenstallung 1): AB = l die Stangenlänge, a bezw. b den Abstand des Stangenschwerpunktes S von B bezw. A, also BS = a und AS = b.. Auf die Stützpunkte A und B drückt die Stange so, wie wenn ihre Masse im Schwerpunkt vereinigt wäre. Dasselbe Ergebnis für die Lagerdrücke in A und B erhält man unter der Annahme, daß die Gesamtmasse M nach dem Schwerpunktsgesetz auf die Endpunkte A und B der Stange verteilt sei, wobei nach A die Masse M. a/l, nach B die Masse M. b/l kommt. 2. Die Schubstange unter dem alleinigen Einfluß der Dehnungsbeschleunigungen. (Fig. 7). p'_5=\frac{x}{l}\cdot p_5 Ein Punkt auf AB im Abstand x von B mit der Masse m äußert die Trägkeitskraft m\cdot p'_5=m\cdot \frac{x}{l}\cdot p_5. Die ganze in der Stangenrichtung gegen A hin wirkende Trägheitskraft ist dann \Sigma\,m\cdot \frac{x}{l}\cdot p_5=\frac{p_6}{l}\,\Sigma\,m\cdot x=M\cdot \frac{a}{l}\cdot p_5. Dasselbe Ergebnis erhält man unter der Annahme, daß die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die Stangenenden A und B verteilt sei. Die Trägheitskraft ergibt sich dann in A zu M\cdot \frac{a}{l}\cdot p_5 in B zu M\cdot \frac{b}{l}\cdot 0=0. (Fortsetzung folgt.)