Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. Von Diplom-Ingenieur Otto Schäfer, Hannover. (Fortsetzung von S. 614 d. Bd.) Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. II. Die Elastizität des Wassers. Eine Zusammenstellung und ausführliche Beschreibung der bis zum Jahre 1779 unternommenen Versuche, die Zusammendrückbarkeit des Wassers nachzuweisen, findet sich in dem Buche von Zimmermann „Ueber die Elastizität des Wassers“, welches in jenem Jahre erschienen ist. Danach haben u.a. Bacon (1694) und Boyle (1677) versucht, die Zusammendrückung zu erweisen, indem sie mit Wasser gefüllte Hohlkugeln hämmerten oder preßten. Nachdem, wie Zimmermann weiter mitteilt, derartige Versuche ohne Beweiskraft geblieben waren, gelang es John Canton im Jahre 1761, wirklich eine Zusammendrückbarkeit des Wassers nachzuweisen. Seine Versuche sind 1762 veröffentlicht unter dem Titel „Experiments to prove that water is not incompressible“ by John Canton M. A. and F. R. S. Philosophical Transactions Vol. 52. Part. 2. Artic. 103 p. 641. Spätere Versuche und genauere Messungen über die Größe der Zusammendrückung sind ausgeführt von: Perkins 1820. Philos. Transactions Vol. 72 und Poggendorfs Annalen IX 547 (1827). Oerstedt 1822. Denkschriften der Kopenhagener Akademie, IX Bd. 1822. Pogg. Ann. IX. 603 (1827). Colladon und Sturm. Ann. de chim. et de phys. T. 36 p. 113 (1827). Pogg. Ann. XII. 39 (1828). Regnault und Grassi 1847. Memoires de l'acad. des sciences (1847). Ann. de chim. et de phys. III. Sér. T. 31 (1851). Amagat. Ann. de chim. et de phys. V. Sér. T. 11 (1877) VI. Sér. T. 29 (1893). Röntgen und Schneider. Annalen der Physik und Chemie. Neue Folge. Bd. 29, 1886. Bd. 33, 1888. Eine Anzahl Quellenangaben, Mitteilung einzelner Versuchswerte und einer nach Versuchen von Pagliani, Vicentini Avenarius und Grimaldi zusammengestellten Tabelle für die Zusammendrückbarkeit bei verschiedenen Temperaturen findet sich in „Landolt und Börnstein“ Phys. chem. Tabellen (1894, 2. Auflage). Amagat hat gefunden, daß die Zusammendrückung für destilliertes, ausgekochtes Wasser bei 0 ° C. zwischen       1 und   500 at1 at = 1 kg/qcm. = 0,0000475 „   500 „ 1000 0,0000416 „ 1000 „ 1500 0,0000358 „ 1500 „ 2000 0,0000324 „ 2000 „ 2500 0,0000292 „ 2500 „ 3000 0,0000261 des ursprünglichen Volumens beträgt. Die Proportionalität zwischen Druck und Volumenänderung ist also, wenn es sich um sehr bedeutende Druckschwankungen handelt, nicht anzunehmen, während sie bei Aenderungen, die kleiner sind als 500 at, mit genügender Genauigkeit vorausgesetzt werden kann. Eine bleibende. Volumenverminderung des Wassers, welches unter Druck gestanden hat, ist jedoch nicht festgestellt worden. Für die praktisch vorkommenden Verhältnisse kann man den Einfluß der Temperatur und die Abweichungen von der Proportionalität vernachlässigen und mit 0,000048 als Mittelwert rechnen. Als Modul E für die Volumenelastizität ist dann 20900 (der reziproke Wert von 0,000048) einzuführen. Der Elastizitätsmodul E ist auch indirekt ermittelt worden, indem man die Geschwindigkeit des Schalles im Wasser bestimmt hat, Für diese gilt die Beziehung E=w^2\,\frac{\gamma}{g}, worin ϒ das spezifische Gewicht, g die Erdbeschleunigung und w die Geschwindigkeit bedeutet. Durch Messungen im Genfer See haben Colladon und Sturm w = 143500 m/Sek. gefunden, woraus sich E zu 20900 ergibt. Die große Uebereinstimmung ist überraschend, weil in dem einen Falle luftfreies, in dem anderen lufthaltiges Wasser verwendet wurde. Ein geringer Luftgehalt kann also einen größeren Einfluß als die Versuchsungenauigkeiten nicht haben. Nun wird in der Technik das Wasser nicht für sich allein, sondern eingeschlossen in Gefäßen irgend welcher Art, Rohrleitungen, Akkumulatoren, Pumpenzylindern und dergl. verwendet, so daß auch die Nachgiebigkeit der Wandungen in Rücksicht zu ziehen ist. Ein zylindrisches Rohr von innerem Durchmesser di und der Wandstärke δ sei mit Wasser gefüllt. Erhöht sich nun der Druck des Wassers um 1 at, so vermindert sich das Volumen des Wassers wie wir sahen um 1/20900, während das Rohr und damit sein Inhalt sich entsprechend den in den Wandungen auftretenden Spannungen vergrößert. Bei geringen Wandstärken nimmt man bekanntlich an, daß sich die tangentiale Zugspannung σ über die ganze Wandstärke δ gleichmäßig verteilt. Aus der hierfür bestehenden Gleichung 2 δ ∙ σ = d1 ∙ pi folgt \sigma=\frac{d_i\p_i}{2\,\delta}=c\,p_i. wenn pi den inneren Ueberdruck in at und c=\frac{d_i}{2\,\delta} für ein bestimmtes Rohr eine Konstante bezeichnet. Bei größeren Wandstärken gilt diese Formel nicht mehr, sondern diejenige von C. v. Bach: d_a=d_i\,\sqrt{\frac{\sigma+0,4\,p_i}{\sigma-1,3\,p_i}}, worin di den inneren, da den äußeren Durchmesser des Rohres bedeutet, σ ist die an der Innenfläche auftretende größte tangentiale Zugbeanspruchung. Nach a aufgelöst ergibt die Gleichung \sigma=p_1\,\frac{1,3\,\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2+0,4}{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1}=p_i\cdot c_1, worin c1 für ein bestimmtes Rohr eine Konstante ist. Trotz der ungleichmäßigen Verteilung der Spannung über die Dicke der Wand ist für die innerste Faser die Zugbeanspruchung σ und damit auch die Dehnung proportional pi. Hieraus läßt sich die Vergrößerung des Rohrquerschnittes berechnen, welche infolge einer Druckerhöhung eintritt. Der Inhalt des Rohres wird sich aber noch mehr vergrößern, weil auch eine Verlängerung in Richtung der Rohrachse eintreten wird. Das Verhältnis der achsialen Zugspannung σa zu σ mit a bezeichnet, ergibt σa = a σ Ist E1 der Elastizitätsmodul der Längenänderung für das Material der Wandungen und di1 der innere Durchmesser des durch den Druck erweiterten Rohres, so ist 1+\frac{\sigma}{E_1}=\frac{d_{i1}\cdot \pi}{d_i\cdot \pi}=\frac{d_{i_1}}{d_i}, Das Verhältnis der Querschnitte ist also \frac{{d^2}_{i_1}\,\frac{\pi}{4}}{{d^2}_i\,\frac{\pi}{4}}=\frac{{d^2}_{i_1}}{{d^2}_i}=\left(1+\frac{\sigma}{E_1}\right)^2=1+\frac{2\,\sigma}{E_1}+\left(\frac{\sigma}{E_1}\right)^2 \frac{\sigma}{E_1} ist ein kleiner Wert (~ 0,001) und \left(\frac{\sigma}{E_1}\right)^2 infolgedessen so klein, daß es gegen 1 vernachlässigt werden kann. Für σ den Wert c pi bezw. c1 pi eingeführt, liefert die Gleichung: \frac{{d^2}_{i_1}\,\frac{\pi}{4}}{{d^2}_i\,\frac{\pi}{4}}=1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c}} bezw. 1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}} Ist J der ursprüngliche Inhalt des Rohres, so ist der Inhalt des durch den Druck nur erweiterten, nicht verlängerten Rohres J1 J_1=J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c}}\right) bezw. =J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}\right). Der Inhalt J2 des sowohl erweiterten als auch verlängerten Rohres ergibt sich nun zu: \begin{array}{rcl}J_2=J_1\,\left(1+\frac{\sigma}{E_1}\right)=J_1\,\left(1+\frac{a\,\sigma}{E_1}\right)&=&J_1\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}\right)\\ \mbox{bezw.} &=& J_1\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}\right)\end{array} J_2=J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c}}\right)      \mbox{bezw. }= J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}\right). Dieser Rauminhalt J2 enthält aber zusammengepreßtes Wasser, welches vor der Zusammendrückung das Volumen J3 hatte. Danach ist: J_3=J_2\,\left(1+\frac{p_i}{20900}\right) J_3=J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{20900}\right) beziehungsweise J_3=J\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}\right)\,\left(1+\frac{p_i}{20900}\right) Durch Ausmultiplizieren und Vernachlässigen von Gliedern sehr geringer Größe ergibt sich: J_3=J\,\left[1+p_i\,\left(\frac{1}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}+\frac{1}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}+\frac{1}{20900}\right)\right]. Den Ausdruck \left(\frac{1}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}+\frac{1}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}+\frac{1}{20900}\right) kann man als den reziproken Elastizitätsmodul von Wasser und Wandungen zusammen betrachten \frac{1}{E}=\frac{1}{E_1\,\frac{1}{2\,c}}+\frac{1}{E_1\,\frac{1}{a\,c}}+\frac{1}{20900} \mbox{bezw.}=\frac{1}{E_1\,\frac{1}{2\,c_1}}+\frac{1}{E_1\,\frac{1}{a\,c_1}}+\frac{1}{20900}. In welchen Grenzen hält sich nun dieser Modul E für Wasser und Wandungen? Als untere Grenze kann für dünne Rohre \frac{2\,\delta}{d}=\frac{1}{10}, also c = 10, a = 0,5 und der Elastizitätsmodul der Wandungen für Gußeisen = 800000 bis 1000000, für Schmiedeeisen = 2000000 werden. Hierfür ergibt sich die folgende Uebersicht: \frac{2\,\delta}{d_i}=p_i= 0,1 0,1 0,1 E 1 800000 1000000 2000000 E 12640 13730 16570 Die obere Grenze erhält man für dickwandige Rohre. Für solche läßt sich a zu jedem \frac{p_i}{\sigma} auf folgende Weise bestimmen: Unter der Annahme, daß sich die gesamte in der Richtung der Achse auftretende Kraft p_i\,{d^2}_{i_1}\,\frac{\pi}{4} gleichmäßig über die ganze Wandstärke verteilt, ist \sigma_a=\frac{p_i\,{d^2}_{i_1}\,\frac{\pi}{4}}{{d^2}_a\,\frac{\pi}{4}-{d^2}_{i_1}\,\frac{\pi}{4}}=\frac{p_i}{\left(\frac{d_a}{d_{i_1}}\right)^2-1} \sigma=p_i\,\frac{1,3\,\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2+0,4}{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1} a=\frac{\sigma_a}{\sigma}=\frac{1}{1,3\,\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2+0,4}\cdot \frac{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1}{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1} Da die elastischen Formänderungen bei Gußeisen und Schmiedeeisen nur sehr gering sind, so ist annäherungsweise \frac{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1}{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1} gleich 1 und a=\frac{\sigma_a}{\sigma}=\frac{1}{1,3\,\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2+0,4} In diese letzte Gleichung wird der aus \frac{p_i}{\sigma} ermittelte Wert von \frac{d_a}{d_i} eingesetzt. Auf Grund dieser Formeln ergeben sich folgende zwei Uebersichten: \frac{p_i}{\sigma}= 0,3 0,3 0,3 E1 = 800000 1000000 2000000 E = 14770 15680 17910 \frac{p_i}{\sigma}= 0,75 0,75 0,75 E1 = 800000 1000000 2000000 E = 19530 19800 20170 Der Elastizitätsmodul für Hohlzylinder einschließlich ihres Wasserinhalts schwankt also zwischen 12600 und ~ 20200, je nachdem die Wandungen bei kleinem Druck (~ 10 at) aus Gußeisen, oder bei hohem Druck (~ 400 bis 500 at) aus Schmiedeeisen oder Stahl hergestellt sind. III. Stöße in einem Akkumulator unter Berücksichtigung der Elastizität des Wassers. Die Elastizität des Wassers hat ihren größten Einfluß bei hohen Pressungen, also in den bei hydraulischen Aufzügen, Pressen und Nietmaschinen vorkommenden Rohrleitungen und Akkumulatoren, vor allen Dingen in letzteren, weil sie, mit den Rohrleitungen verglichen, eine große Wassermenge enthalten. Der höchste vorkommende Druck wird in einem Akkumulator entstehen, wenn der Abfluß plötzlich abgesperrt wird, nachdem er vorher lange geöffnet war, das Belastungsgewicht des Akkumulators also seine größte Fallgeschwindigkeit erreicht hatte. Diese Geschwindigkeit soll zunächst bestimmt werden. An den Akkumulator, dessen Belastung das Gewicht G hat, ist eine Abflußleitung von der Länge l und dem Durchmesser d (Querschnitt f) angeschlossen. Das Wasser möge am Ende der Rohrleitung frei ausströmen; dann ist, wenn die Reibung der Akkumulatorstopfbüchse vernachlässigt wird, der Widerstand, den das strömende Wasser in der Leitung findet, die einzige Dämpfung für das Herabsinken des Gewichts. In der ersten Zeit nach der Eröffnung des Abflusses ist die Geschwindigkeit des Wassers noch klein. Bei kleinen Geschwindigkeiten und engen Rohrleitungen ist der Widerstand nach dem Gesetz von Poiseuille proportional der ersten Potenz der Geschwindigkeit. Von der sog. „kritischen“ Geschwindigkeit an gilt dieses Gesetz jedoch nicht mehr. Nach Versuchen von O. Reynolds ist die kritische Geschwindigkeit für Wasser von 15 ° C w\mbox{ m/Sek. }=0,0028\,\frac{1}{d_m} (Näheres darüber in Föppl, „Vorlesungen über Mechanik, Bd. IV“.) Ist d = 2,5 cm, so liegt w bei etwas mehr als 0,1 m/Sek., also viel niedriger als die normal in Rohrleitungen herrschenden Geschwindigkeiten von etwa 1 bis 2 m/Sek. Bei Geschwindigkeiten größer als die kritischen ist der Widerstand proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit. Hierbei nimmt man die Druckhöhe z, welche erforderlich ist, um Wasser mit der Geschwindigkeit v durch eine Rohrleitung von der Länge l und dem Durchmesser d zu bewegen, bekanntlich an zu: z=\lambda\,\frac{l}{d}\cdot \frac{v^2}{2\,g}. Eingehende Versuche von Dupuit, Darcy und Hagen haben gezeigt, daß diese Beziehung nicht genau zutrifft, daß also λ nicht genau eine Konstante ist. (Eine Zusammenstellung verschiedener Formeln für λ findet sich in „Keck, Mechanik II“, sowie in der „Hütte, 19. Auflage, Teil I, S. 248“). Da die Abweichungen nur gering sind und es hier nur auf einen Mittelwert ankommt, so kann man 1 konstant setzen und zwar für reines Wasser = 0,025. Sowohl dieser Wert von λ als auch die Zunahme von z mit dem Quadrat von v sind nur für wesentlich kleinere Geschwindigkeiten als hier in Frage kommen, durch Versuche erprobt. Trotzdem sollen sie hier, mangels passenderer Versuchsergebnisse, angewendet werden. Infolgedessen haben die damit erhaltenen Ergebnisse natürlich auch nur angenäherte Richtigkeit. Zur Erzeugung des Druckes ϒ ∙ z ist ein Akkumulatorgewicht G0 notwendig G_0=F\cdot \gamma\cdot z=\lambda\,\frac{l}{d}\cdot \frac{v^2}{2\,g}\cdot F\cdot \lambda. worin F der Querschnitt des Akkumulators, ϒ das spezifische Gewicht des Wassers ist. Führt man an Stelle der Wassergeschwindigkeit im Rohr (= v) die Akkumulatorgeschwindigkeit V=v\,\frac{f}{F} ein, so wird G_0=\lambda\,\frac{l}{d}\cdot \frac{l}{2\,g}\,V^2\,\frac{F^3}{f^2}\cdot \gamma=k\cdot V^2, worin k=\lambda\,\frac{l}{d}\,\frac{1}{2\,g}\,\frac{F^3}{f^2}\,\gamma für eine bestimmte Anlage ein konstanter Faktor ist. Das Gesamtgewicht des Akkumulators muß aber größer sein als G0, weil nicht nur die Rohrwiderstände zu überwinden, sondern auch noch die Massen des Belastungsgewichtes und des Wassers im Akkumulator = Mwa, sowie in der Rohrleitung Mwr, zu beschleunigen sind. Es ist daher G=G_0+\frac{G}{g}\,\frac{d\,v}{dt}+M_{W\,A}\,\frac{d\,V}{d\,t}+M_{W\,R}\,\frac{d\,v}{d\,t}\cdot \frac{F}{f}, oder G=G_0+\frac{G}{g}\,\frac{d\,v}{dt}+M_{W\,A}\,\frac{d\,V}{d\,t}+M_{W\,R}\,\left(\frac{F}{f}\right)^2\,\frac{d\,V}{d\,t}. Das dritte Glied ist gegenüber dem vierten Glied mit \left(\frac{F}{f}\right)^2 sehr klein, etwa 1 : 100 bis 1 : 700 und kann vernachlässigt werden: dies gibt G=k\cdot V^2+\left[\frac{G}{g}+M_{W\,R}\,\left(\frac{F}{f}\right)^2\right]\,\frac{d\,V}{dt}, V erhält seinen größten Wert für \frac{d\,V}{dt}=0 aus obiger Gleichung zu V_{\mbox{max}}=\sqrt{\frac{G}{k}}. Um mit den ungünstigsten Verhältnissen zu rechnen, soll angenommen werden, daß dieses Vmax wirklich erreicht wurde. Der in Fig. 5 dargestellte AkkumulatorDie Skizze des Akkumulators ist (von kleinen Aenderungen abgesehen) dem Buche von Herrn. Fischer „Die Werkzeugmaschinen“ entnommen. Nach den auf S. 617 gemachten Angaben ist dieser Akkumulator für einen Druck von 100 at bestimmt. möge Wasser von einer Pressung p = 100 at enthalten, sein Querschnitt F sei 1000 qcm, sein Gewicht G ist, in CGS gerechnet, 108g k wird für d = 2,5 cm, l = 500 cm und λ = 0,025: k=1\cdot 0,025\,\frac{500}{2,5}\cdot \frac{1}{2\cdot 981}\cdot \frac{1000^3}{4,9^2}=1,06\cdot 10^5. Es ergibt sich somit: V_{max}=\sqrt{\frac{10^8}{1,06\cdot 10^5}}=31\mbox{ cm/Sek.} Dieser Geschwindigkeit des Belastungsgewichtes entspricht auch ein Maximum der Wassergeschwindigkeit in der Rohrleitung von 2,5 cm Durchm.: v_{\mbox{max}}=\frac{F}{f}\,V_{\mbox{max}}=63,3\mbox{ m/Sek.} Textabbildung Bd. 322, S. 631 Fig. 5. Es sollen nun weiter die ungünstigsten Annahmen gemacht werden; nämlich in dem Augenblick des plötzlichen Abschlusses sei der Akkumulator ziemlich unten, so daß er nur noch etwa 146000 ccm Wasser enthält, während er in seiner höchsten Stellung etwa 425000 ccm aufnehmen kann. Außerdem sollen die Wandungen sehr steif sein, so daß E = 20000 gesetzt werden kann. Das Arbeitsvermögen des fallenden Gewichts muß durch die Zusammendrückungsarbeit des Wassers allein aufgenommen werden: \frac{G}{g}\cdot \frac{V^2_{\mbox{max}}}{2}=\int_0^{s_f}\,K\,d\,s. Die Kraft K ist proportional der jeweiligen Zusammendrückung s, also K = C ∙ s oder \int_0^{s_f}\,K\,d\,s=C\,\int_0^{s_1}\,s\cdot d\,s=C\,\frac{{s_1}^2}{2}, \frac{G}{g}\,\frac{V^2_{\mbox{max}}}{2}=C\,\frac{{s_1}^2}{2}, Der Wert von C läßt sich durch folgende Ueber-legung ermitteln: Bei einem Druckzuwachs um 1000 g/qcm würde K, sich vergrößern um F ∙ 1000 = 106 g, bei diesem selben Druckzuwachs würde sich aber das Volumen um \frac{1}{E}=\frac{1}{20000} vermindern. Dieser Volumenverminderung entspräche ein Weg s'=\frac{146000}{20000\cdot 1000}=\frac{1}{37}\mbox{ cm} Dieser Weg s' und die Vergrößerung von K um 106 g sind zusammengehörige Werte, also 10^6=C\cdot \frac{1}{137} oder C = 1,37 · 108. Nunmehr liefert die Gleichung \frac{G}{g}\,\frac{V^2_{\mbox{max}}}{2}=C\,\frac{{s_1}^2}{2}, den Wert S1: \frac{10^8}{981}\cdot \frac{31^2}{2}=1,37\cdot 10^8\cdot \frac{{}s_1^2}{2}, also s1 = 0,96 cm. Daraus findet sich Kmax = 0,96 ∙ 1,37 ∙ 108= 1,3 ∙ 108g und p_{\mbox{max}}=\frac{K_{\mbox{max}}}{F}=130\mbox{ at.} Der Druck würde also für den Fall, daß der freie Austritt plötzlich geschlossen würde, von dem normalen Werte von 100 at für einen Augenblick um weitere 130 at, also auf mehr als das Doppelte steigen, der Akkumulator noch um 0,96 cm sinken. Sobald er zur Ruhe gekommen ist, würde er durch den nun herrschenden Druck von 230 at sofort in die Höhe geworfen werden, darauf wieder nach abwärts fallen, also Schwingungen ausführen. In ähnliche, allerdings kleinere Schwingungen wird der Akkumulator bei jeder Absperrung verfallen. Sie sollen hier weiter untersucht werden. (Schluß folgt.)