Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. Von Diplom-Ingenieur Otto Schäfer, Hannover. (Fortsetzung von S. 631 d. Bd.) Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. IV. Eigenschwingungen eines Akkumulators. Der durch den plötzlichen Abschluß der Abflußleitung hervorgerufene Druck wird den Akkumulator entweder zerstören, oder das Wasser wird zusammengedrückt, später sich wieder ausdehnen und dabei das Gewicht heben. Ist das Gewicht dann bis zur Gleichgewichtslage gehoben, so überschreitet es diese vermöge seiner Trägheit, erreicht einen höchsten Punkt, kehrt wieder um usw. Wir haben eine Verbindung von Masse und Feder, also ein System, welches Schwingungen auszuführen befähigt ist. Bei unelastischen Wänden und unelastischem Wasser könnten Schwingungen nicht stattfinden, oder mathematisch ausgedrückt, die Zeit für eine Schwingung müßte Null sein. Je weicher elastisch das federnde Mittel ist, desto länger dauert die Schwingung. Bezeichnet K die veränderliche, vom Wasser auf das Gewicht ausgeübte Kraft und m die Masse des Belastungsgewichtes, so sind K und m mal der Beschleunigung die einzigen vorkommenden Kräfte; sie müssen sich das Gleichgewicht halten. Bezeichnet s den Weg von der Gleichgewichtslage ab, so ist die Beschleunigung \frac{d^2\,s}{d\,t^2}; dies gibt K+m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}=0. Für K den Wert C ∙ s gesetzt, wie im vorigen Abschnitt gezeigt, liefert als Differentialgleichung der Schwingung m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}=-C\cdot s. Die Dämpfung der Schwingung durch Stopfbüchsenreibung ist hierbei zunächst vernachlässigt. Die Zeit T für eine volle Schwingung ist bekanntlich T=2\,\pi\,\sqrt{\frac{m}{C}}. Unter Beibehaltung der Annahmen des vorigen Abschnittes ist m=\frac{10^8}{981} und C = 1,37 · 108, also T=2\,\pi\,\sqrt{\frac{10^8}{1,37\cdot 10^8\cdot 981}}=9,71\mbox{ Sek.} Die Schwingungszeit wird erheblich größer, wenn der Akkumulator mehr Wasser enthält. In seiner höchsten Stellung kann der skizzierte Akkumulator 425000 ccm Wasser aufnehmen. In dieser äußersten Lage kann er aber keinen Anstoß zu Schwingungen bekommen; durch Oeffnen und plötzliches Schließen des Abflusses nicht, weil das Gewicht dann nicht mehr ganz oben steht, und durch Stöße im Zufluß nicht, weil dieser in der Nähe des höchsten Punktes abgeschlossen wird. Den Inhalt zu ~ 400000 ccm angenommen, ergibt C = 0,55 ∙ 108, also T=2\,\pi\,\sqrt{\frac{10^8}{0,55\cdot 10^8\cdot 981}}=0,266\mbox{ Sek.} Es mag nun auch die Elastizität der Wandungen berücksichtigt werden. Aus der bereits benutzten Formel für Rohre mit innerem Ueberdruck \sigma=p_i\,\frac{1,3\,\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-0,4}{\left(\frac{d_a}{d_i}\right)^2-1} ergibt sich, da \frac{d_a}{d_i} bei dem betrachteten Akkumulator gleich \frac{3}{2} ist, σ = 2 ∙ pi. Daraus findet sich, wenn der Elastizitätsmodul des Gußeisens der Wandungen zu 800000 angenommen wird \frac{1}{E}=\frac{1}{20900}+\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 800000}=\frac{1}{18900} E = 18900. Mit diesem Wert bestimmt sich dann C = 0,5 ∙ 108 und T = 0,28 Sek. Die Elastizität der Wandungen hat hiernach die Zeit für eine Schwingung nicht sehr erheblich vergrößert; die Veränderung des Wasserinhaltes ist von weit größerem Einfluß gewesen. Als Dämpfung kommt nur die Stopfbüchsenreibung in Betracht, Diese Dämpfung ist sehr schwer zu berücksichtigen, weil sowohl das Gesetz der Reibung und die Koeffizienten, als auch der Reibungsdruck sehr unsicher sind. Man nimmt gewöhnlich an, daß die Reibung unabhängig von der Geschwindigkeit sei; außerdem ist sie stets der Bewegung entgegen gerichtet. Für den Fall einer Schwingung würde sie also immer vom vollen positiven auf den vollen negativen Wert springen, wenn man die Wirkung in einer Richtung mit positivem Vorzeichen eingesetzt hat. Der Wechsel findet jedesmal dann statt, wenn die Geschwindigkeit Null ist, also wenn der Weg ein Maximum ist. Ein solches Gesetz für die Reibung läßt sich analytisch nicht darstellen, es würde daher unmöglich sein, die Reibung in die Gleichung für die Schwingung einzuführen. Der Einfluß der Dämpfung auf die Schwingungszeit ist äußerst gering, so gering, daß man ihn, wie sich weiter unten herausstellen wird, überhaupt vernachlässigen kann. Zunächst werde ein solches Gesetz für die Reibung angenommen, wie es die Durchführung der Rechnung erleichtert, wobei es nicht darauf ankommt, in jedem Zeitpunkt eine möglichst genaue Uebereinstimmung des Gesetzes mit der Wirklichkeit zu erreichen, sondern nur darauf, daß im Mittel, während einer längeren Zeit, diese Uebereinstimmung herrscht. Zeigt sich dann, daß die Reibung überhaupt gleichgültig ist, so geht daraus hervor, daß auch die Wahl des Gesetzes gleichgültig war. Eine solche, für die Rechnung bequeme Annahme für das Gesetz der Reibung ist die, daß die Reibung proportional der Geschwindigkeit sei. Der Koeffizient der Reibung werde so bestimmt, daß er mit einer mittleren angenommenen Geschwindigkeit multipliziert, denjenigen Wert R der Reibung gibt, welchen man bei Ausführungen gefunden hat. Setzt man für R (nach der „Hütte“, 19. Auflage, S. 212) R = μ ∙ p ∙ d ∙ π, wobei μ die Reibungsziffer (0,1), p den Druck (100 at) und d π den Umfang der Stopfbüchse bedeutet, so ist R = 0,1 ∙ 100 ∙ d ∙ π = 1120 kg oder R = rd ∙ 1000 kg = 1000000 g. Unter Annahme einer mittleren Geschwindigkeit Vm = 10 cm/sek. würde der Koeffizient r' des Reibungsgesetzes r' = 100000. Die Differentialgleichung der Schwingung unter Berücksichtigung der Dämpfung lautet dann m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}=-C\cdot s-r'\,\frac{d\,s}{d\,t}. Sie steht für r' = 0 in Uebereinstimmung mit der oben angegebenen Gleichung für ungedämpfte Schwingungen. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist bekannt (Föppl, „Vorlesungen über techn. Mechanik“, Bd. IV). Die Dauer einer vollen Schwingung T ist T=\frac{4\cdot \pi\cdot m}{\sqrt{4\,m\cdot C-r'^2}}, Einsetzung der Zahlen ergibt T=\frac{4\cdot \pi\,\frac{10^8}{981}}{\sqrt{4\cdot \frac{10^8}{981}\cdot 0,5\cdot 10^8-100000^2}}. Das 1000002 verändert den Wert unter der Wurzel um eine Einheit in der vierten Stelle, also bleibt T = 0,28 (die beiden ersten Stellen) unverändert. Erst wenn die Reibung zehnmal so groß wäre, würde sich der Wert unter der Wurzel um eine Einheit in der zweiten Stelle verkleinern und dann auch T sich vergrößern. Es ist hiernach wohl anzunehmen, daß die Reibung ohne wesentlichen Einfluß auf die Schwingungsdauer bleibt, auch wenn sie einem anderen als dem hier angenommenen Gesetze folgt. V. Bewegungen eines Akkumulators ohne Berücksichtigung der Elastizität. Nach Bestimmung der Eigenschwingungszeit des Akkumulators sind nun noch die ihm aufgezwungenen Schwingungen zu untersuchen. Sie entstehen dadurch, daß das Wasser nicht in einem ständigen Strome, sondern periodisch schwankend zugeführt wird. Dabei entspricht die Periode einer ganzen oder einer halben Umdrehung der Pumpenwelle, je nachdem eine oder zwei um 180° gegeneinander versetzte Pumpen das Wasser liefern. Wenn aus dem Akkumulator gerade so viel Wasser abfließt, daß er nach einer Periode stets wieder dieselbe Stellung hat wie vorher, so kann man ein solches Verhalten als Beharrungszustand bezeichnen, Die veränderliche Zuflußgeschwindigkeit sei w, die Geschwindigkeit des Belastungsgewichtes V und die Geschwindigkeit des abfließenden Wassers ν. Sind dann q, F und f die zugehörigen Querschnitte, so würde unter der Bedingung, daß das Wasser nicht zusammengedrückt werden kann und daß andererseits das Wasser den ganzen ihm gebotenen Raum ausfüllt, die in einem Zeitteilchen dt zugeführte Wassermenge q. w. dt teilweise sofort abfließen (f. v. dt) teilweise den Wasserinhalt des Akkumulators vergrößern (F. V. dt). V kann natürlich auch negativ sein, was ein Sinken des Belastungsgewichtes und eine Verkleinerung des Wasserinhaltes bedeuten würde. Es ist demnach q ∙ w ∙ d = f ∙ ν ∙ dt + FV ∙ dt, oder q ∙ w = f ∙ v + FV..... 1) Die Abflußgeschwindigkeit v ist veränderlich, selbst wenn der Widerstand in der Abflußleitung und das Belastungsgewicht gleich groß bleiben, weil der Druck im Akkumulator um so viel schwankt, wie zur Beschleunigung des Belastungsgewichtes erforderlich ist. Die Länge der Abflußleitung und damit auch die Masse des in ihr befindlichen Wassers möge so groß sein, daß diese Druckschwankungen nicht imstande sind, die Geschwindigkeit v nennenswert zu verändern, so daß also v als konstant betrachtet werden kann. Zur Bestimmung der Beschleunigungen und der Kräfte in Zuflußleitung und Akkumulator erhält man aus Gleichung 1 q\,\frac{d\,w}{d\,t}=F\,\frac{d\,V}{d\,t}. Für w und demgemäß auch für \frac{d\,w}{d\,t} gilt ein ganz bestimmtes Gesetz, je nach der Anordnung der Pumpe. Hier möge eine einfachwirkende Taucherkolbenpumpe ohne Windkessel und ohne Windhauben das Wasser liefern. Ihr Antrieb sei durch ein Kurbelgetriebe mit konstanter Kurbelzapfengeschwindigkeit und durch eine Schubstange bewirkt, deren Länge gleich dem fünffachen Kurbelradius ist (l = 5r). Da das Verhältnis \frac{r}{l} bei Speisepumpen häufig kleiner als ⅕ ist, so soll auch der andere Grenzfall \frac{r}{l}=\frac{1}{\infty} betrachtet werden. Die einfachen Taucherkolbenpumpen fördern nur auf dem Rückgang, das heißt, nur dann, wenn der Kolben sich in der Richtung von der Kurbel nach dem Zylinder hin bewegt (Druckperiode). Die Geschwindigkeit w für jede Kolbenstellung bestimmt sich, wie in Fig. 6 angegeben. Textabbildung Bd. 322, S. 646 Fig. 6. Textabbildung Bd. 322, S. 646 Fig. 7. In Fig. 7 ist w als Funktion der Zeit aufgetragen. Dies Gesetz für w läßt sich auch analytisch aufstellen. Wenn x' den Weg des Kolbens von der vorderen Totpunktslage ab, φ den Winkel der Kurbel mit der vorderen Totlage bezeichnet, so ist für den Rückgang des Kolbens x'=r\,(1-\mbox{cos}\,\varphi)-l\,\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\,\mbox{sin}\,\varphi\right)^2}\right). Um den Weg x eines Wasserteilchens in der Druckrohrleitung der Pumpe zu bekommen, ist x' noch mit dem Verhältnis Kolbenfläche F1 durch Rohrquerschnit q zu multiplizieren; dies gibt x=x'\,\frac{F_1}{q}, oder x=\frac{F_1}{q}\,r\,(1-\mbox{cos}\,\varphi)-\frac{F_1}{q}\,l\,\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\,\mbox{sin}\cdot \varphi\right)^2}\right) 2) Diese Strecke x ist von dem Punkte ab zu messen, den das Wasser bei Beginn des Rückganges der Pumpe – Beginn der Druckperiode – erreicht hatte. Beim Vorwärtsgang des Kolbens – während der Saugperiode – ist w gleich Null, x konstant. Auch zeichnerisch läßt sich x als Funktion der Zeit darstellen, indem man für die Druckperiode die Größe von x aus Fig. 6 entnimmt und für die Saugperiode x konstant läßt. Durch zeichnerische Differentiation der Geschwindigkeitskurve (Fig. 7) könnte man die Beschleunigungen erhalten. Abgesehen davon, daß eine zeichnerische Differentiation immer ziemlich ungenau wird, genügt auch die Kenntnis der Kurve der Beschleunigung noch nicht für die folgenden Betrachtungen. Es ist vielmehr, um etwa auftretende Resonanzerscheinungen beurteilen zu können, erforderlich, die periodische Funktion der Beschleunigung in eine Reihe zu zerlegen, die aus dem Sinus und Cosinus des Winkels φ und der Vielfachen dieses Winkels besteht. Zu einer solchen Darstellung, die unter dem Namen Flouriersche Reihe bekannt ist, gelangt man in diesem Falle auf folgendem Wege. Man betrachtet zunächst den Rückgang allein und entwickelt den Ausdruck \sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\,\mbox{sin}\cdot \varphi\right)^2} nach dem binomischen Lehrsatz: \sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\,\mbox{sin}\,\varphi\right)^2}=1-\frac{1}{2}\,\left(\frac{r}{l}\right)^2\,\mbox{sin}^2\,\varphi-\frac{1}{8}\,\left(\frac{r}{l}\right)^4\,\mbox{sin}^4\,\varphi -\frac{1}{16}\,\left(\frac{r}{l}\right)^6\,\mbox{sin}^6\,\varphi-\frac{5}{128}\,\left(\frac{r}{l}\right)^8\,\mbox{sin}^8\,\varphi-\frac{7}{256}\,\left(\frac{r}{l}\right)^{10}\,\mbox{sin}^{10}\,\varphi, Für die weitere Entwicklung ist es bequemer, statt der Sinuspotenzen die Funktionen der Vielfachen des Winkels φ einzuführen. Hierzu dienen die Formeln \mbox{sin}^2\,\varphi=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\mbox{cos}\,2\,\varphi, \mbox{sin}^4\,\varphi=\frac{1}{2^4}\,(2\,\mbox{cos}\,4\,\varphi-4\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,2\,\varphi+6), \mbox{sin}^6\,\varphi=\frac{1}{2^6}\,(2\,\mbox{cos}\,6\,\varphi-6\cdot 2\cdot \mbox{cos}\cdot 4\,\varphi+15\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,2\,\varphi-20), \mbox{sin}^8\,\varphi=\frac{1}{2^8}\,(2\,\mbox{cos}\,8\,\varphi-8\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,6\,\varphi+28\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,4\,\varphi-56\cdot 2\,\mbox{cos}\,2\,\varphi+70) \mbox{sin}^{10}\,\varphi=-\frac{1}{2^{10}}\,(2\,\mbox{cos}\,10\,\varphi-10\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,2\,\varphi+45\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,6\,\varphi-120\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,4\,\varphi+210\cdot 2\cdot \mbox{cos}\,2\,\varphi-252). Ersetzt man l durch 5 r und zieht die Glieder mit den gleichen Vielfachen von φ zusammen, so ergibt sich aus Gleichung 2 der Weg eines Wasserteilchens in der Druckrohrleitung: x=\left[\frac{F_1}{q}\cdot r\,(0,94\,96\,19-\mbox{cos}\,\varphi+0,05\,05\,09\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-0,00\,01\,29\,\mbox{cos}\,4\,\varphi+0,00\,00\,01\,\mbox{cos}\,6\,\varphi\right]_{\varphi=0}^{\varphi=\pi} Diese Gleichung gilt jedoch nur für den ersten Rückgang; dann folgt ein Vorwärtsgang, während dessen das Wasser in der Druckrohrleitung in Ruhe bleibt, x also den Wert für φ = π beibehält. x=\left[\frac{F_1}{q}\,2\,r\right]_{\varphi=\pi}^{\varphi=2\,\pi} Während des folgenden Rückganges verändert sich x wieder gemäß Gleichung 2, ist also x=\left[\frac{F_1}{q}\,2\,r+\frac{F_1}{q}\,r\,(0,94\,96\,19-\mbox{cos}\,\varphi+0,05\,05\,09\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-.\ .\ .)\right]_{\varphi=2\,\pi}^{\psi=3\,\pi} dann ist x wieder konstant, x=\left[2\,\frac{F_1}{q}\,2\,r\right]_{\varphi=3\,\pi}^{\varphi=4\,\pi} das Spiel setzt sich in derselben Weise weiter fort. 1) Rückgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,r\,(0,94\,96\,19-\mbox{cos}\,\varphi+.\ .\ .\ )\right]_{\varphi=0}^{\varphi=\pi} 1) Vorwärtsgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,2\,r\right]_{\varphi=\pi}^{\varphi=2\,\pi} 2) Rückgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,2\,r+\frac{F_1}{q}\,r\,(0,94\,96\,19-\mbox{cos}\,\varphi+\ .\ .\ .\ )\right]_{\varphi=2\,\pi}^{\varphi=3\,\pi} 2) Vorwärtsgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,4\,r\right]_{\varphi=3\,\pi}^{\varphi=4\,\pi} n + 1) Rückgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,n\cdot 2\,r+\frac{F_1}{q}\,r\,(0,94\,96\,19+\mbox{cos}\,\varphi+\ .\ .\ .)\right]_{\varphi=n\,2\,\pi}^{\varphi=n\,2\,\pi+\pi} n+ 1) Vorwärtsgang x=\left[\frac{F_1}{q}\,(n+1)\,2\,r\right]_{\varphi=n\,2\,\pi+\pi}^{\varphi=n\,2\,\pi+\pi} (Fortsetzung folgt.)