Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. Von Diplom-Ingenieur Otto Schäfer, Hannover. (Fortsetzung von S. 663 d. Bd.) Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers. VI. Erzwungene Schwingungen eines Akkumulators. Ein Akkumulator ist, nach Vorstehendem, ein schwingungsfähiges System, dem periodisch durch die Pumpe Anstöße zu Schwingungen erteilt werden. Fällt hierbei die Periode der Eigenschwingung mit der Periode der erzwungenen Schwingung zusammen oder ist sie ein Vielfaches davon, so entsteht eine unter Umständen gefährliche Anhäufung oder Verstärkung der Schwingungen, die s. g. Resonanz. Die Kraft K welche die Schwingung erregt, ist gleich m\cdot \frac{d^2\,s}{d\,t^2}, wobei sich \frac{d\,V}{d\,t} nach dem Gesetze ändert, welches auf S. 662 angegeben ist. Die Differentialgleichung der Eigenschwingung des Akkumulators lautet nach S. 646 m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}+C\cdot s+r'\,\frac{d\,s}{d\,t}=0. Diese Gleichung stellt die Gleichgewichtsbedingung zwischen der Expansionskraft des Wassers C. s, der Reibung r'\,\frac{d\,s}{d\,t} und der zur Beschleunigung dienenden Kraft m\cdot \frac{d^2\,s}{d\,t} dar, zu diesen Kräften tritt nun K noch hinzu, so daß die Gleichung lautet: m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}+C\,s+r'\,\frac{d\,s}{d\,t}=K=m\,\frac{d\,V}{d\,t;} für \frac{d\,V}{d\,t} den Wert aus Gleichung 8 entnommen und φ durch ω t ersetzt, gibt m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}+C\,s+r'\,\frac{d\,s}{d\,t}=m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}\,\left[\0,02\,14\,26\,\mbox{sin}\,\omega\,t \right +0,41\,44\,12\,\mbox{sin}\,2\,\omega\,t+0,5\,\mbox{cos}\,\omega\,t \left-0,10\,10\,18\,\mbox{cos}\,2\,\omega\,t....\right] . . . . 10) Resonanz tritt nun ein, wenn die Periode der Eigenschwingung mit der Periode von sin ω t oder cos ω t übereinstimmt und auch, wenn sie mit der Periode von sin 2 ω t, sin 3 ω t oder überhaupt sin n ω t oder cos n ω t zusammenfällt. Nur wenn der Koeffizient eines solchen sin n ω t oder cos n ω t sehr klein ist, wird die Dämpfung die Resonanz unschädlich machen. Nächst dem cos ω t besitzt der sin 2 ω t den größten Koeffizienten. Wenn beispielsweise die Pumpe 120 Umdreh. i. d. Min. macht, so hat sin 2 ω t eine Periode von \frac{60}{2\cdot 120}=0,25\mbox{ Sek.} Nun liegt die Eigenschwingungszeit des Akkumulators zwischen 0,18 Sek. und 0,31 Sek.Vergl. S. 643.; sie ist also bei einem gewissen Wasserinhalt – 0,25 Sek., in diesem Fall muß Resonanz eintreten. Außer der Resonanz erregenden Schwingung sind auch noch andere Schwingungen vorhanden, deren Einfluß untersucht werden soll. Ferner soll festgestellt werden, wie der Akkumulator sich verhält, wenn Resonanz nicht eintritt. Es genügt zunächst von der ganzen Reihe der Sinus und Cosinus nur die beiden mit den größten Koeffizienten behafteten zu betrachten, nämlich 0,5 cos ω t und 0,41 44 12 sin 2 ω t. Was für diese beiden gilt, läßt sich auf alle anderen Fuktionen leicht übertragen. Um die eben genannten Fragen beantworten zu können, muß die Differentialgleichung m\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}+C\,s+r'\,\frac{d\,s}{d\,t}=m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}         (0,5 cos ω t + 0,4144 sin 2 ω t) nach S gelöst werden. Wenn man von Abweichungen, die nur bei Beginn des Betriebes der Pumpe auftreten, absieht, ist die Lösung \begin{array}{rcl}s&=&m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}\,0,5\,C_1\,\mbox{cos}\,(\omega\,t+\varphi_1)\\ &+& m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}\,0,4144\,C_2\,\mbox{sin}\,(2\,\omega\,t+\varphi_2).\end{array} C1 und C2 sind Integrationskonstanten; von ihrer Größe wird es abhängen, ob die betreffende Sinus- oder Cosinusschwingung mehr oder weniger von Einfluß ist. φ1 und φ2 sind die Phasenverschiebungswinkel der Schwingungen. Der Kürze halber soll m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}\,0,5 mit a und m\,\omega^2\,r\,\frac{F_1}{F}\,0,4144 mit b bezeichnet werden. Um C1, C2, φ1 und φ2 zu berechnen, setzt man die Lösung für s, die durch Differentiation nach der Zeit dar aus folgende für \frac{d\,s}{d\,t} und die durch abermalige Differentiation folgende für \frac{d^2\,s}{d\,t^2} in die Differentialgleichung ein, dies gibt s = a C1 cos (ω t + φ1) + b C2 sin (2 ω t + φ2) \frac{d\,s}{d\,t}=-a\,C_1\,\omega\,\mbox{sin}\,(\omega\,t+\varphi_1)+b\,C_2\,2\,\omega\,\mbox{cos}\,(2\,\omega\,t+\varphi_2) \frac{d^2\,s}{d\,t^2}=-a\,C_1\,\omega^2\,\mbox{cos}\,(\omega\,t+\varphi_1)-b\,C_2\,(2\,\omega)^2\,\mbox{sin}\,(2\,\omega\,t+\varphi_2). Hieraus folgt: – ma C1 ω2 cos (ω t + φ1) – m b C2 (2 ω)2 sin (2 ω t + φ2) + C a C1 cos (ω t + φ1) + C b C2 sin (2 ω t + φ2) – r' a C1 ω sin (ω t + φ1) + r' b C2 2 ω cos (2 ω t +  φ2)                                = a cos ω t + b sin 2 ω t. Die Funktionen der Winkelsummen ersetzt man nach bekannten Formeln durch Funktionen der einzelnen Winkel und zieht in geeigneter Weise zusammen. cos ω t (– a – m a C1 ω2 cos φ1 + C a C1 cos φ1                                                – r' a C1 ω sin φ1) + sin ω t (m a C1 ω2 sin φ1 – C a C1 sin φ1                                        – r' aC1 ω cos φ1) + cos 2 ω t [m b C2(2 ω)2 sin φ2 – C b C2 sin φ2                                            – r' b C2 2 ω cos φ2] + sin 2 ω t [– b – m b C2 (2 ω)2 cos φ2 + C b C2 cos φ2                                         + r' b C2 2 ω sin φ2] = 0 Diese Gleichung muß für alle Werte von t erfüllt sein; das ist aber nur möglich, wenn jede von den Klammern für sich gleich Null ist. Hierfür liefert die zweite Klammer: \mbox{tg}\,\varphi_1=\frac{r'\,a\,C_1\,\omega}{m\,a\,C_1\,\omega^2-C\,a\,C_1}=\frac{r'\,\omega}{m\,\omega^2-C}. Die dritte Klammer: \mbox{tg}\,\varphi_2=\frac{r'\,2\,\omega}{m\,(2\,\omega)^2-C}. Die erste und vierte Klammer. \begin{array}{rcl}C_1&=&\frac{a}{(a\,C-a\,m\,w^2)\,\mbox{cos}\,\varphi_1-r'\,a\,\omega\,\mbox{sin}\,\varphi_1}\\ &=&\frac{1}{(C-m\,\omega^2)\,\mbox{cos}\,\varphi_1-r'\,\omega\,\mbox{sin}\,\varphi_1} \end{array} \begin{array}{rcl}C_2&=&\frac{b}{[b\,C-b\,m\,(2\,w)^2]\,\mbox{cos}\,\varphi_2-r'\,b\,\omega\,\mbox{sin}\,\varphi_2}\\ &=&\frac{1}{[C-m\,(2\,\omega)^2]\,\mbox{cos}\,\varphi_2-r'\,\omega\,\mbox{sin}\,\varphi_2} \end{array} Wie oben gezeigt, kann Resonanz eintreten mit der Schwingung sin 2 ω t für T = 0,25 Sek. Hierfür ist 2\,\omega=\frac{2\,\pi}{T}\ \ \omega=4\,\pi oder wenn man für T einsttzt 2\,\pi\,\sqrt{\frac{m}{C}} 2\,\omega=\frac{2\,\pi}{2\,\pi\,\sqrt{\frac{m}{C}}}=\sqrt{\frac{C}{m}} (2\,\omega)^2=\frac{C}{m} m(2 ω)2 – C = 0 Mithin tg\,\varphi_2=\frac{r'\,2\,\omega}{m\,(\omega)^2-C}=\infty φ2 = 90°     sin φ2 = 1     cos φ2 = 0 C_2=-\frac{1}{r'\,\omega}=-\frac{1}{r'\,4\,\pi} oder, nach den früheren Annahmen (S. 046) r' = 105 gesetzt; C2 = – 79 ∙ 10–8. Dadurch daß r' von Null verschieden ist, wird C2 ziemlich klein gehalten; für r' = 0 würde es unendlich groß werden. Für φ1 und C1 ergeben sich folgende Werte: \mbox{tg}\,\varphi_1=\frac{r'\,\omega}{m\,\omega^2-m\,(2\,\omega)^2}=\frac{r'\,\omega}{-3\,m\,\omega^2}=\frac{10^5\,4\,\pi}{-3\,\frac{10}{981}\,(4\,\pi)^2} \begin{array}{rcl}\mbox{tg}\,\varphi_1=-0,026\ \ \ \ \ \varphi_1&=&-1^{\circ}\,30'\\ \mbox{sin}\,\varphi_1&=&-0,026\,\mbox{cos}\,\varphi_1=1,0\end{array} C_1=\frac{1}{(C-m\,\omega^2)\,\mbox{cos}\,\varphi_1-r'\,\omega\,\mbox{sin}\,\varphi_1}=2,0\cdot 10^{-8}. Diese Schwingung ist also beinah 40 Mal so stark gedämpft, als die Schwingung sin 2 ω t und hat gegen die ursprüngliche nur eine sehr kleine Phasenverschiebung erlitten. Aus dem Gang der Rechnung geht hervor, daß die übrigen Schwingungen (sin 3 ω t, cos 3 ω t usw.) genau so behandelt werden können und daß die Resultate immer den hier erhaltenen analog sind. Wenn eine Schwingung Resonanz erzeugt, so sind gleichzeitig die anderen Schwingungen sehr stark gedämpft. Obwohl C2, der Faktor der Resonanz erregenden Schwingung klein ist, so sind doch die auftretenden Kräfte bedeutend. Die Beschleunigung \frac{d^2\,s}{d\,t^2} hat den größten Wert b C2 (2 ω)2, da der Sinus höchstens gleich 1 werden kann und da C1 gegen C2 vernachlässigt werden kann. Dann ergibt sich eine größte Kraft: Kmax = m ∙ b ∙ C2 (2 ω)2 =\frac{10^8}{981}\cdot m\,r\,\omega^2\,\frac{F_1}{F}\,79\cdot 10^{-8}\,(2\,\omega)^2\,0,41\,44\,12 Betrüge r F1 das halbe Kolbenhubvolumen der Pumpe (= 1000 ccm), so würde Kmax = rd. 340000 kg sein und die entsprechende größte Pressung wäre 340 at. Diese Pressung kann jedoch aus folgendem Grunde nicht erreicht werden: Bei jeder Schwingung steigt der Druck über den Anfangsdruck von 100 at und fällt unter diesen um die gleiche Anzahl von Atmosphären. Einem höchsten Druck von 200 at würde ein geringster Druck von 0 at folgen. Noch tieferes Sinken des Druckes würde verlangen, daß das Wasser Zugkräfte auf den Kolben ausübt. Dies ist unmöglich, der Kolben würde den Wasserspiegel verlassen, unter sich einen leeren Raum hervorrufen und dann wieder herabfallen. In diesem Augenblick ist jedoch die Gleichung 10 nicht mehr gültig, da sie voraussetzt, daß eine dem Ausschlag der Schwingung (s) proportionale Kraft (C s) auf den Kolben ausgeübt wird. Die höchste Pressung, die durch Resonanzerscheinungen hervorgerufen werden kann, ist also 200 at.Zum Schütze des Akkumulators ist daher ein Sicherheitsventil erforderlich, das in die Leitung möglichst nahe dem Akkumulator eingebaut wird. VII. Bewegungen des Reglers. Für die Bewegung des Reglers gilt eine Differentialgleichung gleichen Aufbaues, wie die im vorigen Abschnitt behandelte. M\,\frac{d^2\,s}{d\,t^2}+C\cdot s+r\,\frac{d\,s}{d\,t}=F\,(t). F(t) ist hier für die ganze Reihe der Sinus- und Cosinus-Werte nebst allen Faktoren gesetzt, C mit der Federmaßstab der den Kolben des Reglers belastenden Federn, r der Faktor der gesamten Dämpfung. Reibungen, die unabhängig von der Geschwindigkeit sind, wie die Stopfbüchsenreibung, sollen klein gehalten werden. Bei solchen Widerständen, die proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit sind, soll die Parabel, welche dies Gesetz darstellt, durch eine Grade ersetzt werden, die sich dem in Betracht kommenden Stück der Parabel möglichst anschließt. Bekanntlich erfüllt nicht die Tangente diese Bedingung am besten, sondern die nach beiden Richtungen hin verlängerte Sehne, von welcher die Mitte und beide Enden des Parabelstückes gleich weit abstehen; r soll diese verschiedenen Widerstände zusammen berücksichtigen. In M sollen die verschiedenen Massen vereinigt sein. Die Geschwindigkeit v des Wassers in der Abflußleitung ist annähernd konstant, so daß als zu vereinigende Massen die Masse des Kolbens Mk, die das Wasser M' über dem Kolben und die Masse m' des Wassers in der Leitung vom oberen Teile des Reglers bis zum Akkumulator übrig bleiben. Wenn das Wasser einen Druck K auf den Akkumulatorkolben ausübt, so vergrößert dieser seine Geschwindigkeit um d V und rückt um V ∙ dt weiter. Das Arbeitsvermögen des Wassers wächst von M'\,\frac{V^2}{2}+m'\,\frac{v^2}{2} auf M\,\frac{(V+d\,V)^2}{2}+m'\,\frac{(v'+d\,v')^2}{2}. Von Reibungsverlusten in der Leitung abgesehen, ist die Arbeit des Kolbens gleich der an das Wasser abgegebenen Arbeit: K\cdot V\cdot d\,t=M'\,\frac{(V+d\,V)^2}{2}-M'\,\frac{V^2}{2}+m'\,\frac{(v'+d\,v')^2}{2}-m'\,\frac{v'^2}{2}. Die Ausrechnung ergibt unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung K V dt = M' ∙ V ∙ dV + m' v' dv' K=M'\,\frac{d\,V}{d\,t}+m'\,\frac{v'}{V}\,\frac{d\,v'}{d\,t}. Aus dv' : dV = v' : V folgt sodann K=M'\,\frac{d\,V}{d\,t}+m\,\left(\frac{v'}{V}\right)^2\,\frac{d\,V}{d\,t} K=\left[M'+m'\,\left(\frac{v'}{V}\right)^2\right]\,\frac{d\,V}{d\,t}=M_{\mbox{red}}\cdot \frac{d\,V}{d\,t}, oder M_{\mbox{red}}=M'+m'\,\left(\frac{v'}{V}\right)^2, worin Mred diejenige Wassermasse bezeichnet, welche man sich an der Kolbenbewegung teilnehmend denken kann, i das ist die sogen, reduzierte Wassermasse. Hierzu ist noch die Masse des Kolbens Mk zu addieren, um das M der Differentialgleichung zu erhalten M = Mred + Mk. Es ist zweckmäßig, wie weiter unten dargelegt wird, den Regler durch zwei gleiche, um 180° gegeneinander versetzte Taucherkolbenpumpen anzutreiben. Die Darstellung der Geschwindigkeiten bei nur einer Pumpe war durch Fig. 7 gegeben. Bei zwei um 180° (= π) versetzten Pumpen tritt noch ein zweiter ebenso verlaufender, aber um π verschobener Linienzug hinzu (Fig. 11). Auch hier ist das Gesetz der Beschleunigungen und Kräfte F (t) in Form einer Reihe von Sinus und Cosinus zu kleiden. Da es nur darauf ankommt, die ersten Glieder dieser Reihe zu bestimmen, so kann man folgendes Verfahren anwenden. Aus der Fig. 11 greift man 12 Ordinaten in gleichen Abständen ab und berechnet daraus eine Reihe von Sinus- und Cosinus-Werten, welche das Geschwindigkeitsgesetz darstellt (nach dem Schema von C. Runge, „Zeitschrift f. Mathematik u. Physik“ 1902, Bd. 48, S. 443). Aus dieser Reihe erhält man das Beschleunigungsgesetz durch Differentiation. Aus Fig. 11 ergeben sich folgende Ordinaten: y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y 11 y 12 2,1 3,9 4,9 4,8 2,9 0,0 2,1 3,9 4,9 4,8 2,9 0,0 Demgemäß wird die Reihe für die Geschwindigkeit: \begin{array}{rcl}\frac{d\,x}{d\,t}=\omega\,(3,09&-&2,25\,\mbox{cos}\,2\,\omega\,t-0,64\,\mbox{cos}\,4\,\omega\,t-0,20\,\mbox{cos}\,6\,\omega\,t\\ &+&0,23\,\mbox{sin}\,2\,\omega\,t+0,25\,\mbox{cos}\,4\,\omega\,t), \end{array} und diejenige für die Beschleunigung \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=\omega^2\,(4,50\,\mbox{sin}\,2\,\omega\,t+2,56\,\mbox{sin}\,4\,\omega\,t+1,20\,\mbox{sin}6\,\omega\,t+0,46\,\mbox{cos}\,2\,\omega\,t+1,00\,\mbox{cos}\,4\,\omega\,t). Es wird also: F\,(t)=M\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}=M\,\omega^2\,(- - -). Textabbildung Bd. 322, S. 679 Fig. 11. Textabbildung Bd. 322, S. 679 Fig. 12. Dieselben Betrachtungen, die für den Akkumulator gelten, lassen sich auch auf den Regler anwenden. Hier hat die Schwingung der Pumpe sin 2 ω t bei weitem die größte Amplitude. Bemißt man den Regler so, daß seine Eigenschwingung mit dieser Schwingung zwar nicht gleiche Periode hat, aber ihr doch näher liegt als, die anderen, so bewegt er sich so, als stände er nur unter dem Einfluß dieser einen Schwingung, während alle anderen, die ja geringer sind, infolge der Dämpfung verschwinden. Hierdurch wird eine sehr einfache, übersichtliche Bewegung des Reglers erreicht. Außerdem wird gewährleistet, daß der Regler stets von derselben Schwingung der Pumpe abhängig ist, obwohl die letztere, den Tourenschwankungen der Maschine entsprechend, verschiedene Geschwindigkeiten haben kann. (Schluß folgt.)