Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte. In D. p. J., Heft 37 d. Bds. ist die Beanspruchung eines hohlen rippenlosen Scheibenkolbens mit ebener Ober- und Unterfläche untersucht worden unter dem Einfluß eines Dampf- oder Gasdrucks. Hier soll der bei Gasmotorenkolben wichtige Einfluß einer verschiedenen Temperatur der Innen- und Außenfläche der Böden behandelt werden, wenigstens für einen ebenen Kolbenboden. Jene Kolben sind bekanntlich außen den heißen Gasen ausgesetzt und innen durch Wasser gekühlt. Kreisförmig verlaufende Risse besonders in den Kolbenböden zwischen Putzlöchern sind nicht selten aufgetreten. Wir müssen einen stationären Temperaturzustand annehmen; denn wollte man auf die Schwankungen der Temperatur eingehen, die tatsächlich eintreten, so würde die Behandlung der Aufgabe zu schwierig; auch hat man über die Höhe der Wandtemperaturen und ihre Verteilung noch keine Beobachtungen anstellen können. Man ist auf Annahmen angewiesen und wird zuerst die einfachste wählen, nämlich: die Temperatur nehme von der Außen- nach der Innenfläche hin nach einem linearen Gesetz ab, und sei in parallelen Ebenen zur Außenfläche konstant (vergl. Encykl. d. Math. Wiss. Bd. V, S. 181 u. 182). Im Vergleich zu der schon gemachten Annahme, derzufolge die Temperaturschwankungen unberücksichtigt bleiben, erscheint die Annahme der denkbar einfachsten (linearen) Veränderlichkeit der Temperatur von keinem allzu erheblichen Einfluß zu sein. Es handelt sich hier in erster Linie darum, die Größenordnung der Temperaturspannungen kennen zu lernen und die maßgebenden Einflüsse zu erörtern, soweit als möglich auch hinsichtlich der Beanspruchung von Versteifungsrippen. Eine von der linearen abweichende Temperaturverteilung kann erforderlichenfalls in zweiter Linie weiter verfolgt werden. Ich gehe von geometrischer Anschauung aus und benutze ferner die in D. p. J. 1904, Heft 39–43 mitgeteilten Ergebnisse betr. die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten, setze auch die Entwicklung der Theorie ebener Kreisplatten als bekannt voraus (vgl. hierzu die Lehrbücher über Elastizität). Vorbemerkung. Temperaturspannungen bei vollkommen gehinderter Wärmeausdehnung einer Linie, einer Fläche, eines Körpers 1. Ein Stab von der Länge 1 cm (Fig. 1) werde um ΔT°C erwärmt, der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient αw sei konstant; der Stab dehnt sich um w = αw . ΔT. Diese Ausdehnung ε wird durch eine Druckspannung σ rückgängig gemacht. w = ε = α . σ, wo α = 1 : E der Dehnungskoeffizient des Materials ist. In allgemeinen Rechnungen wird eine \left\{{{\mbox{Ausdehnung}}\atop{\mbox{Verkürzung}}}\right \mbox{und eine }+\left\{{{\mbox{Zugspannung\ \ \ }}\atop{\mbox{Druckspannung}}}\right\mbox{ mit }\left{{+}\atop{-}}\right\} bezeichnet. Es ist dann                      w + ε = 0 . . . . . . . . . . 1)Würde nicht die ganze Ausdehnung w durch eine Druckspannung σ rückgängig gemacht, sondern ein Teil ε' übrig bleiben, so wärew + ε = ε',wobei diese resultierende Dehnung ε' eine positive Ausdehnung wäre. α . σ = – αw . ΔT         \sigma=-\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T . . . . . . . . . . 2) Für eine Temperaturzunahme um ΔT wird σ negativ, d.h. eine Druckspannung. Textabbildung Bd. 322, S. 705 Fig. 1. Für Schmiedeeisen und Stahl ist in runden Zahlen \alpha=\frac{1}{2000000}\ \ \ \ \ \alpha_w=\frac{1}{80000}, für Gußeisen \alpha=\frac{1}{1000000} und \alpha_w=\frac{1}{90000}. Daher entsteht infolge gänzlich gehinderter linearer Wärmeausdehnung eine Spannung in Schmiedeeisen und Stahl σ = ∾ 25 . ΔT kg/qcm Druck in Gußeisen σ = ∾ 11 . ΔT „    „  . Bei nur teilweise gehinderter Ausdehnung fällt die Spannung entsprechend kleiner aus. 2. Ein Prisma von quadratischem Querschnitt von 1 cm Seite werde um ΔT° C erwärmt und an der seitlichen Ausdehnung vollständig gehindert. Senkrecht zum Querschnitt sei die Wärmeausdehnung frei und die Spannung Null. Bei nicht gehinderter Ausdehnung würden sich beide Seiten um w = αw . ΔT verlängern. Zwei Druckspannungen σx und σy verhindern diese Ausdehnung εx und εy, deren Absolutwert w ist. Wir haben wie oben w + εx = 0 w + εy = 0 Zwischen den Spannungen σx, σy, σz in drei aufeinander senkrechten Richtungen und den von ihnen bewirkten Dehnungen εx, εy, εz besteht nach dem Hookeschen Gesetz und unter Annahme der Superposition der Dehnungen die Beziehung: \sigma_x=\frac{2}{\beta}\,\left[\varepsilon_x+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_y=\frac{2}{\beta}\,\left[\varepsilon_y+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_z=\frac{2}{\beta}\,\left[\varepsilon_z+\frac{e}{m-2}\right] . . . . . 3) wo \beta=2\,\frac{m+1}{m}\,\alpha der Schubkoeffizient (= 1 : G) und m das Verhältnis \frac{\mbox{Längsdehnung}}{\mbox{Querkontraktion}} und e = εx + εy + εz ist. Mit σz = 0 erhält man die auch späterhin nötigen Gleichungen \sigma_x=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\varepsilon_x+\varepsilon_y\right] \sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_x+m\,\varepsilon_y\right] \sigma_z=0 . . . 4) woraus mit εx = εy = – w = – aw . ΔT \sigma_x=\sigma_y=-\frac{m}{m-1}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T . . . . . . . . . . 5) Mit m=\frac{10}{3} erhält man für die Temperaturspannung bei vollständig gehinderter Flächenausdehnung in Schmiedeeisen u. Stahl σ = ∾ 35,5 . ΔT kg/qcm Druck in Gußeisen σ = ∾ 15,7 . ΔT „    „   . 3. Ein Würfel von 1 cm Seitenlänge wird um ΔT° C erwärmt und an der Wärmeausdehnung allseitig gehindert. Aehnlich wie oben findet man w = aw . ΔT und εx + w = 0εy + w = 0εz + w = 0 und mit Gleichung 3 \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-\frac{m}{m-2}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T . 6) Für Schmiedeeisen und Stahl würde σ = ∾ 63,5 . ΔT kg/qcm Druck. Für Gußeisen σ = ∾ 27,5 . ΔT kg/qcm Druck. Dehnung und Biegung der Platte infolge der ungleichen Temperatur in Richtung der Plattendicke. Wie schon hervorgehoben, nehmen wir an, von der Oberfläche zur Unterfläche nehme die Temperatur nach einem linearen Gesetz ab; die Temperatur T im Abstand λ von der Mittelfläche ist demgemäß \begin{array}{rcl}T&=&T_0+\frac{T_a+T_i}{2}+\frac{T_a-T_i}{2}\cdot \frac{\lambda}{h/2}\\ &=&T_0+T_m+\frac{T_a-T_i}{2}\cdot \frac{\lambda}{h/2}\ .\ .\ .\ 7)\end{array} wo T0 die anfängliche Temperatur und Tm, Ta, Ti die Temperaturzunahme der Mittel-, Außen- und Innenfläche über T0 hinaus bedeutet. Wir können uns auch vorstellen, die Platte werde a) als Ganzes um Tm über T0 hinaus erwärmt, b) hierauf die Oberfläche um \frac{T_a-T_i}{2}=\Delta\,T über die Temperatur Tm + T0 der Mittelfläche erwärmt und die Unterfläche um ΔT unter diese Temperatur abgekühlt, wobei die Temperatur T' dem Abstand ± λ von der Mittelfläche proportional sei, also: T'=\pm\,\frac{\lambda}{h/2}\cdot \Delta\,T=\pm\,2\,\frac{\lambda}{h}\cdot \Delta\,T . . 7a) Zufolge a wird die Mittelfläche gedehnt, zufolge b gebogen. a) Radiale Dehnung der Platte infolge gleichmäßiger Erwärmung um Tm °C. Vermutlich treten bei nicht gehinderter Ausdehnung keine Spannungen auf, jedenfalls bei geringer Plattendicke keine Achsialspannungen (in Richtung der Dicke). Würden je Spannungen auftreten, so wären sie wohl von der Art der Spannungen in einem dickwandigen Hohlzylinder unter innerem und äußerem Druck oder in einer rotierenden Scheibe. Textabbildung Bd. 322, S. 706 Fig. 2. Wir wählen das Koordinatensystem wie in Fig. 2 und begrenzen durch zwei konachsiale Zylinder mit Radien x und x + dx ein zylindrisches Plattenelement. Infolge der Erwärmung um Tm über T0 hinaus wird der Umfang 2πx zu 2πx + 2πx aw . Tm, der Radius wächst um x . aw . Tm. Die Umfangsdehnung εyT infolge dieser Erwärmung ist \varepsilon_{y\,T}=\frac{2\,\pi\,x+2\,\pi\,x\,\alpha_w\,T_m-2\,\pi\,x}{2\,\pi\,x}=\alpha_w\,T_m. Die radiale Abmessung dx wird zu dx . awTm, die radiale Dehnung durch die Erwärmung ist \varepsilon_x\,T=\frac{d\,x\cdot \alpha_w\cdot T_m}{d\,x}=\alpha_w\cdot T_m. Ebenso findet man für die achsiale Dehnung εzT = aw . Tm. Gleiches gilt für jedes Plattenelement. Würden diese bei eintretender Erwärmung etwa nicht zwanglos ihren Zusammenhang beibehalten, so würden sie durch Spannungen dazu gezwungen, von denen man (wie bei dickwandigen Preßzylindern oder rotierenden Scheiben) annehmen kann, daß sie sich in Richtung der Dicke (z – Achse) nicht ändern;Diese Annahme trifft nicht ganz scharf zu; doch ist es bis jetzt nicht gelungen, eine vollständig befriedigende Lösung zu finden; s. Love, Elastizität, deutsche Ausgabe, S. 174. Für den vorliegenden Zweck genügt die einfache Annahme. fernerhin sei angenommen, daß σz = 0 sei. Dann ist nach Gleichung 4 \left{{\sigam_x=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\varepsilon_x+\varepsilon_y\right]}\atop{\sigam_y=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_x+m\,\varepsilon_y\right]}}\right\ .\ .\ .\ .\ 4) An jedem Plattenelement (Fig. 3) sind dann nur Normalspannungen σx und σy tätig, deren Gleichgewichtsbedingung bekanntlich lautet \sigma_y-\sigma_x=x\,\frac{d\,\sigma_x}{d\,x} . . . . . . 8) (Ausführliche Herleitung in den Lehrbüchern über Elastizität). Textabbildung Bd. 322, S. 707 Fig. 3. Die Größen εx und εy in Gleichung 4 bedeuten die von den Spannungen σx und σy herrührenden Dehnungen; diese und die Wärmeausdehnung εxT, εyT und εzT vereinigen sich, wie in der Fußnote 1 angegeben, zu einer resultierenden Dehnung ε'x und ε'y, so daß ist \left\{{{\varepsilon'_x=\varepsilon_{x\,T}+\varepsilon_x}\atop{\varepsilon'_y=\varepsilon_{y\,T}+\varepsilon_y}}\right Rückt ein Punkt (x, z) bei der Verzerrung nach (x + u, z + w), so ist die Umfangsdehnung \varepsilon'_y=\frac{2\,\pi\,(x+u)-2\,\pi\,x}{2\,\pi\,x}=\frac{u}{x} . . . 9) Bezüglich der radialen Dehnungen bedenke man, daß wenn x um u zunimmt, dx um du wächst; die verhältnismäßige Zunahme von dx, d.h. die radiale Dehnung ε'x ist also \varepsilon'_x=\frac{d\,u}{d\,x} . . . . . . . 10) Mit diesen Werten und den Werten von εT gibt Gleichung 4 \left\{{{\sigma_x=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\frac{d\,u}{d\,x}+\frac{u}{x}-(m+1)\,\alpha_w\,T_m\right]}\atop{\sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{d\,u}{d\,x}+m\,\frac{u}{x}-(m+1)\,\alpha_w\,T_m\right]}}\right\}\ \ 11) Einsetzen in Gleichung 8 gibt: \frac{d^2\,u}{d\,x^2}+\frac{d\,\left(\frac{u}{x}\right)}{d\,x}=0 . . . . . 12) als Differentialgleichung für die Verzerrung. Diese Gleichung ist von der Aufgabe des dickwandigen Preßzylinders her wohl bekannt. Die Integration ergibt u=\frac{c_1}{2}\,x+\frac{c_2}{x} . . . . 13) Setzt man die hieraus folgenden Werte \frac{u}{x}=\frac{c_1}{2}+\frac{c_2}{x^2} \frac{d\,u}{d\,x}=\frac{c_1}{2}-\frac{c_2}{x^2} in Gleichung 11 ein, so erhält man \left\{{{\sigma_x=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{c_1}{2}\,(m+1)-\frac{c_2}{x}\,(m-1)-(m+1)\,\alpha_w\,T_m\right]}\atop{\sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{c_1}{2}\,(m+1)+\frac{c_2}{x}\,(m-1)-(m+1)\,\alpha_w\,T_m\right]}}\right\}\ 11a Die Integrationskonstanten c1 und c2 findet man aus den Grenzbedingungen: Fürs erste ist in x = 0 die Spannung rings um die z-Achse gleich groß, also σx = σy. Ferner nehmen wir an, am äußeren Umfang greife eine Druckspannung – p an, welche die Wärmeausdehnung teilweise oder ganz hindert (sie könnte auch noch größer sein); es sei also σx = – p für x = Ra; dann wird nach Gleichung 11a: c2 = 0 \frac{c_1}{2}=-\frac{m-1}{m}\,\alpha\,p+\alpha_w\,T_m. Hiermit wird die Spannung σx = σy = – p . . . . . . . . . . 14) Die radiale und tangentiale Normalspannung ist also überall in der Platte gleich groß und von der Erwärmung unabhängig. Wie zu erwarten, ruft die gleichmäßige Erwärmung der Platte bei ungehinderter Wärmeausdehnung (p = 0) keine Spannungen in der Platte hervor. Die radiale Ausdehnung ist im Abstand x von der Achse nach Gleichung 13: u=\left[-\frac{m-1}{m}\,\alpha\,p+\alpha_w\,T_m\right]\cdot x . . 15) und am Umfang (x = Ra) u_a=-\frac{m-1}{m}\,\alpha\,p\,R_a+\alpha_w\,T_m\,R_a . . 15a) Bei vollständig gehinderter Wärmeausdehnung ist ua = 0, womit p=\frac{m}{m-1}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\,T_m . . . 14a) und somit die Spannung in der Platte überall \sigma_x=\sigma_y=-\frac{m}{m-1}\cdot \frac{\alpha_m}{a}\,T_m, d. i. Gleichung S, also die Temperaturspannung bei vollständig gehinderter Flächenausdehnung, wie das ja dem Wesen der Sache entspricht. b) Biegung der Platte \mbox{infolge}\left\{{{\mbox{Erwärmung}}\atop{\mbox{Abkühlung}}}\right\mbox{ der Platten- }\left{{\mbox{Oberfläche}}\atop{\mbox{Unterfläche}}}\right\}\mbox{ um }\Delta\,T infolge ErwärmungAbkühlung der Platten- OberflächeUnterfläche um ΔT über die Temperatur der Mittelfläche hinaus und bei linearer Temperaturänderung in der Richtung der Dicke. Wir grenzen wieder ein Plattenelement durch zwei konachsiale Zylinder von den Halbmessern x und x + dx ab. Die über der Mittelfläche liegenden Schichten von der radialen Stärke dx wachsen in radialer und tangentialer Richtung, unterhalb ziehen sie sich zusammen. Betrachten wir ein Stück dieses Ringes zwischen zwei den Winkel dφ einschließenden Achsialebenen. Da die Temperatur der Mittelfläche nicht geändert wird, so bleibt diese letztere auch an dem Element in der ursprünglichen Entfernung x; ober- bezw. unterhalb ändert sich die Entfernung, an der Ober- bezw. Unterfläche um ± xaw ΔT. Die Elemente neigen sich daher gegen die z-Achse (Plattenachse) und zwar nach Fig. 4 um \mbox{tg}\,d\,\phi=\sim\,d\,\phi=\frac{x\cdot \alpha_w\cdot \Delta\,T}{\frac{h}{2}}. Wird die Durchbiegung der Mittelfläche mit w0 bezeichnet, so ist nach Fig. 4 -\frac{d\,w_0}{d\,z}=2\,x\,\frac{\alpha_w\,\Delta\,T}{h}. Textabbildung Bd. 322, S. 708 Fig. 4. Die Schiefstellung des Elements erfolgt, ohne daß Umfangsspannungen entstehen. Bei der angenommenen Temperaturverteilung Gleichung 7a bleiben auch die Plattennormalen gerade und diejenige in der Mitte des Elementes senkrecht zur geneigten Mittelfläche. Man könnte sich wohl durch weitere Ueberlegung des geometrischen Verhaltens der andern Elemente klar machen, daß die Elemente nach der Verzerrung durch die Temperaturänderung eine Form annehmen, die gestattet, sie alle zwanglos ineinander zu fügen, woraus folgen würde, daß die bezeichnete Temperaturänderung eine Biegung der Platte ohne innere Spannung bewirkt. Dann könnte man die letzte Gleichung integrieren und erhielte sofort die Gestalt der durchgebogenen Platte. Wir schlagen einen anderen Weg ein, der uns ebenfalls auf die obenstehende Gleichung für die Neigung der Platte führt. Die Normalen des oben betrachteten Elementes bleiben, wie wir sehen, auch nach der Temperaturänderung gerade und senkrecht zur Mittelfläche des Elementes. Die Theorie ebener Platten wird auf Grund der Annahme entwickelt, daß die Normalen bei der Biegung der belasteten Platte sich ebenso verhalten. Für die Dehnungen und Spannungen ergibt sich daraus eine proportionale Aenderung mit dem Abstand X von der Mittelfläche. Wir dürfen dem Gesagten zufolge wohl annehmen, daß die Spannungs- und Dehnungsverteilung in der durch die genannte Temperaturänderung gebogenen Platte ebenso verläuft, wie in der durch äußere Kräfte gebogenen. Man erhält der Theorie ebener Platten zufolge (anschaulicher Beweis von Föppl, Techn. Mech. III) für die radiale Dehnung der gebogenen Platte: \varepsilon'_x=-\lambda\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2} . . . . . 16) und für die Umfangsdehnung \varepsilon'_y=-\lambda\,\frac{1}{x}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}, . . . . . . 16) wenn w0 die Durchbiegung der elastischen Mittelfläche (in Richtung der z-Achse) bedeutet. An einem Plattenelement greifen die Normalspannungen σx und σy und die Schubspannung τ wie in Fig. 5 gezeichnet an, wie in der Theorie ebener Platten ausführlich gezeigt wird (s. d. Lehrbücher über Elastizität). Die Gleichgewichtsbedingung der Spannungen an dem Element lautet: \frac{1}{x}\,(\sigma_x-\sigma_y)-\frac{d\,\sigma_x}{d\,x}=\frac{d\,\tau}{d\,\lambda} . . . 17) Da die in der Dickenrichtung tätigen Normalspannungen σz bei einer dünnen Platte jedenfalls klein sind im Vergleich zu den übrigen Spannungen pflegt man σz = 0 zu setzen, womit die Gleichungen 4 gelten \left\{{{\sigma_x=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\varepsilon_x+\varepsilon_y\right]}\atop{\sigma_y=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_x+m\,\varepsilon_y\right]}}\right\}\ .\ .\ .\ 4) Bezüglich der durch die Temperaturänderung allein bewirkten Dehnungen εx', εyT, εzT sind die gleichen Ueberlegungen anzustellen wie auf S. 706, und bezüglich der Zusammensetzung der Temperaturdehnungen εT und der durch Spannungen verursachten Dehnungen ε zu resultierenden Dehnungen ε' die gleichen Ueberlegungen wie auf S. 707 bezw. Fußnote 1 zu S. 705. Man erhält unter Beachtung von Gleichung 7a. \sigma_{x\,T}=\sigma_{y\,T}=\sigma_{z\,T}=\alpha_w\,T'=2\,\alpha_w\,\frac{\lambda}{h}\cdot \Delta\,T \left\{{{\varepsilon'_x=\varepsilon_{x\,T}+\varepsilon_x}\atop{\varepsilon'_y=\varepsilon_{y\,T}+\varepsilon_y}}\right Mit diesen Werten gibt Gleichung 4 \left\{{{\sigma_x=-\frac{m}{m^2-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[m\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}+\frac{1}{x}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}+2\,(m+1)\,\alpha_w\cdot \frac{\Delta\,T}{h}\right]}\atop{\sigma_y=-\frac{m}{m^2-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[m\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}+\frac{m}{x}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}+2\,(m+1)\,\alpha_w\cdot \frac{\Delta\,T}{h}\right]}}\right\}\ 18) Textabbildung Bd. 322, S. 708 Fig. 5. Einsetzen von Gleichung 18 in Gleichung 17 gibt \frac{d\,\tau}{d\,\lambda}=\frac{m^2}{m^2-1}\cdot \frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{d^3\,w_0}{d\,x^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}-\frac{1}{x^2}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}\right]. Summiert man sämtliche Schubspannungen in einem Normalschnitt, der mit einem Zylinder vom Radius x durch die Platte geführt ist, von \lambda=\frac{h}{2} bis \lambda=-\frac{h}{2}, so erhält man die in diesem Normalschnitt tätige Schubkraft zu S=2\,\pi\,x\,\frac{m^2}{m^2-1}\,\left[\frac{d^3\,w_0}{d\,x^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}-\frac{1}{x^2}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}\right]\,\frac{h^3}{12} 19) Je nach der Art der Belastung und Unterstützung nimmt diese Schubkraft folgende Sonderwerte an; 1. volle oder zentrisch durch-brochene Scheibe mit konzen-trierter Einzellast P (auf Kreis-umfang 2πx gleichmäßig ver-teilt): S = P 2. volle Scheibe außen gestützt mitgleichmäßiger Oberflächenpres-sung p kg/qcm; S = πx 2 p 3. zentrisch durchbrochene Scheibeaußen gestützt mit p gleichmäßigbelastet: S = π(x2– R2i)p 4. zentrisch durchbrochene Scheibeinnen gestützt mit p gleichmäßigbelastet: S = – π(R2a– x2)p wobei + P und + p in Richtung von + z wirken. Die Integration der Gleichung für diese Sonderfälle ist in dem Aufsatz: Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten in D. p. J. 1904, Heft 39–43 durchgeführt. (Schluß folgt.)