Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Schluß von S. 709 d. Bd.) Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte. Volle oder zentrisch durchbrochene Kreisscheibe mit frei beweglichen Rändern. Die Hauptfrage: welches ist die Verzerrung einer kreisförmigen Platte unter dem alleinigen Einfluß einer Temperaturänderung in Richtung der Plattendicke (zufolge Gleichung 7a), wenn die Wärmeausdehnung durch keine äußeren Kräfte an der Platte gehindert ist; und ferner: treten hierbei Spannungen in der gebogenen Platte auf, beantworten wir, wenn wir von dem Vorhandensein äußerer Kräfte absehen; dann ist in Gleichung 19 S = 0, also \frac{d^3\,w_0}{d\,x^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}-\frac{1}{x}\,\frac{d\,w_0}{d\,x}=0 Die Integration liefert als Gleichung der elastischen Mittelfläche, wie sie sich infolge der Erwärmung bezw. Abkühlung der Ober- bezw. Unterfläche (Gleichung 7a) einstellt: w_0=\frac{K_1}{4}\cdot x^2+\frac{K_2}{l}\,ln\,x^2+K_3 . . . 20) Diese Gleichung ist in D. p. J. 1904, Heft 43 erwähnt, da wo von der Biegung der Kreisscheibe durch reine Biegungsmomente, die über den äußeren und inneren Plattenrand gleichmäßig verteilt sind, die Rede ist. Daraus folgt, daß sich die Scheibe unter dem Einfluß der von uns angenommenen Temperaturunterschiede ebenso biegt („wirft“), wie unter dem Einfluß reiner Biegungsmomente, die über den Plattenumfang gleichmäßig verteilt sind. Fernerhin ist sofort klar, daß beide Einflüsse unter bestimmten Umständen sich aufheben können, so daß die Platte eben bleibt. Für die Spannungen in der Platte erhalten wir aus Gleichung 18 mit Benutzung von Gleichung 20 \left\{{{\sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{K_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{K_2}{x^2}+2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\right]}\atop{\sigma_y=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{K_1}{2}+\frac{m-1}{m+1}\,\frac{K_2}{x^2}+2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\right]}}\right\}\ 18a) An einer zentrisch durchbrochenen Platte, die durch keine äußeren Kräfte beansprucht ist, sind die Radialspannungen σx in allen Punkten des äußeren und inneren Randes, d.h. in x = Ra und x = Ri (λ beliebig) gleich Null. Diesen Randbedingungen zufolge erhält man für die Integrationskonstanten K2 und K1: K2 = 0 \frac{K_1}{2}=-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}. Zur Bestimmung der dritten Konstanten K3 vereinbaren wir, daß w0 = 0 sei für x = Ra, womit nach Gleichung 20: K_3=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,{R_a}^2. Damit erhält man für die Spannung aus Gleichung 18a σx = σy = 0 und für die Durchbiegung der Mittelfläche im Abstand x von der Plattenmitte: w_0=\alpha_w\cdot \frac{\Delta\,T}{h}\,({R_a}^2-x^2) . . . 20a) und für die größte Durchbiegung am inneren Umfang x = Ri: w_{0\,\mbox{max}}=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,({R^2}_a-{R^2}_1) . . . 20b) Für die Neigung der Mittelfläche im Abstand x von der Mitte erhält man aus Gleichung 20a \frac{d\,w_0}{d\,x}=-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\cdot x, eine Gleichung, die auf S. 708 auf anderem Wege gefunden wurde. Die oben gestellte Frage nach den Temperaturspannungen in einer Kreisscheibe, die oberhalb der Mittelfläche erwärmt und unterhalb derselben abgekühlt wird, so zwar, dass die Temperaturänderung dem Abstand von der Mittelfläche proportional ist, kann dahin beantwortet werden, dass keine Spannungen auftreten, wenn die Platte durch keine äusseren Kräfte an der Biegung gehindert wird. Daß bei anderer Temperaturverteilung Spannungen auftreten müssen, geht schon aus der auf S. 708 gewonnenen Anschauung über die Wärmeausdehnung, klar hervor. Es dürfte nicht allzu schwierig sein, auch für eine andere Temperaturverteilung Gleichungen aufzustellen, die einen Anhalt über die Größe der Spannungen gewähren. Für die volle Scheibe erhält man dieselbe Gleichung der elastischen Mittelfläche: w_0=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\left[{R^2}_a-x^2\right] . . . 20c) wovon man sich leicht überzeugen kann. In der Mitte ist w_{0\mbox{ max}}=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\cdot {R^2}_a . . . 20d) Volle oder zentrisch durchbrochene Kreisscheibe mit vollkommen eingespannten Rändern. Die gleiche Formänderung wie infolge ungleicher Temperatur der Plattenober- und Unterfläche und linearer Temperaturverteilung kann auch durch äußere Kräfte am Umfang bewirkt werden, nämlich, wie schon erwähnt, durch reine Biegungsmomente. Läßt man die Radialspannung σx am Plattenumfang (bei zentrisch durchbrochener Platte auch am inneren Umfang): \sigma_x=2\,\frac{m}{m+1}\cdot \lambda\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \frac{\Delta\,T}{h} sein, so ist nach D. p. J. 1904, Heft 39, Abschnitt A, a, Gleichung 4 bis 6 die Gleichung der elastischen Mittelfläche w_0=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,({R^2}_a-x^2) . . . 21) d. i. genau Gleichung 20c. Kehrt man die Richtung der eben beschriebenen Spannungen um und läßt die letzteren mit der ungleichmäßigen Erwärmung zusammen wirken, so ist die resultierende elastische Mittelfläche die algebraische Summe der Mittelflächen Gleichung 20c und der Gleichung 21; die Durchbiegung ist überall Null, die Scheibe bleibt eben. Die Spannungen sind dabei nach D. p. J. 1904, Heft 39, Gleichung 6 im Abstand λ von der Mittelfläche überall gleich groß und dem Abstand λ proportional, nämlich \sigma_x=\sigma_y=-2\,\frac{m}{m-1}\cdot \lambda\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{\Delta\,T}{h} . . . 18b) An der Ober- und Unterfläche \left(\lambda=\,\pm\,\frac{h}{2}\right) ist die Spannung \sigma_x=\sigma_y=\,\mp\,\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,T . . 22) wenn ΔT die Erwärmung bezw. Abkühlung der Ober- bezw. Unterfläche gegenüber der Mittelfläche ist. Man erkennt, daß dies zufolge Gleichung 5 die Größe der Temperaturspannung ist, die entsteht, wenn die Wärmeausdehnung in zwei zueinander senkrechten Richtungen vollständig gehindert ist. Dies ist ja unter den hier angenommenen Verhältnissen auch tatsächlich der Fall. Es ist vielleicht nicht unnütz, zu bemerken, daß diese Spannung von der Dicke der Platte unabhängig ist. Zentrisch durchbrochene Kreisscheibe mit einem vollkommen eingespannten und einem freibeweglichen Rand. Ist an einer zentrisch durchbrochenen Platte bloß ein Rand vollkommen eingespannt, der andere frei, so werden die Integrationskonstanten in Gleichung 20 und 18a leicht aus den Randbedingungen ermittelt, daß am eingespannten Rand die Mittelfläche ihre ursprüngliche Neigung beibehalten muß und daß die radiale Normalspannung am freien Rand überall gleich Null ist. Man erhält: für die zentrisch durchbrochene Platte, äußerer Rand x = Ra vollkommen eingespannt, innerer Rand x = Ri frei: die Radialspannung im Abstand x von der Plattenmitte: \sigma_x=-\frac{m}{m+1}\,\lambda\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{2\cdot \Delta\,T}{h}\,\frac{{R_a}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left(1-\frac{{R_i}^2}{x^2}\right) Die Ringspannung: \sigma_y=-\frac{m}{m+1}\,\lambda\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{2\cdot \Delta\,T}{h}\,\frac{{R_a}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left(1+\frac{{R_i}^2}{x^2}\right) 23) Die Durchbiegung gegenüber dem äußeren Rand: w_0=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\frac{{R_i}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left[R_a-x^2-{R_a}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{x^2}\right] 24) für eine zentrisch durchbrochene Platte, innerer Rand x = Ri vollkommen eingespannt, äußerer Rand x = Ra frei: Die Radialspannung im Abstand x von der Plattenmitte: \sigma_x=-\frac{m}{m+1}\,\lambda\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{2\cdot \Delta\,T}{h}\,\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2+{R_i}^2}\,\left[1-\frac{{R_a}^2}{x^2}\right] Die Ringspannung: \sigma_y=-\frac{m}{m+1}\,\lambda\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{2\cdot \Delta\,T}{h}\,\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2+{R_i}^2}\,\left[1+\frac{{R_a}^2}{x^2}\right] 25) Die Durchbiegung gegenüber dem inneren Rand: w_0=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\frac{{R_a}^2}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2}\,\left[{R_i}^2-x^2-{R_i}^2\,ln\,\frac{{R_i}^2}{x^2}\right] 26) Zusammenfassung. 1. Wird eine dünne kreisförmige Platte in allen Punkten um Tm° C über ihre Anfangstemperatur erwärmt und sind keine äußeren Kräfte an der Platte tätig, welche die Wärmeausdehnung hindern, so entstehen keine Spannungen in der Platte. Ueber die Zunahme eines Halbmessers x infolge der Erwärmung vergl. Gleichung 15, wobei p = 0 zu setzen ist. Ist die radiale Ausdehnung durch eine gleichmäßig über den Plattenrand verteilte Radialspannung – p kg/qcm gehindert, so herrscht in allen Punkten radial und tangential die gleiche Normalspannung: σx = σy = – p kg/qcm Druck und die Zunahme eines Halbmessers x ist nach Gleichung 15: u=-\frac{m-1}{m}\,\alpha\,p\,x+\alpha_w\cdot T_m\cdot x. Bei vollständig (radial) gehinderter Wärmeausdehnung müßte am Plattenrand eine Druckspannung von \sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,T_m vorhanden sein, eine Spannung, die ebenso groß ist wie bei vollständig gehinderter Flächenausdehnung (vergl. Gleichung 5). 2. Wird die Platte weiterhin so erwärmt bezw. abgekühlt, daß die Temperatur der \left\{{{\mbox{Ober-}}\atop{\mbox{Unter-}}}\right\} fläche um ΔT Grad C \left\{{{\mbox{über}}\atop{\mbox{unter}}}\right\} die Temperatur der Mittelfläche \left\{{{\mbox{steigt}}\atop{\mbox{stinkt}}}\right\}, und dem Abstand von der Mittelfläche proportional ist, und sind an der Platte keine äußeren Kräfte tätig, welche die Wärmeausdehnung hindern, so „wirft sich“ die Platte, d.h. sie biegt sich gemäß Gleichung 20b und 20d, ohne daß innere Spannungen entstehen. Sind dagegen die Ränder der Platte vollkommen eingespannt, d.h. ist die Mittelfläche am Rand gezwungen, ihre ursprüngliche Neigung beizubehalten, so bleibt die Platte eben; es entstehen in ihr Biegungsspannungen gemäß Gleichung 18b, deren Betrag ebenso groß ist wie bei vollkommen gehinderter Flächenausdehnung (vergl. Gleichung 5). Dies gilt in gleicher Weise von einer vollen und von einer zentrisch durchbrochenen Platte. Ist ein Rand vollkommen eingespannt, der andere frei, so gelten die Gleichungen 23 bis 26. 3. Wenn außer den unter 2. erwähnten Formänderungen noch andere in Betracht zu ziehen sind, so werden sie durch Kräfte erzwungen, die nach D. p. J. 1904, Heft 39–43 berechnet werden können, ebenso die Spannungen. Die Gesamtspannung ist die algebraische Summe der Einzelspannungen, herrührend von der ungleichen Erwärmung und von der äußeren Belastung. 4. Die Anwendung auf den ebenen, rippenlosen Scheibenkolben in D. p. J. 1907, Heft 37 ist einfach. Dürfen die Kolbenböden als an den Rändern vollkommen eingespannt angesehen werden, so bleiben die Böden eben und die Biegungsspannung an der Ober- und Unterfläche folgt aus Gleichung 22. Wird der Mantel des Kolbens und die Mittelfläche gleich stark über die Anfangstemperatur erwärmt, so entstehen infolge dieser gemeinsamen Erwärmung keine Spannungen. Schlüsse in bezug auf die Beanspruchung von Rippen durch ungleiche Temperatur sind einer späteren Mitteilung vorbehalten.