Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Fortsetzung von S. 54 d. Bd.) Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. V. Dünnwandiger Hohlzylinder bei ungleichmäßiger Erwärmung in Richtung der Wandstärke. Der Hohlzylinder ist frei von äußeren Kräften, in Richtung der Wandstärke herrscht jedoch verschiedene Temperatur und zwar so, daß die Temperatur der Mittelfläche ungeändert bleibt, während die Schichten auf der einen Seite der Mittelfläche erwärmt, auf der andern abgekühlt sind. Die Temperaturänderung ist dem Abstand λ von der Mittelfläche proportional angenommen und betrage ± λ . Tg, wobei Tg das Temperaturgefälle °C auf 1 cm der Zylindernormalen bedeutet. Die Temperaturverteilung sei in allen Querschnitten gleich. Die Zylinderfläche „wirft sich“ unter dem Einfluß der ungleichmäßigen Erwärmung, der Meridian der elastischen Mittelfläche erscheint von der kälteren Seite aus gesehen, hohl gekrümmt. Denkt man sich den Zylinder aus Zylinderelementen (Fig. 2), gleichsam aus Bausteinen zusammengefügt, und diese in der beschriebenen Weise erwärmt, bezw. abgekühlt, so passen sie in der neuen Gestalt wie leicht vorstellbar nicht mehr ohne Klaffen zusammen, Spannungen entstehen hierbei noch nicht. Soll ein zusammenhängender Körper hergestellt werden, so müßte man die Elemente mit Zwang zu einem fugenlosen Körper vereinigen; die entstehenden Spannungen sind die Temperatur Spannungen, sie treten in der Achsen- und in der Umfangsrichtung auf. Gegenüber ungleicher Erwärmung in der Richtung der Wandstärke verhalten sich demnach ebene PlattenS. Dinglers Polyt. Journ. 1907, S. 706 u. ff. 1908, S. 529. und Hohlzylinder verschieden. Die ersteren bleiben spannungsfrei, die letzteren erfahren Temperaturspannungen. Eine Belastung durch äußere Kräfte ist in beiden Fällen nicht vorhanden. Die Gesamtdehnung eines Hohlzylinderelements setzt sich zusammen aus der Dehnung, die es infolge der ungleichmäßigen Erwärmung allein erfahren würde bei ungehinderter Wärmeausdehnung, und aus der Dehnung, welche die Temperaturspannungen für sich allein hervorbrächten (Zwang infolge gehinderter Wärmedehnung): Die Gesamtausdehnung ε' ist die algebraische Summe der freien Wärmedehnung εr und der von der Temperaturspannung herrührenden Dehnung ε: ε' = εT + ε . . . . . (34) Die Wärmedehnung für sich findet man wie folgt. Es werde ein Ring vom Halbmesser (r + λ) und vom Querschnitt dz . dr betrachtet, wenn er um λ . Tg erwärmt wird. Der ursprüngliche Umfang 2π . (r + λ) verlängert sich um 2π (r + λ) . αw . λ . Tg. Die Umfangsdehnung εϕr ist hiernach infolge der Erwärmung: \begin{array}{rcl}\varepsilon_{\varphi\,T}&=& \frac{2\,\pi\,(r+\lambda)+2\,\pi\,(r+\lambda)\,.\,\alpha_w\,.\,\lambda\,.\,T_g-2\,\pi\,(r+\lambda)}{2\,\pi\,(r+\lambda)}\\ &=& \alpha_w\,.\,\lambda\,.\,T_g\end{array} Die radiale Abmessung dr wird zu dr . αw . λ . Tg, die radiale Dehnung durch die Erwärmung ist \varepsilon_{rT}=\frac{dr\,.\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,T_g}{dr}=\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g Die achsiale Wärmedehnung findet man ebenso zu \varepsilon_{zT}=\frac{dz\,.\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g}{dz}=\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g Es ist also εrT = εϕT = εzT = αw . λ . Tg . . . . (35) Von hier ab stimmt der Rechnungsgang mit demjenigen im vorigen Abschnitt überein. Wie dort kann man annehmen, daß die radiale Normalspannung σrr klein sei im Vergleich zu den Achsialspannungen σzz und zu den Umfangsspannungen σϕϕ daß also angenähert sei σrr = 0 Damit erhalten wir wieder die Gleichung (10) zwischen Normalspannungen σ und den von ihnen herrührenden Normaldehnungen ε: \left{{\sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,(m\,\varepsilon_{\varphi\varphi}+\varepsilon_{zz})}\atop{\sigma_{zz}=\frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,(\varepsilon_{\varphi\varphi}+m\,.\,\varepsilon_{zz})}}\right\}\ .\ .\ (35) Wir setzen wiederum voraus, daß eine Zylinder-normale nach wie vor Eintritt der Deformation gerade und senkrecht zur elastischen Mittelfläche sei und können unter dieser Voraussetzung die resultierende Dehnung ε' in einem beliebigen Zylinderpunkt (r + λz) ausdrücken; wir erhalten wie in Gleichung (17), \varepsilon'_{zz}=\varepsilon'_{zzo}-\lambda\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2} sofern u0 die radiale Durchbiegung der Zylinderfläche und ε'zzo die Dehnung der elastischen Mittelfläche bedeutet. Die resultierende Umfangsdehnung findet man wie in Gl. (19) zu \varepsilon'_{\varphi\varphi}=\frac{u_0}{r+\lambda} oder sofern man bei hinreichend kleiner Wandstärke λ gegen r vernachlässigen kann, wie in Gl. (19a) \varepsilon'_{\varphi\varphi}=\frac{u_0}{r} Wir berechnen nun die durch die Temperatur-Spannungen hervorgerufenen Dehnungen, indem wir den Wert der resultierenden Dehnung ε' und der Temperaturdehnung εT aus (17) und (19a), und (35) in (34) einsetzen. Die so erhaltenen Dehnungen werden in (10) eingesetzt, womit sich für die Temperaturspannungen ergibt (36)\ \left\{{{\begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi}&=& \frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\left(\frac{u_0}{r}-\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,T_g\right)+\left(\varepsilon'_{zzo}-\lambda\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2}-\alpha_{\omega}\,\lambda\,.\,T_g\right)\right]\\ &=& \frac{m}{m^2-1}\cdot \frac{1}{\alpha}\,\left[m\,\frac{u_0}{r}+\varepsilon'_{zzo}-\lambda\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2}-(m+1)\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g\right] \end{array}}\atop{\begin{array}{rcl}\sigma_{zz}&=& \frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\left(\frac{u_0}{r}-\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g\right)+m\,\left(\varepsilon'_{zzo}-\lambda\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2}-\alpha_{\omega}\,\lambda\,.\,T_g\right)\right]\\ &=& \frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{u_0}{r}+m\,.\,\varepsilon'_{zzo}-m\,.\,\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}-(m+1)\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g\right] \end{array}}}\right Die noch unbekannte Dehnung ε'zzo der Mittelfläche bestimmt man aus der Bedingung, daß die Achsialspannungen keine Resultierende haben und erhält genau wie in Gl. (21) mit. der dort angedeuteten Vernachlässigung \varepsilon'_{zzo}=-\frac{u_0}{mr} Setzt man diesen Wert in die Gleichungen (36) für die Normalspannungen ein, so nehmen diese die Form an \left{{\sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{m^2-1}{m}\,\frac{u_0}{r}-\lambda\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2}-(m+1)\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,T_g\right]}\atop{\sigma_{zz}=\frac{m}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -m\,\lambda\,\frac{d^2\,u_0}{dz^2}-(m+1)\,\alpha_{\omega}\,.\,\lambda\,.\,T_g\right]}}\right\}\ (37) Für die Temperaturschubspannung ergibt sich aus (14) unter Benützung des Wertes σzz in (37) \tau_{rz}=-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,.\,\frac{d^3\,u_0}{dz^3}\,\left(\frac{s^2}{8}-\frac{\lambda^2}{2}\right) . . . . . . (38) Die an einem Zylinderelement wirkenden Spannungen sind in Fig. (3) eingezeichnet; sie sind im Gleichgewicht, was die bereits abgeleitete Bedingung (13) liefert: \int\,\sigma_{\varphi\varphi}\,d\,\lambda=\frac{\delta}{\\delta\,z}\,\int\,\frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta\,z}\,.\,(r+\lambda)\,\lambda\,d\,\lambda, die Integrale genommen zwischen \lambda=\pm\,\frac{s}{2}. Setzt man in diese Gleichung die Werte von σϕϕ und σzz aus (37) ein, so hat man die Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche des ungleich erwärmten Zylinders: \frac{d^4\,u_0}{dz^4}+12\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{1}{r^2\,s^2}\,.\,u_0=0 . . (24) das ist genau die Gleichung (24), die für den durch äußere Kräfte beanspruchten Hohlzylinder gefunden wurde. Die Formänderung hat also in beiden Fällen etwas Gemeinsames. Durch ungleiche Temperatur in Richtung der Wandstärke erfährt der Hohlzylinder eine Art Biegung. Mit der Abkürzung n^4=3\,\frac{m^2-1}{m^2}\cdot \frac{1}{r^2\,s^2} wird (24): \frac{d^4\,u_0}{dz^4}+4\,n4\cdot u_0=0 . . . . . (24a) Beachtet man, daß die beiden Hälften eines Hohlzylinders von der Länge 2l sich unter dem Einfluß ungleicher Erwärmung gleich verhalten, d.h. symmetrisch zum Querschnitt z = 0 deformiert werden, so kann man, wie im vorigen Abschnitt ausführlich dargelegt, das Integral der Differentialgleichung (24a) in der Form anschreiben? u0= f (enz + e– nz) cos nz + g (enz – e– nz) sin nz. (26) das ist die frühere Gleichung (26). Es gelten auch die schon angeschriebenen Ausdrücke für die 1. bis 3. Ableitung, Gl. (27). Aus der Bestimmung der 2 Integrationskonstanten wird noch ein wesentlicher Nutzen zu ziehen sein. Dazu braucht man die 2 Grenzbedingungen, daß an den Endflächen des Hohlzylinders in z = ± l keine äußeren Kräfte angreifen und daß daher dort σzz = 0 und τzr = 0 sein muß. Das Fehlen von Normalspannungen in z = ± l bedingt, daß nach (37): \left|\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right|_{z=\pm\,l}=-\frac{m+1}{m}\,\alpha_{\omega}\cdot T_g und das Fehlen von Schubspannungen an der gleichen Stelle, daß nach (38): \left|\frac{d^3\,u_0}{dz^3}\right|_{z=\pm\,l}=0 Mit diesen beiden Bedingungen liefern die Gl. (27) 0 = – (g + f) (enl + e– nl) sin nl + (g – f) (enl – e– nl) cos nl -\frac{m+1}{m}\,\frac{\alpha_w\cdot T_g}{2\,n^2}=g\,(e^{nl}+e^{-nl})\,\mbox{cos}\,nl-f\,(e^{nt}-e^{-nl})\,\mbox{sin}\,nl Setzt man in der letzten Gleichung zur Abkürzung: -M'_T=-\frac{m+1}{m}\,\frac{\alpha_w\cdot T_g}{2\,n^2} . . . (39) so erhält man für die Integrationskonstanten f und g durch Auflösung: \left{{\begin{array}{rcl}f&=& +\ \ \ \ \frac{(e^{nl}+e^{-nl})\,\mbox{sin}\,nl-(e^{nl}-e^{-nl})\,\mbox{cos}\,nl}{(e^{nl}+e^{-nl})\,(e^{nl}-e^{-nl})+4\,\mbox{sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}\cdot M'_T\\ &=& +\frac{1}{2}\cdot \frac{\frakf{Cos}\,nl\cdot \mbox{sin}\,nl-\frak{Sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}{\frak{Sin}\,nl\cdot \frak{Cos}\,nl+\mbox{sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}\cdot M'_T\end{array}}\atop{\begin{array}{rcl}g&=& -\ \ \ \ \frac{(e^{nl}-e^{-nl})\,\mbox{cos}\,nl+(e^{nl}+e^{-nl})\,\mbox{sin}\,nl}{(e^{nl}-e^{-nl})\,(e^{nl}+e^{-nl})+4\,\mbox{sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}\cdot M'_T\\ &=& -\frac{1}{2}\cdot \frac{\frakf{Sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl+\frak{Cos}\,nl\cdot \mbox{sin}\,nl}{\frak{Sin}\,nl\cdot \frak{Cos}\,nl+\mbox{sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}\cdot M'_T\end{array}}}\right\}\ (40) oder bei einem genügend langen dünnwandigen Zylinder: \left{{f=+\frac{\mbox{sin}\,nl-\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}}\cdot M'_T}\atop{g=-\frac{\mbox{sin}\,nl+\mbox{cos}\,nl}{e^{nl}}\cdot M'_{T'}}}\right\}\ .\ .\ .\ (40a) Wir sahen schon, daß zwischen der Biegung eines Hohlzylinders durch äußere Kräfte und der Biegung; durch ungleiche Temperatur in Richtung der Wandstärke etwas Gemeinsames bestehen müsse, da die Gleichungen der elastischen Mittelflächen in beiden Fällen von der gleichen Form sind; nur die Integrationskonstanten können verschieden sein. Es läßt sich leicht angeben, unter welchen Bedingungen der Hohlzylinder durch äußere Kräfte einerseits und durch ungleiche Erwärmung anderseits in gleicherweise gebogen wird, m.a.W. welche äußeren Kräfte die Wand des Hohlzylinders ebenso biegen, wie ungleiche Erwärmung in Richtung der Wandstärke: Die Integrationskonstanten in beiden gleichgebauten Gleichungen der elastischen Mittelflächen müssen übereinstimmen. Um die Bedingungen anzuschreiben, können wir von den vereinfachten Ausdrücken (31a) und (40a) für die Integrationskonstanten ausgehen; vergleicht man diese, so findet man, daß sie identisch sind, wenn: S' = 0 M' = – M'T oder wenn man die ursprünglichen Werte von M' und M'T in (30a) und (39) benutzt, – sofern 12\,\frac{m^2-1}{m^2}\cdot \alpha\cdot \frac{M_l}{s^3}\cdot \frac{1}{2\,n^2}=-\frac{m+1}{m}\cdot \alpha_w\cdot T_g\cdot \frac{1}{2\,n^2} woraus mit etwas geänderter Bezeichnung: M_{lT}=-\frac{m}{m-1}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot T_g\cdot \frac{s^3}{12} . . . (41) Die äußeren Kräfte, welche den Hohlzylinder ebenso biegen wie ungleiche Erwärmung in Richtung der Wandstärke, müssen also in reinen Biegungsmomenten bestehen, die gleichmäßig über die Endquerschnitte des Hohlzylinders verteilt sind und für jedes cm des mittleren Umfanges 2rπ die Große (41) haben: M_{lT}=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot T_g\cdot \frac{s^3}{12} Aeußere Schubkräfte dürfen nicht tätig sein. Ferner folgt, daß die Biegung durch ungleiche Erwärmung in Richtung der Wandstärke durch reine Biegungsmomente rückgängig gemacht werden kann und zwar vollständig rückgängig, wenn diese Momente den in Gl. (41) angegebenen Wert haben. In diesem letzteren Fall behält der durch ungleiche Erwärmung in Richtung der Wandstärke und durch äußere Biegungsmomente in den Enden beanspruchte Zylinder seine ursprüngliche Gestalt bei, und zwar eben dadurch, daß die Wärmedehnung durch die äußeren Biegungsmomente vollständig gehindert wird. Da die Wärmedehnung sich weder in der Achsrichtung noch in der Umfangsrichtung ausbilden kann, so handelt es sich hier um eine in Richtung einer Fläche vollständig gehinderte Warmedehnung. Die in diesem Fall auftretende Temperaturspannung ist in D. P. J., 322, 1907 S. 706 angegeben; sie ist an der Außen- oder Innenfläche des Hohlzylinders in \lambda=\pm\,\frac{s}{2} \sigma_T=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{\triangle\,T}{s}\,\frac{s}{2}=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,T_g\,\frac{s^3}{12} (42) Sofern die größte Biegungsspannung diesen Wert hat, muß das auf 1 cm entfallende Biegungsmoment, wie leicht nachgerechnet werden kann, sein M_{lT}=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,T_g\,\frac{s^3}{12} das ist, wie zu erwarten, der oben stehende Ausdruck. Vorgreifend erwähne ich hier, daß die Belastung vier Endflächen eines verhältnismäßig langen Hohlzylinders sich vorwiegend in der Randzone bemerklich macht; der Belastungszustand der Endflächen ist auf die Formänderung und Spannung des mittleren Teils des Zylinders fast ohne Einfluß, sofern nur der Zylinder genügend lang ist (s. Abschn. VII). Faßt man nun ein Zylinderelement nahe der Zylindermitte ins Auge, wenn der Zylinder in Richtung der Wandstärke ungleich erwärmt wird, so erkennt man, daß die Wärmedehnung daselbst in der Flächenerstreckung nahezu vollständig gehindert ist durch die Wirkung des anschließenden Materials das eben einem Wärmeausdehnungsbestreben nur in der Nähe der Zylinderenden, in begrenztem Maße nachgeben kann. Bei vollständig gehinderter Flächenausdehnung entstehen in der mittleren Zone des Hohlzylinders nach D. P. J. 322, 1907, S. 706 die Temperaturspannungen \sigma_T=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot T_g\cdot \lambda Die Temperaturspannungen in; der mittleren. Zone des Hohlzylinders besitzen mit großer Annäherung diesen Wert, und zwar nahezu unabhängig davon, ob das Zylinderende belastet ist oder nicht. Die mittlere Zone des Zylinders bleibt nahezu ungebogen. Die Temperaturspannungen in dem von uns betrachteten Hohlzylinder sind dem Abstand von der Mittelfläche proportional. Eine andere Spannungsverteilung muß sich einstellen, wenn der Zylinder dickwandig ist – dann sind die in dieser Rechnung eingeführten Vernachlässigungen nicht mehr zulässig und ferner wenn die Temperaturen in Richtung der Wandstärke sich nicht nach einem linearen Gesetz, sondern nach einem logarithmischen ändern. Fließt ein stationärer Wärmestrom senkrecht durch die Zylinderwand, so folgt nach den Gesetzen der Wärmeleitung die Temperaturverteilung einem logarithmischen Gesetz. Während bei dicker Wand die Berücksichtigung dieser Gesetzmäßigkeit geboten sein kann, genügt es für eine dünne Wand vollständig, einen linearen Temperaturabfall durch die Wand anzunehmen. Die Temperaturspannung in einem dickwandigen Hohlzylinder sind von Huber, V. LeonZtschr. f. Math. und Physik 1905. und R. LorenzZtschr. d.V.D. Ing. 1907, S. 743. untersucht worden. Die Temperaturverteilung ist in allen Hohlzylinderquerschnitten als gleich angenommen. Huber und Lorenz rechnen mit einem logarithmischen LeonLeon gibt in Z.d.V.D. Ing. 1907, S. 1315 den Einfluß der Annahme einer logarithmischen und linearen Temperaturverteilung zahlenmäßig an. Vergl. auch die Zuschriften von Duffing, Föppl im gleichen Jahrgang d.Z.d.V.D. Ing. mit einem linearen Temperaturgesetz. Schubspannungen zwischen den einzelnen Querschnitten sind nicht berücksichtigt; die Zylinderwand bleibt also den Annahmen zufolge ungebogen. Dies entspricht dem oben erwähnten Fall, daß die Wärmedehnung des Zylinders durch zurückbiegende Momente an den Zylinderenden völlig aufgehoben wird, m.a.W. es entspricht dem Zustand in hinreichender Entfernung von den Zylinderenden, mögen diese im übrigen belastet sein oder nicht. Solche Momente kommen in der Lösung von Huber, Leon und R. Lorenz auch vor, sie haben auf allen Normalen der Zylinderfläche gleiche Größe. Ist nun der Zylinder dickwandig, so werden die Wärmespannungen an der Innenfläche des Hohlzylinders größer als bei dünner Wandstärke. Die in (42) angegebene Temperaturspannung an der Innenfläche des Hohlzylinders (giltig für vollständig gehinderte Wärmedehnung in dünnwandigen Hohlzylindern): \sigma_T=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot T_g\cdot \frac{s}{2}=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,(T_a-T_i) muß mit einem Faktor größer als Eins multipliziert werden, für den R. Lorenz a.a.O. und Leon (s. Fußnote) Zahlenwerte mitteilen, die in Abhängigkeit von dem Radienverhältnis ra : ri, tabellarisch zusammengestellt sind. Durch diese Betrachtung lassen sich die Verhältnisse in einem dickwandigen Hohlzylinder, der in Richtung der Wandstärke ungleich temperiert ist, leicht übersehen, wenn man den Spannungszustand in einem dünnwandigen Hohlzylinder kennt. (Fortsetzung folgt.)