Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator unter Berücksichtigung der Wirkung der Anschläge am Steuerventil. Von Dipl.-Ing. Hans Hiemenz, Assistent an der Großh. Techn. Hochschule zu Darmstadt. Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw. Einleitung. Die vorliegende Arbeit ist angeregt durch die Lektüre des Pfarrschen Werkes: „Die Turbinen für Wasserkraftbetrieb,“ und zwar besonders durch die dort der Entwicklung des Reguliervorgangs und der Berechnung der hydraulischen Regulatoren gewidmeten Abschnitte. Es wird dort bei Besprechung des ideellen Vorgangs gezeigt, daß es auch sehr wohl vorkommen kann, daß der Reguliervorgang nicht „glatt“ ausgeht, d.h. daß die angestrebte Umdrehungszahl des neuen Beharrungszustandes niemals erreicht werden könnte (s. S. 731, Ausführungen zu Fig. 465). Das am Ende des vorletzten Regulierabschnitts noch vorhandene überschüssige Drehmoment reicht in einem solchen Falle nicht aus, um das letzte Stück des Uebergangs der Umdrehungszahl in gewünschter Weise zu vollziehen. Weil aber überhaupt noch ein beschleunigender Momentüberschuß in dem betrachteten Augenblick vorhanden ist, so muß trotzdem ein Uebergang zur Umdrehungszahl des neuen Beharrungszustandes erzielt werden, freilich unter anderen Bedingungen, als sie ursprünglich angenommen waren. Die sich ergebenden Schwierigkeiten kommen am letzten Ende nur da her, daß der Einfluß der allmählichen Eröffnung und des allmählichen Abschlusses des Steuerquerschnitts voraussetzungsgemäß außer acht gelassen werden, und es wird sich zeigen, daß die Schwierigkeit verschwindet, sowie man auf die erwähnten Punkte strenger eingeht. Der Einfluß der Steuerbewegung in Abhängigkeit von der Zeit ist schon früher untersucht worden; (s. bes. Bauersfeld: „Die automatische Regulierung der Turbinen“). Gleichwohl ist diese Untersuchung hier ebenfalls durchgeführt worden, einmal deshalb, weil der Weg zur Gewinnung der nötigen Formeln ein anderer ist als bei dem genannten Verfasser, und weil er sich enger an das wirkliche Bild des Vorgangs im Reguliergetriebe anschließt. Auch ist B. auf die Wirkung des Ventilanschlags nicht näher eingegangen. Zweitens aber soll in der vorliegenden Arbeit nicht nur das Endergebnis des ganzen Vorgangs, nämlich das Gesetz der Aenderung der Umdrehungszahl in Abhängigkeit von der Zeit, aufgestellt werden, sondern es soll auch aut die Bewegung der einzelnen wichtigen Teile des Getriebes näher eingegangen werden, so auf die Bewegung des Servomotorkolbens, der Muffe des Tachometers und die des Steuerventils. Hierdurch wollen wir versuchen, ein möglichst klares Bild über das wirkliche Arbeiten eines ganzen solchen immerhin nicht ganz einfachen Regulatorgetriebes zu gewinnen. Der Schluß der Arbeit soll einen kurzen Vergleich der Ergebnisse mit denjenigen bringen, die man erhält, wenn man die von Pfarr angegebenen Beziehungen zur Untersuchung des Vorgangs verwendet. Dabei wird sich dann auch näher zeigen, durch welche Gründe im einzelnen die eingangs erwähnten Schwierigkeiten verschwinden. Des besseren Verständnisses wegen soll den allgemeinen Untersuchungen stets ein eingeschobenes Zahlenbeispiel schrittweise folgen. Die Voraussetzungen für die Untersuchung. Zunächst mögen nun die für die folgende Behandlung des Falles gemachten Voraussetzungen festgelegt werden: 1. Innerhalb der für die regulierte Turbine festgelegten engen Grenzen der Geschwindigkeitsschwankung sei das von der Turbine abgegebene Drehmoment unabhängig von der jeweiligen Umdrehungszahl der Turbinenwelle. 2. Das der Turbine von Seiten der angetriebenen Arbeitsmaschine widerstehende Drehmoment sei ebenfalls unabhängig von der Umdrehungszahl. 3. Das verwendete Tachometer sei durchaus empfindlich. 4. Gleichen Aenderungen der Umdrehungszahl sollen gleiche Wege der Tachometermuffe entsprechen. 5. Das von der Turbine abgegebene Drehmoment sei direkt proportional mit der gerade eingestellten Leitapparateröffnung bezw. mit der sog. Füllung der Turbine. 6. Der Regulator sei mit einer Rückführung versehen derart, daß jeder Stellung der Tachometermuffe im Beharrungszustande eine ganz bestimmte Füllung und damit auch Leistung der Turbine entspricht, wie im folgenden noch näher ausgeführt werden soll. 7. Die Umdrehungszahl von Turbine und Tachometer werde als gleich groß angenommen. 8. Der vom Reguliergetriebe in seiner Größe beeinflußte Steuerquerschnitt sei die engste Stelle, die die arbeitende Druckflüssigkeit auf dem Weg vom Steuergehäuse bis zum Arbeitszylinder hin zu durchströmen hat. Etwa am Steuerkolben vorhandene Anschläge, welche die Größe seiner Ausweichung aus der Mittellage begrenzen, seien so angebracht, daß durch sie der Eröffnungsquerschnitt unter allen Umständen kleiner gehalten wird als der Betrag des Ringflächenquerschnittes um den Steuerkolben herum. Den Voraussetzungen entsprechend wird es sich im folgenden nur um den sogenannten ideellen Reguliervorgang handeln. Es wird also der Einfluß der Massen der Reibungen und Spielräume im Reguliergetriebe sowie auch die Wirkung der Unempfindlichkeit des Tachometers ausser Acht gelassen werden. Schema und Arbeitsweise des hydrostatischen Regulators. Das Schema des zu untersuchenden hydrostatischen Regulators ist durch Fig. 1Die in den Figuren eingeschriebenen Zahlenwerte bezieben sich auf das Rechnungsbeispiel. gegeben. In den kommenden Ableitungen sind die verwendeten Bezeichnungen meist entsprechend denen des Pfarrschen Buches gewählt. Wie die Figur zeigt, handelt es sich um einen einfach wirkenden Regulator mit direkter Steuerung, und wir wollen nun zunächst seine Arbeitsweise an Hand des Schemas verfolgen. Textabbildung Bd. 324, S. 258 Fig. 1. Tritt beispielsweise eine plötzliche Entlastung- ein, nachdem die Turbine vorher eine Zeitlang im Beharrungszustande sich befand, so wird die Tachometermuffe hoch gehen, während der Kolben des Servomotors im ersten Augenblick noch in Ruhe bleibt. Sie hebt dabei mittels des Hebels H das Steuerventil V an, und da wir annehmen wollen, daß keine Ueberdeckung vorhanden sei, so wird damit zugleich auch der Steuerquerschnitt f, ein wenig geöffnet werden. Dadurch wird die Druckflüssigkeit (es sei der Einfachheit halber angenommen, daß wir als solche Preßwasser verwenden) unter dem äußeren Ueberdruck h1 unter die untere Seite des Servomotorkolbens treten können. Dabei entwickelt sich im Steuerquerschnitt eine konstante Geschwindigkeit w1, wie dies bei Pfarr S. 767 ff. näher ausgeführt ist. Der Arbeitskolben selbst bewegt sich während dieser Zeit aus seiner Ruhelage heraus, d. h, beginnend mit einer Geschwindigkeit v = 0. Entsprechend der höher und höher anwachsenden Umdrehungszahl wird die Tachometermuffe immer weiter ansteigen und dabei zunächst auch noch den Querschnitt f1 mehr und mehr eröffnen. Infolgedessen wird auch der Arbeitskolben eine immer größere Geschwindigkeit annehmen müssen. Er verschiebt sich dabei in Richtung des mit „Zu“ bezeichneten Pfeils. Hierdurch versucht er, mittels des Tachometerhebels H, das Steuerventil V nach unten, d.h. nach seiner Anfangsstellung hin zu verschieben. Solange nun die von der Tachometermuffe eingeleitete Steuerbewegung gegenüber dieser letzten Rückführungsbewegung überwiegt, wird die Eröffnung am Steuerventil und damit auch die Geschwindigkeit des Arbeitskolbens noch zunehmen. Von einem gewissen Punkt hingegen wird die Bewegung, die vom Arbeitskolben her das Steuerventil wieder in Schlußstellung zu bringen versucht, die Oberhand gewinnen, und es wird deshalb schließlich das Steuerventil wieder in seine Anfangslage zurückgedrängt werden. Ist dann zugleich auch gerade die erwünschte Umdrehungszahl des neuen Beharrungszustands erreicht, so bleibt das Getriebe in Ruhe. Im andern Falle sinkt die Muffe nach unten hin weiter und das Spiel beginnt nur mit entgegengesetzter Richtung für die Ventil- und Kolbenbewegung von neuem, wobei dann an Stelle der äußeren arbeitenden Druckhöhe h1 diesmal die Gegendruckhöhe h2 in Betracht kommt. Außerdem wird jetzt der Steuerquerschnitt f2 von der Druckflüssigkeit mit der Geschwindigkeit w2 durchflössen. So liegt die Sache, wenn sich das Steuerventil sowohl wie auch die Tachometermuffe ganz ungehindert bewegen können. Das wird aber nun fast niemals der Fall sein. Sowohl das Ventil wie die Muffe werden Anschläge haben, die ihrer weiteren Bewegung ein Ende setzen. Unter Berücksichtigung dieses Umstandes wird sich dann der Vorgang etwas anders entwickeln. Zunächst geht alles genau so wie eben gezeigt. Dann aber stoße zuerst einmal das Steuerventil an seinen Anschlag an. Solange jetzt die Bewegung der Muffe gegenüber der des Kolbens überwiegt in ihrem Einfluß auf das Steuerventil, wird dieses an seinem Anschlag anliegen, d.h. die Eröffnung dort wird ihre Größe unverändert beibehalten, und so lange wird sich auch der Servomotorkolben mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Mit dem Augenblick, wo dann dieser mehr Einfluß auf die Steuerbewegung erlangt als das Tachometer, wird sich das Ventil von seinem Anschlag loslösen und wir haben für die Folge wieder genau die gleiche Steuerbewegung wie die zuerst geschilderte, nur wird sich der ganze Vorgang von anderen Anfangsbedingungen aus entwickeln müssen. Es kann aber noch ein dritter Fall eintreten. Nehmen wir an, das Steuerventil sei an seinem Anschlag angelangt und die Muffe sei noch in starker Aufwärtsbewegung begriffen. Nun ist aber auch dem Muffenweg, wie Fig. 1 zeigt, durch einen Anschlag ein Ende gesetzt. Sowie dieser erreicht wird, drückt der Arbeitskolben mit Hilfe des Hebels H unter allen Umständen das Ventil von seinem Anschlag los nach unten, wenn dabei die Muffe auch noch so sehr das Bestreben hat, nach oben hin weiterzugehen. Jetzt ist für die Aenderung des Steuerquerschnitts allein die Kolbenbewegung maßgebend, und wir werden infolgedessen auch einen ganz anderen Verlauf des Reguliervorgangs erhalten, als es die beiden bislang betrachteten waren. In entsprechender Weise entwickeln sich die Verhältnisse für eine Bewegung des Kolbens im Sinne des Pfeils „Auf.“ Wie sich die einzelnen Teile des Reguliervorgangs aneinanderreihen, wodurch ihr Anfang und ihr Ende bedingt ist usw., das wollen wir später an Hand des Beispiels genau betrachten. Des Umfangs der Arbeit wegen kann hier nicht auf die Einwirkung des Muffenanschlags eingegangen werden. Näheres hierüber findet sich in der bereits erwähnten Abhandlung von Bauersfeld. Die Einstellung des Getriebes im Beharrungszustand. Jetzt soll zunächst untersucht werden, ob und wie die Bedingung 6) von Seite 257 erfüllt ist, wonach jeder Stellung der Tachometermuffe eine bestimmte Stellung des Leitapparates der Turbine entsprechen soll. Das ganze Reguliergetriebe kann nur in Ruhe sein, also ein Beharrungszustand des ganzen Systems ist nur dann möglich, wenn das Steuerventil sich in Schlußstellung befindet, so daß der Servomotorkolben keinerlei Grund zur Verstellung des Leitapparates hat. Nun sollen nach Voraussetzung 4) gleichen Aenderungen der Umdrehungszahl auch gleiche Muffenwege entsprechen, d.h. der Zusammenhang zwischen den Muffenwegen und der Umdrehungszahl des Tachometers und damit auch der Turbine soll durch eine Gerade gegeben sein. Dabei mögen die Muffenwege von der höchstmöglichen Stellung aus nach unten positiv gezählt werden. Textabbildung Bd. 324, S. 259 Fig. 2. Wir bezeichnen nach Pfarr mit: n0 diejenige Umdrehungszahl, die der höchst möglichen Muffenlage entspricht. (Oberer Anschlag der Muffe, von der Turbine abgegebenes Drehmoment = 0); n1 diejenige Umdrehungszahl, die der tiefsten Muffenstellung entspricht. (Unterer Anschlag der Muffe, maximal geleistes Drehmoment M1 der Turbine); m1 den gesamten Muffenhub; m = m1 tritt demnach ein für den Fall der Vollbelastung bei n = n1. Führen wir weiter die sogenannte „Beweglichkeit“ des Tachometers ein als: \beta=\frac{n_0-n_1}{n_1}, so erhalten wir die Verhältnisse der Fig. 2. Hieraus folgt: \frac{m}{m_1}=\frac{n_0-n}{n_0-n_1} und: m=\frac{m_1}{n_0-n_1}\cdot(n_0-n)=\frac{m_1}{\beta\cdot n_2}\cdot(n_0-n) (1) Nun hat, wie bekannt, die Rückführung den Zweck, das Steuerventil wieder in seine Schlußstellung zurückzubringen. Das gleiche Ergebnis können wir uns erreicht denken, wenn wir annehmen, daß zunächst beispielsweise das Tachometer von m = 0 anfangend allein arbeitet, während der Servomotorkolben festgehalten wird. Dann wird das Steuerventil um ein ganz bestimmtes Stück l1 aus seiner Ruhelage nach unten abgelenkt werden. In zweiter Linie denken wir uns danach die Tachometermuffe in der erreichten Stellung m = m festgehalten und lassen nun das verschobene Ventil durch den Kolben allein in seine Anfangsstellung zurückschieben, wodurch wieder Abschluß erreicht wird. Bei stillstehendem Servomotorkolben erhalten wir zunächst mit (s. Fig. 1): l_1=\frac{a_1+a_2}{a_2}\cdot m         (2) die Eröffnung des Steuerventils, wie sie eingeleitet wird, wenn sich die Tachometermuffe allein aus ihrer in Fig. 2 angenommenen Nullstellung um m verschoben hat. Textabbildung Bd. 324, S. 259 Fig. 3. Ist die Richtung „Zu“ wie in Fig. 1 gegeben, so werden wir, um für wachsende Kolbenwege k auch wachsende Leitapparateröffnungen a(0) zu bekommen, die Kolbenwege von oben aus nach unten wachsend zählen müssen. Hat sich nun, wie eben angenommen, die Tachometermuffe um m aus ihrer Nullage nach unten verschoben, so muß sich auch der Kolben, den wir uns jetzt alleinwirkend denken, nach unten verschieben. Dem Wert m = 0 entspricht jetzt die Kolbenstellung k = k0, deren Bedeutung aus Fig. 3 hervorgeht. Diese Figur zeigt in der schwach ausgezogenen Kurve den Zusammenhang zwischen den Leitapparateröffnungen a(0) und den zugehörigen Kolbenstellungen k, wie er uns beispielsweise durch direkte Aufnahme an der zu untersuchenden Turbine gegeben sein kann. In unserem Fall mag die Kurve der Einfachheit halber durch die stark ausgezogene Gerade ersetzt werden. Dieser Ersatz ist ohne großen Fehler zulässig, solange wir unsere Betrachtungen nicht auf das Gebiet der kleineren a(0) – Werte erstrecken. Wir haben demnach die in Betracht kommenden Kolbenverschiebungen von k0 aus zu zählen. Verschiebt sich der Kolben also bis in eine Stellung k, so ist die Größe der Verschiebung gleich k – k0. Die hierdurch bewirkte Rückdrängung des Ventils wird demzufolge: l_2=\frac{a_1}{a_2}\cdot(k-k_0)          (3) Diese beiden Verschiebungen müssen, wie eben ausgeführt, einander gleich sein, um wieder Abschluß zu erhalten, und es folgt: l_1=\frac{a_1+a_2}{a_2}\cdotm=\frac{a_1}{a_2}\,(k-k_0)=l_2 oder auch: m=\frac{a_1}{a_1+a_2}\cdot(k-k_0) und unter Beachtung- von Gl. 1: \frac{m_1}{\beta\cdot n_1}\cdot(n_0-n)=\frac{a_1}{a_1+a_2}\cdot(k-k_0) oder schließlich: n=n_0-\left(\frac{\beta\cdot n_1}{m_1}\cdot\frac{a_1}{a_1+a_2}\right)\cdot(k-k_0), oder wenn wir die fest gegebenen Größen in eine Konstante zusammenziehen: n = n0 – C1 . (k – k0),          (4) wobei dann: C_1=\frac{\beta\cdot n_1}{m_1}\cdot\frac{a_1}{a_1+a_2}            (5) Demnach entspricht jeder Umdrehungszahl für den Fall des Beharrungszustandes eine ganz bestimmte Stellung des Servomotorkolbens und damit auch, weil zwangläufig mit ihm verbunden, des ganzen Reguliergetriebes und des Leitapparates. Da nun nach Annahme (4) und nach Fig. 2 auch die Umdrehungszahlen und die Tachometermuffenstellungen in fester Beziehung stehen, so entspricht auch jeder Muffenstellung eine ganz bestimmte Füllung, wie verlangt. Weiterhin besagt die Voraussetzung (5), daß die von der Turbine abgegebenen Drehmomente den jeweiligen Füllungen direkt proportional sein sollen. Gl. 4 gibt uns nun die in jedem Beharrungszustand möglichen Umdrehungszahlen an; wir müssen aber für unsere Untersuchungen auch die zugehörigen von der Turbine ausgeübten Momente wissen. Diese finden wir an Hand der durch Bremsergebnisse festgelelegten Tatsache, daß man die Füllung ϕ als Verhältnis der Leitapparateröffnung (bei Leitkanälen mit rechteckigem Querschnitt) bei Teilbeaufschlagung a(0) zu der maximalen Leitapparateröffnung a0 angeben kann. D.h. wir haben annähernd: \varphi=\frac{a_{(0)}}{a_0}              (6) Bezeichnen wir das bei der Eröffnung a0 abgegebene maximale Drehmoment mit M1, so haben wir bei einer beliebig eingestellten Eröffnung a(0) demnach noch das arbeitende Moment der Turbine mit: M=\varphi\cdot M_1=\frac{a_{(0)}}{a_0}\cdot M_1            (7) Mit den in Fig. 3 eingeführten Bezeichnungen ergibt sich jetzt schließlich der Zusammenhang zwischen den Leitapparateröffnungen a(0) und den zugehörigen Kolbenstellungen k als: \frac{a_{(0)}}{a_0}=\frac{k-k_0}{k_1-k_0}=\varphi            (6a) oder a_{(0)}=\frac{a_0}{k_1-k_0}\cdot(k-k_0)            (8) Mit der ersten dieser beiden Gleichungen (6a) erhalten wir aus Gl. 7: M=\frac{k-k_0}{k_1-k_0}\cdotM_1            (7a) Mit dieser Beziehung können wir uns aus den Kolbenstellungen die dem jeweiligen Beharrungszustande entsprechenden Drehmomente berechnen oder auch umgekehrt für gegebenes M die zugehörigen Stellungen des Reguliergetriebes finden mit: k=k_0+(k_1-k_0)\cdot\frac{M}{M_1}            (7b) Diese Gleichung läßt sich unter Beachtung von Gl. 7 auch noch in der Form anschreiben: k = k0 + ϕ . (k1 – k0),          (7c) und hieraus können wir bei gegebener Füllung ϕ die dabei im Beharrungszustande vorhandenen Kolbenstellungen finden. Bevor wir nun in der Entwicklung der nötigen Gleichungen und namentlich der Bewegungsgleichungen des Regulators fortfahren, wollen wir zunächst mit Hilfe der abgeleiteten Formeln uns für das zu behandelnde Zahlenbeispiel die nötigen Werte des anfänglichen Beharrungszustandes berechnen: Gegeben sei: das maximale Drehmoment mit: M1 = 49 mkg; die Normaltourenzahl: n1 = 194,5 Umdr./Min.; die Beweglichkeit: β = 0,06; der Muffenhub: m1 = 50 mm = 0,05 m; die Hebelarme des Tachometerhebels: a1 = 0,2 m; a2 = 0,4 m; die Kolbenwege: k0 = 60 mm = 0,06 m; Fig. 3 k1 = 210 mm = 0,21 m; Nehmen wir an, die Turbine laufe gerade nicht mit voller Belastung, sondern nur mit MA = 46 mkg. Die Anfangsfüllung ϕ = a wäre dann nach Gl. 7: a=\frac{46}{49}=0,94, und hiermit kommt weiter nach Gl. 7c: kA = 0,06 + 0,94 . (0,21 – 0,06) kA = ∾ 0,201 m. Die bei diesem Beharrungszustand vorhandene Umdrehungszahl rechnet sich nach Gl. 4, wozu wir aber erst noch C1 bestimmen müssen (Gl. 5): C_1=\frac{0,06\cdot 194,5}{0,05}\cdot\frac{0,2}{0,2+0,4}=77,8. Weiter ist: n0 = 206,2, und so folgt (Gl. 4): nA = 206,2 – 77,8 (0,201 – 0,06) nA = 195,2 Umdr./Min. Schließlich findet sich noch mit Gl. 1 die Muffenstellung: m_A=\frac{0,05}{0,06\cdot194,5}\cdot(206,5-195,2) mA = 0,047 m = 47 mm Für das Zahlenbeispiel mag angenommen werden, daß von MA = a . M1 = 46 mkg plötzlich entlastet werde auf MB = b . M1 = 36 mkg. Die zu diesem neuen Beharrungszustand zugehörigen Werte berechnen sich dann zu: b=\frac{36}{49}=0,735 kB = 0,17 m mB = 197,62 Umdr./Min.      mB= 0,0367 m. (Fortsetzung folgt.)