Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Von Dipl.-Ing. A. Utard, Straßburg i.E. (Fortsetzung von S. 420 d. Bd.) Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit usw. 4. Eingehende Diskussion der Methode von Pfarr. In den Formeln von Pfarr, wie in denen aller Autoren überhaupt, spielt der Ausdruck: m=\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T} eine große Rolle. Dieser Ausdruck enthält alle bei den Trägheitserscheinungen in Betracht kommenden Betriebsdaten, so daß die Kenntnis seines Wertes genügt, um die maximalen Druckerhöhungen eindeutig festzustellen. Seiner Dimension nach ist der Ausdruck m eine absolute Zahl, und zwar läßt er sich deuten, wenn wir ihn schreiben wie folgt: m=\frac{L}{H_0} \cdot \frac{\frac{c_1}{T}}{g}; hierin bedeutet \frac{c_1}{T} die Verzögerung der Wassermassen im Zuleitungsrohre bei Annahme einer gleichmäßigen Abnahme der Rohrgeschwindigkeit c1 während der Schlußzeit T. Somit bedeutet \frac{\frac{c_1}{T}}{g} das Verhältnis der negativen Beschleunigung (resp. positiven beim Oeffnungsvorgang) der Wassermassen in der Rohrleitung zur Erdbeschleunigung g; während \frac{L}{H_0} das Verhältnis der Rohrlänge zur Gefällhöhe angibt. Indem man nun den Quotient m folgendermaßen zusammenfaßt: m=\frac{\left(\frac{c_1}{T} \cdot L\right)}{(g \cdot H_0)}\equiv\frac{\left(\frac{c_1}{T} \cdot \frac{F\,L \cdot \gamma}{g}\right)}{\left(g \cdot \frac{F \cdot H_0\,\gamma}{g}\right)}=\frac{\frac{c_1}{T} \cdot \frac{F\,L\,\gamma}{g}}{F\,H_0\,\gamma} kann man denselben auch auffassen als Verhältnis zweier Kräfte. Es bedeutet nämlich der Nenner die Kraft, die die Wassermasse einer senkrechten Wassersäule vom Querschnitt F und der Höhe H0 infolge der Erdkraft am unteren Ende ausübt, mit andern Worten, ihr Gewicht; dagegen ist der Zähler gleich der Kraft, die nötig ist, um der ruhenden Wassersäule vom Querschnitt F und der Länge L die Beschleunigung \frac{c_1}{T} zu erteilen, wie dies beim gleichmäßig erfolgenden Oeffnungsvorgang ohne Druckschwankungen erzielt würde. Eine andere Schreibweise für m wäre auch m=\frac{c_1}{\sqrt{2\,g\,H_0}} \cdot \frac{2\,L}{\sqrt{2\,g\,H_0} \cdot T}=\frac{c_1}{v_0} \cdot \frac{2\,\frac{L}{T}}{v_0}=\frac{f}{F} \cdot \frac{2\,\frac{L}{T}}{v_0}. In allen Formeln zeigt sich, daß z\equiv\frac{h}{H_0} eine eindeutige Funktion der Größe m ist. Hieraus geht hervor, daß Turbinenleitungen mit demselben Werte von m einen gleichen prozentuellen maximalen Wertzuwachs von H0 ergeben; somit müssen dann auch die Ausflußgeschwindigkeiten v0 aller in gleichem Verhältnis zunehmen. Handelt es sich aber auch noch um dieselbe Gefällhöhe H0, so ergeben gleiche Werte von \frac{c_1\,L}{T} nach der Methode von Pfarr direkt identische Kurven für h und v. Sobald aber die Größe von m verschieden ausfällt, ändern sich die Verhältnisse vollkommen. Es soll im Folgenden der Einfluß der einzelnen Betriebsdaten ermittelt werden; die diesbezügliche Diskussion der Pfarrschen Gleichungen wird durch die Kurvenaufzeichnungen der Fig. 3–12 erleichtert werden. a) Einfluß der Rohrlänge L auf die Höhe der auftretenden Druckschwankungen. Aus den Gleichungen (11 u. 12) für die Austrittsgeschwindigkeit v geht die übrigens fast selbstverständliche Tatsache hervor, daß bei zunehmender Rohrlänge L und bei Vernachlässigung der Elastizitäten auch der Einfluß der Massenträgheit zunimmt. Es fragt sich nun, in welchem Maße dieses geschieht und wie unter sonst gleichen Verhältnissen ein größeres L sich auf die Form der Kurve bemerkbar macht. Unter Beibehaltung von H0 =100 m; c1 = 2 m/Sek. und T = 2 Sek. sind in Fig. 5 die Schließkurven für verschiedene L eingezeichnet, nämlich für: 1.L = H0 = 100 m (= das überhaupt mögliche Minimum der Werte von L); ferner für 2.L = 200 m; 3.L = 300 m; 4.L = 400 m. Besonders interessiert uns die hierbei zum Ausdruck kommende Erscheinung, daß bei zunehmendem L das Anwachsen des Druckes zwar schneller erfolgt, daß aber auch viel mehr Zeit vergeht, bis die Kurve in die Nähe der zugehörigen maximalen Werte von h und v gelangt. Die Wichtigkeit dieser Erscheinung wird eine spätere Betrachtung zeigen. Sie erklärt nämlich zum großen Teil das schnelle Anwachsen der ideellen, d.h. nach der Pfarrschen Methode ermittelten größten Werte von h und v bei zunehmendem L, resp. das starke Anwachsen der Druckschwankungen bei abnehmendem H0. Textabbildung Bd. 324, S. 434 Fig. 5. Der ideelle Schließvorgang und dessen Nachwirkung für verschiedene Rohrlängen. Diese nach Pfarr berechnete größte Druckhöhe ist in den Zeichnungen durchweg mit hmax bezeichnet, im Gegensatz zur größten Druckhöhe Hmax nach einer vom Verfasser weiter unten abgeleiteten Gleichung (76), welche den Einfluß der Elastizität berücksichtigt. Die graphische Darstellung Fig. 5 gibt uns auch ein klares Bild von dem für Regulierzwecke recht ungünstigen Verlauf der A-Kurve bei großen Rohrlängen. Indem man nun die Größen H0, c1 und T konstant hält und nur L stetig variieren läßt, erhält man die den verschiedenen Rohrlängen entsprechenden hmax, hmin, vmax, vmin wie teilweise in Fig. 5 schon berücksichtigt. Die Ordinaten in Fig. 6 stellen die dabei ermittelten Werte über den entsprechenden Rohrlängen L dar. Die zunehmenden Rohrlängen sind nämlich als Abszissen aufgetragen. Textabbildung Bd. 324, S. 434 Fig. 6. Einfluß der Rohrlänge L auf h max ideell und h min ideell. Der prinzipielle Unterschied zwischen Fig. 3–5 und auch Fig. 13, 14 und 20 und zwischen Fig. 6 nebst den nächstfolgenden ist der, daß bei ersteren der zeitliche Verlauf der Druckschwankungen während des Schließ- resp. Oeffnungsvorganges dargestellt ist. Die Abszissen stellen daher die laufende Zeit dar. Dagegen geben die Fig. 6–8 bloß Aufschluß über den Wert der maximalen Druckschwankungen bei verschieden großem L (resp. T oder H0). Somit bedeuten z.B. die Abszissen in Fig. 7 die absoluten Werte der entsprechenden Schließ- resp. Oeffnungszeiten. Die Kurve der hmax bei verschiedenen Rohrlängen (Fig. 6) ist eine aufwärts gekrümmte Linie, während die vmax fast geradlinig zunehmen. Die Werte von L kleiner als H0 sind in Wirklichkeit unmöglich und deshalb in der Kurve auch nur punktiert eingezeichnet. Auffallend ist nun die unverhältnismäßig starke Zunahme von hmax bei wachsendem L. Da bei zweimal so großem L auch die Masse M des Rohrinhaltes nur doppelte Größe hat, könnte man leicht einen Gegensatz zur Gleichung P . dt = M . de vermuten. Daß trotzdem (hmax–H0) viel rascher anwächst, rührt von dem immer mehr gestreckten Verlauf der h-Kurve her. Dieses wird uns durch Fig. 5 deutlich vor Augen geführt. Bei größerer Rohrlänge L wird eine Höhe h, die dem entsprechenden hmax ungefähr gleich kommt, erst später, d.h. nach längerer Verstelldauer erreicht. Diese Erscheinung wird im folgenden noch eingehend Erörterung finden, b) Verlauf der Druckschwankungen bei variabler Oeffnungs- und Schließzeit T. Analog dem Vorhergehenden soll wieder H0, c1 aber nunmehr auch L konstant gehalten, dagegen die Verstellzeit T verschiedenwertig angenommen werden. Die hierzu errechneten Werte von hmax finden sich als Ordinaten in Fig. 7 aufgetragen, während die verschiedenen Größen von T als Abszissen angegeben sind. Es zeigt sich, daß, wie natürlich, die hmax mit kleiner werdendem T steigen. Unterhalb T = 0,5 Sek. nimmt hierbei mit kleineren Werten von T die Größe hmax sehr rasch zu und zeigt, wie aus Fig. 7 ersichtlich, einen hyperbelähnlichen Verlauf. Aus diesen Kurven ist der Einfluß einer tatsächlich bewirkten oder auf Umwegen durch Anwendung eines Seitenauslasses künstlich erreichten Verringerung von T schart ersichtlich. Textabbildung Bd. 324, S. 434 Fig. 7. Einfluß der Oeffnungs- resp. Schlußzeiten T auf h max ideell und h min ideell. Ebenso wie aus der zahlengemäßen Zeichnung läßt sich auch durch analytische Untersuchung feststellen, daß die beiden hmax-Kurven in Fig. 6 u. 7 kein Maximum oder Minimum aufweisen. c) Verschiedenartiges Verhalten der Druckkurven bei variabler Gefällhöhe H0 aber gleichbleibendem L, c1 undT. Da der in den Gleichungen für v, vmax und vmin nämlich Gl. II u. 13 bzw. 12 u. 14 enthaltene Ausdruck m\equiv\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T} die Größen H0 und T mit gleicher Potenz und an gleicher Stelle aufweist, so gibt uns Fig. 7 ebenfalls Aufschluß über die Abhängigkeit des Wertes vmax – somit auch des Wertes \frac{v\,\mbox{max}}{v_0} insofern v0 dort eine Konstante ist – vom Gefälle H0. Fig. 7 zeigt uns also auch den Einfluß von H0 auf z=\frac{h}{H_0}, d.h. auf die verhältnismäßige Drucksteigerung, insofern wir die Abszissen nicht als T, sondern als H0 gelten lassen. Sobald wir aber bei Konstanthalten von L, c1 und T die Gefällhöhe H0 stetig abnehmen lassen und den Einfluß von H0 auf hmax und nicht wie vorhin auf die Verhältniszahl z\,\mbox{max}=\frac{h\,\mbox{max}}{H_0} betrachten, so begegnen wir einer auffallenden Erscheinung: An einer bestimmten Stelle tritt nämlich im Gegensatz der Betrachtung a) und b) ein Minimum der Werte hmax auf (s. Fig. 8.) Die Diskussion der Gleichung (13) gibt uns hierüber Aufschluß. Dieselbe läßt sich auch folgendermaßen schreiben (s. Pfarr S. 596 Gl. 767): v\,\mbox{max}=\frac{c_1 \cdot L}{T \cdot \sqrt{2\,g}} \cdot \left[\sqrt{\left(\frac{2\,g\,T}{c_1\,L}\right)^2 \cdot H_0+\frac{1}{H_0}}+\frac{1}{\sqrt{H_0}}\right] (18) Die Gleichung ist von der Form: y=\alpha\,\sqrt{\beta\,x+\frac{1}{x}}+\frac{\alpha}{\sqrt{x}} Hierin ist gesetzt: vmax ≡ y: H0 = x und \left(\frac{2\,g\,T}{c_1\,L}\right)^2\equiv\beta; also findet sich für ein eventl. Maximum oder Minimum: \frac{d\,y}{d\,x}=0=\frac{1}{2}\,\frac{\beta-\frac{1}{x^2}}{\sqrt{\beta\,x+\frac{1}{x}}}-\frac{1}{2\,\sqrt{x^3}} also \beta-\frac{1}{x^2}=\sqrt{\frac{\beta\,x+\frac{1}{x}}{x^3}} oder: \beta-\frac{1}{x^2}=\sqrt{\frac{\beta}{x^2}+\frac{1}{x^4}} oder:         \beta^2-\frac{2\,\beta}{x^2}+\frac{1}{x^4}=\frac{\beta}{x^2}+\frac{1}{x^4} Somit:       \beta^2=\frac{3\,\beta}{x^2} hieraus: x=\sqrt{\frac{3}{\beta}} Setzen wir wieder den Wert von x und β ein, so erhalten wir bei veränderlichem H0 ein Maximum oder Minimum der Ausflußgeschwindigkeit v und somit auch des auftretenden Druckes h, sobald: H_0=\frac{c_1\,L\,\sqrt{3}}{2\,g \cdot T} . . . . . (19) oder was dasselbe: m\equiv\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}=\frac{2}{\sqrt{3}}=1,156 (19a) Die nochmalige Differentierung von \frac{d\,y}{d\,x} ergibt den positiven Wert: \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{9}{\sqrt{\frac{c_1\,L\,\sqrt{3}}{2\,g \cdot T}}}\,5 . . . . (20) es handelt sich daher um ein Minimum. Wir haben es also mit einer Erscheinung zu tun, die sich wie folgt, beschreiben läßt: Ein Rohr von konstanter Längte L und konstanter maximaler Fließgeschwindigkeit c1 wird nach und nach aus seiner senkrechten Lage (wofür also H0 = L wäre) geneigt, so daß H0 abnimmt Dies kann so gedacht werden, daß der obere Endpunkt des Zuleitungsrohres um den festen Fußpunkt einen Kreis beschreibt. Wenn wir nun für eine ebenfalls konstante Schlußzeit T den Wert von hmax bestimmen, der einer jeden, auf obige Weise erhaltenen Höhe H0 entspricht, so konstatieren wir eine Abnahme des dem jeweiligen H0 zugehörigen hmax bis zu dem oben bestimmten Wert von H_0=\frac{c_1\,L\,\sqrt{3}}{2\,g \cdot T}; von da ab wächst der Wert von hmax wieder schnell an. Textabbildung Bd. 324, S. 435 Fig. 8. Einfluß variabler Gefällhöhe: H0 auf die ideellen Druckschwankungen einer Leitung von konst. Länge L. Die graphischen Aufzeichnungen in Fig. 8 bestätigen uns dieses. Bei dem dieser Zeichnung zugrunde gelegten Beispiel sind folgende sich stets gleichbleibende Werte gewählt worden: L = 200 m; T = 2 Sek.; c1 = 2 m/Sek. Nur H0 ist veränderlich und zwar sind die Werte von H0 als Abszissen aufgetragen. Da bei der Gefällhöhe H0 = 200 m die Werte von H0 und L gleich groß sind, ist hierbei das Rohr als senkrecht stehend zu denken; größere Werte von H0 sind praktisch nicht mehr möglich. Ueber einer jeden Gefällhöhe H0 sind die zugehörigen Werte von vmax, v0, vmin nach den Gl. 13 u. 14 als Ordinaten aufgetragen; ebenso finden sich in Fig. 8 die Kurven von hmax, hmin nach Gl. 6a und zum Vergleich die Linie der H0. Letztere muß selbstredend unter 45° ansteigen, da ihre Ordinate und Abszisse das gleiche bedeuten. Lassen wir nun den Wert von H0 beständig von seinem größtmöglichen Betrag H0 = L aus abnehmen, so müssen wir uns in der Zeichnung auch von H0 = 200 m auf der Abszissenachse rückwärts dem Koordinatenanfangspunkt zu bewegen. Es laufen dann die Kurven hmax und hmin anfänglich fast parallel zur Linie der H0 schräg abwärts bis plötzlich die hmax-Kurve bei: H_0=\frac{c_1\,L}{g \cdot T} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=17,656\mbox{ m} einschwenkt, um rasch nach dem Unendlichen anzusteigen (s. Gl. 19). Für das in Frage kommende Minimum, nämlich für den Punkt: H_0=\frac{c_1\,L}{g\,T}\,\frac{\sqrt{3}}{2} (s. Gl. 19) ergibt sich weiter: v_0=\sqrt{2\,g \cdot H_0}=\sqrt{\frac{c_1\,L\,\sqrt{3}}{T}} . . . (21) ferner ist: v\,\mbox{max}=\sqrt[4]{3^3}\,\sqrt{\frac{c_1\,L}{T}} Beweis für letzteres: Wir erhalten durch Einsetzen des Wertes von H0 aus Gl. 19 in Gl. 18: \begin{array}{rcl}v_\mbox{max}&=&\frac{c_1\,L}{T \cdot \sqrt{2\,g}} \cdot \left[\sqrt{\frac{2\,g\,T \cdot \sqrt{3}}{c_1\,L}+\frac{2 \cdot g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}\right]\\ &=&\frac{c_1\,L}{T\,\sqrt{2\,g}}\,\left[\sqrt{\frac{8\,g\,T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2\,g\,T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}\right]\\ &=&\frac{c_1\,L}{T \cdot \sqrt{2\,g}} \cdot 3\,\sqrt{\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}\\ &=&\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt{\frac{c_1\,L}{T}} \end{array}\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ (22) Ferner ergibt sich: v\,\mbox{min}=\sqrt{\frac{c_1\,L}{T\,\sqrt{3}}} denn durch Umformung von Gl. 14 erhalten wir entsprechend Gl. 18 den Ausdruck: v\,\mbox{min}=\frac{c_1 \cdot L}{T\,\sqrt{2\,g}}\,\left[\sqrt{\left(\frac{2\,g\,T}{c_1\,L}\right)^2\,H_0+\frac{1}{H_0}}-\frac{1}{\sqrt{H_0}}\right] . . (23) Setze hierin wieder den Wert von H0 nach Gl. 19 ein, dann ist: \begin{array}{rcl}v_\mbox{min}&=&\frac{c_1}{\sqrt{2\,g}}\,\frac{L}{T}\,\left[\sqrt{\frac{2\,g\,T\,\sqrt{3}}{c_1\,L}+\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}-\sqrt{\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}\right]\\ &=&\frac{c_1\,L}{T\,\sqrt{2\,g}}\,\left[\sqrt{\frac{8 \cdot g\,T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}-\sqrt{\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}\right]\\ &=&\frac{c_1\,L}{T\,\sqrt{2\,g}}\,\sqrt{\frac{2\,g \cdot T}{c_1\,L\,\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{c_1\,L}{T\,\sqrt{3}}} \end{array}\ .\ .\ .\ .\ (24) Ferner ist in Vernachlässigung der Rohrgeschwindigkeit c h\,\mbox{max}=\frac{v^2\,\mbox{max}}{2\,g}=\frac{c_1\,L}{g\,T} \cdot \frac{\sqrt{3^3}}{2} . . . . (25) ebenso ist: h\,\mbox{min}=\frac{v^2\,\mbox{min}}{2\,g}=\frac{c_1\,L}{2\,g}=\frac{c_1\,L}{g \cdot T}\,\frac{1}{2\,\sqrt{3}} . . . . (26) also für diesen durch Gl. 19 bestimmten Wert von m=\frac{2}{\sqrt{3}} gilt die Proportion: v max : v0 : v min = 3 : √3 : 1 . . . . . . . . . . (27) h max : H0 : h min = 9 : 3 : 1 . . . . . . . . . . (28) Die Erscheinung, daß an der oben durch H_0=\frac{c_1\,L}{g\,T} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} bestimmten Stelle der hmax- und vmax-Kurve in Fig. 8 ein Minimum auftritt, erklärt sich folgendermaßen: In der allgemein gültigen Gleichung: M . dc = P . dt = γ . (h – H0) . dt (vergl. Gl. 4) bleibt für die verschiedenen H0, aber für sonst gleiche Betriebsdaten gleiche Rohrlänge usw., die linke Seite M . dc stets gleich, da die gleiche Energie im Rohre aufgespeichert ist. Es muß nämlich unabhängig von der Größe des äußeren Gefälles H0 in jedem Falle die gleiche Wassermasse von c = c1 bis auf Null verzögert werden. Man kann somit schreiben: dc=\frac{P}{M} \cdot dt=\frac{F \cdot \gamma\,(h-H_0)}{F\,\gamma \cdot L} \cdot dt=\frac{(h-H_0),g \cdot dt}{L} (29) Somit ist: \int_{c=c_1}^{c=c}\,dv=c_1-c=\frac{g}{L}\,\int_{c=c_1}^{c=c}\,(h-H_0)\,dt . . (30) Bei völligem Schluß bis c = 0 lautet die Gleichung: c_1=\mbox{konst.}=\frac{g}{L}\,\int_{c=c_1}^{c=0}\,(h-H_0)\,dt . . . (31) Wir sehen hieraus, daß für gleiche Geschwindigkeitsänderung dc der Inhalt der Fläche zwischen der h-Kurve und der H0-Linie stets gleich groß sein muß. Derselbe ist somit auch unabhängig vom Verlauf der Schließkurve und von der Schlußzeit. Wenn daher der Enddruck der h-Kurve für m\,<\,\frac{2}{\sqrt{3}} sehr hoch ist, so muß dies von sehr kleinem Ueberdruck im Anfang des Schließens herrühren. In der Tat nähert sich der Druck bei kleinem H0 und konst. L, oder allgemein bei kleinem \frac{H_0}{L}, zeitlich langsamer dem jeweiligen Höchstwerte als bei großem \frac{H_0}{L}. Dies erkennt man sehr deutlich aus Fig. 10 und auch aus Fig. 5, bei der allerdings H0 konstant und L verschiedenwertig ist. Dieses langsame Ansteigen selbst bedarf aber seinerseits wieder einer Erklärung. Nehmen wir an, im ersten Zeitteilchen dt des Schließvorganges wäre für die verschiedenen Gefällhöhen H0 gleichwohl eine gleich große Geschwindigkeitsänderung dc vorhanden. Dann wäre entsprechend dem Werte: dc=\frac{g}{L} \cdot (h-H_0)\,dt auch eine gleich große Druckerhöhung dh = (h – H0) ganz unabhängig von H0 für dieses erste Zeitteilchen vorhanden. Nun ist aber: v=\sqrt{2\,gh} somit ist: \frac{d\,v}{d\,h}=\sqrt{\frac{g}{2\,h}} . . . . . (32) Für den ersten Augenblick des Schließvorganges ist der bestehende Druck gleich H0, so daß wir Gl. 32 auch schreiben können: \frac{d\,v}{d\,h}=\sqrt{\frac{g}{2\,H_0}} . . . . (32a) Diese Gleichung besagt folgendes: Bei abnehmendem H0 nimmt \frac{d\,v}{d\,h} zu, oder mit anderen Worten: Der gleiche Druckzuwachs dh zu H0 im ersten Moment bringt bei verschiedener Gefällhöhe H0 auch ganz verschiedene Geschwindigkeitsvermehrung dv hervor. Je kleiner H0, um so größer wird dv infolge des für das erste Zeitteilchen dt für alle Gefällhöhen vorübergehend gleich angenommenen Ueberdruckes dh, was sich daraus erklärt, daß dieser gleiche Druckzuwachs dh bei kleinem H0 eine viel größere verhältnismäßige Druckerhöhung bedeutet. Nun übt aber die Veränderung der Ausflußgeschwindigkeit v einen direkten Einfluß auf die Rohrgeschwindigkeit aus. Wäre h = konstant, also gleich H0, und somit auch v = v0, so würde für alle Fälle die Fließgeschwindigkeit im Zuleitungsrohr linear abnehmen nach der Gl. c=\frac{f \cdot v}{F}, weil dann \frac{v}{F}= konstant und f laut Voraussetzung linear mit der Zeit abnimmt. Dadurch, daß die Ausflußgeschwindigkeit v zunimmt und im ersten Zeitteilchen statt v0 den Betrag v = v0 + dv aufweist, kann c nicht so rasch abnehmen, als es ohne Druckschwankungen der Fall wäre. Je größer somit dv am Ende des ersten Zeitteilchens, um so weniger wird sich im zweiten Zeitteilchen die Rohrgeschwindigkeit c=f\,\frac{v_0+dv}{F} geändert haben. Bei kleinen Gefällhöhen H0 wird daher anfänglich durch das relativ stärkere Anwachsen von v der Einfluß des stets gleichförmigen Abnehmens des Austrittsquerschnittes f mehr beeinträchtigt als bei großen Gefällhöhen, oder was dasselbe ist: dc=\frac{dq}{F} wird im nächsten Augenblick bei kleinem H0 kleiner ausfallen, als bei großer Gefällhöhe. Dieser kleineren Aenderung dc der Fließgeschwindigkeit c entspricht aber nach Gl. 4 eine kleinere Druckdifferenz dh für das zweite ZeitteilchenEigentlich müßte in diesem Beweis berücksichtigt werden, daß für verschiedene H0 ebenfalls v0 verschieden ist. Damit zusammenhängend muß auch f1 verschieden ausfallen, da Q = v0 . f1 als gleichbleibend anzusehen ist. Da aber die Austrittsquerschnitte f für die gleiche Verstellzeit t stets eine prozentuell gleiche Abnahme aufweisen, wäre somit für verschiedene Gefällhöhen nicht gleiches dv, sondern gleiches prozentuelles dv, d.h. gleiches \frac{dv}{v_0} nötig, um eine deiche Aenderung dc in der Rohrgeschwindigkeit hervorzurufen. Dieses bestärkt aber den obigen Beweis nur noch mehr, da sogar schon gleiche dv eine anfänglich langsamere Geschwindigkeitsabnahme bei kleinem H0 hervorbringen würde.. Die kleinen Gefällhöhen verhalten sich somit bei gleicher Schlußzeit und gleicher Rohrlänge deshalb ungünstiger als die großen, was die Druckschwankungen anbelangt, weil sie die Geschwindigkeitsänderung auf das Ende des Schließ Vorganges hinausschieben, wo dann die noch sehr große Bewegungsgröße M . Δc wegen der nur noch kleinen zur Verfügung stehenden Zeit dt eine große Druckerhöhung Δh hervorbringt. Dieses wird auch in Fig. 8 deutlich, sobald wir die vmax- und hmax-Kurven in zwei Teile zerlegen (siehe Fig. 9). Sie sind nämlich aufzufassen als Summe zweier nur indirekt voneinander abhängiger Kurven. Diese Summatation kann aber die Verhältnisse nur verschleiern. Die Größe hmax setzt sich zusammen aus H0 und (hmax – H0); also aus H0 plus dem hinzukommenden Ueberdruck. Ebenso vmax = v0 + (vmax – v0). Dadurch erhalten wir die in Fig. 9 gezeichneten Kurvenpaare. Aus Fig. 9 ist ersichtlich, daß für abnehmendes H0 bei konstantem L oder auch allgemein für abnehmendes \frac{H_0}{L} die Höhe der Druckschwankungen: (hmax – H0) zunimmt, nicht nur prozentuell, sondern auch absolut genommen. Die Summation der Kurven aber liefert das alte Bild mit dem Minimum bei H_0=\frac{c_1\,L}{2\,g\,T}\,\sqrt{3} oder m=\frac{2}{\sqrt{3}}=1,156 Diese Stelle mit dem Minimum läßt sich folgendermaßen geometrisch deuten: Für die Richtung der resultierenden Kurve ist die Richtung der Tangenten beider Komponenten maßgebend. Da nun die Summe zweier gleich geneigten aber entgegengesetzt gerichteten Geraden eine Horizontale ergibt, ist unser Minimum da zu suchen, wo die Tangente der (hmax – H0) Kurve mit der Abscissenachse den Winkel 45° bildet, oder wo die Tangenten der v-Kurven entgegengesetzt gleichgerichtet sind. Es läßt sich z.E. letzteres leicht nachprüfen, da: Textabbildung Bd. 324, S. 437 Fig. 9. \frac{d \cdot \sqrt{2g \cdot H_0}}{d\,H_0}=-\frac{d\,(v\,\mbox{max}-v_0)}{d\,H_0} . . . (33) insofern \frac{dv\,\mbox{max}}{d\,H_0}=0. An Hand dieser Betrachtungen sind alle bei der Pfarrschen Methode auftretenden Verhältnisse leicht zu erklären. Auf dem Kurvenblatt (Fig. 8) sind noch eingezeichnet die Kurven \frac{v\,\mbox{max}}{v_0} und \frac{f_1}{F}. Daß die Gleichung \frac{v\,\mbox{max}}{v_0} kein Minimum haben kann, zeigt schon die Form derselben. Sie wird direkt aus Gl. 13 erhalten: \frac{v\,\mbox{max}}{v_0}=\sqrt{\frac{m^2}{4}+4}+\frac{m}{2} . . . . (34) Textabbildung Bd. 324, S. 437 Fig. 10. Der ideelle Schließvorgang bei verschiedenen Gefällhöhen und gleicher Rohrlänge. Das vorher gesagte soll noch durch Fig. 10 charakterisiert werden. Es sind hier nämlich die Kurven des Schließvorganges berechnet, einmal (Index 2) für H0 = 100 m. c1 = 2 m/Sek, T = 2 Sek. und L = 1132,8 m, außerdem für H0 = 60 m und H0 = 160 m, aber sonst gleichen Betriebsdaten. Für H0 = 100 m und L = 1132,8 m ist m\,\left(\equiv\frac{c_1\,L}{g\,T\,H_0}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}; also für diese Größen hat der Wert H0 = 100 m den denkbar kleinsten Enddruck, d.h. den Kleinstwert von hmax zur Folge. Somit müssen die Druckkurven der beiden anderen eingezeichneten Fälle, nämlich H0 = 60 m (Index 1) und H0 = 160 m (Index 3) jedesmal zu höherem hmax und vmax gelangen. Textabbildung Bd. 324, S. 438 Fig. 11. Verhältnis H0 und L für gleichen Wert von h max ideell. Bei H0 = 100 m steigt die v-Kurve (v1 in Fig. 10) anfänglich in annähernd gerader Linie an, während sie bei H0 ( 100 m (v1) sogar einen vorwiegend konkaven Verlauf hat; hierdurch ist eben die Verschiebung der Geschwindigkeitsänderung dc auf die letzten Zeitteilchen bedingt, die ihrerseits wieder, der größeren Endneigung der q = Fc-Kurve entsprechend, ein sehr hohes hmax eintreten läßt. Die v3-Kurve entwickelt sich in konvexer Form. d) Kurven, die zu demselben h max und v max gelangen. Mehr interessant als wichtig ist eine andere Kurve, die man erhält, indem man die Beziehung zwischen H0 und L herleitet, bei welcher stets gleiche hmax und vmax eintreten. Hierfür ergibt sich die Gleichung: L=\frac{g\,T\,\sqrt{2\,g}}{c_1\,v\,\mbox{max}} \cdot \sqrt{H_0^3-H_0^2\,\frac{v^2\,max}{g}+\frac{H_0 \cdot v^4\,\mbox{max}}{4\,g^2}} . (35) oder: m=\sqrt{\frac{2\,g \cdot H_0}{v^2\,\mbox{max}}-2+\frac{v^2\,\mbox{max}}{2\,g \cdot H_0}} . . . (35a) Textabbildung Bd. 324, S. 438 Fig. 12. Beweis: durch Umgestaltung von Gl. 13 erhält man: v\,\mbox{max}=\mbox{konstant}=\frac{\sqrt{2\,g} \cdot L}{\sqrt{H_0} \cdot \beta} \cdot \left(\sqrt{\beta^2\,\frac{H_0^2}{L^2}+1}+1\right) hierin ist gesetzt: \beta\equiv\frac{2\,g\,T}{c_1} Es sei ferner:       k\equiv\frac{v\,\mbox{max}}{\sqrt{2\,g}} dann läßt sich obige Gleichung auch schreiben: \left(k\,\beta-\frac{L}{\sqrt{H_0}}\right)^2=\frac{L^2}{H_0} \cdot \left(\frac{\beta^2 \cdot H_0^2}{L^2}+1\right) oder: k^2\,\beta^2-\frac{2\,k\,\beta\,L}{\sqrt{H_0}}+\frac{L^2}{H_0}=\beta^2\,H_0+\frac{L^2}{H_0} Somit ist: k^2\,\beta^2 \cdot \sqrt{H_0}-\beta^2\,\sqrt{H_0^3}=2\,k\,\beta\,L Wenn wir diese Gleichung ins Quadrat erheben und nachträglich die Werte von β und k einsetzen, erhalten wir obigen Ausdruck (Gl. 35) für L. Fig. 11 gibt nun alle möglichen zusammengehörigen Werte von L und H0 an, wofür bei stets gleicher Schlußzeit T = 2 Sek. und gleicher Rohrgeschwindigkeit c1 = 2 m/Sek. der gleiche Endwert von h, nämlich hmax erreicht wird. An derselben Stelle, d.h. für den gleichen Wert von m, bei dem Kurve hmax in Fig. 8 ein Minimum hatte, tritt hier ein Maximum von L auf. Diese Kurve ist nicht in gewöhnlichen Koordinaten aufgetragen; die H0-Werte sind als Ordinate, die L-Werte als Radienvektoren aufgetragen. Hierdurch stellt uns die Verbindung eines beliebigen Kurvenpunktes mit dem Koordinatenanfangspunkt gleich beides, die richtige Länge und Lage des Zuleitungsrohres dar. Wenn nun auch diese verschiedenen \frac{L}{H_0}-Werte zum selben hmax führen, so ist doch der Verlauf der h-Kurven ein grundverschiedener, wie die nebenstehende aus Analogie zu früheren Kurven entworfene Skizze zeigt (s. Fig. 12). In derselben sind in H01, H02 usw. die verschiedenen Gefällhöhen berücksichtigt. ––––– Die bisherigen Entwicklungen, welche uns einen Einblick in das ganze Wesen der Erscheinungen gewähren, werden uns in demnächst erscheinender Abhandlung die Klarlegung der bei Seitenauslaß und Windkessel in Geltung tretenden Verhältnisse ermöglichen. Hierbei darf nicht vergessen werden, daß diese Untersuchungen sich nur auf die ideellen Verhältnisse beziehen, so daß der Einfluß der Elastizität völlig vernachlässigt ist. Ein richtiges Urteil über die Wirkung der Elastizität wird erst durch einen Vergleich der nach der Methode von Alliévi erzielten Ergebnisse mit denen von Pfarr möglich sein. Zu dem Zweck muß die Methode von Alliévi nach einer kurzen Angabe ihrer Ausgangspunkte und ihrer Gedankenfolge noch einer eingehenden Durchsprechung und Klarlegung unterzogen werden; sie bedarf auch noch der weiteren Entwicklung. (Fortsetzung folgt.)