Zur Theorie der Fliehkraftregler. Von Dr.-Ing. R. Löwy. (Schluß von S. 473 d. Bd.) Zur Theorie der Fliehkraftregler. II. Der Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers. Zur Berechnung des Ungleichförmigkeitsgrades des Reglers benutzen wir die im ersten Abschnitte abgeleiteten Gleichungen (3) und (4) p=q\,\sqrt[4]{\frac{s-\xi}{\xi\,F\,(\alpha)}} . . . . . . (3) \eta=\xi\,\left(1-\frac{Tg\,\alpha}{\alpha}\right)\,\sqrt{\frac{s-\xi}{\xi\,F\,(\alpha)}} . . . . . . . (4) Es zeigt sich nun, daß bei praktischen Beispielen das Argument a so kleine Werte annimmt, daß es gestattet ist, die hyperbolischen Funktionen in Reihen zu entwickeln. Dann ergibt sich für die Funktion \left(1-\frac{Tg\,\alpha}{\alpha}\right)=\frac{\alpha^2}{3}\,\left(1-\frac{2\,\alpha^2}{5}+\frac{17\,\alpha^4}{105}-\ .\ .\ .\ .\right) und für F\,(\alpha)=\frac{2\,\alpha^4}{15}\,\left(1-\frac{17\,\alpha^2}{21}+\ .\ .\ .\ .\right) Begnügt man sich mit den quadratischen Gliedern, so ergibt sich mit Rücksicht das α = qξ für obige Gleichungen p=\frac{1}{\xi}\,\sqrt[4]{\frac{15\,(s-\xi)}{\xi\,\left(1-\frac{17}{21}\,\alpha^2\right)}} . . . . (8) \eta=\left(1-\frac{2}{5}\,\alpha^2\right)\,\sqrt{\frac{5\,(s-\xi)\,\xi}{3\,\left(1-\frac{17}{21}\,\alpha^2\right)}} . . . . (9) Bevor an eine weitere Umformung geschritten werde, möge hier erwähnt werden, daß aus den letzten Gleichungen sehr einfach der Grenzfall q = α = 0 konstruiert werden kann. Für diesen Fall gehen dann die Gleichungen ohne weiteres in Gl. (3a) und (5a) über. Geht man nun von den Größen p, q zu P, Q über, so wird: P=\frac{E\,\Theta}{\xi^2}\,\sqrt{\frac{15\,(s-\xi)}{\xi\,\left(1-\frac{17}{21}\,\alpha^2\right)}} . . . . . (10) Textabbildung Bd. 324, S. 484 Fig. 4. Die Kraft 2P entspricht nun in unserem Falle der Fliehkraft einer rotierenden Schwungkugel, deren Masse m sei. Befindet sich die Einspannstelle der Blattfeder in dem Abstande ρ von der Achse, so ist die Entfernung des Mittelpunktes der Schwungkugel allgemein (2η + ρ) und die entsprechende Fliehkraft – bei einer Tourenzahl n –: 2\,P=m\,(\rho+2\,\eta)\,\left(\frac{n\pi}{30}\right)^2 und hieraus erhält man schließlich die Tourenzahl mit: n=\frac{30}{\pi}\,\sqrt{\frac{2\,P}{m\,(\rho+2\,\eta)}} . . . . . (11) Die Kraft Q entspringt der Belastung der Blattfeder mittels einer Spiralfeder und muß die Kraft Q naturgemäß linear mit der Längsfederung (s – ξ) zunehmen. Dabei ist die Anzahl der Blattfedern in Rechnung zu ziehen. Bei einem praktischen Beispiele kann nun am einfachsten in folgender Weise vorgegangen werden: Als gegeben ist anzusehen die Blattfeder in ihren Dimensionen, sowie die Schwungkugeln. Für eine beliebig gewählte Einlenkung ξ ergibt sich aus der Gl. (9) bei verschiedenen Argumenten a, d.h. bei verschiedenen Belastungen q die Auslenkung η. Mit den bezüglichen Werten kann dann aus den Gl. (10) u. (11) die jeweils entsprechende Tourenzahl bestimmt werden. Um den Einfluß der linear mit den Wegen (s – ξ) wachsenden Federkraft Q zu untersuchen, ist es vorteilhaft, die gewonnenen Werte n als Funktionen von (s – ξ) resp. ξ und Q darzustellen. Das nähere hierüber wird sofort eine praktische Berechnung ergeben. Die entsprechenden Dimensionen der Blattfeder des in Fig. 1 dargestellten Reglers sind eine Breite von 3,8 cm, eine gesamte Länge von 4s = 4 . 6,35 = 25,4 cm und möge die Dicke desselben 0,8 mm betragen. Das in Betracht kommende Trägheitsmoment beträgt daher \Theta=\frac{3,8}{12}\,0,08^3=0,000162 und mit E = 2,200000 wird EΘ = 356. Der Radius der gußeisernen Schwungkugel beträgt r = 3,15 cm, und ist die Masse derselben: m=\frac{4}{3}\,\pi\,r^3\,\frac{\gamma}{g} \cdot \psi=0,000927 wobei γ = 0.0073 kg/cm3, g = 981 cm/Sek.2 und ψ = 0.95, ein Faktor der der Gewichtsverringerung infolge der Aussparung für die Blattfedern Rechnung trägt. Die Einspannstelle der Blattfeder ist ρ = 4 cm von der Achse entfernt. Auf Grund dieser Angaben wurden die nun folgenden Zahlentafeln berechnet. Zunächst sind in Tafel I für verschiedene Einlenkungen ξ die Grenzfälle der Querfederung und zwar ηmin, η0 und ηmax eingetragen. Man sieht hieraus, daß die Unterschiede in der Querfederung bei konstantem ξ überhaupt sehr geringfügig sind. Die Tafel I enthält ferner für die Einlenkungen ξ = 5.7 – ... 6.3, die Querfederung η für die Argumente α = 0.1 – ... 0.5 und zeigt sich, daß mit wachsendem α, η zunimmt, was dadurch hervorgerufen ist, daß größeren Kräften Q – bei konstantem ξ – größere Kräfte P entsprechen. Zahlentafel II. zeigt die Abhängigkeit der Tourenzahl von α und ξ. In Fig. 4 ist nun in übersichtlicher Weise für den ganzen Bereich n als Funktion von ξ und Q dargestellt. Je einer Vertikalspalte der Tafeln I und II entsprechen in dieser Figur Punkte der ξ – Q – n Fläche, welche auf einem projizierenden Zylinder liegen, für welchen α = konstant. Nun ist \alpha=q\,\xi=\xi\,\sqrt{\frac{Q}{E\,\Theta}} oder ξ2Q = a2EΘ = konst. Somit sind die Spuren dieser Zylinderflächen (α = konst.) hyperbelähnliche Kurven. Einer bestimmten Spiralfederbelastung müssen nun jene Punkte der ξ – Q – n Fläche entsprechen, welche in einer projizierenden Ebene liegen, denn die Kraft Q muß linear mit den Strecken s – ξ zu- und mit Strecken ξ abnehmen. Für den in Betracht kommenden Regler sei der nützliche Hub ungefähr 1 cm lang und liege innerhalb des Bereiches ξ = 5,775 bis 6,025, denn dies entspricht einer Strecke 6,025 – 5,775 = 0,250 und nachdem sich alle Strecken vervierfachen 4 × 0,25 = 1 cm. Und nun den Ungleichförmigkeitsgrad dieses Fliehkraftreglers bei verschiedenen Spiralfederbelastungen Q zu bestimmen sind die Fig. 5 und 6 entworfen, welche dem Auf- und Grundrisse der Fig. 4 entsprechen, und das Bereich ξ = 6,025 bis 5,775 in einem vergrößerten Maßstabe darstellen. Man erkennt zunächst in den Figuren die verschiedenen Zahlentafel I. ξcm ηmin η 0 η ηmax α = 0 = 0.2 = 0.3 = 0.4 = 0.5 = ∞ 5.7 2.451 2.485 2.486 2.488 2.493 2.504 2.722 5.8 2.274 2.305 2.306 2.308 2.313 2.323 2.526 5.9 2.075 2.103 2.104 2.106 2.110 2.114 2.304 6.0 1.845 1.870 1.871 1.872 1.877 1.885 2.049 6.1 1.572 1.594 1.595 1.596 1.598 1.603 1.746 6.2 1.228 1.244 1.245 1.246 1.248 1.254 1.364 6.3 0.715 0.724 0.725 0.725 0.726 0.754 0.794 Zahlentafel II. ξcm Tourenzahl n α = 0.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.4 = 0.5 5.7 539.78 540.89 544.24 550.07 558.81 571.15 5.8 515.22 516.26 519.40 524.86 533.04 544.59 5.9 493.03 494.04 497.11 502.44 510.43 521.70 6.0 466.80 467.76 470.66 475.71 483.27 493.94 6.1 463.26 437.16 439.87 444.59 451.65 461.63 6.2 395.95 396.77 399.22 403.51 409.92 418.97 6.3 320.87 321.52 323.51 326.99 332.18 339.51 Kurven α = konst. Die Kurve α = o (im Aufrisse) stellt bereits die Zuordnung der Tourenzahlen zu den Hüben dar, wenn gar keine Spiralfederbelastung vorhanden ist. Hiefür ergibt sich nun aus der Figur für 1 cm Hub des Reglers der Ungleichförmigkeitsgrad aus folgender Berechnung. Die mittlere Tourenzahl bei ξ = 5,900 beträgt nn = 493,05 und die Grenztourenzahlen n0 = 526,0 und nu = 460,3, und daher \delta=\frac{n_0-n_u}{n_n}=13,4 % also ziemlich groß. Bringt man nun eine Feder an, die beispielsweise der Geraden g entspricht, so erhöht sich der Ungleichförmigkeitsgrad. Die bei dieser Feder auftretende Beziehungskurve zwischen n und ξ wird einfach gefunden, indem man die Schnittpunkte von g mit den Kurven α = konst. im Grundrisse ermittelt, und dann die entsprechenden Punkte im Aufrisse verbindet, und ergeben dieselben die Kurve h. Die Federstärke wurde so gewählt, daß die Normaltourenzahl des Reglers nn = 500 beträgt. Der sich nun einstellende Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers beträgt \delta=\frac{n_0-n_u}{n_n}=\frac{540,0-461,2}{500}=15,7 % Es zeigt sich somit tatsächlich, daß durch Anbringung einer belastenden Spiralfeder der Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers erhöht wird. Welchen Einfluß hat nun ein Nachspannen der Spiralfeder des Reglers auf dessen Ungleichförmigkeitsgrad? Wird z.B. die Spiralfeder um die Kraft G = 1 kg nachgespannt – siehe gerade g' – so steigt die Normaltourenzahl bei ξ = 5.900 auf 512, und der Ungleichförmigkeitsgrad wird: \delta=\frac{n_0-n_u}{n_n}=\frac{552,0-471,6}{512}=15,8 % Somit wird durch ein Nachspannen der Spiralfeder der Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers kaum merklich erhöht, dagegen die mittlere Tourenzahl desselben vergrössert. Will man daher bei gleicher Normaltourenzahl den Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers ändern, so muß auch das Federgesetz, d.h. die Federkraft pro cm-Länge geändert werden, was durch Veränderung der Windungszahl geschehen kann. Sollte der Regler astatisch mit der Tourenzahl 500 ausgeführt werden, so müßte eine Kraft angeordnet werden, die ungefähr das Gesetz der Kurve g'' befolgen müßte. Diese Kurve wurde durch Herabprojizieren der in der Horizontalen n = 500 liegenden Punkte (Gerade h'') in den Grundriss gewonnen. Eine derartige mit ξ zunehmende Kraft könnte annähernd durch ein Graßmannsches Gegengewicht erzeugt werden. Um auch die Uebereinstimmung der angeführten Größen mit der Ausführung zu zeigen, möge die Berechnung der Feder die der Geraden g entspricht vorgenommen werden. Diese Feder hat laut Abbildung eine Kraftzunahme von 1,2 kg pro cm Hub; daher ergibt sich für vier Blattfedern, wie sie der Ausführung der Lombard Governor Co. entsprechen, 4,8 kg/cm. Infolge der Uebersetzung bei Anbringung der Spiralfeder seitlich von der Reglerachse (Fig. 1) wird schließlich die Kraftzunahme pro cm Hub 4,8 \cdot \frac{a_1}{a_2}=4,8\,\frac{14,5}{7}=10\mbox{ kg/qcm} und entspricht dies tatsächlich der ausgeführten Spiralfeder mit den Dimensionen ρ1 = 2,1 cm, d1 = 0,40111 und 28 freien Gängen. Es möge ferner noch erwähnt werden, daß die Blattfeder bei praktischen Ausführungen der Lombard Governor Co. nicht aus einem Stücke besteht, sondern aus mehreren Lamellen hergestellt ist. In diesem Falle ist für die Berechnung bei sonst ganz gleichen Werten für das Trägheitsmoment der Lamellen-Blattfeder das n-fache einer einfachen Lamelle zu setzen. Würde man z.B. die dieser Berechnung zugrunde gelegte Blattfeder (0,8 mm) durch 6 Lamellen ersetzen, so rechnet sich die Stärke h einer Lamelle aus der Beziehung \Theta=6 \cdot b\,\frac{h^3}{12}=b \cdot \frac{0,83}{12} zu h = 0.43 mm. Die tatsächlichen Ausführungen der Lombard Governor Comp. weisen nun bei einer geringeren Normaltourenzahl von 480 p.M. sechs Lamellen-Blattfedern von 0,016'' = 0,4 mm auf. Textabbildung Bd. 324, S. 485 III. Muffendruck, Arbeitsvermögen, Unempfindlichkeitsgrad. Unter Muffendruck eines Reglers versteht man jene Kraft, die der ruhende Regler in einer bestimmten Muffenstellung auf eine Unterlage ausübt. Offenbar ist bei einem derartigen Regler, wie er hier untersucht wird, der Muffendruck – bei Absehung der Kraft der Spiralfeder – nichts anderes als jene Kraft Q', welche nötig ist um den Blattfedern eine gewisse Einlenkung ξ zu erteilen und daher ergibt sich für den Muffendruck pro Blattfeder die Gleichung: Q'=\frac{\pi^2\,E\,\Theta}{4\,\xi^2} Ist eine Spiralfeder vorhanden deren Kraft F an der Muffe (pro Blattfeder) linear mit der Strecke (s – ξ) wächst, so erhält man daher allgemein für den Muffendruck E des in Betracht kommenden Reglers: E = 4(Q' + F) In Fig. 7 sind nun beide Anteile des Muffendruckes für das Rechnungsbeispiel dargestellt. Die Kraft 4F kann wohl ohne weiteres gegen 4Q vernachlässigt werden und es ergibt sich für E ≌ 4Q' = 100 kg. Es wäre bei der Berechnung des Muffendruckes noch ein Umstand zu berücksichtigen der eine Verkleinerung desselben verursacht. Bei einer Einlenkung um die Größe ξ, senkt sich der Schwerpunkt der Blattfedern und der Schwungkugeln um den Betrag 2(s – ξ) und die Muffe M2 um 4(s – ξ). Die bezüglich in Rechnung zu stellenden Gewichte dieser Teile, insbesonders das Gewicht der Schwungkugeln, ist daher von E abzuziehen um den tatsächlichen Muffendruck zu erhalten; doch sind diese Beiträge gegenüber E so geringfügig daß dieselben bei praktischen Berechnungen vernachlässigt werden können. Textabbildung Bd. 324, S. 486 Fig. 7. Das Arbeitsvermögen des Reglers ergibt sich mit Rücksicht auf das in dem Abschnitte Deformationsarbeit bemerkte zu: A_1=\int_0^{\xi}\,E\,d\,4\,(s-\xi)=4\,\int_{\xi}^s\,E\,d\,\xi nachdem, wie schon bemerkt sich die Wege (s – ξ) vervierfachen. Das Arbeitsvermögen setzt sich somit aus zwei Anteilen: A_1=4\,\int_{\xi}^s\,E\,d\,\xi=16\,\int_{\xi}^s\,Q'\,d\,\xi+16\,\int_{\xi}^s\,F\,d\,\xi . . . . (12) zusammen, welche einerseits der Blattfeder, anderseits der Spiralfeder entsprechen. Dabei sind die geringen Arbeiten, die der Lenkung der Federn, der Kugeln und der Muffe M2 entsprachen außer acht geblieben. Für das Beispiel erhält man mit der zulässigen Vernachlässigung der Spiralfeder und der obenerwähnten Gewichte – ein Arbeitsvermögen von ungefähr 100 kg × 1 cm = 100 kgcm = 1 kgm. Ueberdies ist das Arbeitsvermögen des Reglers als Funktion von ξ in Fig. 7 auf Grund der Gl. (7) und (12) graphisch eingetragen. In derselben Abbildung ist auch die Beziehungskurve der Tourenzahlen zu ξ bei α = 0 ersichtlich. Nun wäre noch der Unempfindlichkeitsgrad des Reglers zu untersuchen. Einer einfachen analytischen Berechnung sind nur die Zapfenreibungsmomente, die durch die Zusatzfeder hervorgerufen werden zugänglich. Zieht man daher bei Berechnung des Unempfindlichkeitsgrades nur diesen Einfluß in Rücksicht, so müßte ein derartiger Fliehkraftregler ohne Zusatzfeder theoretisch einen Unempfindlichkeitsgrad Null haben. Ist aber eine gewisse Kraft 4F an der Muffe vorhanden, so muß bei der entsprechenden Kraftverteilung eine gewisse Zusatzspannung Δ(4F) aufgewendet werden um den Regler überhaupt aus dieser Muffenlage zu bringen, und dann ist \varepsilon_r=\frac{4\,\triangle\,F}{E} Nun ergibt sich aber, wenn ρ2 = 0,35 cm die Zapfenradien und μ = 0,1 der Reibungskoeffizient sind: \triangle\,F=2\,F\,\mu\,\rho_2\,\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)=O'\,015\,F und daher: \varepsilon_r=4 \cdot O'\,015\,\frac{F}{E}=O'\,06\,\frac{F}{E} Die Federspannung F nimmt nun mit abnehmenden ξ zu, und es wird der Unempfindlichkeitsgrad des Reglers mit zunehmender Tourenzahl größer werden, und empfiehlt es sich daher bei hochempfindlichen Reglern, wie sie bei indirekter Regelung nötig sind, die Zusatzspannungen F der Spiralfeder klein zu halten. Für das in Betracht kommende Beispiel ergibt sich bei der Normaltourenzahl 500 eine Kraft F = 0,66 kg (siehe Fig. 7) was an der Muffe einer Spannung 4 × 0,66 = 2,84 kg entspricht, und somit wird für diese Stellung der Unempfindlichkeitsgrad des Reglers \varepsilon_r=O'\,015 \cdot \frac{4\,F}{E}=O'\,015\,\frac{2'84}{100}=O'\,04 % also sehr klein. Einer nützlichen Verstellkraft von 0,5 kg würde dagegen bereits ein Unempfindlichkeitsgrad von \varepsilon_v=\frac{O'\,5}{100}=O'\,5 % entsprechen, und es wird sich daher empfehlen, um den von Natur aus sehr geringen Unempfindlichkeitsgrad dieses Reglers auszunützen, die Verstellkraft sehr klein zu halten. Dies kann bei indirekter Regulierung erreicht werden durch Anordnung sehr kleiner Vorsteuerstifte. Tatsächlich wendet die Lombard Governer Co. bei ihren hydraulischen Regulatoren drei Vorsteuerungen an, so daß die erste Vorsteuerung sehr kleine Dimensionen aufweisen kann. Die besprochenen Eigenschaften dieses Reglers betrafen lediglich seine statischen Beziehungen. Eine Untersuchung der dynamischen Verhältnisse ergibt sehr günstige Ergebnisse. So wird beispielsweise der reduzierte Muffenhub für diesen Regler sehr klein. Des weiteren können sich die bei einer Tourenänderung auftretenden schädlichen Beschleunigskräfte nicht bemerkbar machen, es entfällt die Keilreibung und die Wirkung der Coriolisschen Beschleunigung. Es zeigt sich somit aus diesen Darlegungen, daß ein derartiger Fliehkraftregler, wie er in Fig. 1 dargestellt ist, bei einem Muffendrucke von etwa 100 kg einen ziemlich großen Ungleichförmigkeitsgrad (14%) und einen sehr geringen Unempfindlichkeitsgrad aufweist und sich aus diesen Gründen vorzüglich zur indirekten Regelung verwenden läßt. Natürlich bedingt die Verwendung dieses Reglers die Anordnung von Mechanismen, welche den großen Ungleichförmigkeitsgrad des Reglers nur für den Reguliervorgang auszunutzen gestatten und für den Dauerlauf des Motors einen kleinen Ungleichförmigkeitsgrad herstellen.