Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Von Dipl.-Ing. A. Utard, Straßburg i.E. (Fortsetzung von S. 476 d. Bd.) Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit usw. b. Gestaltung der Druckverhältnisse infolge des Rücköffnens, Rückschließens und des Pendelns des Regulators. (Resonanz der Schwingungen.) Bei sehr vielen Turbinenanlagen hat sich bei ihrem Inbetriebsetzen ein völlig- fehlerhaftes Arbeiten des Regulators ergeben, indem derselbe lang anhaltende, ja sogar dauernde Schwingungen ausführte. Die Entstehungsgründe dieses Pendelns sollen hier nicht näher betrachtet werden, wohl aber die Veränderungen der Druckverhältnisse, die infolge dieser als Tatsache hingenommenen abwechselnden Oeffnungs- und Schließvorgänge hervorgerufen werden. Es braucht wohl kaum besonders hervorgehoben zu werden, daß die Methode von Pfarr uns nicht die Feststellung der durch das Pendeln bedingten Modifikationen gestattet; denn infolge der Annahme, wonach die zufließende Wassersäule als starres Körpersystem aufzufassen ist, kann von Schwingungen und Resonanz keine Rede sein. Rateau sucht, wie schon früher betont, die Elastizität insofern zu berücksichtigen, als er deren Wirkung durch einen kleinen Windkessel ersetzt denkt, der am Ende der ebenfalls unzusammendrückbaren Wassersäule angebracht gedacht ist. Doch ist diese Lizenz, die er sich genommen hat, nicht ganz unbedenklich, da die Verhältnisse hierdurch etwas verschoben und verschleiert werden. – Auf S. 255 stellt Rateau fest, daß Resonanz um so eher zu befürchten sei, je länger die Rohrleitungen. Die Erklärung, wodurch er dieses beweisen will, dürfte jedoch nicht ganz befriedigend sein. Es ließe sich allerdings nach der Methode von Alliévi als Begründung für diese Behauptung anführen, daß bei großer Rohrlänge L die Dauer der einzelnen Druckperioden \frac{2\,L}{i} auch länger wird, daß infolgedessen die Druckrückwirkung ϕ nicht so rasch auftreten und ihren druckmildernden Einfluß geltend machen kann. Es treten auch weniger Druckphasen (von der Länge \frac{2\,L}{i}) während des ganzen Verstellvorganges auf. Doch läuft dieser Umstand darauf hinaus, daß bei wachsendem Werte von m die Trägheitserscheinungen an und für sich schon beim einfachen Verstellvorgang ungünstigere Druckschwankungen bewirken (vgl. Gl. (76)). Der Wert von z1max nähert sich immer mehr der Zahl 2. Nun übertrifft die überhaupt mögliche durch Resonanz hervorgerufene Druckschwankung nur unwesentlich die Höhe 2H0, wie wir noch in diesem Kapitel sehen werden. Somit kann bei großem m\,\equiv\,\frac{c_1\,L}{g\,H_0\,T} also im speziellen bei großem L die Resonanz verhältnismäßig weniger Einfluß ausüben als bei kleinen Werten derselben. In einem Aufsatz, der in der Zeitschrift: „La houille blanche“ veröffentlicht wurde, hat Graf de SparreLa houille blanche: Sur les effets de résonance dans les coups de bélier pour le cas de hautes chutes. Sept. & Déc. 1907. auf Grund der Methode von Alliévi den Einfluß der Resonanz untersucht. Der Fall, den er berücksichtigt, kann in der Praxis niemals vorkommen, wie de Sparre gleich anfangs selbst betont; er ist aber insofern von mehr als theoretischem Interesse, als hierdurch nachgewiesen wird, daß ein ständiges auch noch so ungünstiges Pendeln die Druckschwankungen nur bis zu einer gewissen Höhe bringen kann. De Sparre denkt sich die Turbine abwechselnd momentan ganz geöffnet und dann wieder momentan ganz geschlossen und zwar je mit einem Intervalle von \frac{2\,L}{i} Sek. Sobald nun H_0\,>\,\frac{i\,c_1}{g} gelangt er zu einem Ueberdruck, der höchstens \frac{9}{8}\,H_0 betragen kann, also: z_{\mbox{max}}\,\left(=\frac{H_{\mbox{max}}}{H_0}\right)\,\leq\,\frac{17}{8} . . . . . . (84) Auch dann, wenn man die Anfangsbeaufschlagungsgröße bloß um \frac{1}{x} ihres Betrages plötzlich verkleinert und nachher wieder vergrößert usw., steigt der Ueberdruck bis zur Größe \frac{H_0}{x}, wie in der Fortsetzung jenes Aufsatzes (Dezember 1907) nachgewiesen ist. Während nun der 1. Fall (wofür x = 1) für die Praxis von vornherein nicht in Betracht kommt, gibt auch der allgemeine Fall einer plötzlichen, teilweisen und zwar periodisch wiederkehrenden Verkleinerung der Auslaßöffnung um \frac{1}{x} ihres Betrages keinen Anhaltspunkt zur Ermittlung der Druckhöhe, die der Berechnung der Rohrwandungen zugrunde gelegt werden soll. Es kann nämlich \frac{1}{x} den Wert eines jeden beliebigen echten Bruches von 1 bis 0 annehmen und somit sagt obige Formel nichts aus über den ungünstigsten Fall, der in der Praxis vorkommen kann. Erst sobald die maximale Schnelligkeit und das Maß des Anwachsens des Druckes bei Pendelungen festgesetzt ist, hat man eine Handhabe, um den wirklichen Einfluß der Resonanz zu taxieren. Da nun aus Gl. (76) und der vorausgegangenen Betrachtung sich gezeigt hat, daß bei a resp. b=\frac{2\,L}{i\,T} (vergl. Gl. (75)) die denkbar ungünstigsten Schwankungen auftreten, können wir nunmehr auch die Wirkung von fortgesetzten Schwingungen, d.h. abwechselndem Oeffnen und Schließen betrachten. Wir lassen die Regulierung unausgesetzt zwischen der Beaufschlagung p=\frac{2\,L}{i\,T} und p = 0 pendeln und können dann schrittweise den Einfluß einer einfachen, zweifachen usw. ungünstigsten Regulatorschwingung feststellen. Diese Schwingungen sind nun aus zwei Gründen die ungünstigsten: Erstens, weil die Anfangs- und Endbeaufschlagung um das Stück \frac{2\,L}{i\,T} voneinander entfernt sind, so daß die einer jeden Schwingungsperiode des Regulators entsprechende Zeit =\frac{2\,L}{i} beträgt. Es macht sich daher die Druckrückwirkung des Schließens, welche die Tendenz hat, den Druck zu erniedrigen, ausschließlich während der Oeffnungsperiode bemerkbar. Somit werden sich die beiden Einflüsse von Φ und ϕ summieren, statt sich voneinander abzuziehen und geben also größeren Unterdruck; ganz ebenso addieren sich beim Schließen die druckerhöhende Wirkung des Schließens selbst und die Rückwirkung des vorauf erfolgten Oeffnens. Hierdurch wäre somit die Vorbedingung zum Entstehen von Resonanz gegeben, insofern jeglicher neu hinzukommende Impuls stets im Sinne einer Verstärkung der Schwingungen wirkt. Zweitens ist diese Schwingung als die ungünstigste zu erachten, weil sie gerade von der Teilbeaufschlagung a=\frac{2\,L}{i\,T} ausgeht und somit bis zu b = 0 reicht; wäre a größer, so ist nach Fig. 13 der Enddruck nach einer Druckperiode kleiner; ebenso wenn a kleiner ist als der oben angegebene Wert, weil das Schließen resp. Oeffnen vor Ende der Schwingungszeit \frac{2\,L}{i} beendet ist und der Ueber- resp. Unterdruck dem kleineren ca = a . c1 entsprechend kleiner ausfällt. Betrachten wir zunächst die einmalige Schwingung: Nach einer Oeffnungsperiode, die vor a = 0 bis b=\frac{2\,L}{i\,T} geht, folgt wieder völliger Schluß. Sobald dieses Rückschließen ganz durchgeführt ist, wird b = 0 und es vereinfacht sich Gl. (56) auf den Ausdruck: H=\frakfamily{H}-2\,\varphi (vergl. Gl. (61)) Setze hierin \frakfamily{H} nach Gl. (49) ein unter Berücksichtigung dessen, daß hier ca = a . c1 = 0, also? Hmax= H0 – 2ϕ . . . . . . . . . . (85) Es ist aber ϕ gleich dem Werte vor Φ vor einer Druckphase =\frac{2\,L}{i} Sek., also: ϕ = Hmin– H0= s . H0– H0 . . . . . . . . . . (86) Der Wert s aus Gl. (68a) errechnet, ergibt: \frac{H_{\mbox{min}}}{H_0}=s-1+2\,m^2-\sqrt{4\,m^4+4\,m^2} . . (87) Durch Einsetzen dieser Werte in Gl. (85) erhalten wir: H_{2\,\mbox{max}}=H_0-4\,m^2\,H_0+4\,m\,H_0\,\sqrt{m^2+1} . . (88) oder: \frac{H_{2\,\mbox{max}}}{H_0}=z_{2\,\mbox{max}}=1-4\,m^2+4\,m\,\sqrt{m^2+1} (88a) Dieser Ausdruck hat kein Minimum, nimmt also mit m ständig zu. Von welchem Werte von m ab ergibt dieser Ausdruck größere Werte als Gl. (76a)? Es muß dann sein: 1+2\,m\,<\,1-4\,m^2+4\,m\,\sqrt{m^2+1} oder: 2\,m+1\,<\,2 \cdot \sqrt{m^2+1} Somit durch Quadrieren: m\,<\,\sqrt{\frac{3}{4}} . . . . . . . . . . (89) Also sobald m kleiner ist als \frac{3}{4}, kann durch ungünstiges Kombinieren von Oeffnungs- und Schließvorgang eine größere Druckhöhe eintreten als die Berechnung des ungünstigsten Schließvorganges allein ergibt. Den Betrag hierfür erhält man aus Gl. (88). Noch eine andere Untersuchung ist hier angebracht: Wir sahen, daß wir durch Schließen von a=\frac{2\,L}{i\,T} auf b = 0 nachträgliche Schwingungen der H-Kurve erhalten, die sogar unter den atmosphärischen Druck heruntergehen können: sobald nämlich m > 0,5 (s. Gl. (81)). Es wirft sich nun die Frage auf, ob es nicht auch evtl. ungünstigere Verhältnisse nach sich ziehen kann, wenn auf dieses Schließen ein sofortiges Rücköffnen auf dieselbe Schaufelstellung, von der ausgegangen war, nämlich p=\frac{2\,L}{i\,T} erfolgt. Zu diesem Zwecke untersuchen wir die Bedingungen, die H für das Ende des Rücköffnens zu Null werden lassen. In Gl. (56) fallen für H = 0 die Glieder mit H weg, somit schreibt sie sich nun zu: \frakfamily{H}-2\,\varphi=0 . . . . . . . . . . (90) Nun ist ϕ für das Ende des Rücköffnens gleich dem Ueberdruck (also Φ) am Ende des Schließvorganges. Also: -\,\varphi=\frakfamily{H}\,H_0 . . . . . . . . . . (91) Setze diesen Wert in Gl. (90) ein: 2\,H_0-\frakfamily{H}=0 . . . . . . . . . . (92) Hierin nach Gl. (76) \frakfamily{H}=H_0\,[1+2\,m] gesetzt, ergibt: m\,\left(\equiv\,\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}\right)=0,5 also sonderbarerweise dieselbe Bedingung wie Gl. (81). Wir müssen noch einen Schritt weiter gehen und den ungünstigsten Wert von H nach einer zweiten Aenderung der Verstellrichtung ermitteln. Also zuerst Schließen auf Null während der Zeit a . T, dann Rücköffnen auf a mit wieder darauf folgendem völligem Schließen; hierbei ist selbstverständlich wieder a=\frac{2\,L}{i\,T} (vergl. Fig. 17). Textabbildung Bd. 324, S. 488 Fig. 17. Da nach Gl. (61) bei Punkt 3 der Wert von H=\frakfamily{H}-2\,\varphi_3 beträgt, ist zuerst ϕ3 zu berechnen. Hierzu braucht man wieder vorerst den Wert von ϕ2. Bei Punkt 2 ist der Wert von ϕ2 gleich dem Wert von Φ1 vom Punkt 1, also: \Phi_1=\varphi_2=\frakfamily{H}-H_0 Nun hat aber \frakfamily{H} für obiges a den aus Gl. (76a) sich ergebenden Wert, also ist: ϕ2 = 2mH0 . . . . . . . . . . (93) Dieses in Gl. (57) eingesetzt, et gibt den Wert von H2, sobald wir noch berücksichtigen, daß für Punkt 2 der Wert von b gleich ist: \frac{2\,L}{i\,T}, es ist dann nach Gl. (57): H_2=\frakfamily{H}-4\,m\,H_0+2\,m^2\,H_0-\sqrt{(\frakfamily{H}-4\,m\,H_0+2\,m^2\,H_0)^2-(H-4\,m\,H_0)^2} Setze den Wert \frakfamily{H}=H_0+2\,mH_0 ein H_1=H_0-2\,m\,H_0+2\,m^2\,H_0-\sqrt{4\,m^4\,H_0^2+4\,m^2\,H_0^2-8\,m^3\,H_0^2} Somit ist: H_2=H_0-2\,m\,H_0+2\,m^2\,H_0-2\,m\,H_0\,\sqrt{1-2\,m+m^2} . . (94) Diese Gleichungen (94) und (93) gestatten uns nun die Berechnung von Φ2 = 93 mittels Gl. (50), nämlich: Φ = H – H0 + ϕ also: \Phi_2=\varphi_3=2\,m^2\,H_0-2\,m\,H_0 \cdot \sqrt{1-2\,m+m^2}=4\,m^2\,H_0-2\,m\,H_0 Somit ist nach obigem (Gl. (61)): H_3\,\mbox{max}=\frakfamily{H}-2\,\varphi_3=H_0+6\,mH_0-8\,m_2\,H_0 . . . . . . . . . . (95) oder: z3 max = 1 + 6m – 8m2 . . . . . . . . . . (95a) Es fragt sich nun, ob und wann z3max größere Werte ergibt als z1max aus Gl. (76a) und als z2max aus Gl. (88a). Im ersten Falle ist: 1 + 2m < 1 + 6m – 8m2 also: m\,\left(\equiv\,\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}\right) . . . . . . . . . . (96) Damit z3max größer als z2max werde, muß sein: 1+4\,m^2+4\,m\,\sqrt{m^2+1}\,<\,1+6\,m-8\,m^2 oder 2\,\sqrt{m^2+1}\,<\,3+2\,m Durch Quadrieren erhält man als Bedingung: m\,\left(\equiv\,\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}\right)\,<\,\frac{10}{24} (also m ∾ 0,4) . . . . . . . . . . . (97) Dieses gestattet uns bereits ein Urteil über den Einfluß der Regulatorschwingungen auf die Höhe der Druckschwankung. Bei sehr großem Werte von m haben Regulatorschwingungen überhaupt keine druckerhöhende Wirkung (s. Fig. 18); es muß somit das einfache Schließen von a=\frac{2\,L}{i\,T} bis auf o den denkbar größten Ueberdruck (nach Gl. (76)) ergeben. Von m\,\leq\,\frac{3}{4} ab (siehe Gl. (89)) kann im ungünstigsten Falle eine zweifache Schwingung bereits größere Druckerhöhung ergeben, vermöge Gl. (88). Eine dreifache Schwingung kann erst dann Bedeutung erlangen, wenn m mindestens gleich oder kleiner als 0,5; denn bei m = 0,5 fallen die Weite von Gl. (76) und Gl. (95) zusammen. Nur wenn m\,\leq\,\frac{10}{24} braucht Gl. (95) beachtet zu werden, da sie erst von da ab die Werte von Gl. (88) übertrifft. Man kann nun selbstredend auch eine vierfache, fünffache usw. Aufeinanderfolge dieser ungünstigsten Schließ- und Oeffnungsperioden betrachten. Analog dem Vorhergehenden wird sich zeigen, daß, je zahlreicher die Anzahl der Pendelbewegungen ist, um so kleiner auch der Wert von m, bei dem bereits dieses Pendeln, d.h. das abwechselnde Oeffnen und Schließen einen nachteiligen Einfluß ausüben kann. Selbst eine unendliche Anzahl von Richtungswechsel des Verstellvorganges vermag nur in ganz bestimmtem und beschränktem Maße ihren Einfluß geltend zu machen. Diese max.-Resonanz ist wie schon oben angeführt, vom Comte de Sparre berechnet worden. Er stellt fest, daß für jeglichen Wert von m der Druck 2H0 beim Schließen, und beim Oeffnen der Druck = 0 erreicht werden kann; nur aber nach mehr oder weniger zahlreichen Pendelungen. Als ein Maß hierfür hat er die Formel abgeleitet: k=\frac{g \cdot H_0}{ic_a}-\xi oder \frac{g \cdot H_0}{ic_a}=k+\xi . (98) worin h die Anzahl der Doppelschwingungen bedeutet, die zum Auftreten des Druckes 2H0 nötig sind. Also k ist eine ganze Zahl, dagegen ist ξ ein echter Bruch, somit der hinter dem Komma stehende Teil des Wertes von \frac{g \cdot H_0}{ic_a}. Ferner ist (nach seiner Formel No. 18) der Ueberdruck nach (2k + 1) Schwingungen bestimmt durch den Ausdruck: H_{2k+1}=H_0+\frac{ic_a}{g}\,\left[2\,k+1-k\,(k+1)\,\frac{ic_a}{g \cdot H_0}\right] . (99) Hierbei ist das Pendeln der Turbinenfüllungen als zwischen den Grenzen p' = 1 und p'' = 0 erfolgend gedacht, also zwischen ganz „Auf“ und ganz „Zu.“ Es wird aber dabei der effektiv vorhandenen Schließ- und Oeffnungszeit T nicht Rechnung getragen, da die Verstellung als jeweils momentan erfolgend angenommen ist. Wenn wir nun berücksichtigen, daß das Oeffnen und Schließen an die Verstellzeit T gebunden ist und daß hierbei, wie im obigen ermittelt, der ungünstigste Fall eintritt, sobald die Schwankungsgrenzen bestimmt sind durch: p'=\frac{2\,L}{i\,T} und p'' = 0. so erhalten wir durch Einsetzen von ca = p' . c1 in Gl. (98): k=\frac{g \cdot H_0}{ic_1} \cdot \frac{i\,T}{2\,L}-\xi=\frac{1}{2\,m}-\xi . . (100) Hierin ist k die geringste Anzahl der Pendelbewegungen des Reglers, nach denen im allerungünstigsten Falle der Druck 2H0 erreicht wird. Durch Einsetzen von ca = p' . c1 in Gl. (99) ergibt sich: H(2k + 1) = H0 + 2mH0[2k + 1 – k(k + 1)2m] . . . . . . . . . . (101) Diese Gleichung zeigt uns, wie nach einmaliger, dreimaliger, fünfmaliger usw. ungünstigsten Schwingung der Druck bei beliebigem Werte von m sich verhält. Wenn wir nun setzen: z_{2k+1}=\frac{H_{2k+1}}{H_0} so kann man Gl. (101) auch schreiben: z(2k + 1) = 1 + 2m[2k + 1 – k(k + 1)2m) . . . . . . . . . . (101a) Hieraus läßt sich selbstredend wieder rückwärts Gl. (76a) und (95a) ableiten, nämlich wenn man setzt k = 0, resp. k = 1. Durch Einsetzen von k = 2 können wir den Wert, den eine fünffache Schwingung bedingt, ermitteln. Er ist ausgedrückt durch die Gleichung: z5 max = 1 + 10m – 24m2 . . . . . . . . . . (102a) Die Gleichung (88a) kann aus dieser allgemeinen Gleichung (101) nicht abgeleitet werden, weil letztere bloß den Fall berücksichtigt, der mit einem Schließvorgang als erster Verstellrichtung beginnt, während Gl. (88a) das Oeffnen als anfänglichen Verstellsinn hat. Dieser zweite Fall läßt sich ableiten wie folgt und zwar in ähnlichem Gedankengang, wie derjenige zur Ableitung von Gl. (99) nach de Sparre. Betrachten wir sofort den allgemeinen Fall einer beliebig großen Anzahl von Schwingungen: Nach 2k Schwingungen, d.h. nach k Doppelschwingungen der Regulierung, also auch der Turbinenfüllung, geht jeweils der Schließvorgang in den Oeffnungsvorgang über; also wird meist gerade in diesem Zeitpunkte die größte Druckerhöhung eintreten und zwar regelmäßig dann, wenn die Zeit jeder einzelnen Schwingungsphase nämlich \frac{k}{2} gleich ist: t_{\left(\frac{k}{2}\right)}=\frac{2\,L}{i} . . . . . . . . . . (103) Es mögen Φ2k und ϕ2k die Werte von Φ und ϕ für die Schwingungsphase 2k bezeichnen. Dann ist ϕ2k = Φ2k –1 d.h. gleich der direkten Druckwelle von der vorhergehenden Periode. Die Fließgeschwindigkeit läßt sich für jeglichen Zeitpunkt ausdrücken durch: c=c_a-\frac{g}{i}\,(\Phi+\varphi) siehe Gl. (51). Nun ist aber ca = 0, da die erste Verstellung von a = 0 ausgeht. Ein zweiter Ausdruck für c läßt sich dadurch ermitteln, daß wir für eine konstante Teilöffnung p den Einfluß der Druckschwankung auf c berücksichtigen. Bezeichnen wir nämlich mit cp = p . c1 die normale Rohrgeschwindigkeit bei der Beaufschlagung p, dann ist (vergl. Gl. (7)): c_p=v_0\,\frac{f}{F}=\sqrt{2\,g\,H_0} \cdot \frac{f}{F} und für H verschieden von H0: c=\sqrt{2\,g \cdot H}\,\frac{f}{F} somit: \frac{c}{c_p}=\sqrt{\frac{H}{H_0}} . . . . . . . . . . (104) Wir können unter Berücksichtigung von ca = 0 und von Gl. (104) die Gl. (51) schreiben: c \cdot \frac{i}{g}=\frac{i}{g} \cdot c_p\,\sqrt{\frac{H}{H_0}}=-(\Phi+\varphi) . . (105) Für den Oeffnungsvorgang (2k – 1) gehen somit die allgemeinen Gleichungen (50) und (51) über in: H(2k – 1) = H0 + Φ2k – 1 – Φ2k – 2 . . . . . . . . . . (106) und c_{2k-1} \cdot \frac{i}{g}=c_p\,\frac{i}{g}\,\sqrt{\frac{H_{2k-1}}{H_0}}=-(\Phi_{2k-1}+\Phi_{2k-2}) (107) Indem man den Wert von Φ(2k – 2) aus Gl. (107) in Gl. (106) einsetzt, erhält man: H_{2k-1}=H_0+c_{2k-1} \cdot \frac{i}{g}+2\,\Phi_{2k-1} . (108) Für das Ende der nächsten Periode, nämlich der Schließperiode, lauten die allgemeinen Gleichungen: H2k= H0+ Φ2k– Φ2k – 1 . . . . . . . . . (109) c_{2k} \cdot \frac{i}{g}=0=-(\Phi_{2k}+\Phi_{2k-1}) . . . . . . . . . . (110) somit: – Φ2k – 1 = Φ2k . . . . . . . . . . (110a) Durch Addieren der Gleichungen (109) und (110a) erhalten wir: H2k = H0 + 2Φ2k . . . . . . . . . . (111) Um H2k zu erhalten, müssen wir somit erst den Wert von Φ2k ermitteln. In Rücksicht auf Gl. (110a) läßt sich Gl. (107) schreiben: \Phi_{2k}-\Phi_{2k-2}=c_p \cdot \frac{i}{g}\,\sqrt{\frac{H_{2k-1}}{H_0}} . . (112) Setze hierin den Wert von H2k – 1 aus Gl. (106) ein: \Phi_{2k}-\Phi_{2k-2}=c_p\,\frac{i}{g}\,\sqrt{\frac{H_0+\Plhi_{2k-1}-\Phi_{2k-2}}{H_0}}=c_p,\frac{i}{g}\,\sqrt{\frac{H_0-\Phi_{2k}-\Phi_{2k-2}}{H_0}} (113) Erhebe diese Gleichung ins Quadrat und erhalte: \Phi^2_{2k}-\Phi_{2k}\,\left(2\,\Phi_{2k-2}-\frac{i^2\,c_p^2}{g^2\,H_0}\right)+\Phi^2_{2k-2}+\Phi_{2k-2}\,\frac{i^2\,c_p^2}{g^2 \cdot H_0}-\frac{i^2\,c_p^2}{g^2}=0 (114) Diese Quadratgleichung ergibt: \Phi_{2k}=\Phi_{2k-2}-\frac{i^2\,c^2_p}{2\,g^2\,H_0}+\frac{i\,c_p}{g}\,\sqrt{\frac{i^2\,c^2_p}{4\,g^2\,H_0^2}-\frac{2\,\Phi_{2k-2}}{H_0}+1} (115) Wir können diese Gleichung vereinfachen, wenn wir für cp = p . c1 den speziellen Wert von p einsetzen, welcher einer Verstelldauer t=\frac{2\,L}{i} bei einer Gesamtschlußzeit T entspricht. Es ist dann zu setzen: p=\frac{2\,L}{i\,T}; somit lautet Gl. (115), wenn wir zugleich noch berücksichtigen, daß m\,\equiv\,\frac{L\,c_1}{g \cdot H_0\,T} \Phi_{2k}=\Phi_{2k-2}-2\,m^2\,H_0+2\,m\,H_0\,\sqrt{m^2+1-\frac{2\,\Phi_{2k-2}}{H_0}} (116) Wir setzen nun in Gl. (116) nacheinander verschiedene Werte von h ein (nur ganze Zahlen). 1. k = 1 \Phi_2=2\,m\,H_0\,\sqrt{m^2+1}-2\,m^2\,H_0=2\,m\,H_0\,(\sqrt{m^2+1}-m) (117) 2. k = 2 \Phi_4=2\,m\,H_0\,[\sqrt{m^2+1}-m]-2\,m^2\,H_0+2\,m\,H_0\,\sqrt{m^2+1-4\,m\,\sqrt{m^2+1}+4\,m^2} Nun ist die letzte Wurzel gleich: [\sqrt{m^2+1}-2\,m] somit: \Phi_4=4\,m\,H_0\,[\sqrt{m^2+1}-2\,m] . . . . (118) 3. k = 3 \Phi_6=2\,m\,H_0\,[2\,\sqrt{m^2+1}-4\,m-m+\sqrt{m^2+1-8\,m\,\sqrt{m^2+1}+16\,m^2}] Die letzte Wurzel ist gleich: [4\,m-\sqrt{m^2+1}] somit: \Phi_6=2\,m\,H_0\,[\sqrt{m^2+1}-m]=\Phi_2 Also nach je zwei Doppelschwingungen ergeben sich stets dieselben Werte von Φ und somit auch von H. Die Druckgrößen H ergeben sich aus Gl. (111) und zwar: H_{2\,\mbox{max}}=H_{6\,\mbox{max}}=H_{10\,\mbox{max}}=H_0+4\,m\,H_0\,[\sqrt{m^2+1}-m] (88) oder: z_{2\,\mbox{max}}=z_{6\,\mbox{max}}=z_{10\,\mbox{max}}=1+4\,m\,[\sqrt{m^2+1}-m] (88a) also selbstverständlich das gleiche Resultat wie früher schon in Gl. (88). Ferner ist: H_{4\,\mbox{max}}=H_{8\,\mbox{max}}=H_0+8\,m\,H_0\,[\sqrt{m^2+1}-2\,m] (119) oder: z_{4\,\mbox{max}}=z_{8\,\mbox{max}}=1+8\,m\,[\sqrt{m^2+1}-2\,m] . (119a) Hiernach ergeben sich Endresultate, die noch etwas ungünstiger sind als in der Gl. (101a). Speziell z2max weist in den Grenzen von m=\frac{10}{24} und m=\frac{3}{4} eine merkliche Erhöhung der Ueberdrücke auf. Die Höhe von 2H0 wird ganz wesentlich überschritten, so daß Gl. (88a) keineswegs unberücksichtigt bleiben darf. Fig. 18 soll uns nun ein Bild der durch mehrfache Aneinanderreihung von Oeffnungs- und Schließvorgängen möglichen Modifikationen der Druckverhältnisse geben. Hierbei sind die Werte von m=\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T} als Abszissen aufgetragen und die zugehörigen Verhältniszahlen z_{1\,\mbox{max}}=\frac{H_{1\,\mbox{max}}}{H_0}; z_{2\,\mbox{max}}=\frac{H_{2\,\mbox{max}}}{H_0} usw. der ungünstigsten beim Pendeln des Regulators auftretenden Druckschwankungen als Ordinaten. Die fünf in Betracht kommenden Kurven der zmax ergeben für verschiedene m folgende Werte: Textabbildung Bd. 324, S. 491 Fig. 18. Einfluß des Pendelns des Regulators auf die Größe von Hmax. m = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– z 1 max Gl.   (76a) 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 z 2 max Gl.   (88a) 1,326 1,656 1,90 2,082 2,238 2,36 z 3 max Gl.   (95a) 1,52 1,88 2,08 2,12 2,00 1,72 z 4 max Gl. (119a) 1,644 1,992 2,062 1,89 1,472 0,8418 z 5 max Gl. (102a) 1,76 2,04 1,84 1,16 0 – m = 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,5 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– z 1 max Gl.   (76a) 2,4 2,6 2,8 3,0 3,4 4,0 z 2 max Gl.   (88a) 2,46 2,54 2,60 2,66 2,74 2,80 z 3 max Gl.   (95a) 1,28 0,68 – – – – z 4 max Gl. (119a) 0,01 – – – – – z 5 max Gl. (102a) – – – – – – Obwohl nun theoretisch die Möglichkeit einer Druckerhöhung bis zu ∾ 2,2H0 (vergl. Gl. (84)) stets vorliegt, wird es doch in den meisten Fällen nicht nötig sein, diesen Druck der Berechnung der Rohrwandungen zugrunde zu legen. – Die Methode, die uns einen Anhaltspunkt geben soll über die bei der Resonanz der Schwingungen auftretenden maximalen Druckschwankungen läuft im Grunde genommen auf eine Wahrscheinlichkeitsrechnung hinaus. Zu diesem Zwecke müssen wir bedenken, daß die im obigen betrachteten Fälle die denkbar ungünstigsten Kombinationen von Oeffnen und Schließen darstellen. Und wie gering ist schon die Eventualität des Eintrittes von z3max! Es muß zunächst das Schließen genau bei der Teilbeaufschlagung a=\frac{2\,L}{i\,T} beginnen; ferner muß das Schließen genau um das Stück \frac{2\,L}{i\,T} erfolgen, so daß es bei b = 0 aufhört. Von da ab muß gleich, ohne die geringste Zwischenpause, das Rücköffnen einsetzen; dasselbe muß genau bis zu p=\frac{2\,L}{i\,T} gehen, worauf dann sofort wieder völliger Schluß zu folgen hat. Diese bloße Ueberlegung zeigt uns schon zur Genüge, daß der Eintritt all dieser Bedingungen als recht großer Zufall zu bezeichnen ist; es wird somit die Berücksichtigung von Gl. (95) dem Einfluß der Resonanz vollauf gerecht. Diese Formel kann daher als die für die Praxis in Betracht kommende angesehen werden. Immerhin hängt die Entscheidung darüber, eine wie große Sicherheit man nehmen soll, auch zum Teil von der Zuverlässigkeit des Reglers ab und von der Garantie, die er gegen dauerndes Pendeln gewährt. Bei m = 0,5 wird z3max durch den Wert von z2max bereits ein wenig übertroffen; man könnte dies berücksichtigen, indem man statt z3max schriebe: vergl. Gl. (95a) zmax = 1 + 6m – 7m2 . . . . . . . . . . (120a) Trotzdem hat die Beibehaltung der ursprünglichen Form von Gl. (95a) kein Bedenken. Wie aus Gl. (81) hervorgeht, darf nämlich der Wert von m = 0,5 niemals erreicht, geschweige denn überschritten werden, da sonst Unterdruck im Rohr zu gewärtigen ist. Bei kleineren Werten von m wird aber z3max von z2max kaum an Höhe übertroffen. Uebrigens ist leicht einzusehen, daß ebenso wie für jeglichen Wert von m\,\equiv\,\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T} der Wert 2H0 durch Resonanz erreicht werden kann, auch dieselbe Anzahl von Schwingungen die Entstehung des Nulldruckes im Gefolge hat. Letzterer entsteht nämlich, sobald der in der vorhergehenden Druckperiode \left(t=\frac{2\,L}{i}\right) erreichte maximale Druck den Wert 2H0 betrug (s. Gl. (62) und (80a)) und wenn nachher die Turbine geschlossen bleibt; läßt man also nach k\,\simeq\,\frac{1}{2\,m} ungünstigsten Schwingungen, wobei laut Gl. (100) der Ausdruck 2H0 erreicht wird, kein Rücköffnen mehr eintreten, so ist der Nulldruck unvermeidlich. Doch braucht diese Eventualität ebensowenig stets berücksichtigt zu werden, als wir für den max. Druck den Wert 2H0 einzusetzen brauchten. Angesichts der Tatsache, daß, wie Gl. (92) und die darauffolgende Gleichung zeigten, bei großer Druckerniedrigung eine einfache Schwingung und zwar der denkbar ungünstigste Oeffnungsvorgang im Gefolge des ungünstigsten Schließvorganges, überhaupt keine Verschlimmerung der Verhältnisse zur Folge hat, kann sicherlich die Bedingung s. Gl. (81): m < 0,5 als völlig hinreichende Garantie gegen Entstehung von Unterdruck betrachtet werden. Aus dem bisher Gesagten geht hervor, daß bei kleinem Werte von m die Wirkung der Resonanz der Schwingungen eine gewaltige ist, so daß dieselbe vom Konstrukteur keineswegs außer acht gelassen werden darf. Um gegen alle Fälle gewappnet zu sein, wird somit Gl. (95) berücksichtigt werden müssen. Dieselbe zeigt, daß bei gleichem Verhältnis \frac{L}{H_0} der prozentuelle Betrag der Druckschwankungen von der Gefällhöhe H0 völlig unabhängig ist. Bei sehr großen Rohrlängen, d.h. genauer bei großem Wert von m, wo uns die Berücksichtigung der Druckerhöhung (1 + 2m) des einfachen Schließens schon ohnehin Schwierigkeiten bereitet, brauchen wir glücklicherweise von den Schwingungen wenig zu befürchten. Im Gegenteil, sobald m > 0,5, wo also der Wert von Gl. (76) einen größeren Betrag der Druckhöhe als 2H0 ergibt, haben die nachfolgenden Schwingungen die Tendenz, den Druck ungefähr auf 2H0 zu beschränken, während sie bei kleinem H0 den Druck auf ∾ 2H0 zu erhöhen suchen. Dieses wird besonders deutlich durch die z3max- und z5max-Kurve illustriert, welche nach Erreichen eines Maximums wieder auf Null sinken. Das Verhalten dieser beiden Kurven könnte im ersten Augenblick als sonderbar erscheinen. Doch sei an den speziell durch Gl. (81) klar zum Ausdruck kommenden Umstand erinnert, daß bei m = 0,5 schon die bloßen Nachwirkungskurven ein Sinken des Druckes bis auf Null ergeben können (weil eben der vorhergehende max. Druck gleich 2H0 war). Ist aber der absolute Druck gleich Null erreicht, so kann es kein weiteres darunter mehr geben. Dieses macht sich auf die Druckrückwirkung in der nächsten Periode bemerkbar, und daher können auch keine größeren Schwingungen mehr eintreten. Indirekt bestätigen uns dieses die Zeichnung sowohl als die Gleichung (96a); hiernach sind gerade bei m = 0,5 die Werte von z1max und z3max gleich groß. (Fortsetzung folgt.)