Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Von Dipl.-Ing. A. Utard, Straßburg i.E. (Schluß von S. 508 d. Bd.) Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit usw. IV. Der Einfluß der Elastizität auf die Wirkungsweise der Wasserträgheit. Im voraufgehenden Abschnitt haben wir bereits die Abweichungen zwischen den nach beiden Methoden erzielten Ergebnissen berücksichtigt. Es soll nun der eigentliche, im Wesen beider Methoden beruhende Unterschied näher betrachtet werden, da uns nur dieser einen endgültigen Aufschluß gibt über den Einfluß der Elastizität auf die Wirkungsweise der Wasserträgheit und uns zeigt, ob und unter welcher Bedingung die Elastizität günstig oder ungünstig wirkt. Zugleich wird dadurch erreicht werden, daß die nach der ziemlich komplizierten Methode von Alliévi erzielten Ergebnisse verständlicher werden und zum Teil sogar direkt greifbare Gestalt annehmen. Zu dem Zwecke stelle man sich statt der Wassersäule eine ebensolange Reihe von gleichweit voneinander entfernten Metallkugeln vor. Betrachten wir hierbei das Analogon des Schließvorganges, so muß die mit der Geschwindigkeit c = a . c1 gleichmäßig bewegte Reihe in ihrer Geschwindigkeit vermindert, event. sogar entsprechend dem völligen Schluß zum Stillstand gebracht werden. Nach Pfarr müßten wir uns nun die Kugeln starr miteinander verbunden vorstellen. Es ist somit klar, daß in jedem Augenblick die ganze Massenwirkung aller Kugeln zur Geltung kommt und der hierdurch bedingte Druck auf die unterste, d.h. die in ihrem Lauf gehemmte Kugel ausgeübt wird. Nach Alliévi müßten wir uns die Kugeln elastisch z.B. durch Spiralfedern von gegebener Spannung (H0 entsprechend) verbunden denken. Analog dem Schließvorgang müßte der bis dahin überall gleichförmige Zustand derart verändert werden, daß die unterste Kugel, die wir als Kugel 1 bezeichnen, in ihrem Laufe gehemmt werde; und zwar müßte die Verzögerung den in Fig. 13 gezeichneten q ≌ c Linien entsprechen. An jeder Stelle der Kugelreihe wird dann der augenblicklich daselbst herrschende Drück angezeigt durch die Entfernung zweier benachbarter Kugeln, da dieser Abstand in eindeutiger Weise den von der Spiralfeder ausgeübten Druck anzeigt. Sobald wir nun die Kugel 1 verzögern, wird die darauffolgende Kugel 2 sich der ersten nähern und eine entsprechende Druckerhöhung verursachen. Diese Druckerhöhung wird aber anderseits wieder das Bestreben haben, die beiden Kugeln voneinander zu entfernen, somit Kugel 2 zu verzögern. Im nächsten Zeitteilchen wird die Kugel 1 wieder eine neue Verringerung der Geschwindigkeit de von außen her erfahren, also eine neue Verkleinerung des Zwischenraumes zwischen den Kugeln 1 und 2 und somit ein neuer Ueberdruck. Es hat sich mittlerweile die dritte Kugel der zweiten genähert, die vierte der dritten usw. Anderseits haben aber auch schon, als Rückwirkung des Ueberdruckes, die ersten Kugeln die dahinterkommenden zurückzustoßen versucht, wenn dies auch äußerlich nicht zum Vorschein kommt, wegen der noch größeren Wirkung des stets neu hinzukommenden de. Wird z.B. Kugel 4 zurückgedrängt, so wird der durch Verringerung der Entfernung zwischen 4 und. 5 bedingte Ueberdruck auch Kugel 5 zurückzustoßen suchen. Dies ist die Tatsache der Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit i. Nach der Zeit t=\frac{L}{i} ist der Verzögerungsdruck am anderen Ende der Kugelreihe angelangt, die letzte Kugel wird auch zurückgedrängt, da sie aber gegen keine andere Kugel stößt, übt sie rückwärts gegen die vorletzte einen Zug aus. Dieser ist so groß als vorher der Verzögerungsdruck, er pflanzt sich im entgegengesetzten Sinne fort, muß also davon abgezogen werden. Wieder nach einer Zeit \frac{L}{i} also nach insgesamt t=\frac{2\,L}{i} ist er bei der ersten, d.h. untersten Kugel angelangt und erst von diesem Zeitpunkt ab kann sich Kugel 2 von Kugel 1 wieder entfernen. Sobald also t\,>\,\frac{2\,L}{i}, ist auch an der untersten Schicht der dann noch herrschende Ueberdruck gleich der Differenz zwischen zwei Druckgrößen. Wenn aber a \cdot T\,<\,\frac{2\,L}{i}, haben wir H\,\mbox{max}=\frakfamily{H}_0 als größten erreichbaren Ueberdruck, d.h. denjenigen Wert von \frakfamily{H}, welcher nach Gl. (49) dem vorhandenen ac1 entspricht. Nehmen wir z.B. sogar einen momentanen völligen Schluß an, so werden die Kugeln nur nacheinander gegen die jeweilsvorhergehenden stoßen können und hierbei die ihrer lebendigen Kraft entsprechende Druckerhöhung hervorbringen. Somit ist es auch einleuchtend, daß bei momentanem Abschluß des Leitapparates an allen Stellen der Kugelreihe derselbe maximale Druck in zeitlicher Aufeinanderfolge plötzlich auftritt; nur dauert der Ueberdruck verschieden lange an. Die vorletzte Kugel ist während \frac{2\,L}{i} Sek. gegen die letzte angedrückt. Je mehr man sich aber dem oberen Endpunkte der Reihe nähert, um so später setzt die Druckerhöhung an und um so früher hört dieselbe auch auf, da die Rückwelle ϕ den betreffenden Querschnitt früher erreicht. Es ist somit auch bei meßbarer Schlußzeit, die aber kleiner sein muß als \frac{2\,L}{i}, mit andern Worten bei a\,T\,<\,\frac{2\,L}{i} Sek. die Länge von L nicht für die Höhe von Hmax maßgebend, sondern nur für die Dauer, während welcher dieser maximale Druck auftritt (siehe Fig. 15). Daß für den Grenzfall a \cdot T=\frac{2\,L}{i} die Wirkung der Elastizität am ungünstigsten ist, indem statt Gl. (74a) der Ausdruck: z = 1 + 2 m (76a) Gültigkeit hat, findet auch leicht seine Erklärung. Infolge der durch die Elastizität bewirkten Nachgibigkeit kann in den ersten Zeitteilchen nur ein Teil der bewegten Masse verzögert werden, so daß in den letzten Augenblicken noch mehr Energie in ΔH . dt umgesetzt werden muß, als beim starren Körpersystem. Es übte also, wie nebenstehende Figur 23 zeigt, in diesem Falle die Elastizität anfangs eine hinausschiebende Wirkung aus, die bei der H-Kurve und noch besser bei der q ≌ c-Kurve klar zum Ausdruck gelangt. Sobald: a\,<\,\frac{2\,L}{i\,T} wird H =\frakfamily{H}_a wieder kleiner (s. Gl. (49)), da die Bewegungsgröße Mc = M . a . c1 einer jeden Kugel auch kleiner wird. Diese soeben vorausgeschickten Erläuterungen haben bereits die hauptsächlichsten Punkte zur Beurteilung des Einflusses der Elastizität vorweggenommen. Die völlig dem Gefühl entsprechende Ansicht, als würde sich die Elastizität nur ausgleichend und druckmildernd bemerkbar machen, bewahrheitet sich leider keineswegs. Denn wenn auch bis zu einer durch Gl. (122) bestimmten Grenze der Anfangsstellung a des Leitapparates die Wirkung der Elastizität kaum fühlbar ist, so hat sie mit abnehmendem a eine wesentlich ungünstigere Gestaltung der Verhältnisse zur Folge, und leistet uns aus gleichem Grunde dieselben schlechten Dienste wie ein Windkessel. Daß die Größe von i keinerlei Einfluß auf den Wert der maximalen Druckhöhe ausübt, ist bereits in Kapitel III 2a hervorgehoben worden und hat dort seine Erklärung gefunden [vergl. die Gleichungen 76, 88, 95, in denen der Wert von i nicht vorkommt]. Trotzdem macht sich die Elastizität selbstredend auf den Verlauf der Druckkurven bemerkbar; denn je kleiner die Elastizität, um so größer ist die Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit i, um so kleiner ist somit nach der Betrachtung in Kapitel III 3 Gl. (122) die Beaufschlagung a, bei der sich eine wesentliche Abweichung von der Pfarrschen, d.h. ideellen Kurve einstellt. Wenn somit T\,>\,\frac{2\,L}{i} und wir gegen das Eintreten eines plötzlichen Schlusses völlig sicher gestellt sind, ist eine möglichst geringe Elastizität erwünscht, da hierbei trotz des größeren \frakfamily{H} die Abnahme der Druckperioden \frac{2\,L}{i} eine günstigere Gestaltung der Druckkurve bei großen und mittleren Füllungen bewirkt. Was die Berechnung der Rohrstärke anbelangt, müssen wir somit die ohnehin sehr einfache Gl. (76) eventl. sogar Gl. (88) u. (95) berücksichtigen, müssen ferner durch Nachrechnen nach Gl. (81) der Eventualität eines zu großen Unterdruckes begegnen. Wenn wir jedoch die noch wichtigeren Arbeitskurven in Vergleich ziehen, so finden wir eine im allgemeinen genügende Uebereinstimmung. Bei kleineren Leitschaufelöffnungen kann infolge des langsam ansteigenden Verlaufes der Druckkurve die A-Kurve nach der Methode von Alliévi sofort dem Anstoß des Reglers Folge leisten, während bei großen Füllungen die Elastizität die unerwünschte, zuerst entgegengesetzte Bewegung der A-Kurve nicht zu verhindern vermag. Die Grenze mit anfänglich horizontalem Verlauf liegt bei a=\frac{g \cdot H_0}{i \cdot c_1}. Ueber einen Punkt ließe sich noch diskutieren, ob nämlich die Methode von Alliévi den tatsächlichen Verhältnissen ganz gerecht wird, oder ob ein Mittelweg zwischen dieser Methode und derjenigen von Pfarr eingeschlagen, besser der Wirklichkeit sich anpaßt. Da nun beide Methoden unter den dabei getroffenen Annahmen mit gleicher mathematischer Konsequenz durchgeführt sind, müssen wir diese Voraussetzungen auf ihre allgemeine Gültigkeit hin prüfen. Darüber im folgenden Teil. V. Der allgemein gültige voraussetzungslose Verstellungsvorgang. Um zu einem allgemein und vorbehaltlos gültigen Resultat zu gelangen, müssen wir vor allem die bisher getroffenen Annahmen auf ihre unbedingte Zuverlässigkeit hin prüfen und uns dann, wenn nötig, von allen bisher zugelassenen Einschränkungen frei machen. 1. Die Art der Turbinen. Da fast ausschließlich bei langen Rohrleitungen ein größeres Gefälle und somit auch Strahlturbinen in Frage kommen, hätte es keinen Zweck, wollte man diese Annahme fallen lassen. Wir können somit unbehindert die Beziehung: v=\sqrt{2\,g\,H} beibehalten. Textabbildung Bd. 324, S. 519 Fig. 23. 2. Elastizität. Alliévi mußte, um überhaupt die Verhältnisse mathematisch fassen zu können, die Elastizität als eine vollkommene in Rechnung ziehen. Dies entspricht zwar, was die Elastizität des Rohrmaterials anbelangt, nicht ganz den tatsächlichen Verhältnissen, dürfte aber kaum bemerkenswerte Unterschiede hervorrufen, um so mehr, als die Volum-Elastizität der Flüssigkeiten eine vollkommene ist. Trotzdem ist wohl kaum anzunehmen, daß im allgemeinen der Uebergang von den einzelnen Druckperioden ein so scharf markierter ist, wie sich aus der Rechnung ergibt und wie Fig. 13, 14 und 20 es darstellen. Es dürften somit die Kurven mehr abgerundete Ecken aufweisen. 3. Reibung und Wirbelung. Daß wir von der bisher völlig unberücksichtigt gebliebenen Reibung keine merkliche Modifikation der Verhältnisse zu erwarten haben, geht schon aus der Ueberlegung hervor, daß die Reibung bei Flüssigkeiten eine von Fließgeschwindigkeit und benetztem Umfang abhängige, dagegen vom Drucke unabhängige Größe ist; somit ist an und für sich der Reibungskoeffizient für den Beharrungszustand und für die Verstellperiode jeweils bei gleicher Beaufschlagung derselbe. Allerdings, wenn auch durch die Tatsache des Oeffnens und Schließens keine Beeinflussung der Reibungsverhältnisse selbst hervorgerufen wird, so können die dabei auftretenden Wirbelungen etwas den Verlauf der Druckkurve beeinflussen, ohne jedoch auf Hmax einwirken zu können, da dieser maximale Wert bei c = 0 eintritt. Uebrigens sei, um Mißverständnissen vorzubeugen, noch bemerkt, daß sowohl die unvollkommene Elastizität als auch die Reibungsgrößen sich fast durchweg in unerwünschter Weise geltend machen. Ersterer Faktor schwächt für beide Verstellrichtungen die ausgleichenden reflektierenden Druckwellen ab, während beim Schließen die Reibungsverluste und Wirbelungen fast ausschließlich in der Turbine selbst, also hinter dem Austrittsquerschnitt, eintreten, was eher eine Erhöhung des Druckes zur Folge hat. 4. Konstanz der Verstellgeschwindigkeiten. Die bei allen bisherigen Auseinandersetzungen getroffene Annahme konstanter Verstellgeschwindigkeiten lehnt sich nur zum Teil an die tatsächlichen in der Praxis vorkommenden Verhältnisse an. Es wird aber das verschiedene Verhalten beider Methoden bei beliebiger f-Kurve in einer demnächst erscheinenden Behandlung über Seitenauslässe Beachtung finden. Textabbildung Bd. 324, S. 520 Fig. 24. 5. Die geradlinige Rohrleitung. Eine weitere Einschränkung, die wir fallen lassen müssen, ist die Auffassung, als wäre bei großem L das Zuleitungsrohr in gerader Linie unter der Neigung \mbox{sin}\,\alpha=\frac{H_0}{L} geführt. Solche Ausführungen kommen in der Praxis selten vor, da die Leitung der Berglehne entlang herabgeführt werden muß. Meist haben wir es bei langen Rohrleitungen den natürlichen Verhältnissen entsprechend, mit einem oben zuerst weniger geneigten, fast horizontalen Stück zu tun (s. Fig. 24), und erst von einer bestimmten Stelle P an wird das Rohr in ziemlich steiler Richtung zu Tal geführt. Im allgemeinen hat diese Art der Anlage keinerlei Anstände und in der Nähe der Turbine bleiben die Druckverhältnisse die gleichen, so lange nämlich wir im Rohr keine Diskontinuität haben. Aber gerade dieses ist der wunde Punkt dieser Bauweise, denn es kann sehr leicht an der Stelle P Unterdruck erfolgen, der soweit gehen kann, daß die nur für inneren Druck konstruierten Rohre durch den atmosphärischen Druck zusammengepreßt werden. Somit ist eine Untersuchung über die durch diese Rücksicht auferlegten Grenzen doppelt angebracht. Diese Untersuchung ist im nachstehenden zuerst ohne und nachher mit Berücksichtigung der Elastizität durchgeführt. a) Untersuchung nach der Methode Pfarr. Wenn an der Stelle P (Fig. 24) eine Diskontinuität entsteht, d.h. wenn der absolute Druck = 0 herrscht, so wird die Wassermasse oberhalb P in L2 beschleunigt durch den Druck \left[h_2-\frac{c^2}{2\,g}+1\mbox{ Atm.}\right]. Der untere Teil in L1 durch den Druck [h1 – 1 Atm.]. Die größtmögliche Beschleunigung des oberen Teiles ist: \frac{dc}{dt}=\frac{P}{M}=\frac{\gamma \cdot F\,\left(h_2+10-\frac{c^2}{2\,g}\right)}{\frac{L_2\,F \cdot \lambda}{g}}=\frac{g\,\left(h_2+10-\frac{c^2}{2\,g}\right)}{L_2}Bei heberartigen Anlagen ist h2 negativ einzusetzen. . . (130) Setze: h2 + 10 ≡ H2 (Fig. 24) also: \frac{dc}{dt}=\frac{g\,\left(H_2-\frac{c^2}{2\,g}\right)}{L_2} . . . . (131) Damit der absolute Druck o entstehen kann, muß also diese maximale Beschleunigung des oberen Teiles kleiner oder zum mindesten gleich sein derjenigen des unteren Teiles. Letztere Beschleunigung wird erhalten, indem man in Gl. (9) für die veränderten Größen den neuen Wert einsetzt. Statt h ist zu schreiben: \left(h_1-10+\frac{c^2}{2\,g}\right)\equivH_1+\frac{c^2}{2\,g} „ L „ „ L 1 Nach der Beschleunigung \frac{dc}{dt} aufgelöst, ergibt die Gl. (9): \frac{dc}{dt}=\frac{\left(H_1+\frac{c^2}{2\,g}\right) \cdot g}{L_1}-\frac{1}{2}\,\frac{F^2}{{f_1}^2}\,\frac{T^2}{L_1}\,\frac{c^2}{(a\,T+t)^2} . . (132) Nun ist aber: \frac{f}{f_1}=\frac{a\,T+t}{T} . . . . . . (133) Erhalte somit unter Berücksichtigung von Gl. (16): c=\frac{v \cdot f_1}{F} \cdot \frac{a\,T+t}{T} . . . . . (134) Setze diesen Wert von c in obige Gleichung ein und erhalte: \frac{dc}{dt}=\frac{\left(H_1+\frac{c^2}{2\,g}\right) \cdot g}{L_1}-\frac{1}{2} \cdot \frac{{v_1}^2}{L_1} . . (135) Wir können nun Gl. (131) und Gl. (135) wesentlich vereinfachen, indem wir die im Verhältnis zu H1 und H2 kleine Geschwindigkeitsdruckhöhe \frac{c^2}{2\,g} vernachlässigen. Gleichung (135) schreibt sich somit: \frac{dc}{dt}=\frac{g \cdot H_1}{L_1}-\frac{1}{2} \cdot \frac{{v_1}^2}{L_1}=\mbox{konst.}-\mbox{konst.}\,{v_1}^2 (136) Das Maximum von \frac{dc}{dt} tritt also bei vmin einZum selben Resultat gelangen wir selbstredend auch, indem wir die zweite Ableitung von c gleich o setzen. Dieses ist ohne weiteres verständlich, denn vmin geht parallel mit hmin, wobei das fehlende (H0 – h), das zur Beschleunigung des Wassers im Zuleitungsrohr L dient, hier sein Maximum erhält.. v_1\,\mbox{min}={v_1}^0 \cdot \frac{m_1}{2}\,\left[\sqrt{\frac{4}{m^2}+1}-1\right] worin: m_1=\frac{c_1\,L_1}{g \cdot H_1\,T} also ist: {v_1}^2\,\mbox{min}=v_{1^0}^2 \cdot \left[\frac{4}{m_1^2}+1+1-2\,\sqrt{\frac{4}{m_1^2}+1}\right] (137)           =v_{1^0}^2-\frac{v_{1^0}^2}{2}\,\left[\sqrt{\frac{4}{m_1^2}+1}-1\right] (137) Somit lautet Gl. (136), wenn wir den Wert von v_{1^0}=\sqrt{2\,g\,H_1} einsetzen: \frac{dc}{dt}=\frac{g \cdot H_1}{L_1}-\frac{1}{2\,L_1}\,\left[2\,g \cdot H_1-g\,H_1\,m_1^2\,\left(\sqrt{\frac{4}{m_1^2}+1}-1\right)\right] =\frac{g \cdot H_1m_1^2}{2\,L_1}\,\left[\sqrt{\frac{4}{m_1^2}+1}-1\right] (138) Da nun Gl. (131) durch Vernachlässigung von \frac{c^2}{2\,g} übergeht in: \frac{dc}{dt}=\frac{g \cdot H_2}{L_2} . . . . . (139) so lautet entsprechend obiger Auseinandersetzung die Bedingung dafür, daß in P keine Diskontinuität eintritt: \frac{g \cdot H_2}{L_2}\,>\,\frac{c_1^2}{T^2} \cdot \frac{L_1}{2\,g \cdot H_1}\,\left[\sqrt{\frac{4}{m_1^2}+1}-1\right] . . (140) worin: m_1=\frac{c_1\,L_1}{g \cdot H_1\,T} Hieraus ließe sich das Verhältnis \frac{L_2}{H_2} berechnen, damit an der Stelle P kein völliges Vakuum entstehe. Ebenso ergibt sich daraus sofort die Bedingung zur Vermeidung eines beliebigen Unterdruckes, welcher schon als der Leitung gefährlich erachtet wird. Man braucht nur in H1 = [h1 – 10] und H2 = [h2 + 10] statt der ganzen Atmosphäre [= 10 m] die Große des noch zulässigen Unterdruckes einzusetzen. b. Untersuchung nach der Methode von Alliévi. Bei Berücksichtigung des Einflusses der Elastizität müssen wir beide Möglichkeiten einer starken Druckverminderung ins Auge fassen. Erstens findet Druckabnahme, wie schon oben beachtet, beim Eröffnungsvorgang statt. Dieselbe ist an der Stelle P dann am größten, wenn a = 0 und: b=\frac{2\,L_2}{i\,T} . . . . . (141) Dies ist also der Augenblick, wo beim Oeffnen von ganz geschlossener Turbine aus noch, keine rückschreitende Welle ϕ an dieser Stelle P vorhanden ist (vergl. Gl. 55). Da nun bei dieser Eröffnungsgröße b der Oeffnungsvorgang unterbrochen wird, so wandert die direkte Druckwelle Φ nach dem Einströmende hin und erreicht den Punkt P nach der Zeit \frac{L_1}{i}. Da für diesen Augenblick noch keine Rückwelle in Betracht kommt, (infolge der Wahl von b nach Gl. 141), so haben wir an der Stelle P dieselbe Höhe der Druckschwankung wie an der Mündung; nur tritt sie um geringe Zeit später auf. Infolgedessen wird auch der niedrigste in P auftretende Druck gleich sein dem kleinsten Druck an der Mündungsstelle minus dem Niveauunterschied h1 beider Punkte. Den Druck Hmin, der an der Mündungsstelle auftritt, erhält man durch Einsetzen des Wertes b aus Gl. (141) in Gl. (58): H^2\,\mbox{min}-2\,H\,\mbox{min}\,\left[\frakfamily{H}+\frac{2\,L_2^2\,c_1^2}{g^2\,T^2\,H_0}\right]+\frakfamily{H}^2=0 (142) Da nun aber in diesem Falle a = 0, also \frakfamily{H}=H_0 und ferner: Hmin = hmin + h1 . . . . . . . . . . (143) [wobei Amin den kleinsten Druck bei P bezeichnet] so ergibt die Auflösung von Gl. (142) den Ausdruck, h_{\mbox{min}}+h_1=H_0+\frac{2\,c_1^2 \cdot L_2^2}{g^2\,T^2\,H_0}-\sqrt{\frac{4\,c_1^2\,L_2^2}{g^2\,T^2}+\frac{4\,c_1^4\,L_2^4}{g^4\,T^4\,H_0^2}} (144) Nun können wir setzen: H0 – h1 = h2 . . . . . . . . . . (145) Somit ist: h_{\mbox{min}}=h_2+2\,\frac{2\,c_1^2\,L_2^2}{g^2\,T^2\,H_0}-\sqrt{\frac{4\,c_1^2\,L_2^2}{g^2\,T^2}+\frac{4\,c_1^4\,L_2^4}{g^4\,T^4\,H_0^2}} (146) Dieser Ausdruck Gl. (142) für hmin lautet ähnlich wie Gl. (68). Für Amin ist der zulässige Unterdruck [mit negativem Vorzeichen] einzusetzen. Zweitens: Den ungünstigsten der beiden Fälle erhalten wir aber wohl durch Berücksichtigung des Einflusses der nach völligem Schluß eintretenden Druckschwankungen. Wenn infolge derselben sogar schon an der untersten Stelle des Rohres negativer Druck eintreten kann, so ist dieses bei dem Knick der Leitung in Punkt P noch viel eher zu befürchten. Da die Große der maximalen Druckerniedrigung hierbei von der Höhe des um t=\frac{2\,L_2}{i} vorangegangenen Ueberdruckes abhängt, müssen wir auch für Stelle P den größten erreichbaren Ueberdruck ermitteln. Derselbe tritt ein, wenn der Schließvorgang von der Anfangshüllung: a_2=\frac{2\,L_2}{i\,T} . . . . . (147) ausgegangen ist und bis b = 0 reicht. Es ergibt für die Rohrlänge L2 die Zeit a2 . T den dem Endwert von Gl. (76a) entsprechenden gestreckten Verlauf der H-Kurve. Die Rückwelle ϕ hat nämlich zur Beeinflussung noch keine Zeit gehabt. Es ist dann am Austrittsquerschnitt: H\,\mbox{max}=\frakfamily{H}'=H_0+\frac{i \cdot a_2\,c_1}{g}=H_0+\frac{2\,L_2\,c_1}{g \cdot T} . (148) Am Schlusse der nächsten Periode haben wir nach Gl. (61): H\,\mbox{min}=\frakfamily{H}'-2\,\varphi Ferner ist ϕ gleich dem Werte von Φ am Ende des Schließvorganges, also: \varphi=\frakfamily{H}'-H_0 Somit erhalten wir unter Berücksichtigung der Gl. (148): H\,\mbox{min}=2\,H_0-\frakfamily{H}'=H_0-\frac{2\,L_2\,c_1}{g \cdot T} . . (149) Da aber Punkt P um h1 höher liegt als der Austrittsquerschnitt, so erhalten wir für P: h\,\mbox{min}=H_0-h_1-\frac{2\,c_1\,L_2}{g \cdot T}=h_2-\frac{2\,c_1\,T_2}{g \cdot T} . (150) Für hmin setzen wir den gewünschten Wert ein. Soll überhaupt kein Unterdruck im Rohre herrschen, so muß hmin größer als Null sein, d.h. nicht unter Atmosphärendruck gelangen. Infolgedessen ist dann: h_2\,\geq\,\frac{2\,c_1\,L_2}{g \cdot T} oder: \frac{L_2}{h_2}\,<\,\frac{g\,T}{2\,c_1} . . . . . (151) Gl. (151) gilt, wenn überhaupt kein Unterdrück auftreten soll. Diese Bedingung kann aber nicht, und braucht auch nicht erreicht zu werden. Wenn nun ein Unterdruck von x Meter Wassersäule zulässig ist, so setze man in Gl. (151) statt h2 den Wert (h2 + x) ein. Also: \frac{L_2}{h_2+x}\,<\,\frac{g \cdot T}{2\,c_1} . . . . . . (152) Für heberartige Anlagen, wo Unterdruck nicht zu vermeiden ist, muß dieses besonders beachtet werden. Durch eine ungünstige Aufeinanderfolge von Oeffnungs- und Schließvorgängen kann dabei trotzdem noch ein kleiner Unterdruck auftreten (vergl. III, 2b). Es muß somit \frac{L_2}{h_2} nicht zu groß genommen werden, d.h. die Leitung soll möglichst in Gefälle liegen. Die Gl. (151) zeigt, wie vorsichtig man bei Anlagen zu Werke gehen muß, da z.B. bei T = 2 Sek. und bei c1 = 2 m/Sek. ein größerer Wert als 5 für den Ausdruck \frac{L_2}{h_2} schon sehr bedenklich werden kann. VI. Schlußfolgerung. Aus vorstehender Untersuchung geht hervor, daß die Elastizität der Rohrwandungen im Verein mit der Kompressibilität des Wassers auf die Höhe der Druckschwankungen einen ganz verschiedenartigen Einfluß ausüben, je nachdem die Verstelldauer T resp. a \cdot T\,\geq\,\frac{2\,L}{i} oder aber a \cdot T\,<\,\frac{2\,L}{i}. Meist wirken sie in höchst nachteiliger Weise auf Hmax ein und nur bei ganz kurzen Schlußzeiten tritt dasjenige ein, was man von der Elastizität durchweg, aber leider in ungerechtfertigter Weise, erwartete, nämlich eine ausgleichende und druckmildernde Pufferwirkung. Sogar verhängnisvoll kann die Elastizität werden, sobald entgegengesetzt gerichtete Verstellvorgänge in häufigerer Folge sich ablösen. Infolge der dabei durch die Elastizität bewirkten Resonanz der Schwingungen, kann der Druck zwischen Grenzen oszillieren, die bis zu H = 2H0 und H = 0 betragen können. Die hierauf bezügliche nötige Rücksichtnahme läßt sich auf Grund der Untersuchungen des Abschnittes III, 2b für die Praxis äußerst leicht in folgende einfachen Angaben zusammenfassen: 1. Es darf unter keinen Umständen der Ausdruck m\equiv\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T} größer oder sogar gleich 0,5 sein, da sonst Unterdruck entstehen kann, also:\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}=m\,<\,0,5. 2. Der maximale Druck, der beim einfachen Schließvorgang auftreten kann, ist bestimmt durch Gl. (76): z_1\,\mbox{max}\equiv\frac{H_1\,\mbox{max}}{H_0}=1+2\,moder:H_1\,\mbox{max}=H_0+2\,\frac{c_1\,L}{g\,T}Dagegen müssen infolge der Resonanz die Zuleitungsrohre mit genügender Sicherheit nach den durch Gl. (95) bestimmten Druckhöhen berechnet werden: z3max = 1 + 6m – 8m2 oder:H_3\,\mbox{max}=H_0+6\,\frac{c_1\,L}{g \cdot T}-8\,\frac{c_1^2\,L^2}{g^2\,T^2\,H_0} 3. Für den speziellen Fall einer von der geradlinigen Führung stark abweichenden Rohrleitung, muß auf Grund von Abschnitt V. 5b an jeder Stelle, speziell an den Ecken, die Forderung Gl. (152) beobachtet werden:\frac{L_2}{h_2+x}\,<\,\frac{g \cdot T}{2\,c_1} wobei x den noch zulässigen Unterdruck in Metern bedeutet. Diese im vorhergehenden abgeleiteten Formeln zeigen, daß infolge der Wasserträgheit wesentlich größere Druckschwankungen eintreten, als aus den bisherigen für Hmax aufgestellten Formeln sich ergab. Dieses wird durch Erfahrungsdaten bestätigt. Wenn nun auch, wie aus Obigem hervorgeht, die Elastizität unbedingt zu berücksichtigen ist, sobald die Berechnung von Druckhöhe in Frage kommt, so hat wieder die Methode von Pfarr den Vorteil, daß sich infolge ihrer größeren Uebersichtlichkeit öfters Untersuchungen der A-Kurve einfacher und schneller nach letzterer Methode durchführen lassen. Die hierbei erzielte Genauigkeit der A-Kurve ist dabei meist genügend, sobald größere und mittlere Füllungen in Betracht kommen. Ist eine nachträgliche Kontrolle der Ergebnisse nach der Methode von Alliévi erwünscht, so läßt sich dieselbe unschwer durchführen. Durch die im Abschnitt IV erstrebte Klarlegung des eigentlichen Einflusses der Elastizität wird uns die analytische Untersuchung von Windkessel, Sicherheitsventilen und SeitenauslässenDie demnächstige Veröffentlichung einer diesbezüglichen Abhandlung ist vom Verfasser in Aussicht genommen. sehr erleichtert werden. Berichtigung. 1. In Gleichung (8) u. (9) S. 417 muß es statt Schließen: h . dt heißen H0dt – usw.; Oeffnen: h . dt heißen H0dt – usw. 2. In der Unterschrift zu Fig. 14, S. 459: L = 200 m statt L = 100 m. 3. In der Gleichung (58), S. 460: H2 – 2H [ ... statt \frakfamily{H}^2-2\,H] ...