Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Von Dr.-Ing. J. Magg, Graz. Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Es besteht schon eine ziemlich umfangreiche Literatur über das Regulierproblem, ohne daß jedoch die darin zutage geförderten Erkenntnisse in weite Kreise gedrungen wären. Dies dürfte wohl hauptsächlich in den nicht unbeträchtlichen mathematischen Schwierigkeiten begründet liegen, die sich der Behandlung dieses Problems entgegenstellen, dann aber auch wohl darin, daß die meistens gewählte Darstellungsweise so abstrakt ist, daß die Mühe, sich darin einzuarbeiten, viele Leser abschrecken dürfte. Wenn aber irgendwo, so ist es hier notwendig, die Darstellung auf konkreten, möglichst leicht verständlichen Grundbegriffen aufzubauen, da es sonst recht schwierig, wenn nicht überhaupt unmöglich wird, die Wirkungen gewisser Nebeneinflüsse, die den Verlauf des Reguliervorganges oft wesentlich verändern, leicht faßlich zu erkennen und mathematisch zu beschreiben. – Man kommt sonst leicht in die Lage, auf die sogenannten „vernünftigen Ueberlegungen“ angewiesen zu sein, die aber gerade auf diesem Gebiet nur allzuleicht Trugschlüsse ergeben. Bezüglich der wichtigen Frage nach der Methode der Untersuchung scheint mir besonders das Buch von Dr. Rülf bemerkenswert.Dr.-Ing. Benno Rülf. Der Reguliervorgang bei Dampfmaschinen. Berlin 1902. S. auch Z. d. V. d. I. 1902, S. 1307. Es ist dort für die Schilderung der Vorgänge eine überaus anschauliche Darstellungsweise gewählt, die es auch ohne weiteres ermöglicht, die Wirkungen der Nebeneinflüsse, wie Unempfindlichkeit, Beharrungsmasse, Dämpfung usw. leicht zu erkennen und rechnungsmäßig auszudrücken. Diese Darstellungsweise soll daher in folgendem beibehalten werden; die Voraussetzungen dagegen, auf denen sich die Betrachtung hier aufbauen soll, sind andere. – Dr. Rülf verfolgt in seiner Broschüre den Verlauf des Reguliervorganges an dem speziellen Beispiel einer Dampfmaschine von Hub zu Hub. – Dadurch wird es aber unmöglich, für einen allgemeinen Fall gültige Gleichungen aufzustellen, sondern die ziemlich langwierigen Rechnungen müssen für jeden einzelnen Fall besonders durchgeführt werden – ganz abgesehen davon, daß zur Erzielung leicht konstruierbarer Ausdrücke eine ganz bestimmte Einstellung der Oelbremse am Regulator angenommen werden muß, eine Annahme, die bei einer allgemeinen Behandlung natürlich fallen zu lassen ist. Was die bei der Rechnung gemachten Voraussetzungen anbetrifft, so muß zur Ermöglichung einer allgemeinen analytischen Behandlung die Annahme getroffen werden, daß der Regler in jedem Moment den Zufluß des motorischen Agens beeinflusse und nicht nur absatzweise. Diese Annahme, deren Berechtigung auf den ersten Blick vielleicht als zweifelhaft erscheinen möchte, entspricht aber den tatsächlichen Verhältnissen mehr, als man anfangs zu glauben geneigt ist. Es wird in nachfolgendem bei der Behandlung des sog. idealen Regulierungsvorganges gezeigt werden, daß sich an dem Verlauf auch dann, wenn man nur absatzweise Einwirkung des Regulators annimmt, nichts wesentliches ändert, so daß diese – wie schon bemerkt, für die Möglichkeit einer allgemeinen Behandlung notwendige – Annahme wohl auch bei Berücksichtigung der Nebeneinflüsse als zulässig erscheint. – Um übrigens einen Vergleich leichter zu ermöglichen, habe ich bei der Behandlung eines speziellen Falles die von Dr. Rülf verwendeten Data größtenteils beibehalten. Man ist aber auch noch gezwungen, über den Zusammenhang der einzelnen Größen, die den Reguliervorgang bestimmen, gewisse Annahmen zu machen. Es sind dies – allgemein gesprochen – die Zusammenhänge: 1. Der augenblicklichen Geschwindigkeit der Maschine, der Stellung des Regulators und der dadurch bedingten Stellkraft. 2. Der Stellung des Regulators und der Geschwindigkeit, der diese als Gleichgewichtslage entspricht. 3. Der Stellung des Regulators und dem dadurch bedingten Drehmoment an der Maschinenwelle. Die Gesetze dieser Zusammenhänge sollen als linear angenommen werden. – Dies ist die Anwendung einer Methode die J. E. Routh in seiner Dynamik der starren Körper in der Theorie der kleinen Schwingungen zuerst wissenschaftlich gefaßt hat.Routh. A treatise on the dynamics of a system of rigid bo dies. Sixth edition, London 1897. Ch. IX. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Veränderungen der Variabeln, die den Ausschlag des schwingenden Systems – und um ein solches handelt es sich beim Reguliervorgang – bestimmt, so klein bleiben, daß ihre höheren Potenzen vernachlässigt werden können. – Diese Annahme, die übrigens bei fast allen bisherigen Behandlungen des Regulierproblems auch schon gemacht wurde, ermöglicht erst die Darstellung des Vorganges in der Form von linearen Differentialgleichungen, deren Integration in geschlossener Form leicht durchzuführen ist. – Die an ausgeführten Anlagen gewonnenen Versuchsresultate zeigen mit diesen Annahmen so gute Uebereinstimmung, daß mit Rücksicht auf die durch die rechnungsmäßig ohnedies unkontrollierbaren Einflüsse bedingte Genauigkeit der Untersuchung diese Voraussetzungen als wohl zulässig erscheinen.Vergl. auch die lesenswerte Schrift: Ch. Compère. Étude sur les régulateurs de vitesse. Paris 1893. (Extrait des mémoires de la société des ingénieurs civils de France.) Um nun die Bewegung des Regulators zu beschreiben, benutzen wir einen Punkt der Regulatormuffe, den wir den Regulatorpunkt nennen, und dessen Abstand von der Ebene, die senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung in der Ausgangslage der Muffe (Tourenzahl = 0) gelegt werden kann, mit h bezeichnet werde. Den Punkt, den der Regulatorpunkt einnehmen sollte, wenn seine Stellung der augenblicklichen Tourenzahl der Maschine entspräche – was während des Reguliervorganges natürlich im allgemeinen nicht der Fall ist – wollen wir den Motorpunkt nennen, und seinen Abstand von derselben Ebene, von der wir die h messen, mit hm bezeichnen. – Anders ausgedrückt ist der Motorpunkt das von der momentanen Tourenzahl der Maschine bestimmte Anziehungszentrum, dem der Regulatorpunkt zustrebt. Im Beharrungszustande fallen natürlich Regulator- und Motorpunkt zusammen und trennen sich erst, wenn die Stellung des Regulators der augenblicklich herrschenden Maschinengeschwindigkeit nicht mehr entspricht. Mit Hilfe dieser Definitionen lassen sich nun unter Beachtung der früher gemachten Voraussetzungen die obenerwähnten Zusammenhänge durch Gleichungen ausdrücken wie folgt: P = c1(hm– h) . . . . . (1) für die Stellkraft P, die auf den Regulator einwirkt. ω = ωu + c2 hm . . . . . (2) als Zusammenhang zwischen der Tourenzahl der Maschine und der zugehörigen (hm!) Regulatorstellung. Dabeiseien ω0 und ωu die Winkelgeschwindigkeiten für oberste und unterste, ω für eine beliebige Regulatorstellung. M = Mu– c3h . . . . . (3) als Ausdruck für das durch die momentane (h!) Regulatorstellung bestimmte Drehmoment an der Maschinenwelle, wobei Mu und M0 die Drehmomente für die unterste und oberste, M das für eine beliebige Regulatorstellung bedeuten, c1, c2 und c3 sind Konstante, deren Werte sich aus den Dimensionen der Maschine und des Regulators leicht bestimmen lassen. Der ideale Fall des Reguliervorganges. Bei der Behandlung dieses Falles werde zuvörderst vom Einfluß der Unempfindlichkeit, einer Schwingungsdämpfung (Oelbremse) sowie von etwaigen Wirkungen einer Beharrungsmasse oder des Rückdruckes der Steuerung abgesehen. Die Maschine befinde sich im Beharrungszustande, entsprechend einer Stellung des Regulator- (und Motor-) punktes in h1, entsprechend der Tourenzahl ω1 und dem Drehmoment M1. Zur Zeit t = 0 werde die Maschine nun soweit entlastet, daß der neuen Belastung die Größen h1, ω1 und M1 im Beharrungszustand entsprächen. Nach Verlauf der Zeit t sei das Drehmoment M, die Winkelgeschwindigkeit ω, die Lage des Regulatorpunktes h, jene des Motorpunktes hm. Da nach Gleichung (3) M = Mu– c3h, während zur Ueberwindung der Belastung nur M1 = Mu – c3 h1 notwendig ist, bleibt zur Beschleunigung (positiv oder negativ) der Massen ein Moment Mb = M – M1 = c3 (h1 – h) übrig. Dividieren wir nun Mb durch das als konstant zu betrachtende Trägheitsmoment J der bewegten Teile, auf die Maschinenwelle reduziert, so erhalten wir die durch Mb verursachte Winkelbeschleunigung \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M_b}{J}=\frac{c_3}{J}\,(h_1-h) und daraus d\,\omega=\frac{c_3}{J}\,(h_1-h)\,d\,t. Zur Zeit t hat sich die Winkelgeschwindigkeit um \int\limits_0^t\,d\,\omega=\omega-\omega_1 verändert; demnach ist \omega-\omega_1=\int\limits_0^t\,\frac{c_3}{J}\,(h_1-h)\,d\,t. Dem entspricht eine Lage des Motorpunktes in hm. Nach Gleichung (2) ist nun ω = ωu + c2 hm, oder für den Moment der Entlastung angewendet, für den hm = h1 ist ω1 = ωu + c2 h1. Durch Subtraktion bekommen wir: \omega-\omega_1=c_2\,(h_m-h_1)=\int\limits_0^t\,\frac{c_3}{J}\,(h_1-h)\,d\,t und daraus h_m=h_1+\frac{c_3}{c_2\,J}\,\int\limits_0^t\,(h_1-h)\,d\,t. Subtrahieren wir nun beiderseits h, und multiplizieren wir links und rechts mit c1, bekommen wir: c_1\,(h_m-h)=c_1\,h_1-c_1\,h+\frac{c_1\,c_3}{c_2\,J}\,\int\limits_0^t\,(h_1-h)\,d\,t. Dies ist aber nach Gleichung (1) der Ausdruck für die auf den Regulator einwirkende Stellkraft P. Diese wird nun (bei Annahme des idealen Falles) ganz zur Beschleunigung der Regulatormasse verwendet, die wir (an die Muffe reduziert) als konstant annehmen können. Sie sei mit m bezeichnet. Es ist dann m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=P=c_1\,(h_m-h)=c_1\,h_1-c_1\,h+\frac{c_1\,c_3}{c_2\,J}\,\int\limits_0^t\,(h_1-h)\,d\,t . (4) Setzen wir nun zur Vereinfachung \frac{c_1}{m}=\alpha . . . . . (5) \frac{c_1\,c_3}{c_2\,m\,J}=\beta . . . . . (6) so läßt sich Gleichung (4) nach nochmaliger Differenzierung nach der Zeit geordnet auch so anschreiben: \frac{d^3\,h}{d\,t^3}+\alpha\,\frac{d\,h}{d\,t}+\beta\,h-\beta\,h_t=0. Führen wir nun noch statt h den Abstand x von der anzustrebenden Beharrungslage in hl ein, derart, daß \left{{x=h_1-h,\ \ \frac{d\,x}{d\,t}=-\frac{d\,h}{d\,t}}\atop{\frac{d^2\,x}{d\,t^2}=-\frac{d^2\,h}{d\,t^2},\ \ \frac{d^3\,x}{d\,t^3}=-\frac{d^3\,h}{d\,t^3}}}\right\}\ .\ .\ (7) so bekommen wir \frac{d^3\,x}{d\,t^3}+a\,\frac{d\,x}{d\,t}+\beta\,x=0 . . . . . (8) Das allgemeine Integral von Gleichung 8 ist bekannt: x=C_1\,e^{w_1\,t}+K_2\,e^{w_2\,t}+K_3\,^{w_3\,t} wobei w1, w2 und w3 die Wurzeln der Gleichung w3+ α w + ß = 0 darstellen. Da nun, wie aus den Gleichungen (1), (2), (3), (5) und (6) leicht zu ersehen ist, α und ß immer reelle, positive Größen sein müssen, ergibt die Gleichung für w nur einen reellen und zwei konjugiert komplexe Wurzeln w2,3 = p ± q i, weshalb sich die Integralgleichung besser in der Form x=C_1\,e^{w_1\,t}+e^{p\,t}\,(C_2\,\mbox{cos}\,q\,t+C_3\,\mbox{sin}\,q\,t) . (9) anschreiben läßt. Dabei ist nach den Cardanischen Gleichungen w_1=\sqrt[3]{-\frac{\beta}{2}+\sqrt{\left(\frac{\beta}{2}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{\beta}{2}-\sqrt{\left(\frac{\beta}{2}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{3}\right)^3}} p=-\frac{w_1}{2} q=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\left[\sqrt[3]{-\frac{\beta}{2}+\sqrt{\left(\frac{\beta}{2}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{3}\right)^3}}-\sqrt[3]{-\frac{\beta}{2}-\sqrt{\left(\frac{\beta}{2}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{3}\right)^3}}\right] (10) C1, C2 und C3 sind die Integrationskonstanten, die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist nämlich für t = 0 x=h_l-h_1=x_1 \frac{d\,x}{d\,t}=0 \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=0 (11) Bildet man nun aus Gleichung (9) die Werte für \frac{d\,x}{d\,t} und \frac{d^2\,x}{d\,t^2} und setzt darein die Werte aus Gleichung (11) ein, so ergeben sich drei Gleichungen, aus denen C1, C2 und C3 bestimmt werden können. Es ergibt sich C_1=\frac{p^2+q^2}{9\,p^2+q^2}\,.\,x_1 C_2=\frac{8\,p^2}{9\,p^2+q^2}\,.\,x_1 C_3=\frac{2\,q^2-6\,p^2}{9\,p^2+q^2}\,.\,\frac{p}{q}\,.\,x_1 (12) Dadurch ist die Bewegung des Regulatorpunktes beschrieben. Fragen wir uns nun nach den Geschwindigkeitsschwankungen der Maschine während der Dauer des Reguliervorganges, so gibt darüber das Bewegungsgesetz für den Motorpunkt Auskunft. Nach Gleichung (1) ist P=c_1\,(h_m-h)=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}. Da nun \frac{c_1}{m}=a,\ h=h_l-x und \frac{d^2\,h}{d\,t^2}=-\frac{d^2\,x}{d\,t^2}, so bekommen wir h_m=h_l-x-\frac{1}{a}\,.\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2} . . . (13) Setzen wir nun darein x und seine zweite Ableitung aus Gleichung (9) ein, so bekommen wir nach einigen Zusammenziehungen h_m=h_l-[\frakfamily{A}_1\,e^{w_1\,t}+e^{p\,t}\,(\frakfamily{A}_2\mbox{ cos }q\,t+\frakfamily{A}_3\mbox{ sin }q\,t)] . (14) wobei \frakfamily{A}_1, \frakfamily{A}_2 und \frakfamily{A}_3 die Bedeutung haben: \frakfamily{A}_1=C_1\,(1+\frac{4\,p^2}{\alpha}) \frakfamily{A}_2=C_2+\frac{1}{\alpha}\,[C_2\,(p^2-q^2)+2\,p\,q\,C_3] \frakfamily{A}_3=C_3+\frac{1}{\alpha}\,[C_3\,(p^2-q^2)+2\,p\,q\,C_2] (15) Das Gesetz, nach dem sich hm verändert, ist genau so gebaut wie das der Veränderung von h, da der Ausdruck in [] dem von x Gleichung (9) analog gebaut und nach Gleichung (7) h = h1 – x ist. Wir wollen nun noch die durch Gleichungen (5) und (6) bestimmten Konstanten α und ß mit anderen Maschinenkonstanten in Beziehung bringen. Drehen wir den Regulator bei abgekuppeltem Stellzeug mit konstanter Tourenzahl, so entspricht dem eine Gleichgewichtslage des Systems, die durch die Lage hλ des Regulatorpunktes bestimmt sei. Bringen wir nun die Muffe aus dieser Gleichgewichtslage heraus, etwa nach h, so strebt sie ihr wieder zu mit einer Kraft, die nach Gleichung 1 gleich ist: P=c_1\,(h_{\lambda}-h)=-m\,\frac{d^2\,(h_{\lambda}-h)}{d\,t^2}. Das negative Vorzeichen rührt daher, daß P den Abstand hλ – h zu verkleinern trachtet. Diese Beziehung führt aber integriert bekanntlich auf die Gleichung einer Sinusschwingung h_{\lambda}-h=A\mbox{ sin }(B+\sqrt{\frac{c_1}{m}}\,t), wobei A und B die aus den Anfangsbedingungen zu ermittelnden Integrationskonstanten sind. Die Dauer einer (Hin- und Rück-) Schwingung Tr ergibt sich nun aus der Bedingung, daß \sqrt{\frac{c_1}{m}}\,.\,T_1=2\,\pi mit T_r=2\,\pi\,\sqrt{\frac{m}{c_1}} wofür aber, da \frac{c_1}{m}=\alpha gesetzt wurde, geschrieben werden kann: T_r=2\,\pi\sqrt{\frac{1}{\alpha}} oder \alpha=\frac{4\,\pi^2}{{T_r}^2} . . . (16) Ferner hatten wir \beta=\frac{c_1\,c_3}{c_2\,m\,J}=\frac{c_3}{c_2\,J}\,.\,\alpha. Der Ausdruck \frac{c_3}{c_2\,J} läßt sich aber noch anders darstellen. Angenommen, der ganze Hub der Muffe – oder, was dasselbe sagt, die höchste Stellung des Regulatorpunktes – sei H, so ergibt Gleichung (2) für diesen Fall angewendet: ω0 = ωu = c2 H. da ω0 und H einander entsprechen. Daraus ist c_2=\frac{\omega_0-\omega_u}{H}. Für diese Stellung läßt sich aber auch Gleichung (3) anschreiben, wenn wir annehmen, daß dem H ein Drehmoment M0 = 0 entspreche, mit 0 = Mu – c3 H, woraus c_3=\frac{M_u}{H}. Demnach ist nun: \frac{c_3}{c_2\,J}=\frac{\frac{M_u}{H}}{J\,.\,\frac{\omega_o-\omega_u}{H}}=\frac{M_u}{J\,(\omega_o-\omega_u)}. Dieser Ausdruck stellt aber den reziproken Wert der Zeit dar, die die mit vollem Drehmoment arbeitende Maschine braucht, um sich von ωu auf ω0, d.h. innerhalb des Regulatorungleichförmigkeitsgrades von der untersten auf die oberste Tourenzahl zu beschleunigen. Wir wollen diese Zeit mit Td bezeichnen und die Durchgangszeit der Maschine nennen. Wie leicht einzusehen, besteht zwischen der Durchgangs- und der sogen. Anlaufzeit, d.h. der, welche die mit vollem Drehmoment arbeitende Maschine – theoretisch – nötig hat, um von ω = 0 auf ω = ω0 zu kommen, die Beziehung, daß Td = δr . T, wenn δr der Ungleichförmigkeitsgrad des Regulators und T die Anlaufzeit ist.Ist für h = H, M = M0 ⋛ 0, so tritt im Ausdruck für \frac{c_3}{c_2\,J} noch der Faktor \frac{M_u}{M_u-M_o} im Nenner hinzu. Dann bleibt natürlich die obenerwähnte Beziehung zwischen T und Td nicht mehr bestehen. Wir haben also: \frac{c_3}{c_2\,J}=\frac{I}{T_d} . . . . . . (17) oder \beta=\frac{\alpha}{T_d}=\frac{4\,\pi^2}{T_r\,T_d} . . . . . . (18) Tatsächlich bestimmen nun die Werte von Tr und Td den Verlauf des Reguliervorganges in seiner idealen Form vollständig. Es erscheint daher gerechtfertigt sie als „charakteristische Zeiten der Maschine“ zu bezeichnen, Ihre wesentliche Bedeutung wird allerdings erst bei der Behandlung der durch eine Oelbremse gedämpften Schwingungen ganz klar werden. Was nun Gleichung (9) anbelangt so stellt sie das Bewegungsgesetz einer Schwingung dar, deren Amplituden sich verändern. Wie aus Gleichung (10) ersichtlich, muß w1 immer negativ herauskommen, da α und ß immer reell und positiv sind, in der Gleichung für w1 daher die erste ∛, positiv, die zweite aber negativ und dem absoluten Betrag nach größer als die erste ist; daher ist w1 immer negativ und p immer positiv. Während also in Gleichung (9) das erste Glied C_1\,e^{w_1\,t} bei wachsendem t bald sehr klein wird, wächst ept d.h. die Schwingungen des Regulators nehmen rasch zu, desgleichen die Schwankungen der Tourenzahl der Maschine, wie aus Gleichung (14) erhellt, da ω und hm zueinander in linearer Beziehung stehen. Da in den Ausdrücken für w1, p und q das x1, d.h. die Größe, die die Entlastung bestimmt, nicht vorkommt, die Integrationskonstanten ihr jedoch proportional sind, so folgert, daß die Diagramme der Reguliervorgänge für verschiedene Entlastungsstufen einander ähnlich sind, d.h. also mit anderen Worten, mit Rücksicht auf das soeben Gesagte: sowie die Maschine in ihrem Beharrungszustand durch eine noch so kleine Zufälligkeit gestört wird, gerät das ganze System in Schwingungen, die sich fortwährend verstärken. Der Beharrungszustand ist also – wenigstens im idealen Falle – labil, die Regulierung unbrauchbar. Zum Vergleich sollen nunmehr auch noch die Gleichungen entwickelt werden, die den Verlauf des Reguliervorganges für den Fall darstellen, daß die Einwirkung des Regulators nur absatzweise stattfindet. Wir nehmen an, die Stellung des Regulators zu Hubbeginn sei nunmehr für das während des ganzen Hubes ausgeübte Drehmoment maßgebend. Dadurch läßt sich der Verlauf des Vorgangs natürlich nur von Hub zu Hub verfolgen; eine Darstellung des gesamten Vorgangs muß der Behandlung eines speziellen Beispiels vorbehalten bleiben. Jetzt wollen wir nur die allgemeinen Gleichungen für einen Hub verfolgen. Zu diesem Ende bezeichne: hra und hre die Höhen des Regulatorpunktes zu Hubanfang und -Ende. hma und hme die Höhen des Motorpunktes zu Hubanfang und -Ende. vra und vre die Geschwindigkeiten des Regulatorpunktes zu Hubanfang und -Ende. Th die Hubdauer. vm die (wie nachher gezeigt wird, während des ganzen Hubes konstante) Geschwindigkeit des Motorpunktes. Wir hatten früher für das beschleunigende Moment den Ausdruck gefunden: M b = c 3 (h 1 – h), wofür wir nunmehr, da nach unserer Voraussetzung hra für das während des ganzen Hubes ausgeübte Drehmoment maßgebend ist, schreiben können: Mb = c3 (h1 – hra). Die Winkelbeschleunigung der Maschine ist daher \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M_b}{J}=\frac{c_3}{J}\,(h_l-h_{ra}). Nun hatten wir aber nach Gleichung (2) ω = ωu + c2 hm, oder, nach der Zeit differenziert \frac{d\,\omega}{d\,t}=c_2\,\frac{d\,h_m}{d\,t}=c_2\,v_m, nach obiger Bezeichnung. Daraus ist nun c_2\,v_m=\frac{c_3}{J}\,(h_l-h_{ra}) oder v_m=\frac{c_3}{c_2\,J}\,(h_l-h_{ra}) oder mit Benutzung von Gleichung (17) v_m=\frac{l}{T_d}\,(h_l-h_{ra}) konstant für den ganzen Hub. Fangen wir bei Hubbeginn immer die Zeit mit t = 0 neu zu zählen an, so ist hm= hma + vm t. Ferner war: P=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=c_1\,(h_m-h) oder m\,.\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=c_1\,(h_{ma}+v_m\,t-h) oder geordnet \frac{d^2\,t}{d\,t^2}+\frac{c_1}{m}\,-\frac{c_1\,v_m}{m}\,t-\frac{c_1}{m}\,h_{ma}=0. Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung lautet: h=A\mbox{ sin }\left(B+\sqrt{\frac{c_1}{m}}\,t\right)+h_{ma}+v_m\,t. (19) A und B sind die aus den Anfangsbedingungen zu ermittelnden Integrationskonstanten. Aus Gleichung (19) ergibt sich durch Differentation nach der Zeit: \frac{d\,h}{d\,t}=\sqrt{\frac{c_1}{m}}\,A\mbox{ cos }\left(B+\sqrt{\frac{c_1}{m}}\,t\right)+v_m . (20) Zur Zeit t = 0 ist h = hra und \frac{d\,h}{d\,t}=v_{ra}, daher hra = A sin B + hma v_{ra}=\sqrt{\frac{c_1}{m}}\,A\mbox{ cos }B+v_m. Daraus ist dann \left{{A=\sqrt{(h_{ra}-h_{ma})^2+\frac{m}{c_1}\,(v_{ra}-v_m)^2}}\atop{tg\,B=\frac{h_{ra}-h_{ma}}{v_{ra}-v_m}\,.\,\sqrt{\frac{c_1}{m}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\}\ .\ (21) Die Lagen und Geschwindigkeiten von Regulator- und Motorpunkt am Ende des Hubes findet man, wenn man in die entsprechenden Gleichungen für t die Hubzeit Th einsetzt. Diese Größen bestimmen dann den nächsten Hub, für den wir wieder mit t = 0 die Zeit neu zu zählen beginnen usw. (Fortsetzung folgt.)