Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. (Die Sinuslinie als Uebergangsbogen.) Von Ingenieur Robert Edler, k. k. Professor, Wien. Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. Die Verbindung zweier gerader Gleisstrecken mit verschiedener Richtung wird gewöhnlich in der Weise vorgenommen, daß man zwischen den beiden Geraden g g (Fig. 1) einen Kreisbogen K einlegt, der die Geraden in den Punkten A und B berührt; der Halbmesser R dieses Kreises hängt von der größten vorkommenden Fahrgeschwindigkeit ab. Da jedoch in den Punkten A und B der Krümmungshalbmesser der Gleisachse plötzlich vom Werte ∾ bis auf R herabsinkt, wird die Einschaltung zweier Uebergangsbogen A' A und B' B erforderlich, welche den Krümmungshalbmesser ρ allmählich von ∾ bis auf R ermäßigen. Wenn man nun den Kreismittelpunkt D beibehalten will, dann wird eine Verschiebung der anschließenden geraden Strecken g g nach g' g' erforderlich, was häufig Schwierigkeiten verursacht oder ganz unmöglich ist, so z.B. dann, wenn die Gleisachse in der Geraden durch größere Objekte (Brücken, Tunnel usw.) unverrückbar festgelegt ist. In solchen Fällen muß man entweder (vergl. Fig. 2) den Mittelpunkt D des Kreises nach D' verschieben, wenn man den Kreishalbmesser R beibehalten will, oder man muß den Kreishalbmesser R auf den etwas kleineren Wert R' herabmindern, wenn man den Mittelpunkt D unverändert benutzen will (vergl. Fig. 3).Vergl. Max Edler von Leber, Uebergangskurven mit äußerem und innerem Anschluß; Verordnungsblatt des österr. k. k. Handelsministeriums für Eisenbahnen und Schiffahrt, 1890, Nr. 102 und 131. In den meisten Fällen wird sich das letztere Hilfsmittel als zweckmäßigstes erweisen, weil sich dann die Hauptfixpunkte der Bahntrasse (Gerade und Kreismittelpunkte), welche bequem und sicher schon bei der generellen Trassierung eingemessen werden können, unverändert benutzen lassen, sobald die Vermessung der einzelnen Bahnkrümmungen beginnt. Abweichend von dieser allgemein üblichen Festlegung der Gleisachse in Krümmungen hat H. OostinjerOrgan für die Fortschritte des Eisenbahnwesens 1897, S. 178; 1909, S. 170. (H. Oostinjer, Zivilingenieur zu Stadskanaal). vorgeschlagen, die Verbindung der beiden Geraden g g ohne Verwendung eines Kreisbogens durchzuführen, indem die Ueberleitung aus der einen Richtung in die andere durch zwei symmetrische Bogenhälften vermittelt wird, welche aus einer Kurve entnommen werden, die eine stetige Aenderung des Krümmungshalbmessers ρ vom Werte ∾ bis zu dem endlichen Werte ρ = R ermöglicht Oostinjer hat hierfür seinerzeit die Verwendung der LemniscateDie Gleichung der Lemniscate lautet:a)b)im bipolaren Koordinatensystem (Brennpunkt-Distanz = a · √2) : r1 · r2 = K2im rechtwinkligen Koordinatensystem:(x2 + y2)2 – a2 . (x2 – y2) = 0a = K · √2 und kürzlich die Benutzung der (sogen.) kubischen Parabely = a . x3 im rechtwinkligen Koordinatensystem; die eigentliche kubische Parabel y2 = a . x3 ist der gemeinen Parabel y2 = a . x ähnlicher als die Kurve y = a . x3, sie führt aber zumeist den Namen semikubische Parabel (y = ± √a · x3∣2 = ± a1 · x3∣2). angeregt. Das Wesen dieser Lösung der Aufgabe besteht also darin, daß die Verbindung der beiden geraden Strecken durch zwei kongruente und symmetrisch gelegene Uebergangsbogen hergestellt wird, ohne daß dabei ein Kreisboge eingeschaltet wird; dabei erreicht aber der Gleisbogen im Scheitel E (Fig. 5 u. f.) den durch die maximale Fahrgeschwindigkeit vorgeschriebenen Minimalwert R des Krümmungshalbmessers ρ. In der nachstehenden Theorie soll nun die Sinuslinie für diesen Zweck herangezogen werden, welche schon deshalb besondere Beachtung verdient, weil sie für den algebraischen Ausdruck des Krümmungshalbmessers im Scheitel einen besonders einfachen Wert ergibt. Textabbildung Bd. 325, S. 570 Fig. 1. Textabbildung Bd. 325, S. 570 Fig. 2. Textabbildung Bd. 325, S. 570 Fig. 3. Textabbildung Bd. 325, S. 570 Fig. 4. Es seien g g (Fig. 4) die beiden geraden Strecken, welche miteinander zu verbinden sind; dieselben schließen miteinander den Winkel 2 . φ ein und schneiden sich im Punkte C außerhalb der zukünftigen Bahntrasse. Auf der durch C gehenden Winkelsymmetralen muß der Mittelpunkt des Krümmungskreises liegen, welcher dem kleinsten zulässigen Krümmungshalbmesser ρmin = R entspricht. Für den speziellen Wert φ = φ1 = π/4 (= 45°) kann man nun leicht die normale Sinuslinie an die beiden Geraden g g anschließen (Fig. 5), weil die Geraden A C1 und B C1 zugleich die Tangenten an die Sinuslinie darstellen; dieselben haben gegen die Abszissenachse (AD1BX in Fig. 5) eine Neigung von 45° bezw. 135°; der Ursprung des Achsensystems liegt dabei in A. Ist dabei die Ordinate D1 E1 = r1 (Meter) im Scheitel der Sinuskurve als Längeneinheit gewählt, so hat die Sehne A D1 B = 2 . l (Meter), welche die beiden Bogenanfänge A und B miteinander verbindet, die Länge π Längeneinheiten. Textabbildung Bd. 325, S. 571 Fig. 5. Die normale Sinuskurve eignet sich also unmittelbar als Gleisbogen für die Verbindung zweier Geraden, welche miteinander einen rechten Winkel einschließen. Textabbildung Bd. 325, S. 571 Fig. 6. Für alle Werte von φ, welche größer als 45°, jedoch kleiner als 90° sind (45° < φ < 90°), kann man (vergl. Fig. 6) eine abgeflachte Sinuslinie benutzen, deren Scheitelordinate r (Meter) = D1 E kleiner als die oben angenommene Längeneinheit (r1 Meter) wird, wenn wir wieder die Länge der Sehne A D1 B = π Längeneinheiten = 2 . l (Meter) setzen. Die Aufgabe ist als gelöst anzusehen, wenn wir die Höhe h = D1C bestimmen können und wenn dabei die Bedingung erfüllt ist, daß der Krümmungshalbmesser ρE im Punkte E den vorgeschriebenen Wert R besitzt. Wenn jedoch 0 < φ < 45° wird, dann ergibt sich eine überhöhte Sinuslinie (Fig. 7), deren Scheitelordinate r (Meter) = D1 E größer wird als die oben angenommene Längeneinheit r1 (Meter), wenn wieder die Länge der Sehne A D1 B = π Längeneinheiten = 2 . l (Meter) gewählt wird. Auch hier führt die Bestimmung der Länge D1 C zum Ziele, wenn dabei der Krümmungshalbmesser φE in E den vorgeschriebenen Wert R erhält. Da in den meisten Fällen φ > 45° sein wird, so wollen wir diesen Fall zuerst allgemein behandeln; der Spezialwert φ = φ1 = 45° wird sich dann daraus leicht ableiten lassen, und ebenso können dann die Schlußfolgerungen leicht auf den Fall φ < 45° ausgedehnt werden. Wie man aus der Fig. 6 und noch deutlicher aus der Fig. 8 erkennt, schließt sich die abgeflachte Sinuslinie als Gleisbogen in den Bogenanfängen A und B an die gegebenen geraden Richtungen A C und B C derart an, daß letztere zugleich die Tangenten der abgeflachten Sinuslinie bilden. Offenbar genügt es wegen der vollkommenen Symmetrie der beiden Hälften des Gleisbogens, die linke Hälfte A E näher zu untersuchen. Textabbildung Bd. 325, S. 571 Fig. 7. Bezeichnet man mit T (Meter) die Entfernung des Bogenanfanges A vom Schnittpunkt C der beiden Geraden, mit r (Meter) die Scheitelordinate D1 E, mit l (Meter) die halbe Länge A D1 der Sehne A D1 B, endlich mit h (Meter) die Strecke D1 C, so gelten folgende Beziehungen: tang τ = h : l sin  τ = h : T . . . . 1) cos τ = l : T Wählt man dabei die Längeneinheit so, daß A D1 = l (Meter) =\frac{\pi}{2} Längeneinheiten . . 2) ist, so entspricht die Strecke A D1 der Länge eines Viertelkreisbogens vom Radius gleich der Längeneinheit; ist letztere gleich r1 (Meter), dann kann man (vergl. Fig. 9) leicht über derselben Sehne A D1 B sowohl die normale Sinuslinie A M1 E1 B als auch die abgeflachte Sinuslinie A M E B konstruieren; erstere hat die Scheitelordinate D1 E1 = r1 (Meter) = 1 Längeneinheit, bei letzterer hat die Scheitelordinate D1 E den Wert r (Meter) = r/r1 Längeneinheiten gemäß der Proportion: Textabbildung Bd. 325, S. 571 Fig. 8. r_1\,:\,1=r\,:\,\frac{r}{r_1} . . . . . . 3) Die Konstruktion der einzelnen Punkte der normalen und der abgeflachten Sinuslinie erfolgt dabei am einfachsten mit Benutzung der beiden Hilfskreise H K1 und H K (auf der linken Seite der Fig. 9); dieselben sind mit den Halbmessern r1 und r konstruiert. Die Länge des Viertelkreisbogens A1 P1 D1, welche den Wert π/2 Längeneinheiten =r_1\,.\,\frac{\pi}{2} (Meter) hat, wird von A über P nach D1 abgewickelt. Es entspricht dann die Strecke A P der Bogenlänge A1 P1 = r1 . α = α Längeneinheiten, wobei α im Bogenmaß auszudrücken ist; wenn man α im Gradmaße messen will, dann wird: a^0\,:\,a=90^{\circ}\,:\,\frac{\pi}{2} a^0=\frac{a}{\pi}\,.\,180^{\circ} . . . . 4) Textabbildung Bd. 325, S. 572 Fig. 9. Für die beiden zugehörigen Punkte M1 und M auf der normalen und auf der abgeflachten Sinuslinie gelten dann folgende Gleichungen, vorausgesetzt, daß die Ordinaten y1 und y in der gewählten Längeneinheit (= r1 Meter = D1 E1) ausgedrückt werden: y1= P M1= D1E1 . sin α = sin α . . . 5) v=P\,M=D_1\,E\,.\,\mbox{sin}\,\alpha=\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{sin}\,\alpha . . 6) für α = π/2, also α ° = 90° wird: y1 max= D1E1 = 1 . . . . . 7) y_{max}=D_1\,E=\frac{r}{r_1} . . . . . 8) Berechnet man den Neigungswinkel τ1 bezw. τ der Tangenten A C1 bezw. A C im Ursprung A, so wird: \left\mbox{tang }\tau_1=\frac{d\,y_1}{d\,\alpha}\right|_{\mbox{für }\alpha=0}=\left\frac{d\,(\mbox{sin}\,\alpha)}{d\,\alpha}=\mbox{cos}\,\alpha\right|_{\mbox{für }\alpha=\Theta}=1 \left\mbox{tang}=\frac{d\,y}{d\,\alpha}\right|_{\mbox{für }\alpha=0}=\left\frac{r}{r_1}\,.\,\frac{d\,(\mbox{sin}\,\alpha)}{d\,\alpha}=\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\right|_{\mbox{für }\alpha=\Theta}=\frac{r}{r_1} somit ergibt sich: τ1=π/4τ = arc tang r/r1 9) also wegen Gleichung 1: tang τ1 = h1 : l = 1tang τ = h : l = r : r1 10) Von besonderer Wichtigkeit ist die Größe des Krümmungshalbmessers \rho_{E_1} und ρE in den Scheiteln E1 und E. Der Krümmungshalbmesser ρ kann für jeden beliebigen Punkt aus der allgemein giltigen Gleichung: \rho=\pm\,\frac{\left[1+\left(\frac{d\,y}{d\,\alpha}\right)^2\right]^{3/2}}{\frac{d^2\,y}{d\,a^2}} . . . 11) berechnet werden. Für y=\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{sin}\,\alpha . . . . . . 6) erhält man daher: 1+\left(\frac{d\,y}{d\,a}\right)^2=1+\left(\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\right)^2=\frac{{r_1}^2+r^2\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha}{{r_1}^2} \frac{d^2\,y}{d\,a^2}=-\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{sin}\,\alpha=-y . . . . 12) und daraus: \rho=\mp\,\frac{({r_1}^2+r^2\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha)^{3/2}}{r\,.\,r^2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha} . . . 13) für den Punkt E der abgeflachten Sinuskurve ist: α = π/2 . . . . cos α = 0 . . . . sin α = 1, somit wird (mit Vernachlässigung des hier belanglosen Doppelzeichens): \rho_E=\frac{{r_1}^3}{r\,.\,{r_1}^2}=\frac{r_1}{r} . . . . 14) Dabei ist der Krümmungshalbmesser ρE wieder in der oben angegebenen Längeneinheit ausgedrückt; soll derselbe gleich R (Meter) werden, dann kann man die Proportion benutzen: \underbrace{R\,:\,r_1}_{\mbox{Meter}}=\underbrace{\rho_E\,:\,r_1}_{\mbox{Längeneinheiten}} . . . 15) Daraus folgt: R=r_1\,.\,\rho_E=\frac{{r_1}^2}{r} . . . . 15a) (R, r1 und r sind dabei in Metern ausgedrückt). Aus der Gleichung 14 kann man eine bequeme graphische Bestimmung des Krümmungshalbmessers ρE ableiten, wenn man aus Gleichung 14 folgende Proportion bildet: r : 1 = r1 : ρED1 G : D1 H = D1 E1 : D1J 16) Die beiden parallelen Linien G E1 und H J ermöglichen es also, den Krümmungshalbmesser ρE = D1 J in demselben Maßstabe, wie die Höhen D1 E, D1 C usw., graphisch zu bestimmen. Trägt man also den Wert ρE = D1 J = E D von E nach abwärts auf, so erhält man den Krümmungsmittelpunkt D und damit auch den Krümmungskreis K im Scheitel E der abgeflachten Sinuslinie. Für die normale Sinuslinie ist r = r1 und daher wird nach Gleichung 14 für den Punkt E1: ρE 1 = 1 . . . . . . . 17) ausgedrückt in der gewählten Längeneinheit. Soll dieser Wert gleich R1 (Meter) werden, dann ist folgende Proportion zu benutzen: \underbrace{R\,:\,r_1}_{\mbox{Meter}}=\underbrace{\rho_{E_1}\,:\,1}_{\mbox{Längeneinheiten}}=1\,:\,1 somit wird R1 = r1 . . . . . . . 18) Auch für die Tangente im Ursprung A läßt sich eine einfache graphische Bestimmung angeben, die aus der Gleichung 10 folgt; man erhält nämlich für die abgeflachte Sinuslinie aus Gleichung 10 durch Vertauschung der äußeren Glieder: \left{{r_1\,:\,l=r\,:\,h}\atop{F\,D_1\,:\,A\,D_1=D_1\,E\,:\,D_1\,C}}\right\}\ .\ .\ .\ 19) d.h. die Tangente A C ist parallel zu der Linie F E zu ziehen. Für die normale Sinuslinie ergeben sich aus Gleichung 19 wegen r = r1 und h = h1 folgende Beziehungen:      r1: l = r1 : h1 also h 1 =l . . . . . vgl. 10) Dazu ist zu erwähnen, daß die Länge l (Meter) dem Bogen π/2 entspricht, so wie die Länge r1 (Meter) dem Bogen 1 (gewählte Längeneinheit) entspricht, also: \underbrace{l\,:\,r_1}_{\mbox{Meter}}=\underbrace{\pi/2\,:\,1}_{Längeneinheiten} . . . . 20) daher l = π/2 . r1 . . . . . . 21) Wenn man schließlich noch bedenkt, daß τ = π/2 – φ . . . . (τ0 = 90° – φ°) . . 22) dann wird aus Gleichung 1: tang φ = l : h  sin φ = l : T cos φ = h : T) . . . . 23 (Fortsetzung folgt.)