Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. (Die Sinuslinie als Uebergangsbogen.) Von Ingenieur Robert Edler, k. k. Professor, Wien. (Fortsetzung von S. 573 d. Bd.) Gleisbogen mit unendlich großem Krümmungshalbmesser in den Bogenanfängen. Nach Feststellung dieser einfachen Beziehungen kann man nunmehr die allgemeine Lösung der Aufgabe in Angriff nehmen; es ist dazu nur erforderlich, die Höhe h durch den vorgeschriebenen kleinsten Krümmungsradius R und durch den Winkel φ auszudrücken, denn nach Absteckung der beiden Geraden g g sind nur diese beiden Größen (φ und R) unmittelbar bekannt, bezw. gegeben. Für die Berechnung stehen, wie kurz zusammengefaßt werden möge, folgende Gleichungen zur Verfügung: R=\frac{{r_1}^2}{r} . . . 15a) h=\frac{r\,.\,l}{r_1} . . . 19) l=\frac{\pi}{2}\,.\,r_1 . . . 20) \frac{l}{h}=\frac{r_1}{r}=\mbox{tang }\varphi . . . 23) Daraus folgt: \frac{R}{h}=\frac{{r_1}^3}{r^2\,.\,l}=\frac{{r_1}^3\,.\,2}{r^2\,.\,\pi\,.\,r_1}=\frac{2}{\pi}\,.\,\frac{{r_1}^2}{r_2}=\frac{2}{\pi}\,.\,\mbox{tang}^2\,\varphi h=\frac{\pi}{2\,.\,\mbox{tang}^2\,\varphi}\,.\,R . . . 24) Man kann also nunmehr die Strecke h auf der Winkelsymmetralen der beiden Geraden g g von C nach D1 auftragen, und dann von D1 aus die beiden Richtungen D1 A und D1 B bestimmen; auf diesen Richtungen ist sodann die halbe Sehnenlänge l abzuschneiden, wodurch die beiden Bogenanfangspunkte A und B bestimmt sind. Pur l kann man den Wert aus Gleichung 23 und 24 bestimmen; es wird nämlich: l=h\,.\,\mbox{tang}\,\varphi=\frac{\pi}{2\,.\,\mbox{tang}\,\varphi}\,.\,R . . 25) Aus den beiden Gleichungen sin φ = l/T und cos φ = h/T . . . 23) kann man übrigens die Lage der beiden Bogenanfangspunkte A und B auch unmittelbar berechnen, denn es wird: C\,A=C\,B=T=\frac{h}{\mbox{cos}\,\varphi}=\frac{l}{\mbox{sin}\,\varphi} T=\frac{\pi}{2\,.\,\mbox{sin}\,\varphi\,.\,\mbox{tang}\,\varphi}\,R . . . . 26) Die Formeln 24, 25, 26 für h, l und T sind ohne Umrechnung unmittelbar für logarithmische Rechnungen brauchbar, was ihrer Verwendung sicher förderlich sein wird. Textabbildung Bd. 325, S. 603 Fig. 10. Vergleicht man mit diesen Gleichungen jene Formeln, welche für die Lemniscate und für die kubische Parabel anzuwenden sindOrgan für die Fortschritte des Eisenbahnwesens 1897, S. 178; 1909, S. 170., dann erkennt man die wesentlich bequemere und einfachere Berechnungsmöglichkeit nach den Formeln 24, 25, 26 für die Sinuslinie. Für die Beurteilung des Umstandes, wie sich die abgeflachte Sinuskurve einerseits in der Nähe des Bogenanfanges (A oder B) an die Gerade g g, anderseits in der Nähe des Scheitels E an den Krümmungskreis vom vorgeschriebenen Minimalradius anschmiegt, ist die Berechnung des Verhältnisses v = ρ : ρE wichtig. Man erhält dafür aus den Gleichungen: \rho=\mp\,\frac{({r_1}^2+r^2\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha)^{3/2}}{r\,.\,{r_1}^2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha} . . . 13) ρE= r1/r . . . . . . . 14) mit Vernachlässigung des hier irrelevanten Doppelzeichens Agenden Wert: v=\frac{\rho}{\rho_E}=\frac{({r_1}^2+r^2\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha)^{3/2}}{{r_1}^3\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}=\left(1+\frac{r^2}{{r_1}^2}\,.\,\mbox{cos}^2\,\alpha\right)^{3/2}\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha} Nach Gleichung 23 ist aber: \frac{r}{r_1}=\frac{1}{\mbox{tang}\,\varphi} somit wird: v=\frac{\rho}{\rho_E}=\left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right)^{3/2}\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha} . . 27) Es entspricht dabei ρ dem Krümmungshalbmesser in dem beliebigen Punkte M der abgeflachten Sinuskurve, während ρE ein Maß für den vorgeschriebenen Krümmungshalbmesser R im Scheitel E darstellt, denn es ist R = r1 . ρE (Gleichung 15). Nach Gleichung 27 können wir nun leicht für beliebige Werte von φ und α das Verhältnis v = ρ : ρE berechnen; man sieht zunächst, daß v niemals kleiner als 1 werden kann, wie es ja auch selbstverständlich ist, da der kleinste Krümmungshalbmesser den Wert oe besitzt (im Scheitel E der abgeflachten Sinuskurve). Für φ wählen wir die Werte 45°, 50° . . . . 85°, 90°, entsprechend den am häufigsten vorkommenden Neigungsverhältnissen der beiden Geraden gg. Für den Winkel α wollen wir die Werte 0°, 9°, 18° . . . 81°, 90° annehmen, weil dadurch die Strecke AD1 (halbe Sehne zwischen den Bogenanfängen A und B), welche dem Winkel α° = 90° (α = π/2) entspricht, in zehn gleiche Teile geteilt wird, was die bequeme Bestimmung einer genügenden Anzahl von Teilpunkten der Strecke A D1 ermöglicht. Für diese Punkte kann man dann aber aus der Beziehung; y=\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{sin}\,\alpha 6) leicht die Ordinaten der abgeflachten Sinuslinie bestimmen (ausgedrückt in der angenommenen Längeneinheit r1), so daß zwischen dem Bogenanfang A und dem Scheitel E noch neun Zwischenpunkte festgelegt werden können, woraus eine hinreichend genaue Absteckung der gekrümmten Gleisachse abgeleitet werden kann. Man erhält also zunächst die in Tab. 1 zusammengestellten Werte für \left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tag}^2\,\varphi}\right) Mit Hilfe dieser Werte können jetzt leicht für die angenommenen Zwischenpunkte die Werte des Verhältnisses v = ρ : ρE berechnet werden, und man erhält dann Tabelle 2: Diese beiden Tabellen sind mit Hilfe siebenstelliger Logarithmen berechnet, was für alle Zwecke der Praxis eine mehr als hinreichende Genauigkeit verbürgt. Die Werte für v = ρ : ρE sind überdies in der Fig. 10 graphisch dargestellt, so daß für angenäherte Berechnungen, wie sie beim ersten Entwurf mit genügen, eine rasche und bequeme Bestimmung von Zwischenwerten ohne umständliche Berechnung ermöglicht erscheint. Tabelle 1. Werte für \left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right). α° φ° = 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85° 90°   0° 2 1,7040881 1,4902907 1,3333333 1,2174428 1,1324744 1,0717968 1,0310912 1,0076543 1   9° 1,9755282 1,6868578 1,4782923 1,3251761 1,2121216 1,1292325 1,0700398 1,0303304 1,0074670 1 18° 1,9045083 1,6368535 1,4434720 1,3015028 1,1966788 1,1198211 1,0649408 1,0281223 1,0069233 1 27° 1,7938927 1,5589704 1,3892381 1,2646309 1,1726262 1,1051704 1,0569989 1,0246831 1,0060767 1 36° 1,6545083 1,4618938 1,3208993 1,2181695 1,1423181 1,0867056 1,0469916 1,0203495 1,0050098 1 45° 1,5000000 1,3520441 1,2451453 1,1666667 1,1087214 1,0662372 1,0358984 1,0155456 1,0038271 1 54° 1,3454915 1,2432565 1,1693913 1,1151638 1,0751246 1,0457688 1,0248052 1,0107418 1,0026445 1 63° 1,2061074 1,1451178 1,1010525 1,0687025 1,0448166 1,0273039 1,0147979 1,0064081 1,0015776 1 72° 1,0954915 1,0672344 1,0468183 1,0318305 1,0207639 1,0126502 1,0068560 1,0029690 1,00073092 1 81° 1,0244717 1,0172303 1,0119983 1,0081572 1,0053212 1,0032419 1,0017570 1,00076086 1,00018731 1 90° 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – Tabelle 2. Werte für v=\frac{\rho}{\rho_E}=\left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right)^{3/2}\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}. α° cos α cos2α sin α φ° = 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85° 90° tang2 φ = 1,000000 1,420277 2,039607 3,000000 4,598911 7,548631 13,92820 32,16343 130,6461 ∞   0° 1 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞   9° 0,9876882 0,9755282 0,1564345 17,74976 14,00507 11,48969 9,75165 8,53075 7,67084 7,07567 6,68548 6,46599 6,39245 18° 0,9510565 0,9045083 0,3090170 8,50535 6,77692 5,61216 4,80491 4,23627 3,83478 3,55636 3,37353 3,27238 3,23607 27° 0,8910065 0,7938927 0,4539905 5,29234 4,28756 3,60677 3,13256 2,79700 2,55916 2,39367 2,28474 2,22280 2,20269 36° 0,8090169 0,6545083 0,5877853 3,62064 3,00715 2,58277 2,28740 2,07717 1,92730 1,82262 1,75350 1,71410 1,70130 45° 0,7071068 0,5000000 0,7071068 2,59808 2,22332 1,96492 1,78211 1,65017 1,55703 1,49104 1,44732 1,42234 1,41421 54° 0,5877853 0,3454915 0,8090169 1,92914 1,71350 1,56308 1,45563 1,37794 1,32189 1,28234 1,25604 1,24097 1,23607 63° 0,4539905 0,2061074 0,8910065 1,48149 1,37529 1,29668 1,23995 1,19861 1,16860 1,14733 1,13313 1,12498 1,12233 72° 0,3090170 0,0954915 0,9510565 1,20561 1,15927 1,12616 1,10206 1,08438 1,07148 1,06229 1,05615 1,05262 1,05146 81° 0,1564345 0,0244717 0,9876882 1,04986 1,03874 1,03074 1,02488 1,02056 1,01739 1,01513 1,01362 1,01275 1,01247 90° 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Die Vermessung der einzelnen Kurvenpunkte zwischen A und E für α = 9°, 18° . . . , welche mit Hilfe der Gleichung 6 [y = r/r1 . sin α . . . y in der gewählten Längeneinheit = r1 Meter ausgedrückt!] durchzuführen wäre, setzt die Möglichkeit voraus, die zugehörigen Teilpunkte auf der Sehne A D1 tatsächlich auspflocken zu können. Dies wird jedoch häufig nicht möglich sein, da die Zwischenpunkte von A bis D1, häufig sogar auch D1 selbst, nicht zugänglich sind. Es ist daher zum Mindesten zweckmäßig, wenn nicht sogar unbedingt erforderlich, die Festlegung der Zwischenpunkte der Kurve A M E von dem Bogenanfangspunkte A aus durchzuführen, selbstverständlich mit Benutzung der festliegenden Richtung der Anschlußgeraden g (A C). Diese Aufgabe ist als gelöst anzusehen, wenn es gelingt (vergl. Fig. 11), den Winkel δ = τ – γ festzulegen, welchen die Visierlinie A M mit der Anschlußgeraden A C bildet, und wenn die Entfernung q (Meter) des beliebigen Kurvenpunktes M vom Bogenanfang A berechnet werden kann. Der Kurvenpunkt M hat die Koordinaten \underbrace{\alpha\mbox{ und }y}_{\mbox{Längeneinheiten}}\mbox{ bewz. }\underbrace{x\mbox{ und }p}_{\mbox{Meter}}; für den Scheitelpunkt E ergeben sich demgemäß als Koordinaten: \underbrace{\alpha/2\mbox{ und }r/r_1}_{\mbox{Längeneinheiten}}\mbox{ bewz. }\underbrace{l\mbox{ und }r}_{\mbox{Meter}} Textabbildung Bd. 325, S. 604 Fig. 11. Es ist nun für den Punkt M: \mbox{tang}\,\gamma=\frac{P\,M}{A\,P}=\frac{p}{x} . . . . 28) q=\frac{x}{\mbox{cos}\,\gamma} . . . . 29) (Dabei ist p, x und q in Metern auszudrücken.) Es ist p = P M = D1 E . sin α = r . sin α . . 30) ferner wird: x : l = α : π/2 Meter Längeneinheiten daher wegen: l = π/2 . r1 . . . . . . 30) x=l\,.\,\frac{2\,.\,\alpha}{\pi}=\frac{\pi}{2}\,r_1\,.\,\frac{2\,.\,\alpha}{\pi}=\alpha\,.\,r_1 . . 31) somit ergibt sich aus Gleichung 28, 29 und 30: q=\frac{x}{\mbox{cos}\,\gamma}=\frac{x\,.\,\mbox{tang}\,\gamma}{\mbox{sin}\,\gamma}=\frac{p}{\mbox{sin}\,\gamma}=r\,.\,\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\mbox{sin}\,\gamma} . 32) Für α ist dabei einer der weiter oben angenommenen Werte (9°, 18° . . .) anzunehmen, während der Winkel γ zu berechnen ist aus: \mbox{tang}\,\varphi=\frac{p}{x}=\frac{r\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha\,r_1}=\frac{r}{r_1}\,.\,\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}=\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha\,\mbox{tang}\,\varphi} 33) wobei α (im Nenner) im Bogenmaß (nicht in Graden!) auszudrücken ist. Die Visierlinie A M ist endlich durch den Winkel δ = τ – γ . . . . . . 34) festgelegt; dabei kann τ berechnet werden aus y = r/r1 sin α, wie folgt: \mbox{tang}\,\tau=\frac{d\,y}{d\,a}\left|_{\mbox{für }\alpha=0}=\frac{r}{r_1}\,.\,\mbox{cos}\,\alpha\right|_{\mbox{für }\alpha=0}=\frac{r}{r_1} . 35) Man erkennt – und dies ist für die praktische Berechnung von nicht zu unterschätzendem Werte –, daß wieder alle Gleichungen zur Bestimmung von γ, τ, x, p, g für logarithmische Berechnungen unmittelbar brauchbar sind; überdies sind alle Hauptformeln von bestechender Einfachheit und übertreffen in dieser Hinsicht die Formeln, Welche bei der kubischen Parabel und bei der Lemniscate vorkommen. Von großer Wichtigkeit für die Verlegung des Gleises ist die Größe der Schienenüberhöhung an den einzelnen Stellen des Gleisbogens. Die Berechnung der Schienenüberhöhung H kann nach Fig. 12 in folgender Weise vorgenommen werden: Auf den Schwerpunkt S des Fahrzeuges wirkt bei der Fahrt in Krümmungen einerseits das Gewicht Gkg, anderseits die Fliehkraft Fkg ein; letztere wirkt in einer Ebene, welche normal zur Rotationsachse gelegen ist, d.h. die Fliehkraft F wirkt nicht, wie es gewöhnlich näherungsweise angenommen wird, in einer wagerechten Ebene, sondern parallel zu einer über die Schienenköpfe gelegten Ebene. Die Resultierende Pkg aus den beiden Kräften G und F muß nun normal gerichtet sein gegen die erwähnte Ebene, welche sich über die Schienenköpfe legen läßt; daher wird: F=\frac{M\,.\,v^2}{R_M}=\frac{G\,.\,v^2}{g\,.\,R_M} . . . 36) \mbox{sin}\,\beta=\frac{F}{G}=\frac{H_M}{s} . . . 37) Dabei bedeutet: v (m f. d. Sek.) die Fahrgeschwindigkeit, RM (Meter) den Krümmungsradius der Bahnachseim Punkte M (vergl. auch Fig. 9), HM (Meter) die erforderliche Schienenüberhöhungim Punkte M der Bahnachse, s (Meter) die Spurweite, g = 9,81 m/Sek.2 die Beschleunigung der Schwerkraft. Aus Gleichung 36 und 37 erhält man also für den beliebigen Punkt M der Fig. 9: \frac{v^2}{g\,.\,R_m}=\frac{H_M}{s}. H_M=\frac{s\,.\,v^2}{g}\,.\,\frac{1}{R_M}=\frac{c}{R_M} . . . . 38) Im Scheitel E (Fig. 9) des Gleisbogens erreicht der Krümmungsradius den kleinsten Wert RE (weiter oben mit R ohne Index bezeichnet); dort wird also die Schienenüberhöhung den größten Wert HE annehmen müssen. Es ist also: H_E=\frac{s\,.\,v^2}{g}\,.\,\frac{1}{R_E}=\frac{c}{R_E} . . 39) und daher: H_M\,:\,H_E=\frac{1}{R_M}\,:\,\frac{1}{R_E} . . 40) Textabbildung Bd. 325, S. 605 Fig. 12. Den Werten RM und RE (Meter) entsprechen die Werte ρ und ρE (Längeneinheiten); man erhält daher wegen Gleichung 27: \frac{H_M}{H_E}=\frac{R_E}{R_M}=\frac{\rho_E}{\rho}=\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right)^{3/2}} . 41) Bezeichnet man mit V (km f. d. Stunde) die Fahrgeschwindigkeit, so wird: V = 3,6 . v . . . . . . 42) und daher: c=\frac{s\,.\,v^2}{g}=\frac{s}{q}\,.\,\left(\frac{V}{3,6}\right)^2 . . . . 43) Mit s = 1,5 m (von Mitte bis Mitte Schienenkopf gemessen, mit Berücksichtigung der Spurerweiterung) ergibt sich somit für die Normalspurweite: c=\frac{1,5}{9,81}\,.\,\frac{V^2}{12,96}=0,0118\,.\,V^2 . . 44) Nach Gleichung 41 kann man also mit Zuhilfenahme der Tabelle 1 die Schienenüberhöhung HM für jeden beliebigen Punkt M des Gleisbogens (Fig. 9) leicht bestimmen, sobald die größte Schienenüberhöhung HE im Scheitel E berechnet ist, was mit Hilfe der Gleichung 39 und 44 (letztere für Normalspurweite giltig) geschehen kann, denn es wird: H_E=\frac{c}{R_E}=\frac{0,0118\,.\,V^2}{R_E} . . . 45) H_M=\frac{\frakfamily{sin}\,\alpha}{\left(1+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{tang}^2\,\varphi}\right)^{3/2}}\,.\,H_E=K\,.\,H_E . . 46) Die Werte für K sind den zugehörigen Werten in der Tabelle 2 reziprok. (Fortsetzung folgt.)