Die Beeinflussung des Reguliervorganges von seiten der durch die Wasserträgheit entstandenen Druckschwankungen. Von Dipl.-Ing. R. Dubs und Dr.-Ing. A. Utard, Zürich. (Fortsetzung von S. 173 d. Bd.) Die Beeinflussung des Reguliervorganges usw. c) Die Ermittlung der Schwungmassen. Wir kommen nun auf die eingangs dieses Abschnittes gestellte Aufgabe zurück und werden im folgenden mit Hilfe der unter a und b abgeleiteten Beziehungen eine Formel zur Berechnung des notwendigen Schwungmomentes ableiten. Wie bereits früher erwähnt, wird die Vergrößerung des Schwungmomentes gegenüber demjenigen des ideellen | Betriebes lediglich infolge der durch die Drucksteigerungen bedingten Vergrößerung der Turbinenleistung bezw. der Arbeitsfläche notwendig. Bedeutet: I das Schwungmoment beim ideellen Betrieb, und A die Arbeitsfläche beim ideellen Betrieb und vollständigem Schließen von L1 (Vollast) auf Null. J und \frakfamily{A} die entsprechenden Größen beim effektiven Betrieb, d.h. bei demjenigen mit Drucksteigerungen, so gilt, wie ohne weiteres erhellt, die Beziehung: \frac{I}{J}=\frac{A}{\frakfamily{A}} . . . . . . 57) oder auch: j=\frac{\frakfamily{A}}{A}\,J. Es erübrigt uns somit, nur das Verhältnis der beiden Arbeitsflächen zu bestimmen, um sofort das benötigte Schwungmoment J zu erhalten. Für den ideellen Betrieb ist: A=\frac{L_1\,.\,T}{2} . . . . . . 58) (s. Fig. 11 S. 171). Für den effektiven Betrieb kann man die Arbeitsfläche annähernd in zwei Teile zerlegen, von denen jeder leicht berechnet werden kann. Wir benutzen dazu die in vorstehenden Abschnitten a und b abgeleiteten Annäherungsformeln, nach welchen der Inhalt der effektiven Arbeitsfläche ohne Schwierigkeiten zu ermitteln ist. In Fig. 11 ist die Trennung der totalen Arbeitsfläche strichpunktiert eingezeichnet, und man erkennt ohne weiteres, daß deren Inhalt \frakfamily{A} durch die Gleichung: \frakfamily{A}=\int\limits_0^{t_1}\,\frakfamily{C}\,.\,d\,t+\int\limits_{t_1}^T\,\frakfamily{C}\,.\,d\,t . . . . 59) gegeben ist. Da die (S-Kurve infolge unsern vereinfachenden Annahmen im Punkte t = t1 eine Unstetigkeit erleidet, so können die oben angeschriebenen Integrale nicht zusammengezogen werden und es ist somit deren Wert einzeln zu berechnen. Wir setzen: \int\limits_0^{t_1}\,\frakfamily{C}\,.\,d\,t=\frakfamily{A} und substituieren \frakfamily{C} aus Gleichung 42, da \frakfamily{z}\,.\,L_1=\frakfamily{C} ist. Dann folgt: (z-1)\,\left(1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}\right)\,\frac{T}{2} A_1=\int\limits_0\,L_1\,\sqrt{\left[1+\frac{2}{T}\,.\,\frac{t}{1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}}\right]^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,dt 60) wenn man für die obere Grenze t = t1 den betr. Wert setzt (siehe Gleichung 35). Die Integration der obigen Gleichung ist zwar leicht durchführbar, ergibt aber zu verwickelte Formeln, die sich auch wegen ihrer Unübersichtlichkeit für die praktische Berechnung wenig eignen. Wir beschränken uns hier deshalb auf die bereits unter a und b behandelten Spezialfälle eines bestimmt elastischen und eines vollständig starren Rohres. α) Berücksichtigung der Elastizitäten. Für den Spezialfall 2 gH0 = i • C1 schrumpft die obige Gleichung 60 auf die einfache Beziehung: \frakfamily{A}_1=\int\limits_0^{z=1}\,L_1\,.\,\sqrt{\left[1+\frac{t}{T}\right]^3\,\left[1-\frac{t}{T}\right]\,d\,t} . . 61) zusammen. Setzt man nun zwecks einfacherer Integration 1+\frac{t}{T}=x\,.\,d\,t=T\,.\,d\,x, so folgt: \frakfamily{A}_1=\int\limits_0^{(2-1)\,T}\,L_1\,.\,\sqrt{x^3}\,(2-x)\,.\,T\,.\,d\,x \frakfamily{A}_1=L_1\,.\,T\,.\,\int\limits-0^{(2-1)\,T}\,\sqrt{x^3}\,(2-x)\,d\,x . . 62) Nach Durchführung der Integration und Einsetzen der Grenzen erhält man: \frakfamily{A}_1=\frac{2\,.\,L_1\,.\,T}{35}\,.\,[14\,\sqrt{z^5}-5\,\sqrt{z^7}-9] . 63) oder auch: \frakfamily{A}_1=\frac{2\,.\,L_1\,.\,T}{35}\,[14\,.\,z^2\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,\sqrt{z}-9] . 64) In analoger Weise erhält man für das zweite Integral: \frakfamily{A}_2=\int\limits_{t_1}^T\,\frakfamily{C}\,.\,d\,t wenn man nach Gleichung 46 für \frakfamily{C} den betr. Wert einsetzt, die Beziehung: \frakfamily{A}_2=\int\limits_{(z-1)\,T}^T\,L_1\,.\,\sqrt{z^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,d\,t, und nach durchgeführter Integration und Einsetzen der Grenzen ergibt sich: \frakfamily{A}^2=\frac{L_1\,.\,T}{2}\,\sqrt{z^3}\,[2-z]^2 . . . 65) Durch Addition von Gleichung 64 und Gleichung 65 erhält man dann: \frakfamily{A}=\frac{L_1\,.\,T}{2}\,\left[\frac{4}{35}\,\{14\,z^2\,.\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,\sqrt{z}-p\}+z\,\sqrt{z}\,.\,(2-z)^2\right] . . 66) Setzt man in dieser Beziehung z = 1, d.h. nimmt man den Druckanstieg gleich Null an, so folgt: \frakfamily{A}=\frac{L_1\,.\,T}{2}, d.h. es ergibt sich genau dieselbe Arbeit wie beim ideellen Verstellvorgang, was naturgemäß zu erwarten war. Bildet man nun nach Gleichung 57 und Gleichung 58 das Verhältnis der beiden Arbeitsflächen, so erhält man: \frac{\frakfamily{A}}{A}=\frac{4}{35}\,\{14\,.\,z^2\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,\sqrt{z}-9\}\,.\,z\sqrt{z}\,z\,(2-z)^2 67) wobei auch in Zukunft der Kürze halber \frac{\frakfamily{A}}{A}=K (Korrektionsfaktor) gesetzt werden soll. Von Interesse ist es nun noch, den Wert des Quotienten K für denjenigen Spezialfall zu ermitteln, bei welchem die Tangente der Leistungskurve für t = 0 horizontal verläuft. Wie bereits früher erwähnt, ist das Leistungsmaximum dann gleich L1, d.h. gleich der maximalen Turbinenleistung bei voller Oeffnung. Es ist dann: i • C1= g • H0, und Gleichung 60 geht damit über in: \frakfamily{A}_1=\int\limits_0^{(z-1)\,\frac{3\,T}{2}}\,L_1\,\sqrt{\left(1+\frac{2\,t}{3\,T}\right)^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,d\,t . 68) Die Integration kann in genau gleicher Weise durchgeführt werden wie bei Gleichung 61, und man erhält nach Einsetzung der Grenzen: \frakfamily{A}_1=\frac{3\,.\,L_1\,.\,T}{70}\,[35\,\sqrt{z^5}-15\,\sqrt{z^7}-20] . 69) oder auch: \frakfamily{A}_1=\frac{3\,.\,L_1\,.\,T}{70}\,[35\,.\,z^2\,\sqrt{z}-15\,.\,z^3\,\sqrt{z}-20] . 69) Berechnet man in analoger Weise das zweite Integral der Gleichung 59, so ergibt sich nun für dasselbe: \frakfamily{A}_1=\int\limits_{t_1}^T\,\frakfamily{C}\,.\,d\,t=\int\limits_{(z-1)\,\frac{3}{2}\,T}^T\,L_1\,.\,\sqrt{z^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,d\,t, wenn man für die untere Grenze t1 den aus Gleichung 35 zu berechnenden Wert einsetzt. Textabbildung Bd. 326, S. 186 Fig. 12.Z = verhältnismäßiger Ueberdruck. Man erhält dann: \frakfamily{A}_2=\frac{L_1\,.\,T}{8}\,[5-3\,.\,z]^2\,\sqrt{z^3} . . . 71) oder in anderer Form geschrieben: \frakfamily{A}_2=\frac{L_1\,.\,T\,.\,z\,.\,\sqrt{z}}{8}\,[5-3\,.\,z]^2 . . 72) Die totale Arbeitsfläche ist wieder gleich der Summe! der Arbeitsflächen A1 und A2. Durch Addition von Gleichung 70 zu Gleichung 72 folgt: \frakfamily{A}=\frac{L_1\,.\,T}{2}\,\left[\frac{3}{35}\,\{35\,.\,z^2\,.\,\sqrt{z}-15\,.\,z^3\,.\,\sqrt{z}-20\}+\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\,\{5-3\,z\}^2\right] 73) Bildet man nun wiederum nach Gleichung 57 mit Hilfe von Gleichung 58 den Quotienten K, so folgt nunmehr: \frac{\frakfamily{A}}{A}=K=\frac{3}{35}\,\{35\,z^2\,.\,\sqrt{z}-185\,.\,z^3\,.\,\sqrt{z}-20\}-\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\,\{5-3\,.\,z\}^2 . . 74) Mit Hilfe dieser Gleichung 74 und der Gleichung 67 läßt sich für die Fälle, wo 2 g H0 = i • C1 bezw. g • H0 = i • C1 ist, für einen bestimmten Druckanstieg z, der Korrektionsfaktor K berechnen, und es sind die auf nachfolgender Tabelle eingetragenen Werte so erhalten worden. In Fig. 12 und 13 ist außerdem die Aenderung des Korrektionsfaktors K als Funktion des Druckanstieges z bezw. des Verhältnisses \frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1} graphisch veranschaulicht. β) Ohne Berücksichtigung der Elastizitäten. Für ein vollständig starres Rohr und inkompressibles Wasser ist i = ∞ und somit \frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C}=0. Die Aenderung der Leistung \frakfamily{C} während des Zeitabschnittes t = 0 bis t1 ist dann durch Gleichung 44 gegeben und t1 bestimmt sich aus Gleichung 37. Man hat dann: \frakfamily{A}_1=\int\limits_0^{(z-1)\,\frac{T}{2}}\,L_1\,.\,\sqrt{\left(1+\frac{2\,t}{T}\right)^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,d\,t. Nach Durchführung der Integration und Einsetzen der Grenzen folgt die Beziehung: \frakfamily{A}_1=\frac{L_1\,.\,T}{70}\,[21\,.\,z^2\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,.\,\sqrt{z}-16] . 75) Textabbildung Bd. 326, S. 186 Fig. 13.Korrektionsfaktor; Elastizitätsfaktor Bestimmt man dann ebenfalls den Inhalt der Arbeitsfläche \frakfamily{A}_2 aus der Gleichung: \frakfamily{A}_2=\int\limits_{(z-1)\,\frac{T}{2}}^T\,L_1\,.\,\sqrt{z^3}\,\left(1-\frac{t}{T}\right)\,d\,t, so erhält man als Resultat: \frakfamily{A}_3=\frac{L_1\,.\,T\,.\,z\,.\,\sqrt{z}}{8}\,[3-z]^2 . . . 76) Durch Addition der Gleichung 75 und 76 ergibt sich der Inhalt der totalen Arbeitsfläche \frakfamily{A} zu: \frakfamily{A}_2=\frac{L_1\,.\,T}{2}\,\left[\frac{1}{35}\,\{21\,z^2\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,\sqrt{z}-16\}+\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\\{3-z\}^2\right] . . 77) Der Korrektionsfaktor K ist dann nach Gleichung 57 und 58 zu bilden, und man erhält für denselben: K=\frac{1}{35}\,\{21\,z^2\,\sqrt{z}-5\,.\,z^3\,\sqrt{z}-16\}+\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\,\{3-z\}^2 78) Setzt man nun für z verschiedene Werte ein, so ergibt sich eine Reihe von Korrektionsfaktoren K, die aus nachfolgender Tabelle (s. Fortsetzung) zu entnehmen sind. (s. a. Fig. 12 und 13.) d) Der allgemeine Fall eines beliebigen Wertes des Verhältnisses \frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}. Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt erwähnt wurde, werden für einen beliebigen Wert des Verhältnisses \frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1} die bezüglichen Gleichungen ziemlich verwickelt und es sollen deshalb im folgenden nur die Hauptergebnisse angeführt werden, da mit deren Hilfe die in nachfolgender Tabelle (s. Fortsetzung) niedergelegten Werte berechnet worden sind. Setzt man der Kürze halber: \frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}=k . . . . . . 79) so folgt nunmehr: \frakfamily{A}_1=\frac{L_1\,.\,T}{70}\,[7\,(3+k)\,z^2\,\sqrt{z}-5\,(1+k)\,z^3\,\sqrt{z}-2\,(8+k)]\,.\,(1+k) . . 80) und: \frakfamily{A}_2=\frac{L_1\,.\,T\,.\,z\,.\,\sqrt{z}}{8}\,[2-(z-1)\,(1+k)]^2 . 81) Der Inhalt \frakfamily{A} der totalen Arbeitsfläche ist dann gegeben durch: \frakfamily{A}=\frac{L_1\,.\,T}{2}\,\left[\frac{1+k}{35}\,\{7\,(3+k)\,z^2\,\sqrt{z}-5\,(1+k)\,z^3\,\sqrt{z}-2\,(8+k)\}+\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\,\{2-(z-1)\,(1+k)\}^2\right] . 82) und der Korrektionsfaktor K ist zu berechnen aus: K=\frac{1+k}{35}\,\{7\,(3+k)\,z^2\,.\,\sqrt{z}-5\,(1+k)\,z^3\,.\,\sqrt{z}-2\,(8+k)\}+\frac{z\,.\,\sqrt{z}}{4}\,\{2-(z-1)\,(1+k)\}^2 83) Es ist dies ein Hauptergebnis des vorliegenden 5. Abschnittes. Durch Variation von z und k läßt sich dann mit Hilfe der obigen Gleichung für einen beliebigen Druckanstieg und eine beliebige Elastizität der Wert des Korrektionsfaktors K berechnen. Bezüglich der Größe des verhältnismäßigen Druckanstieges z ist allerdings ein oberer Grenzwert durch die Bedingung gegeben, daß t1 nie größer als T werden darf. Nach Gleichung 35 war: t_1=(z-1)\,\left(1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}\right)\,\frac{T}{2} oder: t_1=(z-1)\,(1+k)\,\frac{T}{2}. Setzt man nun als Maximum von t1 t1 = T, so folgt: z_{\mbox{max}}=1+\frac{2}{1+k} . . . . 84) Für diesen Wert von z verschwindet auch der zweite Klammerausdruck in Gleichung 83, während der erste dafür sein Maximum erreicht. Es entspricht dies auch der Bedeutung der beiden Klammergrößen, da ja bekanntlich die erste den Inhalt der Arbeitsfläche zwischen den Zeiten t = 0 bis t = t1 und die zweite den Inhalt der Arbeitsfläche zwischen den Zeiten t = t1 bis t = T darstellt. Ist t1 = T, so wird das erste Zeitintervall und damit auch die Arbeitsfläche ein Maximum, während das zweite Zeitintervall und mit ihm die Arbeitsfläche verschwindet. Ist umgekehrt z = 1, so wird t1 = 0, d.h. das erste Zeitintervall verschwindet und das zweite erreicht ein Maximum. Man erhält dann auch nach Gleichung 83 K = 1. (Fortsetzung folgt.)