Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Von K. Hiemenz. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Einleitung. Bei der Behandlung der Strömungserscheinungen um ein in den Flüssigkeitsstrom eingestelltes Hindernis sieht der gewöhnliche Ansatz der Hydrodynamik ab von der inneren Reibung der Flüssigkeiten und führt so zu einer verhältnismäßig einfachen Lösung des Problems: die Geschwindigkeitskomponenten lassen sich mit Hilfe einer Potentialfunktion darstellen. Wird die innere Reibung berücksichtigt, so lauten die Differentialgleichungen der stationären Strömung für das zweidimensionale Problem, von welchem im folgenden ausschließlich die Rede sein soll: \rho\,\left(u\,\frac{\partial\,u}{\partial\,x}+v\,\frac{\partial\,u}{\partial\,y}\right)=-\frac{\partial\,p}{\partial\,x}+k\,\Delta\,u . . 1a) \rho\,\left(u\,\frac{\partial\,v}{\partial\,x}+v\,\frac{\partial\,v}{\partial\,y}\right)=-\frac{\partial\,p}{\partial\,y}+k\,\Delta\,v . . 1b) \frac{\partial\,u}{\partial\,x}+\frac{\partial\,v}{\partial\,y}=0 . . . . . . . . . 1c) Hierin bedeuten: x, y die gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten, u, v die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Achsen, ∆ den Laplaceschen Operator \frac{\partial^2}{\partial\,x^2}+\frac{\partial^2}{\partial\,y^2}. Eine mögliche Lösung des Systems 1 von Differentialgleichungen hat man in der Potentialströmung für das betreffende Problem. Aber diese Lösung steht im Widerspruch zu der Grenzbedingung der reibenden Flüssigkeit, wie sie sich auf Grund experimenteller Tatsachen ergibt; der Versuch führt zu der Folgerung, daß die an die Wand grenzende Flüssigkeitsschicht an dieser haftet. Im Gegensatz dazu treten bei der Potentialbewegung gerade unmittelbar an der Wand die größten Geschwindigkeiten auf, und daher ist die Potentiallösung für reibende Flüssigkeiten nicht brauchbar. Eine selbst äußerst geringe Reibung bedingt eine wesentliche Abweichung der im einzelnen Falle zu erwartenden Strömungserscheinung von der für das gleiche Problem gefundenen Potentialbewegung. Bis jetzt ist die Integration des Systems 1 nur in speziellen Fällen durchgeführt worden. Dazu gehören einerseits gewisse einfache Laminarbewegungen, andererseits eine Reihe von Problemen, bei denen die konvektiven Glieder der Differentialgleichungen gegenüber den anderen Gliedern vernachlässigt wurden. Die praktische Anwendbarkeit der unter dieser Bedingung gefundenen Integrale ist beschränkt. Denn bei wirklichen Flüssigkeiten – bei Wasser ist ρ = 1, h ∾ 0,01 c–g–s Einheiten – sind in der Regel die auftretenden Geschwindigkeiten nicht klein genug, um die Vernachlässigung der konvektiven Glieder zu erlauben. Dagegen gestattet eine nach anderer Richtung gehende von PrandtlPrandtl. Ueber Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandlungen des dritten internationalen Mathematikerkongresses in Heidelberg 1904. Leipzig 1905, S. 484 angegebene Vereinfachung des Systems 1, die sich auf Flüssigkeiten von kleiner Reibung bezieht, die Strömungsvorgänge in der Nähe der festen Wand in ihrem Verlaufe zu verfolgen. Der Prandtlsche Ansatz ist weiter ausgebaut worden für eine Reihe von Problemen der stationären und der nichtstationären Strömung in zwei Arbeiten von BlasiusBlasius, Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Göttinger Diss. Leipzig 1907. Auch in Zeitschrift f. Math, u. Phys. Bd. 55 Leipzig 1908, S. 1. und von BoltzeBoltze, Grenzschichten an Rotationskörpern i. Flüssigkeiten mit kleiner Reibung. Diss. Göttingen 1908.. Die Resultate dieser Arbeiten geben ein sehr gutes qualitatives Bild der beobachteten Vorgänge der Strömung um ein Hindernis. Die vorliegende Arbeit hat demgegenüber als Endziel die quantitative Prüfung des Prandtlschen Ansatzes durch das Experiment. Demgemäß wird in folgendem nach einem einleitenden mathematischen Teil von Experimenten berichtet werden, die auf eine quantitative Kenntnis der Strömungserscheinungen an einem Hindernis – in erster Linie der Druckverteilung – hinzielen. Die experimentell ermittelten Werte werden sodann zur Grundlage der Rechnung gemacht werden, und schließlich sollen die errechneten Strömungserscheinungen mit den wirklich beobachteten verglichen werden. Als Endresultat ergibt sich eine durchaus befriedigende Uebereinstimmung von Rechnung und Versuch. I. Die Differentialgleichung der Grenzschicht. 1. Ableitung der Gleichung. Textabbildung Bd. 326, S. 321 Fig. 1. Wir beginnen mit einer qualitativen Schilderung der in einer Flüssigkeit von kleiner Reibung beobachteten Strömungserscheinungen. Die mathematische Präzisierung der Ergebnisse der Beobachtung führt zu der bereits erwähnten Vereinfachung des Systems 1. Im Interesse der Kürze beziehen wir uns dabei von vornherein auf den Fall, der uns weiterhin beschäftigen wird: In den gleichförmigen Strom einer Flüssigkeit von kleiner Reibung sei ein symmetrischer gerader Zylinder eingestellt, dessen Symmetrieebene sich mit der Stromrichtung decke (Fig. 1). Dann beobachtet man folgendes: der Strom teilt sich am Scheitel des Zylinders symmetrisch, fließt eine Strecke nach Art der für den Zylinder zu erwartenden Potentialströmung an der Wand entlang, ohne sich jedoch im hinteren Scheitel wieder zu vereinigen, sondern schon vorher löst er sich von der Zylinderwand ab und gibt so Anlaß zu einem toten Raume. In diesem toten Raume ist eine schwache Bewegung vorhanden. Er wird von zwei Wirbeln ausgefüllt, die in entgegengesetzter Richtung symmetrisch zur Mittelebene des Zylinders rotieren. Während die Flüssigkeit an der Wand selbst haftet, hat sie schon in nächster Nähe der Wand normale Geschwindigkeit (von der Größenordnung der Geschwindigkeit der für den betr. Zylinder zu erwartenden Potentialbewegung). Der Uebergang von der Geschwindigkeit Null zu normalen Werten vollzieht sich also in einer sehr dünnen Schicht, die wir künftig kurz als Grenzschicht bezeichnen werden. Eben auf diese Grenzschicht bezieht sich die von Prandtl abgeleitete Differentialgleichung. Außerhalb der Grenzschicht ist der Geschwindigkeitsgradient so gering, daß der Einfluß der Reibung praktisch verschwindet; die Strömung erfolgt dort nach Art einer Potentialbewegung. Man kann die beschriebenen Vorgänge einigermaßen bereits in der Aufsicht beobachten, besser noch, wenn man den Wasserspiegel mit einem feinen Pulver bestreut, oder in der Durchsicht, indem man das Wasser mit Spänen aus geeignetem Material mischt, Zum Teil auch, indem man aus einer Bohrung der Zylinderwand einen Farbfaden – Kaliumpermanganat in konzentrierter Lösung in Wasser – mit geringem Ueberdruck austreten läßt.Vergl. die S. 321 erwähnte Arbeit von Prandtl; weiter: Ahlhorn: Ueber den Mechanismus des hydrodynamischen Widerstands. Abhandlungen aus dem Gebiet der Naturwissenschaften, herausgegeben vom Naturwissenschaft. Verein in Hamburg 17 (1902); Hydrodyn. Exp. Untersuchungen. Jahrb. der Schiffbautechnischen Gesellschaft 5 (1904) S, 417. Textabbildung Bd. 326, S. 322 Fig. 2. Bei der mathematischen Behandlung des Stromverlaufs in der Grenzschicht gehen wir aus von dem System 1, führen aber ein dem zu behandelnden Problem angepaßtes krummliniges Koordinatensystem ein. Als Koordinaten eines Punktes P (Fig. 2) wählen wir einmal den normalen Abstand η von der Zylinderwand, als Abszisse die Bogenlänge ξ, vom Scheitel bis zum Fußpunkt des von P auf die Zylinderwand gefällten Lotes gerechnet. Die Geschwindigkeiten in Richtung von ξ und η seien mit u und v, der zu einem Punkte ξ 60 der Zylinderwand gehörige Krümmungsradius mit R (ξ) bezeichnet. Die Beobachtung, daß die Grenzschicht sehr dünn ist, präzisieren wir weiter durch die Annahme, daß ihre Dicke klein sei von der ersten Ordnung (= ε). Wenn wir dann in den auf unsere krummlinigen Koordinaten transformierten Differentialgleichungen nur die Glieder von normaler Größenordnung (= 1) beibehalten, dürfen wir zunächst überall R + η = R setzen und erhalten mit dieser Vernachlässigung: \rho\,\left(\underset{1\ \ 1\ }{u\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}}+\underset{\epsilon\ \ \frac{1}{\epsilon}\ }{v\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\eta}}+\underset{\epsilon}{\frac{2\,u\,v}{R}}-\underset{1\ \ \ \epsilon}{u^2\,\frac{\eta\,R}{R^2}}\right)=-\frac{\partial\,p}{\partial\,\xi} . . . . . . . . . 2a) +\underset{\epsilon^2}{k}\,\left(\underset{1}{\frac{\partial^2\,u}{\partial\,\xi^2}}+\underset{\epsilon}{\frac{\eta\,R}{R^2}}\ \underset{1}{\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}}+\underset{1}{\frac{1}{R}}\ \underset{\epsilon}{\frac{\partial\,v}{\partial\,\xi}}+\underset{\frac{1}{\epsilon^2}}{\frac{\partial^2\,u}{\partial\,\eta^2}}+\underset{1}{\frac{1}{R}}\ \underset{\frac{1}{\epsilon}}{\frac{\partial\,u}{\partial\,\eta}}-\underset{1}{\frac{u}{R^2}}- \underset{\epsilon}{\frac{v}{R^2}}\right) \rho\,\left(\underset{1\ \ \epsilon\ }{u\,\frac{\partial\,v}{\partial\,\xi}}+\underset{\epsilon\ \ 1\ }{v\,\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}}+\underset{1}{\frac{u^2}{R}}\right)=-\frac{\partial\,p}{\partial\,\eta} . . 2b) +\underset{\epsilon^2}{k}\,\left(-\underset{\ \ 1\ \ 1\ \ \ }{\frac{1}{R}\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}}+\underset{\frac{1}{\epsilon}}{\frac{\partial^2\,v}{\partial\,\eta^2}}+\underset{\ \ 1\ \ 1\ \ \ }{\frac{1}{R}\,\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}}-\underset{\epsilon}{\frac{v}{R^2}}+\underset{\epsilon}{\frac{\partial^2\,v}{\partial\,\xi^2}}+\underset{\epsilon\ \ \ \ \epsilon}{\frac{\eta\,R}{R^2}\,\frac{\partial\,v}{\partial\,\xi}}-\underset{\ \ 1\ \ \ 1\ \ \ }{\frac{1}{R}\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}}+\underset{\ \ 1\ \ \ 1\ \ }{u\,\frac{R}{R^2}}\right) \underset{1}{\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}}+\underset{1}{\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}}+\underset{\partial}{\frac{v}{R}}=0 . . . . 2c) Aus unserer Annahme über die Dicke der Grenzschicht können wir weiter Schlusse ziehen über die Größenordnung der Geschwindigkeitskomponenten und ihrer Ableitungen, u hat innerhalb der Grenzschicht im allgemeinen normale Werte; dasselbe gilt also auch für \frac{\partial\,u}{\partial\,\xi} und \frac{\partial^2\,u}{\partial\,\xi^2}, \frac{\partial\,u}{\partial\,\eta} und \frac{\partial^2\,u}{\partial\,\eta^2} sind von der Ordnung \frac{1}{\epsilon} und \frac{1}{\epsilon^2}; das folgt daraus, daß die Geschwindigkeit u auf der Strecke η = 0 bis η = ε vom Werte Null zu normaler Größe ansteigen soll, v kann von nicht größerer Ordnung als ε sein; andernfalls würde sich ein Teilchen beim Entlangfließen an der Zylinderwand von ihr um eine Strecke η von normaler Größenordnung entfernen. Damit vereinfacht sich Gleichung 2 c zu \frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}+\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}=0. Durch Integration über die Dicke der Grenzschicht folgt, daß v von der Ordnung e ist, und das gleiche gilt für die Ableitungen \frac{\partial\,v}{\partial\,\xi} und \frac{\partial^2\,v}{\partial\,\xi^2}. Die Größenordnung der übrigen in der Differentialgleichung auftretenden Differentialquotienten läßt sich auf ähnliche Art leicht abschätzen. Das Endresultat dieser Abschätzung ist in Gleichung 2 so angegeben, daß unter jedem Gliede die Größenordnung mit kleiner Schrift bemerkt ist. Sie fehlt nur dort, wo über die Größenordnung noch nichts bekannt ist, nämlich bei k, \frac{\partial\,p}{\partial\,\xi} und \frac{\partial\,p}{\partial\,\eta}. Die konvektiven Glieder höchster Ordnung sind von normaler Größenordnung. Soll die Reibung mitbestimmend werden für den Verlauf der Strömungserscheinungen, so muß das Reibungsglied von der gleichen Größenordnung sein. Dies ist erreicht, wenn k von der Ordnung ε2 ist. Machen wir diese Annahme und streichen in Gleichung 2 alle Glieder, die von kleinerer Ordnung als 1 sind, so bleibt stehen \rho\,\left(u\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}+v\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\eta}\right)=-\frac{\partial\,p}{\partial\,\xi}+k\,\frac{\partial^2\,u}{\partial\,\eta^2} . . . . . . . 3a) -\rho\,\frac{u^2}{R}=-\frac{\partial\,p}{\partial\,\eta} . . . . . . . 3b) \frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}+\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}=0 . . . . . . . 3c) Umgekehrt kann man auch sagen: Wenn die Reibung sehr klein ist gegenüber den bei einem Strömungsproblem auftretenden Abmessungen, der Dichte und den Geschwindigkeiten der Flüssigkeit – die Größenordnung der Reibung werde mit ε2 bezeichnet – dann wird die Dicke der Grenzschicht klein werden von der Ordnung e. So war z.B. in dem hier behandelten Falle der Reibungskoeffizient des Wassers zu 0,01 gr-cm-Sek. angenommen worden, die Dicke der Grenzschicht ergab sich zu etwa 0,1 cm. Durch Integration über die Dicke der Grenzschicht ergibt sich aus 3 b, daß p sich in Richtung der Ordinaten innerhalb der Grenzschicht nur um Beträge von der Ordnung e ändert. Also ist p und damit \frac{\partial\,p}{\partial\,\xi} innerhalb der hier überall festgehaltenen Genauigkeit allein abhängig von ξ. Der Druck wird der Grenzschicht von der äußeren Strömung aufgeprägt. Wir bringen diesen Umstand zum Ausdruck, indem wir für \frac{\partial\,p}{\partial\,\xi} schreiben \frac{d\,p}{d\,\xi}. Gleichzeitig sieht man, daß \frac{d\,p}{d\,\xi} von der Ordnung 1 ist, weil der Druck in dem Gebiete der äußeren Strömung normale Werte hat. Gleichung 3b, die nur zur Bestimmung von \frac{\partial\,p}{\partial\,\eta} dient, kann fortbleiben; damit werden die Differentialgleichungen der Grenzschicht \rho\,\left(u\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}+v\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\eta}\right)=-\frac{d\,p}{d\,\xi}+k\,\frac{\partial^2\,u}{\partial\,\eta^2} . . . . . . . . 4a) \frac{\partial\,u}{\partial\,\xi}+\frac{\partial\,v}{\partial\,\eta}=0 . . . . . . . . 4b) Wir fassen schließlich 4a und 4b zusammen. 4b wird befriedigt durch Einführung einer Stromfunktion Ψ; u=\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\eta}, v=-\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\xi}. Diese Werte in 4 a eingesetzt ergeben: \rho\,\left(\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\eta}\,\frac{\partial^2\,\Psi}{\partial\,\xi\,\partial\,\eta}-\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\xi}\,\frac{\partial^2\,\Psi}{\partial\,\eta^2}\right)=-\frac{d\,p}{d\,\xi}+k\,\frac{\partial^3\,\Psi}{\partial\,\eta^3} . . . . . . 5) Es ist interessant zu bemerken, daß die Krümmung der Koordinaten ohne Einfluß auf die Vorgänge in der Grenzschicht bleibt. Man hat für die Grenzschicht entlang einer festen geraden Wand dieselbe Differentialgleichung 5. Es besteht allerdings der Unterschied, daß im Falle krummliniger Koordinaten die Fehler von der Ordnung e sind, während sie im Falle der geraden Wand nur die Ordnung ε2 erreichen. Als Grenzbedingungen der Differentialgleichung 5 hat man in unserem Falle die folgenden: 1. Die Koordinatenachse ε = 0 ist Symmetrielinie der Strömung. 2 Entlang der Zylinderwand verschwindet Ψ, \frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\xi} und \frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\eta}. 3. Die Geschwindigkeit in der Grenzschicht muß nach außen hin in die Geschwindigkeit der äußeren Strömung übergehen, oder, weil v vernachlässigt werden darf, \overline{u} muß in \overline{u} übergehen, wo \overline{u} die Geschwindigkeit parallel zur Zylinderwand am Rande der Grenzschicht bedeutet. Ueber die Art, wie der Uebergang von u zu \overline{u} erfolgt, läßt sich dieses sagen: u ändert sich in Richtung wachsender η auf Strecken von der Größenordnung der Dicke der Grenzschicht nur um Beträge von der Größenordnung s, darf also im Sinne unserer Abschätzung als konstant in der η-Richtung angesehen werden. Diesem konstanten Werte von \overline{u} muß sich u asymptotisch nähern. Kennt man vom Experiment her das Druckgefälle in der Grenzschicht, so findet man a aus der Druckgleichung \rho\,\overline{u}\,\frac{\partial\,\overline{u}}{\partial\,\xi}=-\frac{d\,p}{d\,\xi}, auf die sich 5 für den Rand der Grenzschicht reduziert, oder durch Integration \frac{\overline{u}^2}{2}=-\frac{p}{\rho}+ konst. Die Konstante hat auf der Strecke bis zur Ablösungsstelle den \frac{p\,(0)}{\rho}. An welcher Stelle der Wand Ablösung eintritt, ergibt die Integration der Differentialgleichung 5. Nur so viel ist von vornherein aus physikalischen Gründen klar, daß Ablösung und Rückströmung nicht in dem am Scheitel beginnenden Gebiete fallenden Druckes eintreten kann, weil in diesem Gebiete ein Teilchen beim Durchlaufen der Grenzschicht durch das Druckgefälle -\frac{d\,p}{d\,x} beschleunigt wird; die Reibung vermag diese Bewegung zu verzögern, nicht aber umzukehren. Erst nachdem Drucksteigerung eingesetzt hat, ist Ablösung möglich. Textabbildung Bd. 326, S. 323 Fig. 3. In Fig. 3 sind die Stromlinien und Profile der u-Komponente der Geschwindigkeit für die Grenzschicht eingezeichnet. Als Bedingung für die Ablösung ergibt sich aus der Figur \frac{\partial\,u}{\partial\,\eta}=\frac{\partial^2\,\Psi}{\partial\,\eta^2}=0. Im Zusammenhange sei hier eine Bemerkung über den Gültigkeitsbereich der Differentialgleichung 5 angefügt. Aus den vorangehenden Ueberlegungen ist zu schließen, daß die Differentialgleichung 5 in Verbindung mit der Gleichung \frac{\overline{u}^2}{2}=-\frac{p}{\rho}+\frac{p\,(0)}{\rho} gilt, solange die Grenz Schicht glatt an der festen Wand anliegt, also bis zur Ablösungsstelle, und darüber hinaus höchstens so weit, als sich die abgelöste Grenzschicht nicht über einen Betrag von der Größenordnung e von der Wand entfernt hat. 2. Aehnlichkeitsbetrachtungen. Aus der Differentialgleichung 5 selbst lassen sich ohne Kenntnis eines Integrals eine Reihe wichtiger Schlusse ziehen mit Hilfe des Prinzips der mechanischen Aehnlichkeit.Vergl. Föpph Vorlesungen über technische Mechanik. IV. Dynamik. 2. Aufl. Leipzig 1901. S. 349 ff. Multipliziert man in 5 Ψ ξ, η, ρ, k mit Faktoren Ψ0, ξ0, η0, ρ0, k0 so erhält man folgende Aehnlichkeitsbedingungen \frac{\rho_0\,{\Psi_0}^2}{\xi_0\,{\eta_0}^2}=\frac{p_0}{\xi_0}=\frac{k_0\,\Psi_0}{{\eta_0}^3} oder auch \rho_0\,{u_0}^2=p_0=\frac{k_0\,u_0\,\xi_0}{{\eta_0}^2} Wir ziehen zunächst einen Schluß über die Dicke der Grenzschicht: es wird \eta_0=\sqrt{\frac{k_0\,\xi_0}{\rho_0\,u_0}}. Also ist die Dicke der Grenzschicht proportional zu \sqrt{\frac{k\,\xi}{\rho\,\overline{u}}}. Für die weiteren Ueberlegungen ist daran zu erinnern, daß wir die gesamte Strömung um den festen Körper zerlegt haben in die Strömung in der Grenzschicht einerseits und andererseits in eine Potentialströmung um einen gedachten, aus dem eingestellten Zylinder, der Grenzschicht und dem toten Raum gebildeten Körper. Abänderung der äußeren Strömungsverhältnisse ändert zwar die Dicke der Grenzschicht. Da aber diese Aenderung nur von der Ordnung ε sind, bleiben sie praktisch ohne Einfluß auf den Verlauf der äußeren Strömung. Nehmen wir dazu noch das Ergebnis daß, das Druckgefälle der Grenzschicht von der äußeren Strömung aufgeprägt wird, so vermögen wir die Abänderung der Verhältnisse in der Grenzschicht bei geänderten Bedingungen der Außenströmung völlig zu übersehen. Steigert man z.B. die Geschwindigkeit außen auf das u0 fache, so wachsen die Geschwindigkeiten in der Grenzschicht im gleichen Maße, der Druck auf das u02 fache. Aendern sich Reibung und Dichte, so wird die Form der Druckverteilungskurve dadurch nicht geändert, ein Resultat, das für die experimentelle Aufnahme des Druckes von Wichtigkeit ist. 3. Integrationsansatz. Wir wenden uns zur Integration der Differentialgleichung 5. Sie lautete \rho\,\left(\frac{\partial\,\Psi}{}\right) Die Grenzbedingungen waren 1. ξ = 0 ist Symmetrielinie der Strömung; 2. für η = 0 ist \Psi=\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\xi}=\frac{\partial\,\Psi}{\partial\,\eta}=0; 3. für wachsendes η geht u asymptotisch gegen \overline{u}. Die Integration bietet große Schwierigkeiten. Von zahlreichen versuchten Ansätzen erwies sich einzig eine von ξ = 0, η = 0 beginnende Reihenentwicklung brauchbar.vergl. die Dissertation von Blasius S. 17 Aus der Grenzbedingung 1 weiß man, daß Ψ und \frac{d\,p}{d\,\xi} antisymmetrische Funktionen von ξ sein müssen. Für das Druckgefälle -\frac{d\,p}{d\,\xi} machen wir demgemäß den Ansatz: -\frac{d\,p}{d\,\xi}=\sum_{i=0}^{i=\infty}\,p_{2\,i+1}\,\xi^{2\,i+1}. wo die p2i + 1 Konstanten bedeuten, für Ψ entsprechend den Ansatz \Psi=\sum_{i=0}^{i=\infty}\,\Psi_{2\,i+1}\,(\eta)\,\xi^{2\,i+1}. Darin bedeuten die Ψ2i + 1 (η) Funktionen von η allein. Bilden wir nun die verschiedenen partiellen Differentialquotienten und setzen sie in Gleichung 5 ein, so erhalten wir durch Vergleich gleich hoher Potenzen von ξ die Differentialgleichung für die Ψ2i + 1: \rho\,\sum_{i=0}^{i=n}\,(2\,n-2\,i+1)\,(\dot{\ \ \Psi}_{2\,i+1}\,\dot{\ \ \Psi}_{2\,n-2\,\,i+1}-\ddot{\ \Psi}_{2\,i+1}\,\Psi_{2\n-2\,i+1})=p_{2\,n+1}+k\, \overset{...}{\Psi}_{2\,n+1} oder die ersten davon explizit angeschrieben \rho\,({\dot{\Psi}_1}^2-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_1)=p_1+k\,\overset{...}{\Psi}_1 . . . . 7a) \rho\,(4\,\dot{\ \ \Psi}_1\,\dot{\ \ \Psi}_3-3\,\ddot{\ \Psi}_1\,\Psi_3-\Psi_1\,\ddot{\ \Psi}_3)=p_3+k\,\overset{...}{\Psi}_3 . . 7b) \rho\,(6\,\dot{\Psi}_1\,\dot{\Psi}_5-5\,\ddot{\ \Psi}_1\,\Psi_5-\Psi_1\,\ddot{\ \Psi}_5)+3\,({\dot{\ \Psi}_3}^2-\Psi_3\,\ddot{\Psi}_3)=p_5+k\,\overset{...}{\Psi}_5 . . 7c) \rho\,(8\dot{\ \Psi}_1\dot{\ \Psi}_7-7\,\ddot{\Psi}_1\,\Psi_7-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_7+8\dot{\ \Psi}_3\dot{\ \Psi}_5-5\,\ddot{\Psi}_3\,\Psi_5-3\,\Psi_3\,\ddot{\Psi}_5)=p_7+k\,\overset{...}{\Psi}_7 . . . . . 7d) Wie man sieht, sind es mit Ausnahme der ersten lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung. Die Grenzbedingungen für die Ψ2i + 1 lauten: 1. für η = 0, Ψ2i + 1 = Ψ2i + 1 = 0. 2. für wachsendes η geht Ψ2i + 1 asymptotisch gegen u2i + 1, wenn die äußere Strömung \overline{u} dargestellt ist durch eine Reihe mit konstanten Koeffizienten \overline{u}=\sum_{i=0}^{i=\infty}\,u_{2\,i+1}\,\xi^{2\,i+1}. Es ist späterhin erwünscht, die p2i + 1 durch die u2i + 1 zu ersetzen. Indem man in der Differentialgleichung -\frac{d\,p}{d\,\xi}=\rho\,\overline{u}\,\frac{\partial\,\overline{u}}{\partial\,\xi} gleich hohe Potenzen von ξ miteinander vergleicht, hat man: p 1 = ρ u 1 2 p3 = 4 ρ u1 u3 p5= ρ (6 u1 u5 + 3 u32) p7= ρ (86 u1 u7 + 8 u3 u5) p9= ρ (9 u1 u9 + 10 u3 u7 + 5 u52) p11 =. . . . . . . . . . . . . . . Nur für lineares Druckgefälle, also einen mit dem Quadrat von ξ abnehmenden Druck, läßt sich mit einer endlichen Anzahl der Ψ2i + 1  nämlich Ψ1 allein die vollständige Lösung Ψ von Gleichung 5 angeben: Ψ = Ψ1 ξ. Die Integrale der folgenden Differentialgleichungen Ψ3, Ψ5. . . verschwinden identisch. Praktisch hat diese Lösung wenig Interesse. Für die zahlenmäßige Berechnung des Strömungsverlaufs in der Grenzschicht für eine bekannte Druckverteilung ist außerdem die Frage nach der Güte der Konvergenz der Reihe \Psi=\displaystyle\sum_0^\infty\,\Psi_{2,i+1}\,\xi^{2\,i+1} wichtig; d.h.wieviel Glieder der Reihe genügen, um innerhalb eines gewissen Intervalles vom Anfangspunkte aus die gesuchte Lösung mit hinreichender Genauigkeit darzustellen. Darüber läßt sich von vornherein nichts aussagen. Es bleibt nur die Möglichkeit, in jedem gegebenen Falle eine Anzahl Ψ2i + 1  sagen wir von Ψ1 bis Ψ2n + 1  zu berechnen, die Summe \Psi=\displaystyle\sum_0^n\,\Psi_{2,i+1}\,\xi^{2\,i+1} zu bilden und zuzusehen, in wieweit sich der so berechnete Vorgang mit dem wirklich beobachteten deckt. Die Ausführung im einzelnen findet sich unten bei den auf Grund von Versuchsmaterial ausgeführten Rechnungen. (Fortsetzung folgt.)