SPURKUGELLAGER MIT BALLIGEM SITZ. Von Ingenieur Max Szombathy, Assistent an der K. K. Technischen Hochschule Wien. SZOMBATHY: Spurkugellager mit balligem Sitz. Textabbildung Bd. 327, S. 744 Fig. 1. 1. Spurkugellager werden häufig mit einem balligen, nach einer Kugelfläche geschliffenen Sitz hergestellt, der in einer entsprechenden Hohlform ruht und gewisse begrenzte Drehungen um den Mittelpunkt dieser Kugelfläche ausführen kann. Der Zweck dieser Konstruktion ist bekanntlich der, daß durch die gegenseitige freie Einstellung der beiden Lagerschalen eine gleichmäßige Belastung aller Laufkugeln erzielt werden soll, wodurch Montagefehler des Lagers und Schiefstellen der Welle infolge von Durchbiegungen während des Betriebes unschädlich gemacht werden. Diesen balligen Sitz wollen wir nun einer eingehenden Betrachtung unterziehen und dabei untersuchen, welche Bedingungen für die sichere Erreichung des Zweckes bestehen und ob nicht Abweichungen von der richtigen Bauart die leichte Einstellung in die der gleichmäßigen Kugelbelastung entsprechende Lage vereiteln kann. Wird z.B. durch Schiefstellen der Welle eine Einstellbewegung erforderlich, so muß sich die untere ballige Lagerschale um den Mittelpunkt der Kugelfläche des Sitzes drehen, und zwar wird sie so lange gleiten, bis sie wieder die normale Lage zur geometrischen Achse der Welle erreicht hat. Dabei wird sie durch ihre Bewegung an der Sitzfläche eine Reibung hervorrufen, die ein der Drehung entgegengesetztes Drehmoment bezüglich des Kugelmittelpunktes resp. der durch ihn gehenden Achse (xx in Fig. 2) ergibt. Man sieht sofort, daß eine solche Bewegung nur dadurch entstehen kann, daß die Lagerschale einseitig, also exzentrisch, belastet wird, so daß sie bezüglich des Mittelpunktes der Auflagerkugelfläche C ein dem Reibungsdrehmoment gleiches Moment erleidet. Diese an sich einfache Vorstellung können wir auch durch folgende Ueberlegung gewinnen: Wird die Welle, die in dem betrachteten Spurkugellager läuft, um einen auch nur kleinen Winkel schiefgestellt, so erleiden die auf der Seite der Neigung liegenden Laufkugeln eine entsprechende Zusammendrückung, die eine zusätzliche Beanspruchung in ihnen hervorruft. Gleichzeitig werden die diametral entgegengesetzt liegenden Kugeln entlastet. Da also der Spurzapfendruck sich nicht mehr gleichmäßig auf alle Kugeln verteilt, kann er nicht mehr in der Achse des Kugellagers resp. im Mittelpunkt des Laufkugelkreises angreifen, sondern er ist eben, da er der Resultierenden aller Kugeldrücke das Gleichgewicht hält, exzentrisch. Bedenken wir nun, daß die Belastung einer einzelnen Kugel ungefähr mit dem Quadrat ihrer Deformation (Zusammendrückung) wächst, so läßt sich auch ohne exakte Ableitung des Zusammenhanges vorstellen, daß schon eine nur wenig exzentrisch angreifende Lagerbelastung in der zu äußerst liegenden Kugel gefährliche Beanspruchungen hervorrufen kann. Erreicht aber z.B. die Exzentrizität den Radius des Kugellaufkreises, so ruht der ganze Spurzapfendruck nur mehr auf einer einzigen Kugel. Alle anderen sind ganz entlastet. Textabbildung Bd. 327, S. 744 Fig. 2. Dieser Gefahr weichen wir eben dadurch aus, daß wir die untere Lagerschale möglichst leicht beweglich machen. Wenn nämlich die Schale sich unter dem Einfluß des einseitigen Lagerdruckes verschiebt, vermindert sich dadurch die Exzentrizität. Sind dann nach erfolgter Einstellung alle Laufkugeln gleichmäßig belastet, so fällt natürlich auch die Richtung des Spurzapfendruckes mit dem Wellenmittel zusammen. Da aber, wie bereits erwähnt, die Einstellbewegung der Schale einen Reibungswiderstand hervorruft, so ist ein vollständiger Ausgleich nicht oder nur ganz zufällig möglich. Damit würde man sich aber in der Praxis leicht abfinden können, wenn nicht die Gefahr bestünde, daß unkontrollierbare Extreme erreicht werden. Je größer die Reibung der Kugelschale in ihrem Sitze ist, desto größer kann die Exzentrizität der Lagerbelastung werden. Wir sollen also die Verhältnisse bei der Dimensionierung des balligen Sitzes so wählen, daß eine möglichst kleine Exzentrizität der Belastung schon genügt, die Lagerschale seitlich zu verschieben. Unsere Aufgabe ist zunächst, zu untersuchen, in welchem Zusammenhang die durch Verschieben hervorgerufene Reibung der balligen Flächen mit der Exzentrizität der Lagerbelastung bei verschiedenen Neigungen des Sitzes steht. Da wir es hier mit einem Reibungskoeffizienten (zwischen der Lagerschale und ihrem kugeligen Sitz) zu tun haben, der kaum in allen Fällen einen gleichbleibenden Wert hat, der sogar sicher außer von dem Material und der Glätte der geschliffenen Flächen noch von der Dicke der dazwischenliegenden Oelschichte und von der spezifischen Flächenpressung abhängt, so können wir kein vollständig exaktes Resultat erwarten. Es scheint daher erlaubt, die ganze Untersuchung durch eine vereinfachte, aber wohl begründete Vorstellung nur abgerundet vorzunehmen. Der exakte Vorgang, um die Reibung an der Sitzfläche, die ja eine Kugelzone ist, zu bestimmen, wäre nämlich so: Man müßte zunächst die Reibung längs eines Flächenelementes bestimmen, dann eine Integration über die dem Element entsprechende unendlich schmale Kugelzone durchführen und dann durch eine zweite Integration die Reibungen sämtlicher solcher Elementarkugelzonen summieren. Diese zweite Integration ist nun aber analytisch schwierig, da die erste auf ein elliptisches Integral führt. Wir benutzen daher mit Vorteil folgende Vorstellung: Wir integrieren die Elementarreibungen längs der unendlich schmalen Kugelzone unter der Annahme, daß der ganze Spurzapfendruck nur auf dieses Element, das wir uns etwa als Ringkante vorstellen können (s. Fig. 2), übertragen wird. Das Resultat dieser Integration wird nun in einer Kurve graphisch wiedergegeben, die wir dazu benutzen, um den der Wirklichkeit entsprechenden Mittelwert aller benachbarten Elemente aufzusuchen. Somit reduziert sich die zweite Integration auf eine einfache, nur nach dem Augenmaß vorzunehmende graphische Korrektur. Die bedeutungsvollste Größe, von der wir im folgenden ausgehen müssen, ist die Neigung der Elementarkugelzone gegen die Horizontalebene. Wir messen sie durch den Winkel α, worunter die mittlere Neigung der balligen Sitzfläche gegen die Ebene der Lagerschale zu verstehen ist. Verdrehen wir die in unserer Fig. 2 ersichtliche Kugel um eine durch den Mittelpunkt C gehende Achse xx (auf der Zeichenebene senkrecht stehend gedacht), so entsteht in jedem Element der Sitzfläche eine Reibung, deren Moment bezüglich der Achse xx wir ausdrücken werden wie folgt: Wir bezeichnen die Einzelkraft, die das Spurlager belastet, also den Spurzapfendruck, mit P. Das Element des Reibungsmomentes Mr beträgt nun, wie aus Fig. 2 hervorgeht, d\,M_r=\frac{P}{2\,\rho\,\pi}\,\frac{\mu\,.\,r'}{\mbox{cos}\,\alpha}\,\rho\,d\,\varphi. Darin ist \frac{P}{2\,\rho\,\pi} der auf 1 cm Bogenlänge entfallende Teil von P, μ der Reibungskoeffizient, r' der Hebelarm bezüglich der Achse xx (C) und ρdφ ein Bogenelement der Ringsitzfläche, die hier als unendlich schmal aufgefaßt erscheint, was ja schon begründet wurde. Da r' gleich ist \sqrt{r^2-\rho^2\,\mbox{sin}^2\,\varphi} und ρ wiederum gleich r sinα, so ist r'=r\,\sqrt{1-\mbox{sin}^2\,\alpha\,\mbox{sin}^2\,\varphi} in die Gleichung für dMr einzusetzen: d\,M_r=\frac{P\,\mu\,r\,\sqrt{1-\mbox{sin}^2\,\alpha\,\mbox{sin}^2\,\varphi}}{2\,\pi\,\mbox{cos}\,\alpha}\,d\,\varphi. Dies haben wir von φ = 0 bis φ = 2π zu integrieren; da aber eine Symmetrie bezüglich zweier normaler Ebenen besteht, können wir das Integral in den Grenzen 0 und 2π, durch das vierfache Integral in den Grenzen 0 und π/2 ersetzen. Da sin α innerhalb dieses Rechnungsvorganges konstant ist und sin2 α immer kleiner als 1, so liegt hier ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Gattung vor: M_r=\frac{2\,P\,\mu\,r}{\mbox{cos}\,\alpha}\,\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\,\sqrt{1-\mbox{sin}^2\,\alpha\,\mbox{sin}^2\,\varphi}\,d\,\varphi oder in der gewöhnlichen Schreibweise M_r=\frac{2\,P\,\mu\,r}{\mbox{cos}\,\alpha}\,E. Somit ist die erste Integration durchgeführt. Wir sehen sofort, daß die Größe des Drehmomentes Mr, d.h. die Leichtverschieblichkeit der Lagerschale im Kugelsitze, vom Winkel α abhängt und zwar nicht in einer ganz einfachen, sondern durch das elliptische Integral gegebenen Beziehung. Wir haben dafür eine Tabelle angelegt (vgl. die Funktionentafeln von Jahnke-Emde, Leipzig 1909, B. G. Teubner) und werden danach eine Kurve zeichnen, welche erkennen läßt, ob es einen Winkel α gibt, bei dem die Drehbarkeit der Schale am größten und das Reibungsdrehmoment am kleinsten ist und ob unverwendbare Extremwerte bestehen. Tabelle für \frac{4\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha}. α° 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Esin 2α 1,5710 1,5680,174 1,5590,342 1,5440,500 1,5240,643 1,4980,755 1,4670,857 1,4320,934 1,3930,982 1,3511 1,3060,982 1,2590,934 1,2110,857 1,1640,755 1,1180,643 1,0760,500 1,0400,342 1,0130,174 10 \frac{4\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha} ∞ 36,1 18,3 12,35 9,48 7,95 6,77 6,14 5,67 5,4 5,32 5,4 5,65 6,18 6,95 8,60 12,2 23,2 ∞ Am übersichtlichsten glaube ich das so darzustellen: Das Drehmoment, das die Schale in ihrem Sitz verdreht resp. verschiebt, denken wir uns entstanden durch exzentrischen Angriff des Spurzapfendruckes P. Wenn die Kraft P aus der Achse heraustritt und dabei zu dieser parallel bleibt, so kann ihre Exzentrizität e (Fig. 2) nur jenen Wert erreichen, wo das Moment P . e gleich dem oben angeschriebenen Reibungsmoment ist. Denn bei Ueberschreitung dieses Wertes beginnt schon die Schale in ihrem Sitz seitlich auszuweichen, so daß diese Grenze sicher eingehalten wird: M_r=P\,e=2\,\frac{P\,\mu\,r}{\mbox{cos}\,\alpha}\,E. Wir benutzen nun als Maß für die Leichtverschieblichkeit der Lagerschale das Verhältnis \frac{e}{\rho}=\frac{e}{r\,\mbox{sin}\,\alpha} es wird: \frac{e}{\rho}=\frac{4\,\mu\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha} Textabbildung Bd. 327, S. 746 Fig. 3. Vorstehende Tabelle enthält die Berechnung der Ordinatenwerte der in Fig. 3 dargestellten Kurve. Als Abszissen sind die Winkel α von 0° bis 90° aufgetragen, als Ordinaten die Werte \frac{4\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha}. Wir haben bei gegebenem Winkel α diesen Ordinatenwert noch mit μ zu multiplizieren, um die relative Exzentrizität \frac{e}{\rho} zu erhalten, die nötig ist, um die Schale in ihrem balligen Sitz zu verdrehen. Die Kurve (Fig. 3) zeigt ein deutliches Minimum bei einem Winkel α = 50°. Wir können also sagen, daß eine Lagerschale, deren kugeliger Sitz einen mittleren Neigungswinkel von 50° gegen die Ebene der Schale hat, sich unter ihrer Belastung am leichtesten verschieben läßt. Hier kommen daher die geringsten Ueberlastungen vor, d.h. man kommt bei gleicher Sicherheit mit kleineren Kugeln aus als bei den derzeit üblichen flachen Ausführungen. Es sei daran erinnert, daß wir bisher eigentlich nur das mittlere Ringelement der Sitzfläche in Betracht gezogen haben. Wir umgehen nun, wie bereits dargelegt wurde, die zweite Integration, nämlich die Integration des Wertes \frac{e}{\rho} über die ganze Breite der kugeligen Sitzfläche, indem wir in der Kurve nicht nur den mittleren Neigungswinkel α, sondern auch den größten und kleinsten α1 und α2 eintragen (vergl. Fig. 1). Der Mittelwert aller Ordinaten, die zwischen α1 und α2 liegen, gibt uns mit genügender Genauigkeit den wahren Wert von \frac{4\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha}, resp. mit μ multipliziert, den wahren Wert von \frac{e}{\rho} für den ganzen balligen Sitz. Ein Blick auf die Kurve zeigt sofort, daß es zu dieser Bestimmung des Mittelwertes genügt, einfach nach Augenmaß den Flächenstreifen zwischen α1 und α2 auf ein flächengleiches Trapez zu reduzieren, dessen mittlere Ordinate die gesuchte Größe \frac{4\,E}{\mbox{sin}\,2\,\alpha} für das betrachtete Kugellager ist. Die meisten heute ausgeführten Spurkugellager mit balligem Sitz zeigen, wie schon gesagt, einen zu flachen Neigungswinkel, sie erfordern also ein großes \frac{e}{\rho} zu ihrer Verschiebung und ergeben eine starke Ungleichmäßigkeit der Laufkugelbelastung. Textabbildung Bd. 327, S. 746 Fig. 4. 2. Da ein Spurkugellager selten allein verwendet wird, sondern fast durchwegs mit einem Lauflager (Gleitoder auch Kugellager) zur Aufnahme seitlicher Kräfte kombiniert wird, so besteht die Veranlassung, diese Vereinigung von Spurkugellager und Lauflager näher zu betrachten, da hier eine Bedingung für die Wahl des Winkels α gegeben ist, die zwar bei den heutigen Ausführungen nicht berücksichtigt erscheint, da sie bisher unbekannt sein dürfte, die aber von großer Bedeutung ist. In Fig. 4 sehen wir in krasser Uebertreibung einen Fall einer falschen Konstruktion, an dem wir uns klar machen können, worauf es ankommt: Wird durch einseitige exzentrische Spurzapfenbelastung eine seitliche Verschiebung der unteren Lagerschale in dem kugeligen Sitze nötig, so erfolgt dies, indem sich das ganze System des Spurlagers um den Kugelmittelpunkt C dreht. Dieser Verdrehung entspricht eine Schiefstellung des Wellenmittels um den Winkel β. Diesen Vorgang können wir uns so vorstellen, daß durch eine Durchbiegung der Welle die Schiefstellung um den Winkel β schon entstanden ist und nun die untere Lagerschale zu folgen hat, um die Laufkugeln wieder in den Zustand der gleichmäßigen Belastung zurückzuführen. Wir sehen nun in der Fig. 4, daß die freie Einstellung der Welle durch das Lauflager bei A gehindert wird, das Wellenmittel sollte sich im Lauflager um den Betrag δ seitlich verschieben (übertrieben gezeichnet). Ist das Lauflager nun starr, was wir doch annehmen müssen, so wird es der elastischen Deformation δ entsprechend eine zusätzliche Belastung Q erfahren, die aber nicht von außen kommt, sondern vom Spurlager herrührt und dort eine gleichgroße Gegenkraft – Q zur Folge haben muß. Unter deren Einfluß wird das Spurlager eben schief laufen. Daß hier die Kugeln einem sehr ungünstigen und ungleichmäßigen Belastungsfall ausgesetzt sind, liegt auf der Hand. Textabbildung Bd. 327, S. 747 Fig. 5. Textabbildung Bd. 327, S. 747 Fig. 6. Textabbildung Bd. 327, S. 747 Fig. 7. Dasselbe kann z.B. eintreten bei der Konstruktion eines Spurkugellagers nach Fig. 5, die von der Soc. Franç. du roulement a billes, Ivry Port, herrührt (nach Bauschlicher, Die Kugellagerungen). Auch hier entspricht einer Verdrehung des Systems um den Kugelsitz eine Verschiebung des Wellenmittels im Lauflager, die durch den Widerstand Q dieses Lauflagers eine schiefe Stellung der Spurlagerschalen zur Folge hat. Damit entfällt der ganze Wert des balligen Sitzes, er ist überflüssig, wenn nicht sogar schädlich. Wir fragen nun, wie sich dies vermeiden läßt, und finden eine sehr einfache Antwort darauf: Der Mittelpunkt C des kugeligen Sitzes muß mit dem Mittelpunkt A des Lauflagers zusammenfallen. Diese Forderung ist beispielsweise in Fig. 6 und 7, die eine Ausführung mit Gleitlager, die andere mit Kugellauflager, eingehalten. Man sieht hier ohne weiteres, daß eine Verdrehung des Spurkugellagers um den Mittelpunkt C keine Verschiebung (δ) im Lauflager zur Folge hat. Größere Verdrehungen können zwar besonders bei einem langen Gleitlager mit wenig Spiel ein Anliegen der Welle unter Druck hervorrufen, doch erfolgt dies auf beiden Seiten gleichzeitig und verursacht dann nur ein Drehmoment, das auf das Spurlager ohne Wirkung bleibt. Eine schädliche Seitenkraft kann hierbei aber niemals auftreten. Unsere Forderung, daß die Mittelpunkte A und C zusammenfallen sollen, bietet die angenehme Möglichkeit, den Winkel α, die mittlere Neigung der balligen Sitzfläche, in der Nähe des günstigsten Winkels von etwa 50° zu halten. Die Fig. 6 und besonders 7 zeigen dies deutlich.