Analytische Untersuchungen der Biegungsschwingungen einer dreifach gelagerten Welle bei hohen Drehzahlen. Von Dr.-Ing. W. v. Borowicz, Marktredwitz. BOROWICZ: Analytische Untersuchungen der Biegungsschwingurigen usw. Die schnell umlaufenden Maschinen, insbesondere die Dampfturbinen, haben die Aufmerksamkeit auf eine eigenartige Erscheinung an den Wellen gelenkt. Während man die Drehzahl einer Welle allmählich steigert, kann man beobachten, daß die Welle bei bestimmten Drehzahlen Schwingungen ausübt, die bei weiterer Steigerung aufhören. Diese Drehzahlen, bei denen die Schwingungen der Welle regelmäßig wiederkehren und durch genaueste Herstellung nicht vollständig beseitigt werden können, werden in der Technik als kritische Drehzahlen bezeichnet, da bei ihnen die Wellen zum Bruch kommen können, wenn sie dauernd bei dieser Drehzahl laufen und äußere Stöße erfahren. Da eine bestimmte Zeit zur Entwicklung der gefährlichen Ausschläge notwendig ist und diese nur bei einer bestimmten Drehzahl erzwungen werden, so ist es in einigen Fällen möglich, durch schnelle Steigerung der Drehzahl die kritische zu überschreiten. Auf das Verhalten der Welle während der kritischen Drehzahl ist auch das Massenträgheitsmoment der Welle und der Scheiben oder elektrischen Armatur von Einfluß. Während man bei Versuchen an Modellen mit kleinen Massen ohne Führung oder andere Sicherungen gegen zu große Ausschläge die kritische Drehzahl nicht überschreiten kann, können Dampfturbinen bei sorgfältigster Auswuchtung auch dauernd mit der kritischen Drehzahl laufen. Die Steigerung der Drehzahl der schnell umlaufenden Maschinen läßt eine erhebliche Erhöhung ihrer Leistung zu; davon hat auch die Technik einen weitgehenden Gebrauch gemacht, wobei zur Herabsetzung der Herstellungskosten und der Lagerreibungsarbeit die Wellen beim Koppeln zweier Maschineneinheiten öfters nur dreifach gelagert werden. Aus konstruktiven Gründen ist man oft gezwungen, Turbodynamos über der kritischen Drehzahl laufen zu lassen. Da bei dreifach gelagerten Wellen bald nach Ueberschreitung der ersten kritischen Geschwindigkeit sich eine erneute Unruhe (die zweite kritische Geschwindigkeit) bemerkbar macht, welche ein bedeutend größeres Drehzahlgebiet beherrscht, so ist es von großer Wichtigkeit die Eigenschaften der dreifach gelagerten Welle eingehend zu untersuchen. Es sei die Schwingung der Welle auf einen Augenblick in der angedeuteten Lage (Abb. 1) angehalten. In Abb. 4 ist die Projektion der Verbindungslinie der Zapfenmittelpunkte mit O bezeichnet. Die Durchstoßpunkte der Wellenteile AB und BC durch die entsprechenden Räder seien D1 und D2. OD1 und OD2 sind die Auslenkungen zur Zeit t. S1 und S2 sind die Lagen der Schwerpunkte der Rädermassen m1 und m2, wobei die Welle gewichtslos angenommen wird. Es sei vorausgesetzt, daß vor der Einwirkung der Kräfte P1 und P2 die Schwerpunkte S1 und S2 sich in derselben achsialen Ebene befanden. φ ist die Neigung der Linie D1S1 zur X-Achse, wo bei t = 0 d.h. zu Anfang der Bewegung φ = 0 sein muß. Wenn sich die Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, ist φ = ωt. Die dynamischen Grundgleichungen sollen für jeden Wellenteil einzeln angeschrieben werden. Nach dem dynamischen Grundgesetz ist das Produkt aus Beschleunigung des Schwerpunktes in Richtung einer Koordinatenachse und Masse des Körpers gleich der Komponente (in bezug auf dieselbe Achse) der Resultierenden aller auf die Masse einwirkender Kräfte. Es wird angenommen, daß der Wellenteil AB der Wirkung einer Biegungskraft P1 ausgesetzt ist, die eine Durchbiegung OD1 der Welle hervorrufen würde, wenn das Wellenende C im Lager nicht festgehalten wäre. Die Projektion des Biegungspfeiles auf die X-Achse wäre x1 + e1 • cos ωt. Da jedoch das Wellenende im Lager C festgehalten wird und außerdem noch der Wellenteil BC unter dem Einflusse einer Kraft P2 steht, so wird der Schwerpunkt S1 sich nicht um x1, sondern nur um x1 durchbiegen. Aus den Abb. 3 und 4 ist zu ersehen, daß x_1=x_I-\lambda\,x_1+\mu\,x_2 . . . . . (1) ist. Das Glied λx1 ist der Biegungspfeil, um den der Schwerpunkt S1 durch das Herunterdrücken des Wellenendes C gehoben wird. λ ist die Größe der zusätzlichen negativen Durchbiegung, wenn die resultierende Durchbiegung x1 = 1 ist. Textabbildung Bd. 331, S. 346 μ ist die Größe des Biegungspfeiles, um den sich der Schwerpunkt S1 senken wird, wenn x2 = 1 die resultierende Durchbiegung des Wellenteiles BC ist. Daraus folgt: x_I=x_1+\lambda\,x_1-\mu\,x_2=(1+\lambda)\,x_1-\mu\,x_2. Für den Wellenteil BC kann ebenfalls die Durchbiegung nach denselben Ueberlegungen angeschrieben werden: x_{II}=x_2+\xi\,x_2-\rho\,x_1=(1+\xi)\,x_2-\rho\,x_1 . . . (2) Die dynamischen Grundgleichungen haben dann die Form: m_1\,\frac{d^2x_1}{d\,t^2}=-\ c_1\,[(1+\lambda)\,x_1-\mu\,x_2+e_1\,\mbox{cos}\,\omega\,t] (3) m_2\,\frac{d^2x_2}{d\,t^2}=-\ c_2\,[(1+\xi)\,x_2-\rho\,x_1+e_2\,\mbox{cos}\,\omega\,t] (4) Das Minuszeichen drückt aus, daß die inneren elastischen Kräfte der Welle zum Ursprung O hin gerichtet sind, entgegengesetzt der positiven Richtung von x1 bzw. x2. Die Grundgleichungen nehmen mit den Bezeichnungen a=(1+\lambda)\cdot \frac{c_1}{m_1}, d=(1+\xi)\cdot \frac{c_2}{m_2}, b=-\ \mu\cdot \frac{c_1}{m_1}, e=-\ \rho\cdot \frac{c_2}{m_2}, c=e_1\cdot \frac{c_1}{m_1}, f=e_2\cdot \frac{c_2}{m_2}, folgende Gestalt an: \frac{d^2x_1}{d\,t^2}+a\,x_1+b\,x_2+c\cdot \mbox{cos}\,\omega\,t=0 . . (5) \frac{d^2x_2}{d\,t^2}+d\,x_2+e\,x_1+f\cdot \mbox{cos}\,\omega\,t=0 . . (6) Wird (5) nach x2 aufgelöst und in (6) eingeführt, so ergibt sich mit den neuen Bezeichnungen: \beta=(a+d)=(1+\lambda)\,\frac{c_1}{m_1}+(1+\xi)\,\frac{c_2}{m_2}, \gamma=ad+bc=\frac{c_1}{m_1}\cdot\frac{c_2}{m_2}\cdot[(1+\lambda)\,(1+\xi)-\mu\,\rho], \delta=c\omega^2-cd+bf=\frac{c_1}{m_1}\cdot\left[e_1\omega^2-e_1\,(1+\xi)\,\frac{c_2}{m_2}-\mu\,e_2\cdot\frac{c_2}{m_2}\right] die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung \frac{d^4x_1}{d\,t^4}+\beta\,\frac{d^2x_1}{d\,t^2}+\gamma\,x_1-\delta\cdot \mbox{cos}\,\omega\,t=0 . . . (7) mit unveränderlichen Koeffizienten und einer Störungsfunktion. Das allgemeine Integral hat bekanntlich die Form: x_1=C_1e^{w_1t}+C_2e^{w_2t}+C_3e^{w_3t}+C_4e^{w_4t}+E\,\mbox{cos}\,\omega\,t+E_1\,\mbox{sin}\,\omega\,t. Es sei nun: x_1={x_1}'+{x_1}'' . . . . . (8) für {x_1}'=C_1e^{w_1t}+C_2e^{w_2t}+C_3e^{w_3t}+C_4e^{w_4t} . . (9) {x_1}''=E\,\mbox{cos}\,\omega\,t+E_1\,\mbox{sin}\,\omega\,t . . . . . . (10) dann ist x1'' ein partikuläres Integral von (7); x1' dagegen ist das allgemeine Integral der linearen Differentialgleichung ohne Störungsfunktion: \frac{d^4{x_1}'}{d\,t^4}+\beta\,\frac{d^2{x_1}'}{d\,t^2}+\gamma\,{x_1}'=0 . . . . . (11) Die Größen w1, w2, w3 und w4 sind Wurzeln der Gleichung w4 + βw2 + γ = 0, woraus w=\pm\sqrt{-\frac{\beta}{2}\pm\sqrt{\frac{\beta^2}{4}-\gamma}.} γ ist eine positive Größe, da (1+\lambda)\,(1+\xi)>\mu\,\rho ist. Daher auch \sqrt{\frac{\beta^2}{4}-\gamma}<\frac{\beta}{2}, und alle vier Wurzeln sind rein imaginär. Das Integral x1' läßt sich daher mit w_1=i\,\alpha_1;\ w_2=-\ i\,\alpha_1;\ w_3=i\,\alpha_2; und w_4=-\ i\,\alpha_2 so schreiben: {x_1}'=(C_1+C_2)\,\mbox{cos}\,\alpha_1\,t+(C_1-C_2)\,i\ \mbox{sin}\,\alpha_1\,t+ (C_3+C_4)\,\mbox{cos}\,\alpha_2\,t+(C_3-C_4)\,i\ \mbox{sin}\,\alpha_2\,t. Damit x1' reell wird, müssen C1 und C2, C3 und C4 je zwei konjugiert komplexe Zahlen darstellen. Setzt man also: A_1=C_1+C_2, A_2=C_3+C_4, B_1=(C_1-C_2)\cdot i, B_2=(C_3-C_4)\cdot i, so wird {x_1}'=A_1\ \mbox{cos}\,\alpha_1\,t+B_1\ \mbox{sin}\,\alpha_1\,t+A_2\ \mbox{cos}\,\alpha_2\,t+B_2\ \mbox{sin}\,\alpha_2\,t (12) Es soll nun geprüft werden, ob (12) die Gleichung (11) befriedigt. Das ist der Fall, wenn {\alpha_1}^4-\beta\,{\alpha_1}^2+\gamma=0,\ \ {\alpha_2}^4-\beta\,{\alpha_2}^2+\gamma=0  (13) wenn also α1 = α2 ist. Es werde α1 = α2 = α gesetzt, dann ist \alpha^4-\beta\,\alpha^2+\gamma=0 oder unter Berücksichtigung der Werte für β und γ: \mu\,\rho=\left(1+\lambda-\frac{m_1}{c_1}\cdot \alpha^2\right)\,\left(1+\xi-\frac{m_2}{c_2}\cdot \alpha^2\right) (14) wofür wir kürzer μρ = k schreiben wollen. Nach Einführung der Bezeichnungen A1 + A2 = A und B1 + B2 = B in (12) erhält man: {x_1}'=A\,\mbox{cos}\,\alpha\,t+B\,\mbox{sin}\,\alpha\,t. Jetzt sollen die Ausdrücke E und E1 im partikulären Integral x1'' nach dem Verfahren der unbestimmten Koeffizienten ermittelt werden. Zu diesem Zweck ist der Ausdruck (10) für x1'' in (7) einzuführen, dann muß (\omega^4-\beta\,\omega^2+\gamma)\,E\,\mbox{cos}\,\omega\,t+(\omega^4-\beta\,\omega^2+\gamma)\,E_1\,\mbox{sin}\,\omega\,t=\delta\,\mbox{cos}\,\omega\,t sein. Nach dem erwähnten Verfahren müssen die Koeffizienten bei den entsprechenden trigonometrischen Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich sein, d.h. E=\frac{\delta}{\omega^4-\beta\,\omega^2+\gamma} . . . . . (15) und E_1=0 Das partikuläre Integral (10) lautet daher {x_1}''=E\ \mbox{cos}\,\omega\,t. Hiernach findet man: x_1=A\ \mbox{cos}\,\alpha\,t+B\ \mbox{sin}\,\alpha\,t+E\ \mbox{cos}\,\omega\,t . . . (16) x_2=C\ \mbox{cos}\,\alpha\,t+D\ \mbox{sin}\,\alpha\,t+F\ \mbox{cos}\,\omega\,t . . . (17) E=\frac{e_1\left(1+\xi-\frac{m_2}{c_2}\,\omega^2\right)+\mu\,e_2}{h} . . . (18) F=\frac{e_2\left(1+\lambda-\frac{m_1}{c_1}\,\omega^2\right)+\rho\,e_1}{h} . . . (19) h=\mu\,\rho-\left(1+\lambda-\frac{m_1}{c_1}\,\omega^2\right)\,\left(1+\xi-\frac{m_2}{c_2}\,\omega^2\right). Aus der Betrachtung der Integrale (16) und (17) ist zu ersehen, daß zwischen der Bewegung einer Welle auf zweiFöppl, Technische Mechanik, IV. Bd. II. Aufl. S. 238. und drei Lagern eine Analogie herrscht. Die Bewegung läßt sich in zwei Anteile zerlegen, von denen der erste x1' und x2' vom Anfangszustande der Bewegung abhängt, da er Integrationskonstanten A, B, C und D enthält, dagegen von der Drehzahl der Welle unabhängig ist. Der erste Bewegungsanteil ist eine harmonische Schwingung der Welle, die unabhängig von dem zweiten Bewegungsanteil (auch bei ω = 0) entstehen und, falls genügende Dämpfung vorhanden, mit der Zeit abklingen kann. Der zweite Bewegungsanteil x1'' und x2'' ist von der Winkelgeschwindigkeit ω abhängig und stellt eine kreisförmige Bewegung der Schwerpunkte S1 und S2 dar. Die Halbmesser der Kreise sind für den Wellenteil AB durch Gleichung (18) und für BC durch Gleichung (19) gegeben. Im Falle einer Zusammenwirkung beider Bewegungsanteile beschreibt der Schwerpunkt eines jeden Wellenteiles eine Epizykloide. Die Größe der Ausschläge der Welle in jeder Spannweite hängt von den Halbmessern E und F ab; die Ausschläge können auch unendlich große Werte annehmen, wenn der Nenner von (18), (19) oder (15) gleich Null wird, d.h. wenn \mu\,\rho=\left(1+\lambda-\frac{m_1}{c_1}\,\omega^2\right)\,\left(1+\xi-\frac{m_2}{c_2}\,\omega^2\right). . . (20) oder, was das gleiche ist, wenn \omega^4-\beta\,\omega^2+\gamma=0 . . . . (21) wird. Aus dem Vergleich von (21) und (13) ist leicht zu erkennen, daß unendlich große Ausschläge bei den Spannweiten der Welle auftreten können, wenn die Winkelgeschwindigkeit ω der Rotation den Winkelgeschwindigkeiten der Wellenschwingungen gleich wird, \omega=\alpha . . . . . . (22) d.h. wenn eine Resonanz zwischen beiden Bewegungsanteilen auftritt. Es muß untersucht werden, wie viel positive und reelle Wurzeln Gleichung (21) besitzt, da nur solche für die kritischen Umlaufzeiten in Frage kommen können. Alle vier Wurzeln \omega=\pm\sqrt{\frac{\beta}{2}\pm\sqrt{\frac{\beta^2}{4}-\gamma}} . . . . . . (23) sind reell, aber nur zwei positiv. Die dreifach gelagerte Welle hat also zwei kritische Drehzahlen, die in einem inneren Zusammenhange miteinander stehen. Für die Untersuchung der kritischen Drehzahlen höherer Ordnung muß eine neue Schwingungslinie angenommen werden, welche die Verbindungslinie der Zapfenmittelpunkte zwischen den Lagern in beiden Spannweiten scheidet. Der Nenner in (18) und (19) kann in folgender Form angeschrieben werden: \frac{c_1}{m_1}\cdot\frac{c_2}{m_2}\cdot\mu\,\rho-\left[(1+\lambda)\cdot\frac{c_1}{m_1}-\omega^2\right]\,\left[(1+\xi)\cdot\frac{c_2}{m_2}-\omega^2\right] (24) Wenn man die Wellenteile AB und BC getrennt betrachtet (Welle im Mittellager „geschnitten“), so sind \sqrt{\frac{c_1}{m_1}}=\omega_1 und \sqrt{\frac{c_2}{m_2}}=\omega_2 die kritischen Winkelgeschwindigkeiten dieser beiden Wellenteile. Werden die minutlichen Drehzahlen statt der Winkelgeschwindigkeiten in den Ansatz (24) eingeführt: n=\frac{30}{\pi}\cdot\omega,\ n_1=\frac{30}{\pi}\cdot\omega_1=\frac{30}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{c_1}{m_1}},\ n_2=\frac{30}{\pi}\cdot\omega_2=\frac{30}{\pi}\cdot\sqrt{\frac{c_2}{m_2}}, so wird der fragliche Nenner gleich: {n_1}^2\,{n_2}^2\,\mu\,\rho-[(1+\lambda)\,{n_1}^2-n^2]\,[(1+\xi)\,{n_2}^2-n^2] (25) Hieraus ist zu ersehen, daß bei n = n1 oder n = n2 der Nenner h nicht verschwindet, d, h. daß die Ausschläge E und F nicht unendlich groß werden. Bei Drehzahlen gleich den kritischen der einzelnen Wellenteile treten keine kritische Drehzahlen der dreifach gelagerten Welle auf, abgesehen von dem Fall, wo n = n1 = n2 und \frac{\mu}{\lambda}=\frac{\xi}{\rho} ist, d.h. wo beide Wellenteile einander gleich sind. Es sollen nun die Ausschläge der einzelnen Wellenteile nach den Formeln (18) und (19) als Beispiel für eine dreifach gelagerte Turbodynamowelle berechnet werden. Eine Flanschkupplung stellte eine starre Verbindung der Turbinenwelle mit der Dynamowelle her; diese zusammengesetzte Welle ruhte auf drei Lagern. Eine graphische Berechnung, die aus ähnlichen Betrachtungen, wie eingangs erwähnt, abgeleitet wurde,Siehe Dissertation, München Februar 1915. ergab: Kritische Drehzahl der Turbinenwelle n1 = 1895 „ „ „ Dynamowelle n2 = 2620 (im Mittellager „geschnitten“). Erste kritische Drehzahl der ganzen Welle n I = 2070 Zweite „ „ „ „ „ n II = 2910 Aus derselben graphischen Berechnung wurden die Werte entnommen: λ = 0,260, μ = 0,241, ξ = 0,175, ρ = 0,0924. Textabbildung Bd. 331, S. 348 Abb. 5. Textabbildung Bd. 331, S. 348 Abb. 6. Die Ausschläge sind unter folgenden drei Annahmen berechnet: Fall 1. Die Rotoren der Turbine und Dynamo haben gleich große Exzentrizitäten (e1 = e2). Fall 2. Der Turbinenrotor ist vollständig ausbalanziert (e1 = 0); der Dynamorotor hat eine Exzentrizität e2. Fall 3. Der Dynamorotor ist vollständig ausbalanziert (e2 = 0); der Turbinenrotor besitzt eine Exzentrizität e1. Die Ausschläge der Wellenteile werden in Einheiten der Exzentrizitäten e1 und e2 gemessen. Es sei ferner angenommen, daß die Ausschläge sich erst dann bemerkbar machen, wenn sie den vierfachen Wert der Exzentrizitäten erreichen. Dadurch wird es möglich gemacht, den Bereich der Unruhen der beiden kritischen Drehzahlen zu ermitteln. Das Resultat der Berechnung ist in Abb. 5 bis 7 eingetragen worden. Um außerdem die Ausschläge der Wellenteile untereinander vergleichen zu können, sind die Ausschläge der Wellenteile zusammen aufgetragen (Abb. 8 und 9). Aus Abb. 5 ist zu ersehen, daß auf die erste kritische Drehzahl (n1 = 2070) diejenige Welle von Einfluß ist, welche die niedrigere kritische Drehzahl (im Mittellager „geschnitten“) hat, in diesem Fall die Turbinenwelle mit ihrer kritischen Drehzahl n1 = 1895. Die Unruhe der Turbinenwelle ist bedeutend größer als die der Dynamowelle. Das Bild ändert sich dagegen bei der zweiten kritischen Drehzahl (nII = 2910). Hier ist es die Dynamowelle, welche die Unruhen hervorruft und die Turbinenwelle zum Mitschwingen zwingt; daher auch die Ausschläge der Dynamowelle bedeutend größer als die der Turbinenwelle. Die Schwingungen der Wellenteile beim Uebergange durch die auftretenden kritischen Drehzahlen hören nicht auf, wenn eine von den Wellen auch vollständig ausgewuchtet wäre, nur werden die Ausschläge bedeutend kleiner. Textabbildung Bd. 331, S. 348 Abb. 7. Die kritischen Drehzahlen der einzelnen Wellenteile (Welle im Mittellager „geschnitten“) kommen nicht zum Vorschein; die auftretenden kritischen Drehzahlen der dreifach gelagerten Welle liegen höher als die entsprechenden kritischen Drehzahlen der einzelnen Wellen. Wenn die kritischen Drehzahlen nahe voneinander liegen, so kommen die Wellenteile nach der ersten kritischen Drehzahl nicht zur Ruhe, da, bevor die Schwingungen nach der ersten kritischen aufhören, schon neue von der zweiten hervorgerufen werden (Schwingungen der Turbinenwelle Abb. 8). Die Größe der Exzentrizität der Turbinenwelle hat bei der zweiten kritischen Drehzahl nur einen kleinen Einfluß auf die Ausschläge der Dynamowelle, sie sind hauptsächlich nur von den Exzentrizitäten des eigenen Wellenteiles abhängig (Abb. 9). Die Größe der Exzentrizität der Dynamowelle dagegen ist von bedeutend größerem Einfluß auf die Turbinenwelle. Hier ist die Einwirkung der großen Masse der Dynamo auf die verhältnismäßig kleinen rotierenden Massen der Turbine ersichtlich (Abb. 8). Textabbildung Bd. 331, S. 349 Abb. 8. Wenn die Annahme gemacht wird, daß Erschütterungen nur dann bemerkbar werden, wenn die Ausschläge das Vierfache der Exzentrizitäten erreichen, so kann aus den Kurven Abb. 5 bis 7 ermittelt werden, bei welcher Drehzahl der unruhige Lauf der Welle beginnt und wie groß der Bereich der Unruhen bei beiden kritischen Drehgeschwindigkeiten werden kann. Die Genauigkeit des Auswuchtens ist bei der Turbinenwelle bedeutend höher als bei der Dynamowelle. Im ersten Fall werden die einzelnen Räder und dann der ganze Turbinenrotor (Welle mit aufgekeilten Rädern) ausgewuchtet; die Dynamowelle dagegen wird erst im fertig gewickelten Zustande auf die Balanziervorrichtung gebracht. Es liegt daher nahe, die Exzentrizität der Turbinenwelle kleiner als der Dynamowelle anzunehmen; es sei deshalb der Fall 2 (Abb. 6) näher betrachtet. Be-ginn Maxi-mum Ende Be-reich Anmerkungen der Erschütterungen nI TD 20002050 2070 21902100 190  50 Größte Ausschlägebei der Turbinenwelle nII TD 28202600 2910 29703170 150570 Größte Ausschlägebei der Dynamowelle Die dreifach gelagerte Welle ist ohne Berücksichtigung der Versteifung der Radnaben und der elektrischen Armatur der Dynamowelle gerechnet worden; es war daher zu erwarten, daß die beobachteten kritischen Geschwindigkeiten höher als die gerechneten liegen werden. Beobachtet wurden die größten Ausschläge bei n = 2200 an der Turbinenwelle; der Bereich der Unruhe war hier 200 Umdrehungen. Bei n = 2900 begann die Welle wieder unruhig zu laufen, wobei dieses Mal die Erschütterungen an der Dynamowelle auftraten und sich auf die Turbinenwelle fortpflanzten. Die Ausschläge wuchsen mit der Drehzahl ständig an; das Maximum konnte nicht ermittelt werden, da aus Festigkeitsrücksichten die Drehzahl über 3300 nicht gesteigert werden konnte. Die Berücksichtigung der erwähnten Einflüsse führt zu einem Resultat, das mit den Beobachtungen sehr gut übereinstimmt, wobei bemerkt werden muß, daß der Einfluß der elektrischen Armatur der Dynamowelle nicht in dem vollen Maße wie im Beispiel von Prof. StodolaDampfturbinen, IV. Auflage, S. 304. berücksichtigt wurde. Die Größe des Einflusses ändert sich je nach Konstruktion und kann aus dem Vergleich der Berechnung mit den Beobachtungen für jeden Fall ermittelt werden. Textabbildung Bd. 331, S. 349 Abb. 9. Prof. Stodola hat eine dreifach gelagerte Versuchswelle beobachtet,Ebenda S. 309. die sich bei der ersten und zweiten kritischen Drehzahl genau nach den aus theoretischen Betrachtungen hier gezogenen Schlüssen verhalten hatte. Eine Nachrechnung dieser WelleDissertation. unter Berücksichtigung der Art des Antriebes und der Lagerung hat Resultate ergeben, die gut mit den Beobachtungen übereinstimmen. Zusammenfassung. Es wird das Verhalten einer dreifach gelagerten Welle bei hohen Drehzahlen untersucht und gefunden, daß neben der ersten auch die zweite kritische Drehzahl beachtet werden muß; sie besitzt ganz analoge Eigenschaften wie die erste und kann unter Umständen nahe der ersten kritischen Drehzahl liegen. Es werden Formeln abgeleitet, aus denen man die Größe der Ausschläge der Wellenteile berechnen kann, was auch für eine Turbodynamowelle ausgeführt wird und mit den Beobachtungen an dieser Welle verglichen. Es wird ferner auf die Beobachtungen von Prof. Stodola hingewiesen, der Vorgänge an einer Versuchswelle festgestellt hat, die mit den hier aus theoretischen Betrachtungen gezogenen Schlüssen übereinstimmen.