Die Entwicklung der technischen Physik in den letzten 20 Jahren. Von Ingenieur Dr. W. Hort, Berlin-Siemensstadt. (Fortsetzung von S. 170 d. Bd.) HORT: Die Entwicklung der technischen Physik in den letzten 20 Jahren. 3. Die Theorie der Turbinen hat seit Eulers217)a) L. Euler. Recherches sur l'effet d'une machine hydraulique, proposée par M. Segner, Professeur à Göttingue. Hist. de l'Ac. Roy. Berl. 1750.b) Application de la machine hydraulique de M. Segner. Hist. de l'Ac. Berl. 1751.c) Théorie plus complette des machines, qui sont mises en mouvement par la réaction de l'eau. Hist. de l'Ac. Berl. 1754. Zeiten bis vor kurzem ihre Gestalt nicht wesentlich geändert. Ihre Grundannahmen entlehnt sie zunächst der oben erwähnten Theorie der Strömung in Rohren, nämlich die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung der Bernoullischen Stromfadentheorie. Weiterhin liefert die Dynamik der Relativbewegung einer Masse in einem bewegten Raum die Eulersche Momentengleichung: $$\text{frakfamily}M=\frac{G}{g}[\omega ({r_3}^2-{r_4}^2)+r_3{v}_3\cos {\beta }_3-r_4{v}_4\cos {\beta }_4]$$ (15) wo G das sekundliche Wassergewicht und ω die Winkelgeschwindigkeit eines um die Z-Achse rotierenden Kanals bedeuten, während r3, r4, v3, v4, ß3, ß4 aus der Abb. 18 zu entnehmen sind. Diese Formel nimmt für Achsialturbinen (Abb. 19), bei denen die Kurve a b auf einem Zylindermantel um die Achse Z Z liegt, mit r3 = r4 = r, die einfachere Gestalt an: $$\text{frakfamily}M=\frac{G}{g}r(v_3\cos {\beta }_3-v_4\cos {\beta }_4)...$$ (16) Für Radialturbinen dagegen lautet sie: $$\text{frakfamily}M=\frac{G}{g}(u_3{r}_3-u_4{r}_4)...$$ (16a) wo u3 = ω r3 + v3 cos ß3 und u4 = ω r4 + v4 cos ß4 die tangentialen Komponenten der Ein- und Austrittsgeschwindigkeit am Laufrade bedeuten. Nach Multiplikation mit ω ergibt sich die Leistung der Wasserbewegung $$L=\omega \text{frakfamily}M$$  (17) Diesen letzteren Ansatz verbindet man mit der Energiegleichung für die Bewegung des Wassers zwischen Ober- und Unterspiegel der Turbinenanlage (Abb. 20): $$Gh=\frac{G}{2g}[{U_2}^2(1+\zeta )-{U_1}^2]+\omega \text{frakfamily}M+R_s.$$ (18)

Abb. 18.

Abb. 19.

Abb. 20.

in welcher Rs einen Stoßverlust bedeutet, der eintritt, wenn die weiter unten folgenden Gleichungen (20) nicht erfüllt sind, während der Widerstandskoeffizient ξ dem mit dem Durchfluß des Wassers durch die Turbine verbundenen Reibungsverlust Rechnung tragen soll. Wir haben sonach zwei Gleichungen, zu denen noch die Kontinuitätsgleichungen für den Eintritt und Austritt am Laufrade sowie im Ober- und Unterspiegel hinzukommen: $$F_1{U}_1=F_3{v}_3\sin {\beta }_3=F_4{v}_4\sin {\beta }_4=F_2{U}_2=\frac{G}{g}$$ (19) Es ist ohne weiteres klar, daß mit diesen Ansätzen für die Berechnung der Unbekannten M, ω, r3, r4, v3, v4, ß3, ß4, U1, U2, F1, F2, F3, F4, den gegebenen Größen G und h die Möglichkeit willkürlicher Festsetzungen offen bleibt.

Abb. 21.

Abb. 22.

Um letztere zu beschränken, greift man zu den Bedingungen des stoßfreien Austritts des Wassers aus dem Leit218)Das Leitrad ist von L. Euler erfunden worden. Siehe die Arbeit unter Fußnote 217c. und Laufrade (Abb. 21 und 22):

Austritt aus dem Laufrad:c3 cos a3 – v3 cos ß3 – u3 = 0c3 sin a3 – v4 sin ß3 = 0Austritt aus dem Leitrad:c4 cos a4 – v4 cos ß4 – u4 = 0c4 sin a4 – v4 sin ß4 = 0 (20)

welches Mittel jedoch bei weitem noch nicht hinreicht, um alle für die Ausführung einer Turbine nötigen Größen restlos zu bestimmen. Es gelingt mit Hilfe der angeführten Ansätze, die Arbeitsgleichung der Turbine in die Form zu bringen: $$2gh={\omega }^2({r_3}^2-{r_4}^2)+2\omega \frac{G}{\gamma }\frac{r_3\text{tg}(\frac{3}{2}\pi +{\beta }_3)}{F_3}+\frac{G^2}{{\gamma }^2{F}^2}$$ (20a) die als Charakteristik der Turbine bezeichnet und zur Untersuchung der Betriebsverhältnisse benutzt wird. Darüber hinaus geben unsere Gleichungen insbesondere über die Gestaltung der Kranzquerschnitte der Turbinenräder sowie über die Schaufelform keinen Aufschluß. Auch bleibt der eigentliche Strömungsverlauf in der Turbine unerörtert. Ferner haftet der ganzen Theorie der Gebrauch des Widerstandskoeffizienten ξ an, welcher in Wirklichkeit für jeden Uebergang aus einem Element der Turbine in das andere (Zulauf, Leitrad, Laufrad, Saugrohr) gesondert in Ansatz gebracht werden muß und die fortgesetzte Vornahme zahlreicher Versuche notwendig macht. Diese der alten Theorie219)Der weitere Ausbau dieser Theorie ist zu verdanken:a) M. Poncelet. Sur la théorie des effets mécaniques de la turbine Fourneyron. Comptes rendus t. VII. 1838.b) Combes, Recherches théoriques et experimentales sur les roues à reaction ou à tuyaux. Paris 1843.c) Redtenbacher. Theorie und Bau der Turbinen und Ventilatoren. Mannheim 1844 und 1860.d) Weisbach. Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik. 5. A. 1870–99. Weisbach ist in erster Linie die umfassende Erforschung und Anwendung der Widerstandskoeffizienten zu verdanken, die von italienischen, französischen und deutschen Hydraulikern (unter letzteren Eytelwein) eingeführt waren.e) Eine abschließende Darstellung der älteren Turbinenforschung bietet G. Zeuner, Vorlesungen über Theorie der Turbinen. Leipzig 1899. zweifellos anhaftenden Mängel haben nicht verhindert, daß die Turbinenkonstruktion bis zum Ende des 19. Jahrhunderts auf einen hohen Stand der Vollkommenheit gebracht wurde, worüber die in den großen Werken über die Wasserturbinen220)A. Pfarr. Die Turbinen für Wasserkraft betrieb. Theorie und Konstruktion. 2. A. 1912. und in den Fachzeitschriften220a)Z.B. Zeitschr. f. d. ges. Turbinenw. und Z. d. V. d. I. mitgeteilten Ausführungen Rechenschaft ablegen. Immerhin trat im Laufe dieser Entwicklung das Bedürfnis, die überkommene Theorie zu vervollständigen, zutage und äußerte sich zunächst in genauerer Erörterung und Prüfung der für die praktische Turbinenberechnung nach obigem notwendigen willkürlichen Festsetzungen der Gestalten der Kranzquerschnitte und Schaufeln sowie im Zusammenhang hiermit, der Geschwindigkeits- und Druckverteilung. So entstand eine in zahlreichen Zeitschriftartikeln und Büchern sich kund tuende, öfter als graphisch bezeichnete Turbinentheorie,221)a) Speidel und Wagenbach. Ueber Francis-Turbinenschaufelung. Z. d V. d. I. 1899 S.581.b) Bashus. Zur Konstruktion der Laufräder der Radialturbinen. Z. d. V. d. I. 1901 S. 1602.c) Kaplan. Neues Verfahren zur Berech, u. Konstr. d. Francis-Turbinenschaufel. Z. f. d. ges. Turbinenw. 1905 H. 8 u. 9.d) Escher. Die Schaufelung der Francisturbinen. Schw. Bauz. 45 (1905).e) Thomann. Die Wasserturbinen. Stuttg. 1908.f) Herrmann. Die graph. Theorie der Turbinen und Kreiselpumpen. Berlin 1900.g) Camerer. Neue Diagramme zur Turbinentheorie. Berlin 1902.Hierher gehört auch als besonders bemerkenswert:h) Prásil. Konforme Abbildung der Drehungsflächen der Strömung auf einen Kreisring. Schw. Bauztg. 48 (1906). die zweifellos interessant und praktisch wichtig ist, aber eben deshalb nichts prinzipiell neues bieten konnte, weil sie lediglich mit den überkommenen Anschauungen weiter arbeitete. Bei dieser Sachlage griff zunächst Prásil222)a) F. Prásil. Ueber Flüssigkeitsbewegungen in Rotationhohlräumen. Schw. Bauztg. 41 (1903).b) F. Prásil. Technische Hydrodynamik. Berlin 1913. 1903 die Frage der Wasserströmung in Turbinen auf einem völlig neuen Wege an, indem er den Begriff der achsensymmetrischen Strömung einführte und auf die Eulerschen Gleichungen zurückging, die er auf Zylinderkoordinaten transformierte. Unter einer achsensymmetrischen Strömung versteht man nach Abb. 23 einen Vorgang, bei dem Rotationsflächen um die Z-Achse existieren, die von kongruenten Bahnen der Flüssigkeitsteilchen gebildet werden.

Abb. 23.

Abb. 24.

Zur Gewinnung der Eulerschen Gleichungen in Zylinderkoordinaten knüpfen wir an Abb. 24 an, in welcher an dem Massenelement $$dm=\frac{\gamma }{g}rdrdzd\phi ....$$ (21) die Achsial-, Radial- und Tangentialkomponenten der Geschwindigkeit vz, vr, vt angreifen. Führen wir weiter die den vorhandenen Volum- oder Massenkräften entsprechenden Beschleunigungskomponenten qr qt , qz ein, so erhalten wir mit Hilfe einer hier nicht weiter mitzuteilenden Transformationsentwicklung die gesuchten Gleichungen:

$$\frac{d{v}_r}{dt}-\frac{{v_t}^2}{r}=-\frac{g}{\gamma }\frac{\partial p}{\partial r}+q_r$$ $$\frac{d{v}_t}{dt}+\frac{v_r{v}_t}{r}=-\frac{g}{\lambda }\frac{\partial p}{r\partial \phi }+q_t$$ $$\frac{d{v}_z}{dt}=-\frac{g}{\lambda }\frac{\partial p}{\partial z}+q_z$$ . (22)

sowie die Kontinuitätsgleichüng $$\frac{\partial (v_{r}r)}{\partial r}+\frac{\partial (v_{t}r)}{r\partial \phi }+\frac{\partial (v_{z}r)}{\partial z}=0...$$ (23) Der Bau dieser Gleichungen ist demjenigen der gewöhnlichen Eulerschen Gleichungen in kartesischen Koordinaten durchaus analog; es kommen bei ihnen lediglich die von der Rotation herrührenden Glieder $$=\frac{{v_t}^2}{r}$$ und $$+\frac{v_r{v}_t}{r}$$ in den ersten beiden Gleichungen hinzu. Diese Gleichungen wurden von Prásil zunächst benutzt, um den Strömungsvorgang im Saugrohr der Turbinen zu untersuchen, der ohne weiteres als achsensymmetrisch zu betrachten ist. Wie sich aus der Abb. 23 ergibt, kann in diesem Falle eine Abhängigkeit der Bewegung von der q-Koordinate nicht bestehen und die Gleichungen vereinfachen sich, nach Auflösung der totalen Differentiationen, nach der Zeit für stationäre Bewegungen in:

$$v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}-\frac{{v_t}^2}{r}=-\frac{g}{\lambda }\frac{\partial p}{\partial r}+q_r$$ $$v_z\frac{\partial v_t}{\partial z}+v_r\frac{\partial v_t}{\partial r}+\frac{v_r{v}_t}{r}=q_t$$ $$v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}-\frac{g}{\lambda }\frac{\partial p}{\partial z}+q_z$$ $$\frac{\partial (v_{r}r)}{\partial z}+\frac{\partial (v_{z}r)}{\partial r}=0$$ . . (24)

Diese Gestalt der Kontinuitätsgleichung gibt Anlaß zur Einführung einer Funktion ψ (r, z), von welcher die Geschwindigkeitskomponenten vz und vr, wie folgt, abhängen sollen: $$v_z=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r};v_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial z}..$$ (25) Diese Funktion ψ (τ, z) stellt nach Wahl einer Konstanten C vermöge der Gleichung ψ (r, z) = C (Abb. 25) (26) eine Meridiankurve sowie die durch diese erzeugte Rotationsfläche F F vor. Durch Differentiation folgt aus (26): $$\frac{\partial \psi }{\partial r}dr+\frac{\partial \psi }{\partial z}dz=0...$$ (27) und mit Rücksicht auf (25) – vr d z +vτ d r = 0 (28) oder $$\frac{dz}{dr}=\frac{v_z}{v_r}......$$ (29) Demnach fällt die Tangente der Meridiankurve mit der resultierenden Geschwindigkeit $$\sqrt{{v_r}^2+{v_z}^2}$$ zusammen, infolgedessen die Stromgeschwindigkeit v ganz in die Rotationsfläche ψ (r, z) = C hineinfällt.

Abb. 25.

Aus diesem Grunde nennt man ψ die Stromfunktion, zu deren näherer Bestimmung die übrigen Gleichungen herangezogen werden müssen. Dieser Aufgabe, sowie der Anwendung der gefundenen Resultate zur Ermittlung von Saugrohrgestalten bei Turbinen widmet sich die angezogene Arbeit von Prásil, auf die wir hiermit verweisen. Nach Abb. 25 ergibt sich noch das das Element des Querschnitts der Rotationsfläche durchströmende Elementarquantum d Q = 2πrvzdrγ (30) und mit $$r{v}_z=\frac{\partial \psi }{\partial r}$$ und nach Integration Q = 2πψ = 2πC(31) d.h. die durch die Konstante C definierte Rotationsfläche ψ = C begrenzt die strömende Flüssigkeitsmenge QC = 2πC. Um die Eulerschen Gleichungen in Zylinderkoordinaten auch auf die eigentlichen Turbinenräder anwenden zu können, hat H. Lorenz223)a) H. Lorenz. Die Wasserströmung in rotierenden Kanälen. Phys. Z. 1905.b) Neue Grundlagen der Turbinentheorie. Z. f. d. ges. Turbinenw. 1905.c) Theorie und Berechnung der Vollturbinen und Kreiselpumpen. Z. d. V. d. I. 1905. sich folgende Vorstellungen gebildet. Zunächst werde die Turbinenstfömung dadurch achsialsymmetrisch gemacht, daß die Zahl der Schaufeln als unendlich groß und sie selbst als unendlich dünn vorausgesetzt werden. Ferner werde die Druckwirkung zwischen Schaufeln und Flüssigkeit, die in Wirklichkeit in einer der Schaufelzahl gleichen Anzahl endlicher Drucksprünge (Druckunterschied auf beiden Seiten einer Schaufel) besteht, ersetzt durch ein Kraftfeld der Komponenten $$\frac{\gamma }{g}{q}_r$$, $$\frac{\gamma }{g}{q}_t$$, $$\frac{\gamma }{g}{q}_z$$ welches nunmehr als achsialsymmetrisch betrachtet werden kann. Zur Z-Komponente dieses Feldes hat man noch die Schwerkraft $$\frac{\gamma }{g}g$$ hinzuzufügen, wodurch die dritte Gleichung (24) übergeht in $$\frac{d{v}_z}{dt}=-\frac{g}{\gamma }\frac{\partial p}{\partial z}+q_z+g...$$ (31) Die Diskussion dieser Ansätze führt unter Einführung der durch

$${ϵ}_r=-\frac{1}{2r}\frac{\partial (v_{t}r)}{\partial z}$$ $${ϵ}_t=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r})$$ $${\partial }_t=+\frac{1}{2r}\frac{\partial (v_{t}r)}{\partial r}$$ . . (32)

definierten Wirbelkomponenten224)H. Lorenz. Theorie der Kreiselräder auf Grund der Wirbelbewegung. Phys. Z. 1907. zu einer Reihe allgemeiner Sätze: 1. Die resultierende Zwangsbeschleunigung q steht auf den relativen Wasserbahnen und auf den Schaufelflächen senkrecht225)Der Urheber dieses Satzes ist W. Bauersfeld. Zur Theorie der Vollturbinen und Kreiselpumpen. Z. d. V. d. I. 1905 S.2007. und verschwindet mit Wegfall der Wirbelkomponenten. 2. Die Wasserbewegung im Turbinenrade ist eine Wirbelbewegung, deren Wirbelfäden mit den Strombahnen identisch sind. 3. Die Wirbelfäden sind zu Wirbelflächen zusammengesetzt, die mit den Schaufelflächen identisch sind. 4. Die Kranzquerschnitte der Turbinen bestimmen sich durch geeignete Stromfunktionen (Abb. 26) in analoger Weise wie die Meridiankurven der Saugrohre.

Abb. 26.

Von diesen Sätzen abgesehen liefert die Theorie von Lorenz natürlich auch die Formeln für den Energieaustausch im Rade und eine der Eulerschen entsprechende Momentengleichung $$\text{frakfamily}M=4\pi \frac{\gamma }{g}\int \int r^2(v_z{\epsilon }_r-v_r{\epsilon }_z)drdz.$$ (33) in welchen die für die neue Anschauung charakteristischen Wirbelkomponenten εr, εz auftreten. Ferner hat Lorenz ein auf seiner Theorie beruhendes Turbinenberechnungsverfahren226)Die Lorenzsche Theorie ist auch durchgebildet für Maschinen für kompressible rotierende Flüssigkeiten:H. Lorenz. Theorie und Berechnung der Zentrifugalventilatoren und Pumpen Z f. Turbinenw. 1906.H. Lorenz. Theorie und Berechnung der Schraubenventilatoren. Z. f. Turbinenw. 1906.Ihre Anwendung zur Berechnung von Schiffspropellern wird weiter unten besprochen werden. ausgebaut (zunächst für Radial- und Achsialräder) welches an empirischen Verlustkonstanten lediglich die Annahme eines hydraulischen Gesamtwirkungsgrades der Turbine voraussetzt. Wir verweisen wegen dieser Durchführung der Theorie auf das zusammenfassende Lehrbuch227)H. Lorenz. Neue Theorie und Berechnung der Kreiselräder. 2. A. München und Berlin 1911. Dies Buch enthält im Anhang ein eingehendes Literaturverzeichnis. ihres Urhebers. Es war nur natürlich, daß zu einer so durchgreifenden Neugestaltung der Turbinenlehre die gesamte Fachwelt mit lebhaftem Interesse Stellung nahm, zunächst in kritisch ablehnender Weise. Der Haupteinwand, der namentlich von F. Prásil228)F. Prásil. Die Berechnung der Kranzprofile und Schaufelformen für Turbinen und Kreiselpumpen. Schweiz. Bauz. 50 (1907). und R. v. Mises229)a) R. v. Mises. Bemerkungen zur Lorenzschen Theorie der Kreiselräder. Phys. Zeit. 1907.b) R. v. Mises. Theorie der Wasserräder. Leipzig 1908. geltend gemacht wurde, bezog sich auf die Einführung des Begriffs der Zwangsbeschleunigung und seine analytische Verwendung in der von Lorenz vorgeschlagenen Weise. In die Erörterung griffen dann Stodola230)Stodola. Z. f. d, ges. Turbinenw. 1907 S. 174. und Bauersfeld231)Bauersfeld. Z. f. d. ges. Turbinenw. 1907 S. 256. ein, und das Ergebnis war, daß die Lorenzsche Theorie in ihren Grundanschauungen durchaus richtig ist und somit zur Berechnung von Kreiselrädern dienen kann. Sie hat in der Folge auch Aufnahme in die technische Mechanik von Föppl Bd. VI gefunden, womit sie zum normalen Unterrichtsstoff der Hochschulen gerechnet werden kann. Zu der neuesten Zeit sei noch eine Arbeit von R. Grammel232)Jahresber. d. Deutsch. Math Vereinig. 25 (1916) S. 16-34. genannt, welche auf den von Lorenz eingeführten Gedanken der Zwangsbeschleunigung und ihren Zusammenhang mit der Strömung längs Führungsflächen Bezug hat. Durch sie wird das Auftreten der Zwangsbeschleunigung im Grenzfalle einer allgemeinen Strömung, bei der Kräfte durch die sogenannte Zirkulation erzeugt werden, erkannt. 4. Die Schwingungsbewegung von Wassermassen wird seit J. Newton233)J. Newton. Philos. Nat. Princ. Math. London 1687. erörtert, der die Pendelzeit einer in einer U-förmigen Röhre schwingenden Wassersäule ohne Rücksicht auf die Dämpfung berechnete. Gleichfalls ohne Dämpfung berechneten J. Bernoulli224)J. Bernoulli. Comm. Ac. Scient. Petrop. 1727 (1729) S. 200. und D. Bernoulli235)D. Bernoulli. Hydrodynamica. Argentorati 1738 S. 118. 120. die Schwingungsdauer bei weniger einfachen Gefäßformen. An diese ersten Untersuchungen schlössen sich weitere, die eine der ersten Potenz der Strömungsgeschwindigkeit proportionale Dämpfung236)a) H. de Lagrene. Cours de navigation intérieure. Paris 1869 3 S. 135.b) A. Flamant. Ann. des Ponts et chaussées. (6) 1 (1881) S. 81.c) A. Flamant. Hydraulique. 2. Bd. 1900 S. 471. annahmen. Diese Voraussetzung genügt jedoch nicht für die in Wirklichkeit bei größeren Strömungsgeschwindigkeiten auftretenden Verhältnisse, weshalb die weiteren Forschungen zur Einführung der quadratischen Dämpfung237)a) L. G. du Buat. Principes d'hydraulique 2. Paris 1786 S. 41.b) S. D. Poisson. Mecanique 1. 1811 S. 405.c) G. Coriolis. Journ. de math. 3 (1838) S. 445. schritten. Die neueren Arbeiten beschäftigen sich vorzugsweise mit der Theorie des Wasserschlosses238)a) F. Präsil. Ueber Wasserschloßprobleme. Schw. Bauz. 52 (1908).b) W. Liebisch. Z. d. österr Ing.- u. Arch.-Ver. 63 (1911) S. 280, 536.c) Forchheimer. Hydraulik 1914d)                „            Schweiz. Bauz. 53 (1909) S. 57.e)                „            Z. d. V. d. I. 56 (1912) S. 1292.f)                „             Z. d. V. d. I. 57 (1913) S. 545.g) Pressel. Beitrag zur Bemessung des Inhaltes von Wasserschlössern. Schweiz. Bauz. 53 (1909) S. 57, 510.h) D. Thoma. Beiträge zur Theorie des Wasserschlosses. Dissertation. München 1910. in Turbinenanlagen. Dieses wird in der Zuleitung vom Wasserbehälter zur Turbine eingeschaltet, und sein Spiegel ist im Falle des An- und Abstellens der Turbine Schwankungen unterworfen, für die wir nachstehend im Anschluß an die Darstellung bei Forchheimer einen Ansatz entwickeln wollen. Nach der Abb. 27 fließt in der Zeit d t durch den Stollen die Wassermenge γ F U d t mit der Arbeitsleistung d A = γFUzdt. Diese Arbeit dient zur Deckung des Verlustes an Druckhöhe infolge von Reibung: h = x l U2 (35) welcher einer gesamten Reibungsarbeit entspricht dR = xγlFUsdt, sowie zur Beschleunigung $$dB=\gamma FU\frac{l}{g}dU....$$ (36) der im Stollen enthaltenen Wassermenge, wenn wir die Beschleunigung der Wassermengen im Behälter und im Wasserschloß wegen der Größe ihrer Querschnitte gegenüber F vernachlässigen. Die Arbeitsgleichung dA = dB + dR (37) lautet dann $$z=xl{U}^2+\frac{l}{g}\frac{dU}{dt}....$$ (38) Die Wassergeschwindigkeit U im Stollen hängt nun mit der Spiegelgeschwindigkeit $$\frac{dz}{dt}$$ infolge der Kontinuität der Strömung durch die Gleichung zusammen: $$U=-\frac{F_1}{F}\frac{dz}{dt}......$$ (39) woraus sich findet: $$\frac{dU}{dt}=-\frac{F_1}{F}\frac{d^{2}z}{d{t}^2}.....$$ (40) Durch Hinsetzen von (39) und (40) in (38) erhält man: $$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-gx\frac{F_1}{F}{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2+\frac{gF}{l{F}_1}z=0..$$ (41) Diese Differentialgleichung ist nicht schwer zu integrieren, worüber wir auf Forchheimer verweisen; jedenfalls kann man durch sie die eintretenden Spiegelschwankungen rechnerisch festlegen.

Abb. 27.

Wird in die Verbindungsleitung zwischen zwei Wasserbehältern F1 und F2 eine Turbine (Abb. 28) eingeschaltet, so werden die Schwingungsmöglichkeiten durch diese beeinflußt. Man hat die für den Beharrungszustand geltende Turbinengleichung (20a. $$2g(z_2-z_1)\gamma V=\gamma \frac{V^3}{{f_1}^2}+2\omega \gamma \frac{V^2}{f^2}+{\omega }^2\gamma V{f}_3$$ (42) durch Hinzufügung der Glieder $$2\gamma \frac{V}{f_4}\frac{dV}{dt}$$ der Beschleunigungsarbeit der Wassermasse und $$2g\mathrm{\Theta }\omega \frac{d\omega }{dt}$$ der Beschleunigungsarbeit des Turbinenträgheitsmomentes Θ auf der rechten Seite zu erzeugen, womit der Ansatz entsteht: $$2g\gamma (z_2-z_1)V=\frac{\gamma V^3}{{f_1}^2}+\frac{2\omega \gamma V^2}{f_2}+f_3\gamma {\omega }^{2}V+\frac{2\gamma V}{f_4}\frac{dV}{dt}+2g\mathrm{\Theta }\omega \frac{d\omega }{dt}.$$ (43) Da zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und dem sekundlichen Wasservolumen V = U1F1 (U1 = Geschwindigkeit im Oberspiegel) eine Beziehung besteht: $$\omega =\frac{V}{f_5}-\frac{\text{frakfamily}Mg}{\gamma f_{6}V}......$$ (44) wo M das Drehmoment der Turbine bedeutet, und andererseits die Spiegelgeschwindigkeiten $$\frac{d{z}_1}{dt}$$ und \frac{d\,z_2}{d\,t} sich vermöge: $$\frac{d{z}_1}{dt}=-U_1,\frac{d{z}_2}{dt}=+\frac{U_1{F}_1}{F_2}...$$ (45) durch U1 ausdrücken lassen, so kann man aus (43) eine einzige Differentialgleichung herstellen, welche nur eine der Variabein U1, ω, z = z1 – z2 enthält. Diese Differentialgleichung wird für kleine Schwingungen linear von der zweiten Ordnung und enthält als Störungsglied das Drehmoment M und seine Schwankungsgeschwindigkeit $$\frac{d\text{frakfamily}M}{dt}$$. Der vorstehend skizzierte Gedankengang stammt von H. Lorenz239)H. Lorenz. Schwingungen von Flüssigkeiten und ihr Einfluß auf den Gang von Kreiselrädern. Z. f. d. ges. Turbinenwesen 5 (1908) S. 437, 458, 473.Vgl. auch H. Lorenz, Hydromechanik. und findet sich ausführlich dargestellt in der Zeitschr. für das gesamte Turbinenwesen, sowie im Lehrbuch der technischen Hydromechanik, wo auch die Bedeutung der Konstanten f1 bis f6 zu ersehen ist. Lorenz hat seine Theorie auch auf die Frage der Schwingungen in Kreiselpumpenleitungen ausgedehnt; seine Resultate fanden im übrigen Bestätigung gelegentlich von Versuchen.240)a) E. Reichel. Versuche an einer Lorenzturbine. Z. f. d. ges. Turbinenw. 1908.b) Rasch und Bauwens. Die Kraftübertragungsanlage der Ruhrtalsperren-Gesellschaft. Z. d. V. d. I. 1908 S. 606.c) E. Reichel. Versuche an einer Zentrifugalpumpe. Z. f. d. ges. Turbinenw. 1908. Ist mit der Turbine, wie üblich, ein Regler verbunden, so erhält man je nach der Konstruktion desselben zwei oder mehr simultane Differentialgleichungen, die ebenso viel Freiheitsgraden des Systems entsprechen. Die hier vorliegende sehr reichhaltige Literatur hat Bauersfeld241)W. Bauersfeld. Die automatische Regulierung der Turbinen. Berlin 1905. zusammenfassend bearbeitet. In das Gebiet der schwingenden (zeitlich veränderlichen) Wasserbewegung ist noch die Theorie der Kolbenpumpen und deren Ventile zu rechnen. Eine Darstellung dieser enthält die technische Hydrodynamik von H. Lorenz. Im übrigen besteht über diesen Gegenstand eine ausgedehnte theoretische und experimentelle Literatur bezüglich deren wir auf den Bericht von M. Grübler241a)Enzykl. der math. Wissensch. Bd. IV 21. Abgeschl. Juni 1907. in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften verweisen.

Abb. 28.

Zu den Pumpen mit zeitlich veränderlicher Strömung gehört auch der hydraulische Widder, dessen Theorie H. Lorenz242)Z. d. V. d. I. 1910. behandelt hat. Eine weitere Arbeit desselben Verfassers über die Humphreysche Wasserpumpe mit unmittelbarer Einwirkung expandierenden Gases auf die Wassersäule werden wir in dem Abschnitt: technische Thermodynamik behandeln. (Fortsetzung folgt.)