Ueber mit Biegung verbundene Schwingungen von Wellen. Von Professor Dr. Ing. Gümbel, Charlottenburg. (Fortsetzung und Schluß von S. 239 d. Bd.) GUEMBEL: Ueber mit Biegung verbundene Schwingungen von Wellen. Nach dem Vorstehenden wäre für eine kreiszylindrische homogene Masse das Auftreten von umlaufenden Schwingungen überhaupt nicht zu befürchten. Daß solche dennoch beobachtet werden, liegt daran, daß zwei der hier gemachten Voraussetzungen nicht immer erfüllt sind: 1. Der Schwerpunkt der Masse fällt nicht in den Durchstoßpunkt, sondern von demselben um die Strecke e entfernt. 2. Die Welle, auf welcher die Masse sitzt, ist an sich um die Pfeilhöhe a krumm, so daß von vornherein ein Durchhang der Masse ohne elastische Gegenwirkung vorhanden ist. Betrachten wir zunächst den Fall der exzentrischen Masse (Abb. 9). Wenn jetzt die Welle und damit die Masse gedreht wird, entsteht eine Zentrifugalkraft M ∙ ω2 ∙ e, die eine Durchbiegung h der Welle bedingt. Die Zentrifugalkraft ändert sich dabei in m∙ω2 ∙ p, und es wirken an der Masse 1. die Zentrifugalkraft m ∙ ω2 ∙ ρ im Schwerpunkt S nach außen, 2. die elastische Kraft C ∙ h am Durchstoßpunkt W gegen den Durchstoßpunkt der Ruhe O. Textabbildung Bd. 332, S. 251 Abb. 9.Kräfteplan für die exzentrische Masse Die Folge des auftretenden Kräftepaares ist, daß die Masse um den Durchstoßpunkt der Ruhe O geführt wird. Diese Bewegung ist jetzt möglich: denn wenn auch mit der umlaufenden Bewegung des Durchstoßpunktes ein Bahnwiderstand k ∙ ω ∙ h auftritt, der eine Verschiebung der Masse anstrebt, so kann eine solche Verschiebung doch die Masse nicht in die ursprüngliche Lage zurückführen, sondern dieselbe erfolgt nur so weit, bis Gleichgewicht zwischen den drei Kräften k ∙ ω ∙ h, C ∙ h und M ∙ ω2 ∙ p eingetreten ist. Dies ist nur der Fall, wenn σ einen positiven Wert zwischen 0° und 180° besitzt. S kann also niemals in die Verbindung OW fallen. Bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen brauchen Kräftepaare nicht berücksichtigt zu werden, da angenommen werden darf, daß das zur Ueberwindung des Bahnwiderstandes erforderliche Drehmoment stets von außen zugeleitet wird, so daß als Gleichgewichtsbedingungen verbleiben: Summe aller an dem System angreifenden Kräfte nach zwei Richtungen = 0. Verschieben wir zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen sämtliche Kräfte nach S und zerlegen wir M ∙ω2 ∙ p nach h und e, so erhalten wir am Schwerpunkt S die Einzelkräfte C ∙ h, M ∙ω2∙ h, k ∙ω∙ h und M ∙ω2∙ e. M ∙ω2∙ e spielt jetzt also die Rolle der äußeren, die Bahnwiderstandsarbeit deckenden Kraft P (Gleichung (1) und (2)), und es gelten, wenn man bedenkt, daß die Richtung der äußeren Kraft je nach der Formgebung der Masse beliebige Richtung haben kann, die Gleichgewichtsbedingungen. I M ∙ω2 ∙ h – C∙ h – M ∙ω2 . e ∙cos σ – k∙ω∙ h∙ cos φ = 0 (1 e) II k ∙ ω ∙ h∙ sin φ – M ∙ ω2 ∙ e ∙ sin σ = 0 . . . (2 e) also völlig entsprechend unseren Gleichungen (1) und (2). Es folgt: \mbox{tg}\,\sigma=\frac{k\,.\,\omega\,.\,\sin\,\varphi}{M\,.\,\omega^2-C-k\,.\,\omega\,.\,\cos\,\varphi} . (3e) h=\frac{M\,\omega^2\,e}{\sqrt{(M\,\omega^2-C-k\,\omega\,\cos\,\varphi)^2+(k\,\omega\,\sin\,\varphi)^2}} . (4e) oder \mbox{tg}\,\sigma=\frac{\alpha\,.\,\beta\,.\,\sin\,\varphi}{\alpha^2-1-\alpha\,\beta\,.\,\cos\,\varphi} \frac{h}{e}=\frac{\alpha^2}{\sqrt{(\alpha^2-1-\alpha\,.\,\beta\,\cos\,\varphi)^2+(\alpha\,\beta\,\sin\,\varphi)^2}} Ist die Achse um die Pfeilhöhe a krumm, der Schwerpunkt aber mit dem Durchstoßpunkt W zusammenfallend (Abb. 10), so gelten, wenn wir noch die elastische Kraft C ∙ WR nach Richtung h und a zerlegen nach Abb. 10 die Gleichgewichtsbedingungen: I. M ∙ ω2∙h – C(h + a ∙ cos σ) – k ∙ ω∙ h cos φ = 0 (1f) II. k ∙ ω ∙ h sin φ – Ca sin σ = 0 . . . . . . (2f) woraus wieder \mbox{tg}\,\sigma=\frac{k\,.\,\omega\,.\,\sin\,\varphi}{M\,.\,\omega^2-C-k\,.\,\omega\,\cos\,\varphi}\mbox{ wie oben} . (3f) und h=\frac{C\,a}{\sqrt{(M\,\omega^2-C-k\,\omega\,\cos\,\varphi)^2+(k\,\omega\,\sin\,\varphi)^2}} . (4f) oder \mbox{tg}\,\sigma=\frac{\alpha\,\beta\,\sin\,\varphi}{\alpha^2-1-\alpha\,.\,\beta\,\cos\,\varphi} \frac{h}{a}=\frac{1}{\sqrt{(\alpha^2-1-\alpha\,\beta\,\cos\,\varphi)^2+(\alpha\,.\,\beta\,\sin\,\varphi)^2}}. Der Verlauf der \frac{h}{a} bzw. \frac{h}{e} Werte in Abhängigkeit von α und β entspricht den Abb. 3 bzw. 5 S. 237 u. 238. Textabbildung Bd. 332, S. 252 Abb. 10.Kräfteplan für die krumme Welle Ist gleichzeitig die Achse krumm und der Schwerpunkt außerhalb des Durchstoßpunktes liegend, so gelten die Gleichgewichtsbedingungen (Abb. 11). I. M ∙ ω2 ∙h – Ch – M ∙ ω2 ∙ e cos σe – C ∙ a ∙ cos σa                                      – k ∙ ω ∙ h ∙ cos φ = 0 . . (1g) II. k ∙ ω ∙ h sin φ  – M ∙ ω2 e sin σe – C ∙ a sin σ = 0 (2g) Diese Bedingungen (Gleichung (1g) und (2g) genügen noch nicht zur Bestimmung der Gleichgewichtslage. Als dritte Gleichgewichtsbedingung tritt die Bedingung hinzu, daß unter allen möglichen Paarungen von σe und σa nur diejenige Gleichgewicht verbürgt, bei welcher der Ausschlag h am größten ist. Nehmen wir zur Kürzung der Schreibarbeit φ = 90° an, so gehen Gleichung (1g) und (2g) über in I. M ∙ω2 ∙ h – C∙ h = M ω2e ∙ cos σe + C a ∙cos σa (1h) II. k ∙ ω ∙ h = M ω2e sin σe +C ∙ a ∙ sin σa (2h) oder, wie oben, mit ω = α ωhr, k = β M ∙ ωhr, C = M ∙ωhr2 I. h ∙ (a2 – 1) = e ∙ a2  cos σe +  a  cos σa II. β ∙ α ∙ h = e ∙ α2 sin σe  + a ∙ sin σa Eliminiert man σa durch Substitution von II in I und bildet man die Ableitung \frac{d\,h}{d\,\sigma_e}, so findet sich das Gesetz des Winkels σe , bei welchem unter Genügeleistung der Forderungen des Winkels σa der Ausschlag h am größten wird mit \mbox{tg}\,\sigma_e=\frac{\alpha\,.\,\beta}{\alpha^2-1}. Das ist aber die gleiche Beziehung, die wir oben sowohl für den Fall der exzentrischen Masse (Gleichung (3 e)) wie für den Fall der krummen Welle (Gleichung (3f)) kennen gelernt haben. Durch Elimination von σe und Bildung des Differentialquotienten \frac{d\,h}{d\,\sigma_a} finden wir wieder \mbox{tg}\,\sigma_a=\frac{\alpha\,\beta}{\alpha^2-1}. Hiernach stellen sich die Exzentrizität e und die dauernde Verbiegung a für alle Winkelgeschwindigkeiten auf den gleichen Winkel σ ein. Die Durchbiegung der Welle unter dem gemeinsamen Einfluß von e und a berechnet sich damit zu h=\frac{a}{\sqrt{(\alpha^2-1)^2+\alpha^2\,\beta^2}}+\frac{e\,.\,\alpha^2}{\sqrt{(\alpha^2-1)^2+\alpha^2\,\beta^2}} (4h) d.h. die Durchbiegung ist die Summe der Einzeldurchbiegungen von e und a. h erreicht seinen Höchstwert für \alpha=\sqrt{\frac{a\,\left(1-\frac{\beta^2}{2}\right)+e}{e\,\left(1-\frac{\beta^2}{2}\right)+a}} (6c) Textabbildung Bd. 332, S. 252 Abb. 11.Kräfteplan für die exzentrische Masse bei krummer Welle. Unsere bisherigen Betrachtungen setzten den Gleichgewichtszustand als erreicht voraus: um von einem Gleichgewichtszustand nach einem zweiten zu gelangen muß jedoch ein Zustand der Beschleunigung oder Verzögerung durchschritten werden. Betrachtet werde der Fall der exzentrischen Masse (Abb. 12). Angenommen die Masse befindet sich im Gleichgewichtszustand in 1 und werde aus diesem nach 2 bewegt. Dann wird im allgemeinsten Fall die Verrückung aus drei Einzelverrückungen zusammengesetzt sein, und zwar 1. aus einer Drehung dα um O,α hat in diesem Abschnitt, abweichend von dem vorhergehenden, die Bedeutung von ω t. 2. aus einer Drehung dσ um W, 3. aus einer Verrückung dh in Richtung OW. Textabbildung Bd. 332, S. 253 Abb. 12.Beschleunigte Bewegung Die Verschiebungsgeschwindigkeiten nach x und y ermitteln sich hierbei, wenn die relative Winkelgeschwindigkeit \frac{d\,\sigma}{d\,t} mit ε bezeichnet und cos v, was immer zulässig erscheint, = 1 gesetzt wird, zu \frac{d\,x}{d\,t}=\varrho\,\omega\,\cos\,(\alpha-v)+e\,\varepsilon\,\cos\,(\alpha-\sigma)+\frac{d\,h}{d\,t}\,\sin\,\alpha (7) und \frac{d\,y}{d\,t}=-\varrho\,\omega\,\sin\,(\alpha+v)-e\,\varepsilon\,\sin\,(\alpha-\sigma)+\frac{d\,h}{d\,t}\,.\,\cos\,\alpha (8) Daraus ergeben sich die Beschleunigungen \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=-\left(\omega^2\,h-\frac{d^2\,h}{d\,t^2}\right)\,\sin\,\alpha . . . . (9) +\left(2\,\omega\,\frac{d\,h}{d\,t}+h\,\frac{d\,\omega}{d\,t}\right)\,\cos\,\alpha +e\,.\,(\omega-\varepsilon)^2\,\sin\,(\alpha-\sigma) -e\,\left(\frac{d\,\omega}{d\,t}-\frac{d\,\varepsilon}{d\,t}\right)\,\cos\,(\alpha-\sigma) \frac{d^2\,y}{d\,t^2}=-\left(\omega^2\,.\,h-\frac{d^2\,h}{d\,t^2}\right)\,.\,\cos\,\alpha . . . (10) -\left(2\,\omega\,\frac{d\,h}{d\,t}+h\,.\,\frac{d\,\omega}{d\,t}\right)\,.\,\sin\,\alpha +e\,(\omega-\varepsilon)^2\,\cos\,(\alpha-\sigma) +e\,.\,\left(\frac{d\,\omega}{d\,t}-\frac{d\,\varepsilon}{d\,t}\right)\,.\,\sin\,(\alpha-\sigma). Die diesen Beschleunigungen entsprechenden Kräfte mit den umgekehrten Zeichen der Beschleunigungen sind im Schwerpunkt zusammen mit der elastischen Kraft C h und dem Bahnwiderstand k ∙ ω ∙ h anzubringen und bedingen den augenblicklichen Gleichgewichtszustand beim Uebergang von 1 nach 2. Aus Abb. 13 und 14 ergeben sich damit unmittelbar die Gleichgewichtsbedingungen der beschleunigten oder verzögerten Schwingung: I. M\,.\,\omega^2\,.\,h-M\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}-C\,h-k\,.\,\omega\,h\,.\,\cos\,\varphi-M\,e\,(\omega-\varepsilon)^2\,\cos\,\sigma+M\,e\,\left(\frac{d\,\omega}{d\,t}-\frac{d\,\varepsilon}{d\,t}\right)\,\sin\,\sigma=0 (1i) II. k\,\omega\,h\,.\,\sin\,\varphi+2\,M\,\omega\,\frac{d\,h}{d\,t}+M\,h\,.\,\frac{d\,\omega}{d\,t}-M\,.\,e\,.\,(\omega-\varepsilon)^2\,.\,\sin\,\sigma-M\,e\,\left(\frac{d\,\omega}{d\,t}-\frac{d\,\varepsilon}{d\,t}\right)\,\cos\,\sigma=0 (2i) Für die nicht beschleunigte Bewegung und bei relativer Ruhe von S gegen O W gehen die Gleichungen in unsere Gleichung (1e) und (2e) über. Aus den Gleichungen (1i) und (2i) erkennt man, daß durch Hinzufügen der CorioliskraftVgl. hierzu Bläß. Zur graphischen Berechnung der kritischen Drehzahl rasch umlaufender Wellen. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure (58) 1914 S. 185, auch Stodola a. a. O. 2\,M\,.\,\omega\,\frac{d\,h}{d\,t} allein die beschleunigte Bewegung bei weitem nicht völlig gekennzeichnet ist. Die Weiterverfolgung der Gleichungen (1i) und (2i) führt aber weit über den Rahmen dieser Arbeit hinaus. Textabbildung Bd. 332, S. 253 Abb. 13.Kräfteplan der beschleunigten Schwingung oberhalb der kritischen Schwingung Textabbildung Bd. 332, S. 253 Abb. 14.Kräfteplan der beschleunigten Schwingung unterhalb der kritischen Schwingung Kehren wir nunmehr zu den Gleichungen (1e) und (2e) zurück und betrachten in diesen den Einfluß der radialen Komponente des Bahnwiderstandes, so erkennen wir, daß bei zentripetaler Komponente die schwingungerzeugende Kraft der Exzentrizität verkleinert wird, und zwar bei zylindrischer Form der Masse (Abb. 15) gleichgiltig, ob wir uns über oder unter der kritischen Geschwindigkeit befinden. Der Umstand, daß zylindrische Trommeln im allgemeinen trotz sicherlich stets bis zu einem gewissen Grade vorhandener Exzentrizität oder Verbiegung der Welle nicht notwendiger Weise in stärkere Schwingungen geraten, erklärt sich zu einem Teil aus der bei dieser Form der Masse vorhandenen zentripetalen Komponente des Bahnwiderstandes. Es bedarf schon außergewöhnlicher Formen (Abb. 16) um eine zentrifugale Komponente des Bahnwiderstandes zu erzeugen. Die Bahnwiderstandsverhältnisse solch unregelmäßig geformter Körper ändern sich mit den äußeren Verhältnissen derart, daß nur allgemein gesagt werden kann, daß eine zentrifugale Komponente des Bahnwiderstandes die Ausschläge vergrößert. Textabbildung Bd. 332, S. 254 Abb. 15.Bahnwiderstand einer Kreisscheibe mit zentripetaler Komponente Textabbildung Bd. 332, S. 254 Abb. 16.Bahnwiderstand eines unregelmäßigen Körpers mit zentrifugaler Komponente Von Wichtigkeit ist noch die Frage, inwieweit der durch die Gleichung (1) und (2) gekennzeichnete Gleichgewichtszustand ein stabiler ist. Nehmen wir für diese Betrachtung den Bahnwiderstand normal zur Biegungsebene an und betrachten wir zunächst die Verhältnisse für zunehmende Winkelgeschwindigkeiten und zunehmende Werte h unterhalb der kritischen Winkelgeschwindigkeit. Versucht man dabei die Masse um dh weiter aus der Mittellage zu entfernen, so ist hierzu Aufwand an Arbeit erforderlich entsprechend der Zunahme an Deformations- und Geschwindigkeitsenergie. Versucht man die Masse um dh der Mittellage zu nähern, so antwortet die Masse mit einer Zunahme der Winkelgeschwindigkeit entsprechend der Bedingung, daß der Arbeitswert \frac{C\,h^2}{2}+\frac{M\,.\,\omega^2\,.\,\varrho^2}{2} ohne äußere Arbeitszu- oder -abfuhr gleichen Wert behalten muß. Diese Zunahme der Winkelgeschwindigkeit bedingt wieder eine Zunahme von h. Der Gleichgewichtszustand bei zunehmender Geschwindigkeit unterhalb der kritischen Geschwindigkeit ist hiernach stabil. Anders liegen die Verhältnisse bei zunehmender Geschwindigkeit oberhalb der kritischen Geschwindigkeit. Versucht man die Masse um dh weiter aus der Mittellage zu entfernen, sie also in einen vorhergehenden Zustand zu überführen, so ist dazu ein Arbeitsaufwand erforderlich. Von selbst kann dieser Zustand also nicht eintreten. Versucht man die Masse um d h der Mittellage zu nähern, so wird hierdurch, entsprechend \frac{C\,h^2}{2}+\frac{M\,.\,\omega^2\,.\,\varrho^2}{2} = konstant, Arbeit frei, welche die Masse beschleunigt, wodurch sich der Ausschlag h weiter verringert. Die Gleichgewichtslage ist hiernach oberhalb der kritischen Geschwindigkeit – oder besser gesagt oberhalb des Größtwertes von \frac{C\,.\,h^2}{2}+\frac{M\,.\,\omega^2\,.\,\varrho^2}{2} bei steigender Winkelgeschwindigkeit labil, aber nicht etwa in dem Sinne, daß die Durchbiegung ohne Begrenzung nach außen wächst: im Gegenteil, die Masse schnellt nach Ueberschreiten des Wertes h des maximalen Arbeitsinhaltes unter Zunahme der Winkelgeschwindigkeit in die Gleichgewichtslage der Ruhe zurück. Für diese beschleunigte Bewegung sind in jedem Augenblick die Gleichgewichtsbedingungen der Gleichungen (1i) und (2i) maßgebend. Wird die Winkelgeschwindigkeit von oben nach unten durchlaufen etwa in der Art, daß man die Masse bei einer bestimmten Umdrehzahl mit einer bestimmten Auslenkung h sich selbst überläßt (Auslaufversuch), so kann eine Zunahme der Schwingungsausschläge, die zu kritischen Ausschlägen führen könnte, überhaupt nicht eintreten, da die Ausschläge unseres Systems an die Bedingung geknüpft sind, daß der Arbeitsinhalt \frac{C\,.\,h^2}{2}+\frac{M\,.\,\omega^2\,.\,\varrho^2}{2} des Anfangszustandes zuzüglich der auf dem Verzögerungsweg geleisteten Bahnwiderstandsarbeit konstant bleibt. Die vorhergehenden Ueberlegungen hatten zur Voraussetzung, daß es sich um unser zu Anfang beschriebenes Massensystem handelt, bei welchem wir die Masse in einem Punkt vereinigt angenommen hatten. Ein solches System ist tatsächlich ein unmögliches, da jede Masse – und wenn es die Wellenmasse allein wäre – ein Trägheitsmoment besitzt, welches zwar für die Gleichgewichtslage des Schwerpunktes relativ zur Biegungsebene unbeachtet bleiben konnte, aber bei der Kritik der Stabilität der Schwingung nicht übersehen werden darf. Vielfach sind auch mit dem schwingenden System weitere nur drehende, nicht schwingende Teile verbunden, zum Beispiel der Antriebsmechanismus, die selbst Masse besitzen und deshalb auf das Schwingungssystem zurückwirken. Es sei  J = ϑ M ∙ e2 das Trägheitsmoment aller dieser Massen. Dann gilt nach Ueberschreiten der kritischen Geschwindigkeit die Bedingung, wenn wir überall vom Bahnwiderstand absehen, \frac{C\,h^2}{2}+\frac{M\,.\,\omega^2\,.\,\varrho^2}{2}+\frac{J\,.\,\omega^2}{2}\,\geq\,\frac{C\,.\,{h_{k\,r}}^2}{2}+\frac{m\,.\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,{\varrho_{k\,r}}^2}{2}+\frac{J\,{\omega_{k\,r}}^2}{2} . (11) oder \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,.\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,.\,\alpha^2\,\geq\,\frac{{h_{k\,r}}^2}{e^2}+\frac{{\varrho_{k\,r}}^2}{e^2}+\vartheta. (12) Für alle Werte von α, für welche \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,.\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,.\,\alpha^2\,<\,\frac{{h_{k\,r}}^2}{e^2}+\frac{{\varrho_{k\,r}}^2}{e^2}+\vartheta ist oberhalb der kritischen Geschwindigkeit labiler Gleichgewichtszustand vorhanden. Bildet man beispielsweise für β2 = 0,25 und ϑ = 2 die obigen Werte, so erhält man die folgende Tabelle 1 Tabelle 1. α \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,\alpha^2 α \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,\alpha^2 0,1 0,030 1,0 10,000 0,2 0,125 1,1 10,120 0,3 0,296 1,2   9,195 labil 0,4 0,569 1,3   8,430 0,5 1,000 1,4   8,020 0,6 1,700 1,5   7,938 0,7 2,883 1,6   8,032 0,8 4,880 1,7   8,417 0,9 7,740 1,8   8,833 1,0 10,000 1,9   9,379 2,0   9,998 2,5 14,074 3,0 19,369 Die Schwingung ist nun nicht mehr für alle Winkelgeschwindigkeiten oberhalb der kritischen Geschwindigkeit labil, sondern nur für die Winkelgeschwindigkeiten von etwa 1,11 ∙ωkr bis 2,0 ∙ωkr. Das labile Gebiet wird um so weit er eingeengt, je größer die Dämpfung und das Trägheitsmoment der mit dem Schwingungssystem verbundenen drehenden aber nicht schwingenden Massen ist. Zum Vergleich werde Tab. 1 umgerechnet für β2 = 0,0025 und ϑ = 2000. Wie aus der nachstehenden Tab. 2 zu ersehen, ist jetzt das labile Gebiet auf die Schwingungszahlen zwischen 1,0 ωkr und 1,1 ωkr beschränkt. Tabelle 2. α \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,\alpha^2 α \frac{h^2}{e^2}+\frac{\alpha^2\,\varrho^2}{e^2}+\vartheta\,.\,\alpha^2 0,20,40,6 80,1320,3721,2 1,001,051,1 2800,02371,92476,6 labil 0,8 1288,0 1,2 2897,7 0,9 1658,7 1,3 3389,5 0,95 1953,8 1,00 2800,0 Ist das Trägheitsmoment J gegenüber dem Trägheitsmoment des Massenschwerpunktes, bezogen auf den Durchstoßpunkt, M ∙ e2 unendlich groß, oder, was dasselbe ist, wird die Schwingung von einer Energiequelle gespeist, auf deren Winkelgeschwindigkeit die schwingende Masse keine Rückwirkung hat, so ist das Gebiet oberhalb der kritischen Geschwindigkeit durchaus stabil. Auf das Vorhandensein dieses labilen Gebietes bei ebenen Schwingungen hat Sommerfeld durch einen sehr schönen kleinen VersuchSommerfeld. Mitteilungen des Aachener Bezirksvereins deutscher Ingenieure Juli 1901, auch Z. d. V. d. I. 1901. hingewiesen, indem er einen nicht ausgeglichenen kleinen Motor mit veränderlicher Umdrehungszahl auf einem Tisch befestigt laufen ließ. Kurz vor der kritischen Drehzahl wurde starke Arbeitsaufnahme des Motors bemerkt, wie aus unseren Tabellen 1 und 2 leicht verständlich ist, und der Tisch geriet in starke wagerechte Schwingungen in der Plattenebene. Bei weiterer Steigerung des Drehmomentes sprang der Motor unvermittelt auf eine höhere Umdrehungszahl, wobei die Schwingungsausschläge auf einen geringen Betrag zurückgingen. Ist m ∙ e2 das Trägheitsmoment des nicht ausgeglichenen Motors, M die Gesamtmasse des Tisches und Motors auf die Wellenmitte reduziert, so gilt, wenn e gegenüber h als groß angenommen wird, \frac{C\,.\,h^2}{2}+\frac{m\,.\,\omega^2\,.\,e^2}{2}\,\geq\,\frac{C\,.\,{h_{k\,r}}^2}{2}+\frac{m\,.\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,e^2}{2} (13) oder da C = M ∙ ωkr2 \frac{M\,.\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,h^2}{2}+\frac{m\,.\,\alpha^2\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,e^2}{2}\,\geq\,\frac{M\,.\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,{h_{k\,r}}^2}{2}+\frac{m\,.\,{\omega_{k\,r}}^2\,.\,e^2}{2} (14) und mit \frac{m}{M}=\Psi \frac{h^2}{e^2}+\Psi\,.\,\alpha^2\,\geq\,\frac{{h_{k\,r}}^2}{e^2}+\Psi . . . (15) oder \alpha\,>\,\sqrt{\frac{{h_{k\,r}}^2-h^2}{e^2\,\Psi}+1}  . . . . (16) α und h sind außerdem durch die Beziehungen der Gleichung (4d) verbunden. Je größer ψ, d.h. je größer die schwingende Motormasse im Verhältnis zur Tischmasse ist, desto mehr wird das labile Gebiet eingeengt. Bei unendlich großer Motormasse im Verhältnis zur Tischmasse tritt überhaupt keine Rückwirkung des Tisches auf den Motor ein: der Tisch muß die durch den Motor erzwungene Schwingungsbewegung bei allen Umdrehungszahlen ausführen. Unsere Betrachtungen lassen sich noch unter gewissen Vereinfachungen ohne Schwierigkeit auf das Gleichgewicht mehrerer Massen erweitern, so lange die Schwingungslinie nur einen Schwingungsbauch besitzt. Von dem System sind bekannt M1, M2, M3, . . . . , die Exzentrizitäten WS der Schwerpunkte e1, e2, e3 . . . , die Winkel, unter denen die Fahrstrahlen der einzelnen Massenschwerpunkte gegeneinander geneigt sind, also σ2 – σ1 = σ12, σ3 – σ1 = σ13, . . . . σ1 selbst ist unbekannt und sei der gesuchte Einstellwinkel des Fahrstrahles der Masse M1 gegen die Schwingungsebene. Ferner ist bekannt k1, k2, k3, . . . mit den zugehörigen φ1, φ2, φ3, . . . Weiler läßt sich sagen, daß alle Massen gemeinsame Winkelgeschwindigkeit und Biegungsebene besitzen, und endlich werde die nur angenähert richtige Annahme zugelassen, daß die Schwingungslinien genügend genau bei allen Winkelgeschwindigkeiten einander ähnlich sind und ähnlich derjenigen Schwingungslinie, welche sich als kritische Schwingungslinie für das System e1 = e2 = e3 . . . = 0 ergibt. Damit ist für jede Masse bekannt \frac{h_1}{h_{\mbox{max}}}, \frac{h_2}{h_{\mbox{max}}}, \frac{h_3}{h_{\mbox{max}}}\ .\ .\ ., wenn hmax der beliebig angenommene größte Biegungspfeil der berechneten kritischen Schwingungslinie ist. Für die kritische Schwingungslinie ist ferner unter der oben gemachten Annahme ähnlicher Biegungslinien der Elastizitätsfaktor C bezogen auf den größten Biegungspfeil bekannt. Damit lassen sich aber die Gleichgewichtsbedingungen für das ganze System sogleich anschreiben. Es gibt: I. M_1\,.\,\omega^2\,.\,\left(\frac{h_1}{h_{\mbox{max}}}\right)\,.\,h_{\mbox{max}}+M_2\,.\,\omega^2\,\left(\frac{h_2}{h_{\mbox{max}}}\right)\,.\,h_{\mbox{max}}-C\,.\,h_{\mbox{max}} -M_1\,\omega^2\,.\,e_1\,\mbox{cos}\,\sigma_1+M_2\,\omega^2\,.\,e_2\,.\,\mbox{cos}\,(\sigma_{12}-\sigma_1) . . . (17) -k_1\,.\,\omega\,.\,\left(\frac{h_1}{h_{\mbox{max}}}\right)\,.\,h_{\mbox{max}}\,.\,\cos\,\varphi_1-k_2\,.\,\omega\,\left(\frac{h_2}{h_{\mbox{max}}}\right)\,.\,h_{\mbox{max}}\,.\,\cos\,\varphi_2\ .\ .\ .=0 II. k_1\,.\,\omega\,.\,\left(\frac{h_1}{h_{\mbox{max}}}\right)\,.\,h_{\mbox{max}}\,.\,\sin\,\varphi_1+k_2\,.\,\omega\,.\,\left(\frac{h_2}{h_{\mbox{max}}}\right)\,h_{\mbox{max}}\,.\,\sin\,\varphi_2 . . . (18) -M_1\,.\,\omega^2\,.\,e_1\,.\,\mbox{sin}\,\sigma_1-M_2\,.\,\omega^2\,.\,e_2\,.\,\mbox{sin}\,(\sigma_{12}-\sigma_1)-...=0. Wir besitzen hiermit zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten σ1 und hmax, die unschwer zu lösen sind. Mehrfach gelagerte Wellen und Schwingungen, bei denen mehrere Schwingungsbäuche zwischen zwei Lagern sich einstellen, lassen sich im Rahmen dieser Studie nicht erledigen, bieten aber keine grundsätzlichen Schwierigkeiten, wenn man die Annahme der Aehnlichkeit der Schwingungslinien auch hier zuläßt. 3. Die Pendelschwingungen. Unser System biegt sich unter dem Einfluß der Erdanziehung der Masse um f=\frac{M\,.\,g}{C} in der Mitte durch und behält diesen Durchhang unabhängig von der Umdrehungsgeschwindigkeit bei. Das System stellt also im Pendel dar, welches Eigenschwingungen um die Senkrechte ausführen kann, die zu kritischen werden können, wenn der Rhythmus des Anstoßes mit der Eigenschwingungszahl des Pendels übereinstimmt. Nehmen wir die Masse des Pendels im Durchstoßpunkt vereint an, so ist die Winkelgeschwindigkeit der Pendelschwingung \omega=\sqrt{\frac{g}{f}} oder mit f=\frac{M\,.\,g}{C} \omega=\sqrt{\frac{C}{M}}, also der Winkelgeschwindigkeit der Biegungsschwingung gleich. Tatsächlich wirkt als Pendellänge nicht f, sondern bei der kreiszylindrischen Masse die physische Pendellänge l=\frac{D^2}{8\,.\,f}+f, wo D der äußere Durchmesser der Masse ist. Bei den im allgemeinen gegenüber D geringen Durchhängen f erhält die Pendellänge l Werte, die die Pendelschwingungszahl zu einem Bruchteil der Biegungsschwingungszahl machen und Resonanz ausschließen. 4. Ueber eine angebliche neue kritische Winkelgeschwindigkeit. Kerr glaubt aus Versuchen mit einer de Laval-Turbine auf das Vorhandensein einer bisher nicht beachteten und erkannten kritischen Biegungsschwingung bei dem \frac{1}{\sqrt{2}} fachen der normalen Biegungsschwingungszahl schließen zu können, als deren Ursache er das wechselnde Vorzeichen der Erdbeschleunigung gegenüber der Massenbeschleunigung ansieht. Um das Auftreten einer solchen Schwingung wahrscheinlich zu machen, stützt er sich auf den folgenden Gedankengang. In der oberen Lage der umlaufenden Schwingung gilt M ∙ω2 ∙ h1– C ∙ h1– M ∙ g = 0, in der unteren Lage M ∙ ω2 ∙ h2 – C ∙ h2 + M ∙ g = 0, woraus h_1-h_2=\frac{2\,.\,M\,.\,g}{M\,.\,\omega^2-C}\ .\ .\ .\ . (19) Hält man diese Gleichung unserer Gleichung (4a) h=\frac{P}{M\,.\,\omega^2-C} gegenüber, so erscheint 2 ∙ M ∙ g als erzwingende Kraft P. Tatsächlich besagt die Kerrsche Gleichung aber garnichts, als daß die Differenz der Durchbiegungen herrührend von der Eigenschwingung und der Erdbeschleunigung bei der kritischen Winkelgeschwindigkeit unendlich wird, eine selbstverständliche Tatsache. Ueberhaupt dürfen die beiden Gleichungen (19) und  (4 a) gar nicht nebeneinander gestellt und verglichen werden, da M g eine nach Größe und Richtung unveränderliche Kraft, P dagegen eine Zentralkraft ist, welche Vorzeichen und Richtung während einer halben Umdrehung umkehrt. Ermutigt durch die allgemeine Betrachtung glaubt dann Kerr auf abstraktem Wege das Vorhandensein der gesuchten Schwingung bei \omega_{k\,r}=\sqrt{\frac{C}{2\,M}} beweisen zu können. Die Erdbeschleunigung wirkt hiernach genau so wie eine Zentralkraft vom doppelten der Zentrifugalkraft. Rein überlegungsmäßig wird man sich dagegen sträuben müssen ein Ergebnis anzunehmen, welches die gleichgerichtete und unveränderliche Gewichtskraft in ein bestimmtes Verhältnis zu der von der Winkelgeschwindigkeit abhängigen dauerndem Richtungswechsel unterworfenen Zentrifugalkraft bringt. So lange nicht in einem einfachen Kräfteplan das Zusammenwirken der Kräfte zur kritischen Schwingung klargelegt ist, vermag ich dem Urteil Stodolas, daß „mit voller Sicherheit über den Sachverhalt geurteilt werden könne“ nicht beizutreten, insbesondere nicht, nachdem Stodola wenige Zeilen vorher gezeigt hat, daß die für obiges Ergebnis verantwortliche abstrakte Betrachtungsart gerade in dieser Frage leicht zu verhängnisvollen Trugschlüssen führen kann und ihn selbst schon geführt hat. Wenn bei Umdrehungszahlen der Welle entsprechend dem \frac{1}{2} und \frac{1}{\sqrt{2}} fachen der kritischen Biegungsschwingungszahl, wie dies von Stodola bestätigt wird, Erscheinungen aufgetreten sind, die auf das Vorhandensein kritischer Biegungsschwingungen schließen lassen, so kann wenigstens für die \frac{1}{2} fache Umdrehungszahl die Erscheinung unschwer durch das Vorhandensein erregender Kräfte vom doppelten der Umdrehzahl zum Beispiel durch Vorhandensein zweier diametral versetzter Bohrungen für die Zuführung des Schmiermittels durch die Welle erklärt werden. Man wird den in Aussicht gestellten Versuchen Stodolas, welche das Vorhandensein dieser Schwingung beweisen sollen, jedenfalls mit Interesse entgegensehen müssen. Zusammenfassung. Die drei möglichen Arten von mit Verbiegung verbundenen Schwingungen einer umlaufenden Welle werden beschrieben. Es wird gezeigt, daß die umlaufende Schwingung sich in genau gleicher Weise wie die ebene Schwingung behandeln läßt. Die Grundgesetze der stationären und der beschleunigten Schwingung werden abgeleitet und die Stabilität der Gleichgewichtslage wird untersucht und gezeigt, daß oberhalb der kritischen Winkelgeschwindigkeit auf einem mehr oder weniger großen Gebiet labiles Gleichgewicht in dem Sinne vorhanden ist, daß die Masse in ihre Nullage zurückzukehren sucht. Weiter ergibt sich, daß zur Beurteilung des Schwingungsproblems die Berücksichtigung der Radialkomponente der Dämpfungskraft wesentlich ist. Es wird gezeigt, daß Pendelschwingungen um die durchgebogene Welle im allgemeinen nicht mit den Biegungsschwingungen zusammenfallen. Die vierte, von Kerr und Stodola behauptete Schwingungsart wird abgelehnt.