Die Schrumpfringe. Von Professor P. Stephan, Altona. STEPHAN: Die Schrumpfringe. Schrumpfverbindungen werden heutzutage sehr viel angewandt und verdienen es auch wegen ihrer einfachen Herstellung und der dabei erreichten, verhältnismäßig großen Kraftwirkungen. Meistens verfährt man aber bei ihrer Benutzung nach gewissen Faustformeln, die für bestimmte Anordnungen zutreffen, jedoch keine allgemeine Gültigkeit haben, so daß die Bekanntgabe einer einfachen und bequemen Berechnung von Wert sein dürfte. 1. Die Grundformeln. Textabbildung Bd. 334, S. 197 Abb. 1. Textabbildung Bd. 334, S. 197 Abb. 2. Durch eine nicht ganz einfache Rechnung, die zum Beispiel bei Love, Lehrbuch der Elastizität, S. 166 ff., verfolgt werden kann, ergeben sich für einen Ring nach Abb. 1, der außen und innen durch die Drücke p0 bzw. p1 at belastet wird, in einem beliebigen Körperelement vom Halbmesser r cm die Hauptspannungen στ= ql– q2 . . . . . . . (1) σϕ = ql + q2 . . . . . . . (2) und die radiale Verschiebung u=r\,.\,\frac{1+\frac{1}{m}}{E}\,\left[\left(1-\frac{2}{m}\right)\,.\,q_1+q_2\right] . . . (3) worin bedeutet q_1=\frac{p_1\,.\,{r_1}^2-p_0\,.\,{r_0}^2}{{r_0}^2-{r_1}^2} . . . . (4) q_2=\frac{{r_0}^2\,.\,{r_1}^2}{r^2}\,.\,\frac{p_1-p_0}{{r_0}^2-{r_1}^2} . . . . (5) E die Elastizitätsziffer des Materials in at, \frac{1}{m} die Querdehnungsziffer des Materials. 2. Kurbelnabe und Welle. Aus den Gleichungen (2), (4), (5) erhält man für die Nabe (Abb. 2) die Hauptspannung in tangentialer Richtung: Am äußeren Rande \sigma_{\varphi_a}=\frac{2}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\,.\,p_1 . . . . . (6) am inneren Rande \sigma_{\varphi_i}=\frac{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2+1}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\,.\,p_1 . . . . . (7) wenn p1 die Pressung zwischen Nabe und Welle ist. p0 hat natürlich den Wert Null. Für die Welle ergibt sich am äußeren Rande σϕ = pl, Nun besteht die Bedingung, daß die Absolutwerte der Verschiebungen am Innenrande des Ringes und am Außenrande der Welle zusammen gleich dem Schrumpfmaß der Kurbelnabe sein müssen, um das die Nabe im kalten Zustande kleiner ausgedreht wird als der Außendurchmesser des Wellenstumpfes. Aus den Gleichungen (3), (4), (5) erhält man somit, da Kurbel und Welle fast allgemein aus gutem Flußeisen oder Flußstahl hergestellt werden, einem Material, für das E und \frac{1}{m} wenigstens nahezu denselben Wert haben, \frac{1+\frac{1}{m}}{E}\,.\,p_1\,.\,d_1\,.\,\left[\frac{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2+1-\frac{2}{m}}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}+1-\frac{2}{m}\right]=\frac{1}{n}\,.\,d_1 . . (8) Mit E = 2150000 at, \frac{1}{m}=0,30, dem Bachschen Mittelwert der bekannt gewordenen Versuchsergebnisse, ergibt sich hieraus für das Schrumpfverhältnis \frac{1}{n}=\frac{1}{1000} Zusammenstellung 1. \frac{d_0}{d_1} = 1,8 1,9 2,0 2,1 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– p =   817   854   886   914 σ ϕa =   729   655   591   536 σ ϕi = 1546 1509 1477 1450 Für gutes Flußeisen von Kz = 4000 ÷ 4500 at Zerreißfestigkeit ist als größte Zugspannung im rohen Zustande σ = 1350 at zulässig, so daß das Schrumpfmaß 1 : 1000 bereits etwas zu groß ist. Die Anwendung der Zusammenstellung möge das folgende Beispiel zeigen. Die Kurbel habe den Halbmesser R = 27,5 cm, der Wellenschaft den Durchmesser d1 = 13 cm und die Länge l = 13 cm, die Kurbelnabe den äußeren Durchmesser d0 = 25 cm; auf den Kurbelzapfen wirke als größte Kraft P = 5000 kg. Dann ist das größte, im gewöhnlichen Betrieb vorkommende Drehmoment M = P • R cmkg. Wird für die Reibung zwischen Welle und Nabe, für die bei dem hohen Flächendruck die durch Versuche des Verfassers bestätigte Reibungsziffer μ = 0,16 gilt, eine S = 3-fache Sicherheit – die im Maschinenbau dort, wo auch Stöße auftreten können, gebräuchliche – vorgeschrieben, so ist M = SPR. Andererseits ist M=\pi\,.\,d_1\,.\,l\,.\,p_1\,.\,\mu\,.\,\frac{d_1}{2}. Die eingelegte Feder hat ja nur den Zweck, die richtige Stellung der Kurbel beim Aufziehen zu gewährleisten. Durch Gleichsetzen der Werte von M erhält man den notwendigen Berührungsdruck p_1=\frac{2\,.\,P\,.\,R\,.\,\frakfamily{S}}{\pi\,.\,{d_1}^2\,.\,l\,.\,\mu}=\frac{2\,.\,5000\,.\,275\,.\,3}{\pi\,.\,13^2\,.\,13\,.\,0,16}=747\mbox{ at}, während die Zusammenstellung 1 für \frac{d_0}{d_1}=\frac{25}{13}=1,925, p1 = 862 at ergibt, so daß das hier erforderliche Schrumpfverhältnis \frac{1}{n}=\frac{1}{1000}\,.\,\frac{747}{862}=\frac{1}{1154} beträgt. Ihm entspricht die größte Zugspannung in der Innenfläche der Nabe \sigma_{\varphi_i}=1501\,.\,\frac{1000}{1154}=1300\mbox{ at}; sie erreicht also nahezu den Höchstwert der zulässigen Beanspruchung für das meist genommene Flußeisen. Die Nabe ist um \frac{130}{1154}=0,11\mbox{ mm} kleiner auszudrehen als der Durchmesser des Wellenschaftes beträgt. Hervorgehoben werde, daß in der Praxis oft erheblich größere Schrumpfmaße angewendet werden, damit kleine Ungenauigkeiten der Herstellung nicht einen zu großen Einfluß auf den festen Sitz der Verbindung erhalten. Man geht so vielfach mit der Beanspruchung bis zur Elastizitätsgrenze, die für das vorliegende Material etwa bei 2000 at liegt. In dem Fall beträgt das Schrumpfverhältnis \frac{1}{1000}\,.\,\frac{2000}{1501}=\frac{1}{750}, also das Schrumpfmaß \frac{130}{750}=0,17\mbox{ mm}. Der Anpressungsdruck wird damit 862\,.\,\frac{1000}{750}=1150 at und die Sicherheit gegen Drehung \frakfamily{S}=3\,.\,\frac{1150}{747}=4,62. Es darf aber nicht unerwähnt bleiben, daß an der Stelle der Keilnute die Spannung ganz erheblich ansteigt, so daß dort schon die Streckgrenze des Materials überschritten wird, wenn man für den übrigen Teil des Innendurchmessers die hohe Beanspruchung 2000 at zuläßt. Im Fall des ersten Beispiels mit dem kleinen Schrumpfmaß bleibt man soeben noch unterhalb der Streckgrenze. Ueber das Verhältnis der Beanspruchung an der durch die Keilnute geschwächten Stelle und dem übrigen Teil der Nabe gibt die von Kutzbach entworfene Skizze (Abb. 3) Auskunft, die sich an die Untersuchungen von Preuß und Leon anschließt. Textabbildung Bd. 334, S. 198 Abb. 3. Textabbildung Bd. 334, S. 198 Abb. 4. Zu beachten ist, daß die Messung der Durchmesser von Welle und Kurbelhöhlung bei wenigstens nahezu gleicher Temperatur auszuführen ist. Anderenfalls können sich ganz bedeutende Abweichungen von den gewollten Spannungen ergeben, denn die gesamte notwendige Ausdehnung der Kurbelnabe ist bereits bei einer Erwärmung um etwa 90° erreicht, wenn man auch, um das Ueberschieben bequem und leicht zu bewirken, die Kurbel um etwa 250°, über den Schmelzpunkt des Zinns, erwärmen wird. Eine weitergehende Erwärmung ist jedenfalls unnötig bzw. sogar schädlich, insofern als sie die Streckgrenze des Flußeisens heruntersetzt. Ein bewährtes Hilfsmittel zur Verbesserung, falls etwa der Unterschied bei der Bearbeitung von Welle und Kurbelnabe zu groß ausgefallen war, ist das folgende. In den Wellenstumpf werden Längennuten von etwa 2 mm Breite und etwa 8 mm Tiefe in etwa 8–10 mm Abstand voneinander sorgfältig eingekreuzt. Dabei stauchen sich die stehen bleibenden Teile des Wellenumfanges hinreichend an. Die Nuten werden darauf mit eingestauchten Kupferstreifen ausgefüllt, und beim Aufschrumpfen der Kurbel legt sich ihre Nabe fest auf die unter dem Druck ein wenig nachgebenden Vorsprünge des Wellenkörpers auf. 3. Zusammenschrumpfen gesprengter Maschinenteile. Für die in Abb. 4 dargestellte Konstruktion gelten die Spannungsgleichungen (6) und (7), dagegen ändert sich die Gleichung (8) für das Schrumpfmaß, weil hier die Materialien von Ring und Körper gemeinhin verschieden sind. Der Ring wird gewöhnlich aus geglühtem Nickelstahl von Kz = 6500 – 7500 at Zerreißfestigkeit hergestellt, für den als Höchstbeanspruchung σ = 2250 at zulässig ist und dessen Elastizitätsziffer Er ∾ 2000000 at beträgt, während in Ermangelung genauerer Angaben \frac{1}{m}=0,30 entsprechend den Daten für Flußeisen eingesetzt wird. Für die zusammenzuschrumpfenden Teile kann man mit gewöhnlichem Maschinenguß rechnen [E_N\,\sim\,850000 at und \frac{1}{m}\,\sim\,0,16] bzw. weichem Stahlformguß [EN ∾ 1500000 und \frac{1}{m}=0,30, ebenfalls wieder wie bei Flußeisen, da genauere Zahlen für Stahlformguß nicht bekannt sind.] Die Gleichung (8) lautet hiermit p_1\,.\,\left[\frac{1+\frac{1}{m_R}}{E_R}\,.\,\frac{1-\frac{2}{m_R}+\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}+\frac{1+\frac{1}{m_N}}{E_N}\,\left(1-\frac{2}{m_N}\right)\right]=\frac{1}{n} (8 a) und mit den vorstehenden Zahlenwerten erhält man hieraus für \frac{1}{n}=\frac{1}{1000} Zusammenstellung 2. \frac{d_0}{d_1} =   1,2    1,3   1,4 Körpermaterial –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– p 1 =   274   345   396 Gußeisen   326   432   515 Stahlformguß σ ϕa = 1246 1000   826 Gußeisen 1483 1253 1073 Stahlformguß Ring: σ ϕi = 1520 1347 1222 Gußeisen 1808 1685 1587 Stahlformguß Für den Körper gilt σϕa = p1. Diese Beanspruchung bleibt also weit unterhalb des zulässigen Betrages, auch wenn man nach der Wehageschen Vorschrift als Gesamtbeanspruchung unter den beiden, senkrecht zueinander stehenden Druckspannungen σϕa und p1 rechnet \sigma=\sqrt{\sigma_{\varphi_a}+{p_1}^2}=1,41\,.\,p_1. Beispielsweise sei d1 = 18 cm, d0 = 22 bzw. 24 cm, Material des Körpers Gußeisen. Dann liefert die Zusammenstellung 2 für \frac{d_0}{d_1}=1,22 bzw. 1,33, p1 = 288 bzw. 360 at und σϕi = 1485 bzw. 1309 at. Der gußeiserne Kranz eines Schwungrades von F = 475 cm2. Querschnitt erfahre nun durch die Fliehkraft eine Anspannung von σ0 = 81 at, er werde an der Sprengstelle durch drei Schrumpfringe von den oben angegebenen Abmessungen zusammengehalten. Es gilt dann, wenn f den Querschnitt eines Schrumpfringes und σ1 die darin entstehende Spannung bedeutet, F • σ = 3 • f • σ1. Hieraus erhält man bei b = 3,5 cm Breite der Ringe \sigma_1=\frac{475\,.\,81}{6\,.\,3,5\,.\,2}=916 at bzw. \frac{475\,.\,81}{6\,.\,3,5\,.\,3}=611 at. Da für guten Nickelstahl die Gesamtbeanspruchung 2250 at zulässig ist, so darf die Schrumpfbeanspruchung betragen                         σϕi = 2250 – 916 – 81 = 1253 at bzw.                  σϕi =  2250 – 611 – 81 = 1558 at; [die Spannung 81 at erfahren die Schrumpfringe, die ja einen Bestandteil des Schwungkranzes bilden, ebenfalls]. Bei dem schwächeren Ringe wird der angegebene Wert bereits überschritten, und man muß das Schrumpfverhältnis andern in \frac{1}{1000}\,.\,\frac{1253}{1485}=\frac{1}{1185}, so daß das Schrumpfmaß beträgt \frac{180}{1185}=0,15\mbox{ mm} und der Schrumpfdruck p1 = 243 at. Bei dem stärkeren Ring kann das Schrumpfverhältnis erhöht werden auf \frac{1}{1000}\,.\,\frac{1559}{1309}=\frac{1}{840}, so daß das Schrumpfmaß \frac{180}{840}=0,21\mbox{ mm} beträgt und der Druck, mit dem der Schrumpfring anliegt, p_1=360\,.\,\frac{1000}{840}=429\mbox{ at}. Da die wirklich aufeinander liegenden Sprengflächen des Schwungkranzes ziemlich genau gleich der Summe aller Ringflächen 3\,.\,b\,.\,d_0\,\sim\,\frac{1}{2,5}\,.\,F sind, so findet im Betriebe noch eine Zusammenpressung der Sprengflächen von 429 – 81 = 348 at statt die freilich durch die hier nicht berücksichtigte Biegungsbeanspruchung des Kranzes noch etwas geändert wird. Textabbildung Bd. 334, S. 199 Abb. 5. Textabbildung Bd. 334, S. 199 Abb. 6. Will man also ein größeres Schrumpfmaß haben, damit zufällige kleine Fehler in der Herstellung nicht zu großen Einfluß erhalten, und gleichzeitig hohe Flächendrücke erzielen, so sind demnach verhältnismäßig dicke Schrumpfringe zu wählen. Früher wurden die Schrumpf ringe für den vorliegenden Zweck vielfach nach Abb. 5 ausgeführt, um eine möglichst – man kann ruhig sagen, unnötig – große Materialmenge zwischen Ring und Trennungsstelle zu haben. Die genaue Bearbeitung von Ring und Schrumpfbrücke machte erhebliche Schwierigkeiten und war außerdem ziemlich teuer. Bei der heutigen Form nach Abb. 4 wird der Ring auf der Drehbank mit leicht zu erreichender Genauigkeit hergestellt und der Schrumpfkörper ebenso genau auf einer starken Bohrmaschine bearbeitet, in deren Spindel ein Querhaupt mit zwei Bohrmessern eingesetzt ist. 4. Schrumpfringe gesprengter Radnaben. Bei der Anordnung nach Abb. 6 gelten für den Schrumpfring aus Nickelstahl wieder die Gleichungen (6) und (7). Für die Nabe, die sich mit dem Flächendruck p2 at an die Welle anlegt, liefern die Gleichungen (2), (4), (5) \sigma_{\varphi_a}=\frac{p_1\,.\,\left(\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2+1\right)-2\,.\,p_2}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2-1} . . . (9) \sigma_{\varphi_i}=\frac{2\,.\,p_1\,.\,\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2-p_2\,.\,\left(\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2+1\right)}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2-1} . . . (10) Aus Gleichung (3) erhält man für die Innenfläche des Ringes u_R=\frac{1+\frac{1}{m_R}}{E_R}\,.\,\frac{p_1\,.\,r_1}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\,.\,\left[\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2+1-\frac{2}{m_R}\right], für die Außenfläche der Nabe u_{\mbox{N\,a}}=\frac{1+\frac{1}{m_N}}{E_N}\,.\,\frac{(p_2-p_1)\,.\,r_1}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\,.\,\left[1+\left(1-\frac{2}{m_N}\right)\,.\,\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\right] und für die Innenfläche der Nabe u_{\mbox{N\,i}}=\frac{1+\frac{1}{\mbox{m}_N}}{E_N}\,.\,\frac{r_2}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\,\left[(p_2-p_1)\,.\,\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2+\left(1-\frac{2}{m_N}\right)\,.\,\left(p_2-p_1\,.\,\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\right)\right]. Nun ist die Querausdehnung der Welle, die beiderseits der Strecke B (Abb. 6) frei ist, durch diese neben der Druckstelle gelagerten ungedrückten Teile völlig behindert, so daß die Welle dem darauf lastenden Druck p2 kaum etwas nachgibt; andererseits bleibt natürlich die Nabe mit der Innenfläche fest auf der Welle liegen, so daß man uNi ∾ 0 ansetzen kann. Hiermit ergibt sich \frac{p_2}{p_1}=\frac{2\,.\,\left(1-\frac{1}{m_N}\right)\,.\,\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2}{1-\frac{2}{m_N}+\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2} . . . (11) Wird der daraus folgende Wert von p2 in die Gleichung für uNa eingesetzt, so erhält man aus der schon oben benutzten Bedingung u_R+u_{N\,a}=\frac{1}{n}\,.\,r_1 p_1\,.\,\left[-\frac{1+\frac{1}{m_N}}{E_N}\,.\,\frac{\left(1-\frac{2}{m_N}\right)\,.\,\left(\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2-1\right)}{1-\frac{2}{m_N}+\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2}+\frac{1+\frac{1}{m_R}}{E_R}\,.\,\frac{1-\frac{2}{m_R}+\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2}{\left(\frac{d_0}{d_1}\right)^2-1}\right]=\frac{1}{n} . . . (12) Mit den früheren Zahlenwerten für E und \frac{1}{m} liefern die vorstehenden Formeln für \frac{1}{n}=\frac{1}{1000} Zusammenstellung 3. \frac{\mbox{d}_1}{\mbox{d}_2}= Stahlformguß Gußeisen   1,3   1,4   1,5   1,3   1,4   1,5 \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4   322  480  584   319  474  575   317  469  568   307  447  535   301  434  517   295  423  502 p1 \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4   365  543  661   372  551  669   377  557  675   368  535  641   375  541  644   381  546  647 p2 \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4 146413921217 145213741198 144113601183 139412951115 136712581076 134212271045 Ringσϕa \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4 178518711800 177118471773 175818281750 170117421650 166716911593 163716491546 Ringσϕi \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4   199  296  362   210  313  380   221  327  396   131  142  229   144  212  249   158  226  269 Nabeσϕa \frac{\mbox{d}_0}{\mbox{d}_1}=1,21,31,4   156  233  283   159  237  287   162  240  288     69  102  122     70  103  134     72  114  123 Nabeσϕi Der angegebene Flächendruck p2 ist berechnet unter der Voraussetzung, daß die Breite B der Anlagefläche gleich der Ringbreite b ist. Tatsächlich ist aber ungefähr B ∾ 2,5 b, und der wirkliche Anlagedruck beträgt somit nur das 0,4-fache. Gebräuchliche Ausführungen sind etwa b ∾ 0,25 d2 und h ∾ 0,2 d2. Als Beispiel werde untersucht, wie groß das Drehmoment ist, das die beiden Schrumpfringe einer Schwungradnabe übertragen an einer Welle von d2 = 20 cm , wenn die vorstehenden Abmessungen innegehalten werden und d1 = 1,4 d2, somit d0 = 1,8 d2 ist. Man erhält die Verhältniswerte \frac{d_0}{d_1}=\frac{1,8}{1,4}=1,285 und \frac{d_1}{d_2}=1,4, womit der Zusammenstellung 3 für Gußeisen entnommen wird: p1 = 414 und p2 = 516 at, ferner für den Ring σϕi = 1687 at. Um das Ringmaterial völlig auszunutzen, erhöht man alle Werte zweckmäßig auf das 1,33-fache, hat also p1 = 552 at, p2 = 688 at, σϕi = 2249 at, \frac{1}{n}=\frac{1}{750}, mithin das Schrumpfmaß \frac{200}{0,750}=0,27\mbox{ mm}. Hiermit ergibt sich M = 2 • μ • p2 • b • π • d2 = 0,251 p2 • d22 = 0,251 • 688 • 400 = 69100 cmkg. Der Einfluß der Zentrifugalkraft kann hier bei den meist gebräuchlichen Verhältnissen außer Ansatz bleiben.